物理竞赛讲义-7.1简谐振动

7.1简谐振动

一、简谐运动的定义

1、平衡位置：物体受合力为0的位置

2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力

3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反

F k x =-

二、简谐运动的性质

F kx =-

''mx kx =-

取试探解（解微分方程的一种重要方法）

cos()x A t ωϕ=+

代回微分方程得：

2m x kx ω-=-

解得： 22T π

ω==

对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数

cos()x A t ωϕ=+

sin()v A t ωωϕ=-+

2cos()a A t ωωϕ=-+

由以上三个方程还可推导出：

222()v

x A ω+=

2a x ω=-

三、简谐运动的几何表述

一个做匀速圆周运动的物体在一条直径

上的投影所做的运动即为简谐运动。

因此ω叫做振动的角频率或圆频率，

ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫

做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心

角，也叫做初相位。

四、常见的简谐运动

1、弹簧振子

(1)水平弹簧振子

(2)竖直弹簧振子

2、单摆（摆角很小）

sin F mg mg θθ=-≈-

x l θ≈

因此： F k x =-

其中： mg k l

=

周期为：222T π

ω===

例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？

例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架

ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是

一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导

轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?

例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面

成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，

受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．

例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，

在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。

例5、如图所示，车厢在平直的公路以a=g/3的加速度做匀加速运

动，用长为L的轻绳将小球悬于车厢天花板上，当小球相对车厢静

止时，将其稍稍拉离平衡位置，并将其由相对车厢静止的状态而释放，以后小球将在平衡位置附近做小角度摆动，求小球摆动的周期是多少?

例6、一个摆长为l 的单摆置于倾角为θ的光滑斜面上，悬点在

垂直斜面的直杆上，且悬线与斜面的夹角为α，求单摆沿斜面作

简谐运动时的周期。

例7、用两根长度均为l 的轻杆把质量为m 的小球悬挂在水平杆AB

上，可以前后摆动，两杆间夹角为θ，当吧AB 稍稍向上转过α角度，

这个摆的周期多大？

例8、两个系统，每个都由两个质量均为m 的相同物体组成，两物体间用弹性系数为k 的弹簧相连。两系统以大小相同的恒定速度相向运动，弹簧保持原长。某处时时刻，两系统相距L ，求再经过多长时间，两系统重新回到初始时刻的位置，但速度的方向相反？