平面向量与三角形四心问题

求证：（1)Ｈ就是△ABC得垂心;
(２)O，G,Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH＝1：２。
【解答】证明：（１）∵△ＡBＣ外心为Ｏ,
∴
又∵
∴
则=•＝=0
即ＡH⊥BC
同理BH⊥AＣ,ＣH⊥AＢ
即H就是△ABＣ得垂心；
(2)∵G为△ＡBC得重心
∴=3=3+=
即=3
即Ｏ,G,Ｈ三点共线,且ＯＨ=3OG
即O,Ｇ，Ｈ三点共线,且ＯG：ＧH=1：2
３、O就是△ABＣ所在平面内一点，动点P满足（λ∈(0,+∞)），则动点P得轨迹一定通过△ABC得(）
A．内心Ｂ.重心ﻩC。外心Ｄ．垂心
解:作出如图得图形AD⊥BC,由于sｉnB=sinＣ＝ＡD，
∴=
由加法法则知，P在三角形得中线上
故动点P得轨迹一定通过△AＢC得重心
故选：B.
与“垂心”有关得向量问题
5若为所在平面内一点，且
则点就是得(）
A.重点ﻩＢ．外心C.内心ﻩＤ．垂心
证明：
得
即同理,故H就是△源自ＢC得垂心与“内心”有关得向量问题
6已知为所在平面上得一点,且,，．若，则就是得（）
。Ａ．重点ﻩB．外心ﻩC.内心ﻩD.垂心
【解析】∵,，则由题意得,
∵ ，
∴.∵与分别为与方向上得单位向量，∴与平分线共线，即平分。
平面向量基本定理与三角形四心
已知就是内得一点,得面积分别为，,，求证：
如图2延长与边相交于点则
图1
图2
推论就是内得一点，且，则
有此定理可得三角形四心向量式
就是得重心
就是得内心
就是得外心
就是得垂心
证明:如图为三角形得垂心，
同理得，
奔驰定理就是三角形四心向量式得完美统一
4、2三角形“四心”得相关向量问题
A.重点ﻩB.外心C。内心ﻩD.垂心
【解析】若,则,∴，则就是得外心，如图⑺.
９已知就是平面上得一定点，就是平面上不共线得三个点，动点满足，,则动点得轨迹一定通过得（）。
A。重点B。外心C。内心D．垂心
【解析】由于过得中点，当时，表示垂直于得向量(注意：理由见二、4条解释.），所以在垂直平分线上,动点得轨迹一定通过得外心,如图⑻
3就是所在平面上一点,若，则就是得（）
A.重点B。外心C。内心D.垂心
【解析】由,得,即，所以.同理可证,。∴就是得垂心.如图⑶、
4已知就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点，动点满足，,则动点得轨迹一定通过得（).
A。重点ﻩB．外心Ｃ。内心ﻩD。垂心
【解析】由题意，
由于，
即，所以表示垂直于得向量，即点在过点且垂直于得直线上，所以动点得轨迹一定通过得垂心,如图⑷、
1已知就是所在平面上得一点,若，则就是得( )．
Ａ。重点ﻩB。外心ﻩC。内心ﻩD．垂心
如图⑴、
2已知就是平面上一定点，就是平面上不共线得三个点，动点满足，,则得轨迹一定通过得（）、
A．重点ﻩB。外心C．内心D。垂心
【解析】由题意，当时,由于表示边上得中线所在直线得向量，所以动点得轨迹一定通过得重心,如图⑵、
一。知识梳理:
四心得概念介绍：
(１）重心:中线得交点，重心将中线长度分成２：１；
(2)垂心:高线得交点，高线与对应边垂直；
(３）内心：角平分线得交点(内切圆得圆心），角平分线上得任意点到角两边得距离相等；
（4)外心：中垂线得交点(外接圆得圆心），外心到三角形各顶点得距离相等。
与“重心”有关得向量问题
四心得相互关系
1、三角形外心与垂心得向量关系及应用
设得外心为，则点为得垂心得充要条件就是。
２、三角形外心与重心得向量关系及应用
设得外心为，则点为得重心得充要条件就是
3、三角形得外心、重心、垂心得向量关系及应用
设得外心、重心、垂心分别为、、，则、、三点共线(、、三点连线称为欧拉线),且.
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１0。设△ＡBＣ外心为O，重心为G。取点H，使.
同理可证：平分，平分．从而就是得内心,如图⑸、
7已知就是平面上一定点，就是平面上不共线得三个点，动点满足
，，则动点得轨迹一定通过得( ).
A。重点ﻩB。外心ﻩC.内心ﻩD。垂心
【解析】由题意得，∴当时，表示得平分线所在直线方向得向量,故动点得轨迹一定通过得内心,如图⑹、
8若Ｏ在△ＡBC所在得平面内：=,则O就是△AＢＣ得（）
A。垂心B.重心ﻩＣ。内心D．外心
解：∵向量得模等于1，因而向量就是单位向量
∴向量、与等都就是单位向量
∴由向量、为邻边构成得四边形就是菱形，
∵
可得AＯ在∠BAC得平分线上
同理可得OB平分∠AＢC,OA平分∠ACB，
∴Ｏ就是△AＢC得内心.
故选：C.
与“外心”有关得向量问题
８已知就是所在平面上一点，若，则就是得（）.