循环群子群讲解学习
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设aG ，能够使ma=0的最小正整数m叫做a的阶，若这样 的m不存在，则称a的阶是无限的，a的阶仍记为|a|。
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
“”nmmng a m a n ga ng e g e .
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任 意整数．
证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然
|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元，
证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且
n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
( a k ) m 1 a k m 1 a d k 1 m 1 a m k 1 ( a m ) k 1 e
,即 (ak )m1 e
其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m|kn，从而m1|k1n, 但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).
证 事实上
（1） i,j G ,(i j) 3 i3j3 1 1 1 i j G .
（2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）.
（3）0=1是G中的单位元.
（4）0的逆元是0，1与2互为逆元.
所以< G , ○ >为一个乘法群。不仅如此，我们还知：
0 1,1 2 3。
但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件 时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶 来作出判断。
第十一讲 循环群、子群
课时安排 约2课时 教学内容
例6 在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其 余元素的阶均无限．
例7 在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l，-l的阶是2， i与-i的阶都是4．
2．群中元素的阶的性质
性质1 设G是群，那么aG，若存在mZ+，使a m=e |a| m（可知a的阶是有限的）。
说明 若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk，则可得 |ck|=h，于是结论（3）又可以改为： 对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。
性质9 群的元a素和m 它 的x 逆G元 x m 有. 相同的阶. 证明 设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n，
由于a m=e，于是 (a-1)m= (am)-1 =e-1=e， 由性质l，n|m，而
1．循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果 （i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元；
2．子群包括的三层意思、子群的判定方法和构造群的 子群的方法；
3．循环群的阶与生成元的阶的关系； 4．两类循环群的本质区别及各自的同构象； 5．循环群中元素之间的联系和性质； 6．子群的构成判断和彼此等价的判断条件； 7．有限群的判断定理； 8．子群（集）的乘积和生成子群的概念； 9．循环群的子群所具有的特性。
an=[(a-1)-1]n= [(a-1) n]-1 =e-1=e， 于是m|n，因此，m=n。
性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且 (m,n)=1时,|ab|=m。
证明 首先，由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e;
其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e,
循环群子群
二、群中元素的阶
前面已介绍了群的阶：|G|=G中所含元素的个数。下面利 用单位元e，引入另一个新概念。
1．阶的定义与计算 （1）定义 设G为群，而aG. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等
式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为|a|=m.如果这样的 m不存在，则称a的阶是无限的，记为|a|=+∞。
教学重点
1．G=<2．子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一 个非空集组成子群的充要条件；
3．循环群的结构定理、循环群的子群的性质；子群之 积的性质。
教学难点
1． G=(a)的构选问题，利用G=(a)的定义证明<i>若a 为无限阶的，则（a）≌{Z,+}；<ii>若a的阶为n，则 （a）≌{Zn，+}；
[ 0 ] 1 ,[ 1 ] 5 ,[ 2 ] 5 ,[ 3 ] 5 ,[ 4 ] 5
例3 加法群<Z,+ >中，0是单位元。|0|=1，而其它元素
a,|a|=+∞。 例4 乘法群< R* , >中，1是单位元，|1|=1,|-1|=2，而其
它元素的阶都是无限。
说明 加法群<G,+ >中，元素的阶的定义自然需做相应的 变化：
2．作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定 方法；
3．循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循 环群的子群的性质和子群的生成元问题。
例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
“”nmmng a m a n ga ng e g e .
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任 意整数．
证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然
|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元，
证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且
n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
( a k ) m 1 a k m 1 a d k 1 m 1 a m k 1 ( a m ) k 1 e
,即 (ak )m1 e
其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m|kn，从而m1|k1n, 但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).
证 事实上
（1） i,j G ,(i j) 3 i3j3 1 1 1 i j G .
（2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）.
（3）0=1是G中的单位元.
（4）0的逆元是0，1与2互为逆元.
所以< G , ○ >为一个乘法群。不仅如此，我们还知：
0 1,1 2 3。
但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件 时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶 来作出判断。
第十一讲 循环群、子群
课时安排 约2课时 教学内容
例6 在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其 余元素的阶均无限．
例7 在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l，-l的阶是2， i与-i的阶都是4．
2．群中元素的阶的性质
性质1 设G是群，那么aG，若存在mZ+，使a m=e |a| m（可知a的阶是有限的）。
说明 若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk，则可得 |ck|=h，于是结论（3）又可以改为： 对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。
性质9 群的元a素和m 它 的x 逆G元 x m 有. 相同的阶. 证明 设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n，
由于a m=e，于是 (a-1)m= (am)-1 =e-1=e， 由性质l，n|m，而
1．循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果 （i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元；
2．子群包括的三层意思、子群的判定方法和构造群的 子群的方法；
3．循环群的阶与生成元的阶的关系； 4．两类循环群的本质区别及各自的同构象； 5．循环群中元素之间的联系和性质； 6．子群的构成判断和彼此等价的判断条件； 7．有限群的判断定理； 8．子群（集）的乘积和生成子群的概念； 9．循环群的子群所具有的特性。
an=[(a-1)-1]n= [(a-1) n]-1 =e-1=e， 于是m|n，因此，m=n。
性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且 (m,n)=1时,|ab|=m。
证明 首先，由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e;
其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e,
循环群子群
二、群中元素的阶
前面已介绍了群的阶：|G|=G中所含元素的个数。下面利 用单位元e，引入另一个新概念。
1．阶的定义与计算 （1）定义 设G为群，而aG. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等
式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为|a|=m.如果这样的 m不存在，则称a的阶是无限的，记为|a|=+∞。
教学重点
1．G=<2．子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一 个非空集组成子群的充要条件；
3．循环群的结构定理、循环群的子群的性质；子群之 积的性质。
教学难点
1． G=(a)的构选问题，利用G=(a)的定义证明<i>若a 为无限阶的，则（a）≌{Z,+}；<ii>若a的阶为n，则 （a）≌{Zn，+}；
[ 0 ] 1 ,[ 1 ] 5 ,[ 2 ] 5 ,[ 3 ] 5 ,[ 4 ] 5
例3 加法群<Z,+ >中，0是单位元。|0|=1，而其它元素
a,|a|=+∞。 例4 乘法群< R* , >中，1是单位元，|1|=1,|-1|=2，而其
它元素的阶都是无限。
说明 加法群<G,+ >中，元素的阶的定义自然需做相应的 变化：
2．作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定 方法；
3．循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循 环群的子群的性质和子群的生成元问题。