反演第4课—地震波场特征

Gf (ω ,τ ) = ∫ g (t − τ ) f (t )e
−∞
+∞
−iωt
dt
(3)
式中， g (t ) 称为窗函数。
ˆ (ω ) = f (t )e − iωt dt F (ω ) = f ∫
R
从定义式可以看出，在加窗 Fourier 变换中，首 先通过窗函数 g (t − τ ) 对信号 f (t ) 的乘积运算实现 在 其变换模式可由下图形象地表示出来。随着的 τ 变 g (t ) 所确定的“时窗”在 轴上移动，使得 f (t ) 化，
− 1 2
的内积。
如果令 f (t ) 的中心频率为 f 0，由式 可得：
ω a ,τ
1 = ω0 a
(18)
f a ,τ
f0 = a
那么，根据式(17)和式(18)可以得到连续小波变换 的时频表达式：
W f ( f , b) = ∫
f0 a= f
R
f f (t )ψ ( (t − b))dt f0
度都发生了变化a ,τ a
= Δt
t a ,τ = at 0 + τ
Δt a ,τ = aΔt
拉伸后窗口中心、 宽度发生变化
此时窗口的宽度随着尺度因子的变化而改变。
同样设母小波傅氏变换的频域窗口中心为 ω 0 ， 窗口宽度为
Δω
，那么其频率窗口的中心在： (14) (15)
（二）地震记录的小波分解与重构 （三）小波变换的发展---广义S变换
（一）从 Fourier变换到小波分析
1822年法国数学家傅里叶（Fourier ）提出的傅里叶分析方法和美国贝尔 实验室Cooley（1965年）等提出的快速傅里叶变换（FFT），在数学、物理 等领域里产生了深远的影响，成为人们进行理论分析和数值计算的重要工具。 但是，傅里叶分析方法使用的是一种全局变换，不能对信号作局部细节的刻 画，对一些时变非平稳信号的分析显得力不从心。
地震信号的 细节变化
地震信号具有明显的多尺度性，大尺度信号往 往是地下厚层的响应，而薄层与小尺度信号一般有 较好对应关系。
低频 中频 高频
利用小波变换的多分辨功能和优良的“数学显 微镜”特性，可以较好的实现不同尺度地震信号间 的分离，分析信号的变化和内在联系。
★实现过程：将时空域中的地震记录转换到小波域； ★效果：使时空域中未能用肉眼在地震同相轴上直接发 现而又实际存在的隐蔽特征，在小波域中变得明显、 直接得到充分展示； ★过程：同时在小波分频域进行信噪比增强和提高分辨 率的处理，使那些在小波域观察到的隐蔽特征，在 重构后的时空域中仍能够得到较好的分辨； ★最终目的：突破常规时间—空间域分辨率的极限，提 高地震记录的质量和分辨能力。
Δt
，窗口中
t0
，那么小波基函数 ψ a ,τ (t ) 的窗口中心为：
t a ,τ = at 0 + τ
窗口宽度为：
(12) (13)
Δt a ,τ = aΔt
窗口宽度随尺度a变化
对
t a ,τ = at 0 + τ
式的解释
由于 ψ (t ) 的窗口中心为 t 0 ，窗口的宽度为 Δ t
t −τ ) 窗口的中心和宽 那么经过平移和拉伸后 ψ ( a
小波域地震波衰减特征分析
与傅里叶变换相比，小波变换具有更高的时间和频 率分辨率，识别薄气层引起的地震信号衰减更加有效。
小 波 变 换 离 散 傅 立 叶 变 换
频率分辨率：不同频带的能量分布变化 傅立叶变换适合于大时窗分析，对厚气层的识别效果较好
① Fourier 变换 对给定信号 f (t ) ∈ L2 ( R) 的傅里叶变换定义为：
刻画 f (t ) 的局部时频信息。此外，由反变换可知 Gf (ω ,τ ) 也包含了信号 f (t ) 的全部信息。
但是，SFT的局部化格点为：
2 2 ⎛ ˆ m ,n (ω ) dω ⎞ (nt 0 , mω 0 ) = ⎜ ∫R t g m,n (t ) dt , ∫R ω g ⎟ ⎠ ⎝
(8)
无关
由上式可知，连续小波基函数的窗口面积不随尺 度参数
a
和平移因子
τ
的改变而改变。
我们把平方可积空间 L2 ( R) 内中的任意函数 f (t ) 在小波基 ψ a ,τ (t ) 下的展开称为函数 f (t ) 的连续小波 变换，其时域表达式为：
t −b W f (a, b) = a ∫ f (t )ψ ( )dt = 〈 f (t ),ψ a ,τ (t )〉 (17) R a 1 t −b − 2 ) 上式可写为 f 与ψ a ,b (t ) 如果记 ψ a ,b (t ) = a ψ ( a
ψ (t ) ∫R ω dω < ∞
2
(9)
那么就称 ψ (t ) 为一个基本小波或母小波。式(9) 称为小波函数的容许条件。 引进尺度因子
a （伸缩因子）和平移因子 τ
t −τ ψ( ) a a
，
将母小波 ψ (t ) 进行伸缩和平移，得到：
ψ a ,τ (t ) =
1
a > 0,τ ∈ R
移动位置
− iωτ
(10)
相应的傅里叶变换为：
ψ a ,τ (ω ) = a e
频率范围
ψ ( aω )
(11)
ψ a ,τ (t ) =
1
t −τ ψ( ) a a
a > 0,τ ∈ R
其中 ψ a ,τ (t ) ，称为小波基函数。由于尺度参数 和平移因子都是取连续变化的值，所以这种小波基函 数也称为连续小波基函数。 如果设母小波 ψ (t ) 的时窗宽度为 心为
ˆ (ω ) = F (ω ) = f
F (ω )
∫
R
f (t ) e
− iω t
dt
(1)
上式也称作信号 f (t ) 的频谱。
f
相应的逆变换定义为：
iωt ˆ ˆ f (t ) = F (t ) = ∫ f (ω )e dω R
(2)
Fourier 变换的局限— F (ω ) 只确定信号 f (t ) 在整个时
窗口大小与频率无关
量大幅度增加。
缺点：窗口大小一样，不能随频率变化，窗口过大不能分析高频、窗口太小计算量增加。
③小波变换（Wavelat Translation） 小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化 思想，同时又克服了窗口大小不能随频率变化等缺点 ，是进行信号（特别是时变非平稳信号）时频分析的 比较理想的工具。 设 ψ (t ) 是一平方可积函数，如果它的傅里叶变 换 ψ (ω ) 满足以下条件：
第三章、复杂地震波场特征分析及应用
3.1 地震记录的小波分解与重构 3.2 小波分频域复杂地震波场特征分析 3.3 地震资料分频处理与重建实验 3.4 薄层地震反射特征与厚度计算
第一节 地震记录的小波分解与重构
（一）从 Fourier 变换到小波分析
① Fourier 变换 ②短时傅里叶变换（SFT—Short Fourier Translation） ③小波变换（Wavelat Translation）
间域Ｒ上的频谱特征，不能用于局部分析。
F (ω )
f
地震资料处理中往往需要知道信号在任一时刻的频率 特性，也要求同时对信号时域和频域实行局部化，而 这一点对 Fourier 变换显然是无法做到的。
为此Gabor在1964年提出了加窗 Fourier 变换，其 基本思想是在 Fourier 变换的框架中，把非平稳信号 看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是通过 时域上的加窗来获得。加窗 Fourier 变换定义为：
τ
附近的开窗和平移，然后进行 Fourier 变换。
t
“逐步”进入被分析的状态。
时窗大小与 频率无关
加窗模式图
②短时傅里叶变换（SFT—Short Fourier Translation）
设 g (t ) 满足标准化条件：
⎧ g (t ) 2 dt = 1 ⎪ ∫R 2 ⎪ ⎨ ∫R t g (t ) dt = 0 ⎪ 2 ˆ (ω ) d ω = 0 ⎪∫ ω g ⎩ R
1 由 ω a ,τ = ω 0 aω = ω 0 得 a 1 Δt a ,τ = aΔt 窗口宽度： Δω a ,τ = Δω a
频率窗口宽度则越小。 整个窗口面积为： 1 1 Δt a ,τ Δω a ,τ = aΔt Δω = ΔtΔω ≥ a 2
（13）式和（15）式比较可知，时间窗口宽度越大
复杂油气藏储层预测
第四课
课件编著人：黄捍东
(北京)
2012年4月10日
第三章、复杂地震波场特征分析及应用
（1）储层反演中的地震数据（叠后纯波、叠前CRP道集）
地震野外数据 预处理 解编、建立野外观测系统、真振幅恢复 反褶积、道均衡 静校正 速度分析、剩余静校正 动校正 叠前偏移 共中心点叠加 反褶积、偏移、均衡、相干加强
(6)
其相应的离散SFT为：
Gm,n ( f ) = ∫ e mω0it g (t − nτ 0 ) f (t )dt
R
m, n ∈ Z
(7)
其中：
ω = mω0
τ = nτ 0
记 g ω ,τ (t ) = g (t − τ )e
频率域
− iωt
由于 g (t ) 满足标准化条件，故其中心在原点，设
对于这个窗口函数窗的面积为： 4Δt a ,τ Δω a ,τ 为了精确时间--频率局部化，能否选择出具有很小面 积的窗函数？根据測不准原理：如果选择 g (t ) 使得
tg (t ) ∈ L2 ( R ), aG (ω ) ∈ L2 ( R )
Δ t a ,τ Δ ω a ,τ
，则：