中考数学代几综合习题

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2020中考数学专项训练4.代数与几何综合题(附解析)

代数与几何综合题类型一动点型探究题1.如图①，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s.以AQ 、PQ 为边作四边形AQPD ，连接DQ ，交AB 于点E .设运动的时间为t (单位：s)(0＜t ≤4)，解答下列问题：(1)用含有t 的代数式表示AE ＝____；(2)如图②，当t 为何值时，四边形AQPD 为菱形；(3)求运动过程中，四边形AQPD 的面积的最大值．第1题图解：(1)5－t ；【解法提示】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴由勾股定理得：AB ＝10cm ，∵点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2cm/s ，∴BP ＝2t cm ，∴AP ＝AB －BP ＝10－2t ，∵四边形AQPD 为平行四边形，∴AE ＝12AP ＝5－t .(2)如解图①，当四边形AQPD 是菱形时，DQ ⊥AP ，则cos ∠BAC ＝AE AQ ＝AC AB，即5－t 2t ＝810，解得t ＝2513，∴当t ＝2513时，四边形AQPD 是菱形；(3)如解图②，作PM ⊥AC 于M ，设平行四边形AQPD 的面积为S .∵PM ∥BC ，∴△APM ∽△ABC ，∴AP AB ＝PM BC ，即10－2t 10＝PM 6，∴PM ＝65(5－t )，∴S ＝AQ ·PM ＝2t ·65(5－t )＝－125t 2＋12t=15255122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--t (0＜t ≤4)，∵－125＜0，∴当t ＝52时，S 有最大值，最大值为15cm 2.第1题解图2.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；(3)如图②，当DE的长度为3时，求∠BFE的度数．第2题图解：(1)BG∥CD；【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝∠GFE＝∠FEC ＝90°，∵∠ACB＝∠GCE＝90°，∴∠GCB＝∠ECA，∵GC＝CE，CB＝CA，∴△CAE≌△CBG.又∵∠ACB＝90°，BC＝AC，D是AB的中点，∴∠CBG＝∠CAE＝45°，∠BCD＝45°，∴∠CBG＝∠BCD，∴BG∥CD.(2)∵CB＝CA，CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝BD＝AD＝3，∠CBA＝∠A＝45°，易得△CAE≌△CBG，∴∠CBG ＝∠A ＝45°，∴∠GBA ＝∠GBC ＋∠CBA ＝90°.∵∠BEN ＋∠BNE ＝90°，∠BEN ＋∠CED ＝90°，∴∠BNE ＝∠CED ，∵∠EBN ＝∠CDE ＝90°，∴△NBE ∽△EDC ，∴BN ED ＝BE CD ，∴y x ＝3－x 3，∴y ＝－31(x －32)2＋34，∵－31＜0，∴x ＝32时，y 的最大值为34；(3)如解图，作FH ⊥AB 于点H .∵CB ＝CA ，BD ＝CD ，∠BCA ＝90°，∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝3，∴tan ∠DCE ＝DE CD ＝33，∴∠DCE ＝30°，∵四边形EFGC 是正方形，∴EF＝EC，∵∠CDE＝∠EHF＝90°，易证∠DCE＝∠HEF，∴△CDE≌△EHF，∴∠DCE＝∠HEF＝30°，FH＝DE，CD＝EH，∵CD＝BD，∴BD＝EH，∴BH＝DE＝FH，∴△BHF是等腰直角三角形，∴∠BFH＝45°，∵∠EFH＝90°－∠HEF=60°，∴∠BFE＝∠BFH+∠EFH＝105°.第2题解图3.如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8cm，CD＝10cm，AD ＝6cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2cm/s，点F 同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1cm/s.设运动时间为t(s)，△CEF的面积为S(cm2)．(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？第3题图解：(1)2；【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋(2t)2＝(10)2，解得：t＝2(负值舍去)．(2)当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，第3题解图①∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形APCD是矩形，则CP＝AD＝6cm，∵AB＝8cm，AD＝6cm，∴BF ＝(8－t )cm ，DE ＝(6－2t )cm ，则S ＝S 梯形ABCD －S △AEF －S △CBF －S △CDE＝12×(8＋10)×6－12×t ×2t －12×(8－t )×6－12×(6－2t )×10＝－t 2＋13t＝－(t －132)2＋1694，即S ＝－(t －132)2＋1694，∵当t ＜132时，S 随t 的增大而增大，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30；(3)当3≤t ≤8时，如解图②，过点F 作FQ ⊥CD 于点Q ，第3题解图②由∠A ＝∠D ＝90°，知四边形ADQF 是矩形，∴FQ ＝AD ＝6cm ，∵AD ＋DE ＝2t ，AD ＝6cm ，CD ＝10cm ，∴CE ＝(16－2t )cm ，则此时S ＝12×(16－2t )×6＝48－6t ，∵－6＜0，∴S 随t 的增大而减小，∴当t ＝3时，S 取得最大值，最大值为30cm 2．4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D .点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．(1)①求线段CD 的长；②求证：△CBD ∽△ABC ；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使得△CPQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．(1)①解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10，∵CD ⊥AB ，∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝6×810＝524，∴线段CD 的长为524；②证明：∵∠B ＝∠B ，∠CDB ＝∠BCA ＝90°，∴△CBD ∽△ABC ；(2)解：如解图②，过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，由题可知DP ＝t ，CQ ＝t ，则CP ＝524－t ，∵∠ACB ＝∠CDB ＝90°，∴∠HCP ＝90°－∠DCB ＝∠B ，∵PH ⊥AC ，∴∠CHP ＝90°，∴∠CHP ＝∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴PH AC ＝PC BA，∴PH 8＝10524t -，∴PH ＝9625－45t ，∴S ＝12CQ ·PH ＝12t (9625－45t )＝－25(t －125)2＋288125，∵52-＜0，∴当t ＝125时，S 最大＝288125；(3)存在，t ＝125或14.455或2411.【解法提示】①若CQ ＝CP ，如解图①，则t ＝524－t .解得：t ＝125；②若PQ ＝PC ，如解图②所示．∵PQ ＝PC ，PH ⊥QC ，∴QH ＝CH ＝12QC ＝t 2.∵△CHP ∽△BCA .∴CH BC ＝CP AB .∴t 26＝10524t -，解得t ＝14455；③若QC ＝QP ，如解图③，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，同理可得：t ＝2411.综上所述：当t 为524秒或14455秒或2411秒时，△CPQ 为等腰三角形．第4题解图5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm.如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2cm/s 和1cm/s.FQ ⊥BC ，分别交AC 、BC 于点P 和Q ，设运动时间为t (s)(0＜t ＜4)．(1)连接EF 、DQ ，若四边形EQDF 为平行四边形，求t 的值；(2)连接EP ，设△EPC 的面积为y cm 2，求y 与t 的函数关系式，并求y 的最大值；(3)若△EPQ 与△ADC 相似，请直接写出t 的值．解：(1)在矩形ABCD 中，∵AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，∴CD ＝AB ＝6cm ，AD ＝BC ＝8cm ，∠BAD ＝∠ADC ＝∠DCB ＝∠B ＝90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝10，∵FQ ⊥BC ，∴∠FQC ＝90°，∴四边形CDFQ 是矩形，∴DF ＝QC ，FQ ＝DC ＝6cm ，由题意知，BE ＝2t ，QC ＝DF ＝t ，∴EQ ＝BC －BE －QC ＝8－3t ，∵四边形EQDF 为平行四边形，∴FD ＝EQ ，即t ＝8－3t ，解得t ＝2；(2)∵∠FQC ＝90°，∠B ＝90°，∴∠FQC ＝∠B ，∴PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ，∴PQ AB ＝QC BC，即PQ 6＝t 8，∴PQ ＝34t ，∵S △EPC ＝12EC ·PQ ，∴y ＝12·(8－2t )·34t ＝－34t 2＋3t ＝－34(t －2)2＋3，即y ＝－34(t －2)2＋3，∵a ＝－34＜0，∴当t ＝2时，y 有最大值，y 的最大值为3；(3)t 的值为2或12857或12839.【解法提示】分两种情况讨论：若E 在FQ 左边，①当△EPQ ∽△ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝8－3t 8，解得t ＝2；②当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝8－3t 6，解得t ＝12857.若E 在FQ 右边，③当△EPQ ∽△ACD 时，可得：PQ CD ＝EQ AD ，即34t 6＝3t －88，解得t ＝4(舍去)；④当△EPQ ∽△CAD 时，可得：PQ AD ＝EQ CD ，即34t 8＝3t －86，解得t ＝12839.综上所述，若△EPQ 与△ADC 相似，则t的值为：2或12857或12839.类型二动线型探究题6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2cm.长为1cm 的线段MN 在△ABC 的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动(运动前点M 与点A 重合)．过M ，N 分别作AB 的垂线交直角边于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为t s.(1)若△AMP 的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式(写出自变量t 的取值范围)，并求出y 的最大值；(2)在线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；(3)t 为何值时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？第6题图解：(1)当点P 在AC 上时，∵AM ＝t ，∴PM ＝AM ·tan60°＝3t ，∴y ＝12t ·3t ＝32t 2(0<t ≤1)，当t ＝1时，y 最大＝32；当点P 在BC 上时，PM ＝BM ·tan 30°＝33(4－t )，∴y ＝12t ·33(4－t )＝－36t 2＋233t ＝－36(t －2)2＋233(1＜t <3)，当t ＝2s 时，y 最大＝233，综上所述，y0<t ≤12＋233t ，1＜t <3，∴当t ＝2s 时，y 最大＝233；(2)∵AC ＝2，∴AB ＝4，∴BN ＝AB －AM －MN ＝4－t －1＝3－t .∴QN ＝BN ·tan 30°＝33(3－t )，由题知，若要四边形MNQP 为矩形，需PM ＝QN ，且P ，Q 分别在AC ，BC 上，即3t ＝33(3－t )，∴t ＝34，∴当t ＝34s 时，四边形MNQP 为矩形．(3)由(2)知，当t ＝34s 时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，除此之外，当∠CPQ ＝∠B ＝30°时，△QPC ∽△ABC ，此时CQ CP ＝tan 30°＝33，∵AM AP ＝cos 60°＝12，∴AP ＝2AM ＝2t ，∴CP ＝2－2t ，∵BN BQ ＝cos 30°＝32，∴BQ ＝BN 32＝233(3－t )，又BC ＝23，∴CQ ＝23－233(3－t )＝23t 3，∴23t 32－2t ＝33，解得t ＝12，∴当t ＝12s 或34s 时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm，BC＝6cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)如解图①，连接DF，第7题解图①∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中AD＝52－32＝4，∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AQ AD，∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝32(4－t )，∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形，∴32(4－t )＝3，∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，第7题解图②∵PN //DC ，∴PN DC ＝AP AC，∴PN 3＝5－t 5，∴PN ＝35(5－t )，∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN ＝6－12(4－t )·35(5－t )＝6－(310t 2－2710t ＋6)＝－310t 2＋2710t (0＜t ＜4)；(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .第7题解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝12AP ＝12(5－t )，由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN AQ，∴12（5－t ）4－t＝45，∴t ＝73，∴当t ＝73s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵PA ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷45＝2512，∴PF ＝712，∴FH ＝720.∴点F 到直线PQ 的距离h ＝720(cm)．类型三动图型探究题8.如图①，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，∠DBC ＝90°，现将△AEF 沿BD 的方向匀速平移，速度为2cm/s ，同时，点G 从点D 出发，沿DC 的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF 停止移动时，点G 也停止运动，连接AD ，AG ，EG ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t (s)(0＜t ＜4)．(1)当t ＝1时，求EH 的长度；(2)若EG ⊥AG ，求证：EG 2＝AE ·HG ；(3)设△AGD 的面积为y (cm 2)，当t 为何值时，y 可取得最大值，并求y 的最大值．第8题图解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，又∠DBC ＝90°，∴∠ADB ＝90°，又AD ＝6cm ，BD ＝8cm ，由勾股定理得，AB ＝AD 2＋BD 2＝10cm ，当t ＝1时，EB ＝2cm ，则DE ＝8－2＝6cm ，∵EH ⊥CD ，∠DBC ＝90°，∴△DEH ∽△DCB ，∴DE DC ＝EH BC ，即610＝EH 6，解得EH ＝3.6cm ；(2)∵∠CDB ＝∠AEF ，∴AE ∥CD ，∴∠AEG ＝∠EGH ，又EG ⊥AG ，EH ⊥CD ，∴△AGE ∽△EHG ，∴EG HG ＝AE EG，∴EG 2＝AE ·HG ；(3)由(1)得，△DEH ∽△DCB ，∴DE CD ＝EH BC ，即8－2t 10＝EH 6，解得，EH ＝24－6t 5，∴y ＝12×DG ×EH ＝－6t 2＋24t 5＝－65t 2＋245t ＝－65(t －2)2＋245，∴当t ＝2时，y 的最大值为245.9.把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图①摆放(点C 与点E 重合)，点B 、C (E )、F 在同一条直线上．已知：∠ACB ＝∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，EF ＝10cm.如图②，△DEF 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t (s)．(1)用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；(2)连接PE ，设四边形APEQ 的面积为y (cm 2)，试求出y 的最大值；(3)当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．第9题图解：(1)AP ＝2t ，∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°，∴∠CQE ＝45°＝∠DEF ，∴CQ ＝CE ＝t ，∴AQ ＝8－t ，t 的取值范围是：0≤t ≤5；(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于G ，可求得AB ＝10，sin B ＝45，PB ＝10－2t ，EB ＝6－t ，∴PG ＝PB sin B ＝45(10－2t )，∴y ＝S △ABC －S △PBE －S △QCE＝12×6×8－12(6－t )×45(10－2t )－12t 2＝－1310t 2＋445t ＝－1310(t －4413)2＋96865，∴当t ＝4413(s)(在0≤t ≤5内)，y 有最大值，y 最大值＝96865(cm 2)；第9题解图(3)若AP ＝AQ ，则有2t ＝8－t 解得：t ＝83(s)，若AP ＝PQ ，如解图②：过点P 作PH ⊥AC ，则AH ＝QH ＝8－t 2，PH ∥BC ，∴△APH ∽△ABC ，∴AP AH ＝AB AC ，即2t 8－t 2＝108，解得：t ＝4021(s)，若AQ ＝PQ ，如解图③：过点Q 作QI ⊥AB ，则AI ＝PI ＝12AP ＝t ，∵∠AIQ ＝∠ACB ＝90°∠A ＝∠A ，∴△AQI ∽△ABC ∴AI AQ ＝AC AB 即t 8－t ＝810，解得：t ＝329(s)，综上所述，当t ＝83(s)或4021(s)或329(s)时，△APQ 是等腰三角形．10.如图①，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF均为4.现将三角板EFG由图①所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，EG交AC于点K，GF交BC于点H.在旋转过程中，请你解决以下问题：(1)连接CG，求证：△CGH∽△AGK；(2)连接HK，求证：KH∥EF；(3)设AK＝x，△CKH的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．第10题图(1)证明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B＝30°，∴∠GCH＝∠GAK＝60°，又∠CGH＝∠AGK＝α，∴△CGH∽△AGK；(2)证明：由(1)得△CGH∽△AGK，∴GH GK ＝CG AG.在Rt △ACG 中，tan ∠CAG ＝CG AG ＝3，∴GH GK ＝ 3.在Rt △KHG 中，tan ∠GKH ＝GH GK ＝3，∴∠GKH ＝60°.∵在Rt △EFG 中，∠F ＝30°，∴∠E ＝60°，∴∠GKH ＝∠E ，∴KH ∥EF ；(3)解：由(1)得△CGH ∽△AGK ，∴CH AK ＝CG AG .由(2)知CG AG ＝3，∴CH AK ＝ 3.∴CH ＝3AK ＝3x ，在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝2，∴CK ＝AC －AK ＝2－x ，∴y ＝12CK ·CH ＝12(2－x )·3x ＝－32x 2＋3x ，又y ＝－32x 2＋3x ＝－32(x －1)2＋32，(0＜x ＜2)∴当x ＝1时，y 有最大值为32.。

专题10 代几综合题中的新定义-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 (解析版)

专题10 代几综合题中的新定义目录【题型一】二次函数中的新定义【典例分析】﹣x，其顶点（2023青浦区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x22为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x22﹣x的“不动点”的坐标；②向左或向右平移抛物线y＝x22﹣x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；﹣t，即可求解；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t22②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A （1，﹣1），点B （m ，m ），则m ＝﹣1，即可求解．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，y ＝x 22﹣x ＝（x 1﹣）21﹣故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1），（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 22﹣t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②当OC ∥AB 时，∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A （1，﹣1），点B （m m ），∴m ＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y ＝x 22﹣x 向左平移2个单位得到的；当OB ∥AC 时，同理可得：抛物线的表达式为：y ＝（x 2﹣）2+2＝x 24﹣x +6，当四边形OABC 是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y ＝（x +1）21﹣．【点评】本题为二次函数综合运用题，正确利用二次函数基本知识、梯形基本性质进行分析是解题关键．【提分秘籍】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求同学们读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

中考数学-几何与代数综合专题(含答案)

题型：反比例函数专题题型说明：自从2010年北京中考第23题考查了反比例函数的知识以来，各区县模拟考试题中就开始出现了很多反比例函数的类型题，但是不管如何考查，都基本上会涉及几何变换，数形结合，方程与不等式，整体思想等。

【例1】已知:反比例函数()0ky k x=≠经过点(11)B ，． ⑴求该反比例函数解析式；⑵联结OB ，再把点(20)A ，与点B 连结,将OAB ∆绕点O 按顺时针方向旋转135︒得到''OA B ∆，写出''A B 的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此双曲线上，并说明理由；⑶若该反比例函数图象上有一点(1)F m -（其中0m >），在线段OF 上任取一点E ,设E 点的纵坐标为n ,过F 点作FM x ⊥轴于点M ，连结EM ，使OEM ∆的面积是2，求代数式2n +-【答案】⑴反比例函数解析式：1y x=⑵∵已知(11)B ，,(20)A ， ∴OAB ∆是等腰直角三角形∵顺时针方向旋转135°，∴'(0B,'(A - ∴中点P为(2． ∵((1⋅= ∴点P 在此双曲线上． ⑶∵EH n = ,OM m =例题精讲代数综合(二)∴OEM S ∆=EH OM ⋅21=mn 21=2，∴m = 又∵(1)F m -在函数图象上∴)123(-m m =1．将m21=∴2n =∴2n +-【例2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． ⑴求直线DE 的解析式和点M 的坐标； ⑵若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； ⑶若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围．【答案】⑴设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0）， ∴⎩⎨⎧b k b＋＝＝ 603 解得⎪⎩⎪⎨⎧321 ＝＝b k －∴直线DE 的解析式为y ＝－21x ＋3 ∵点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴点M 的纵坐标为2 又∵点M 在直线y ＝－21x ＋3上，∴2＝－21x ＋3，∴x ＝2,∴M （2，2） ⑵∵y ＝xm （x ＞0）经过点M （2，2），∴m ＝4，∴y ＝x 4又∵点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4 ∵点N 在直线y ＝－21x ＋3上，∴y ＝1 ∴ N （4，1） ∵当x ＝4时，y ＝x 4＝1，∴点N 在函数y ＝x4的图象上 ⑶48m ≤≤【例3】如图，已知直线y ＝－2x ＋b 与双曲线y ＝xk（k ＞0且2k ≠）相交于第一象限内的两点P （1，k ）、Q （22-b ，y 2） ⑴求点Q 的坐标（用含k 的代数式表示）⑵过P 、Q 分别作坐标轴的垂线，垂足为A 、C ，两垂线相交于点B ．是否存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由（P 、Q 两点请自己在图中标明）【答案】⑴∵P （1，k ）在直线y ＝－2x ＋b 上，∴k ＝－2＋b∴b －2＝k ∵Q （22-b ，y 2）在双曲线y ＝x k上，∴y 2＝22-b k ＝2∴22-b ＝2k∴点Q 的坐标为（2k，2）⑵由P （1，k ）、Q （2k，2）可知P 为AB 与双曲线的交点，Q 为BC 与双曲线的交点 S △OPQ＝S 矩形OABC－S △AOP －S △COQ －S △BPQ ＝1×2－21×1×k －21×2k ×2－21×(1－2k )(2－k ) ＝1－41k2 假设存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍，则有 1－41k2＝2×21×(1－2k)(2－k ) 整理得：3k2－8k ＋4＝0解得：k ＝2（不合题意，舍去）或23k =，故存在k ＝32，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍【例4】如图，直线y ＝21x ＋b 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B ，与双曲线y ＝xk（其中x ＞0）相交于第一象限内的点P （2，y 1），作PC ⊥x 轴于C ，已知△APC 的面积为9． ⑴求双曲线所对应的函数关系式；⑵在⑴中所求的双曲线上是否存在点Q （m ，n ）（其中m ＞0），作QH ⊥x 轴于H ，当QH＞CH时，使得△QCH 与△AOB 相似？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴y ＝0代入y ＝21x ＋b ，得x ＝－2b ∴A （－2b ，0）把x ＝2代入y ＝21x ＋b ，得y 1＝1＋b ，∴P 由题意得：S △APC＝21AC ·PC ＝21(2＋2b )(1＋b )＝9 整理得：(1＋b )2＝9，解得b ＝－4（舍去）或b ＝2 ∴P （2，3），把P （2，3）代入y ＝x k，得k ＝6 ∴双曲线所对应的函数关系式为y ＝x6 ⑵由⑴知AO ＝4，BO ＝2,设Q （m ，m6）当点Q 在点P 左侧时，CH ＝2－m ，QH ＝m 6若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22m -＝46m整理得：m2－2m ＋3＝0，此方程无实数解当点Q 在点P 右侧时，CH ＝m －2，QH ＝m6 若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22-m ＝46mm2－2m －3＝0，解得m ＝－1（负值，舍去）或m ＝3当m ＝3时，CH ＝1，QH ＝2，QH＞CH ，符合题意∴Q （3，2）综上所述，存在点Q （3，2），使得△QCH 与△AOB 相似【例5】如图，直线1y k x b =+与反比例函数y ＝xk 2（x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点．（1）求k 1、k 2的值；（2）直接写出k 1x ＋b －xk 2＞0时x 的取值范围；0 （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB ＝CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）由题意知：k 2＝1×6＝6∴反比例函数的解析式为y ＝x6 又B （a ，3）在y ＝x6的图象上，∴a ＝2，∴B （2，3） ∵直线y ＝k 1x ＋b 过A （1，6），B （2，3）两点 ∴⎩⎨⎧32611 ＝＋＝＋b k b k 解得⎩⎨⎧93 1 ＝＝－b k（2）x 的取值范围为1＜x＜2（3）当S 梯形OBCD＝12时，PC ＝PE设点P 的坐标为（m ，n ），∵BC ∥OD ，CE ⊥OD ，OB ＝CD ，B （2，3） ∴C （m ，3），CE ＝3，BC ＝m －2，OD ＝m ＋2 ∴S 梯形OBCD＝21(BC ＋OD )·CE ，即12＝21×(m －2＋m ＋2)×3∴m ＝4，mn ＝6，∴n ＝23，即PE ＝21CE∴PC ＝PE【例6】在平面直角坐标系中，函数y ＝xm（x ＞0，m 是常数）的图象经过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB ． ⑴求m 的值； ⑵求证：DC ∥AB ；⑶当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式【答案】⑴∵点A （1，4）在函数y ＝xm图像上 ∴4＝1m，∴m ＝4 ⑵∵点B （a ，b ）在函数y ＝x4图像上 ∴B （a ，a 4），∴D （0，a4）又∵A （1，4），∴C （1，0），M （1，a4） ∴DM ＝1，MB ＝a －1，AM ＝4－a 4，MC ＝a4 ∴MC DM ＝a 4，AM MB ＝aa 441--＝a 4 ∴MC DM ＝AMMB∵∠DMC ＝∠BMA∴△CDM ∽△ABM ∴∠DCA ＝∠BAC ∴DC ∥AB ⑶设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b∵DC ∥AB ，AD ＝BC∴四边形ABCD 为平行四边形或等腰梯形情况①：四边形ABCD 为平行四边形则DM ＝MB ，∴1＝a －1，∴a ＝2 ∴B （2，2）∵点A （1，4）、B （2，2）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝42k ＋b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝6 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6情况②：四边形ABCD 为等腰梯形则AC ＝BD ，∴a ＝4∴B （4，1）∵点A （1，4）、B （4，1）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝44k ＋b ＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝5 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋5综上所述，直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6或y ＝－x ＋5【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，1），E 、F 是线段AB 上的两个动点，且∠EOF＝45°，过点E 、F 分别作x 轴和y 轴的垂线CE 、DF 相交于点P ，垂足分别为C 、D ．设P 点的坐标为（x ，y ），令x y ＝k ． ⑴求证：△AOF ∽△BEO ； ⑵当OC ＝OD 时，求k 的值；⑶在点E 、F 运动过程中，点P 也随之运动，探索：k 是否为定值？请证明你的结论．【答案】⑴证明：由已知得OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝90°∴∠OAF ＝∠OBE ＝45°，又∵∠OF A ＝∠ABO ＋∠BOF ＝∠EOF ＋∠BOF ＝∠EOB ∴△AOF ∽△BEO⑵解：如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，则OM ＝21AB ＝22∵OA ＝OB ＝1，OC ＝OD ，∴AC ＝BD ，∴CE ＝DF 又∠OCE ＝∠ODF ＝90°，∴△OCE ≌△ODF ∴OE ＝OF ，∴△EOF 是等腰三角形，∠EOM ＝21∠EOF ＝22.5° 而∠COE ＝∠AOM －∠EOM ＝45°－22.5°＝22.5°＝∠EOM ∠OCE ＝∠OME ＝90°，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△OME∴OC ＝OM ＝22，∴PC ＝PD ＝OC ＝22 ∴k ＝x y ＝PD ·PC ＝21（3）k 为定值如图，过E 作EH ⊥OB 于H ，过F 作FK ⊥OA 于K 由△AOF ∽△BEO 得OB AF ＝BEOA，∴AF ·BE ＝OA ·OB ＝1 又AF ＝2FK ，BE ＝2HE ，∴2HE ·2FK ＝1 ∴HE ·FK ＝21，∴PD ·PC ＝HE ·FK ＝21，∴k 为定值21【例8】如图，点P （a ，b ）和点Q （c ，d ）是反比例函数y ＝x1在第一象限内图象上的两个动点（a b <，a c ≠），且OP ＝OQ ．P 1是点P 关于y 轴的对称点，Q 1是点Q 关于x 轴的对称点，连接P 1Q 1分别交OP 、OQ 于点M 、N ． ⑴求证：a ＝d ，b ＝c ； ⑵求证：11PQ PQ ∥；⑶设四边形PQNM 的面积为S ．①求S 关于a 的函数关系式； ②是否存在这样的点P ，使得S ＝58？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵P （a ，b ），Q （c ，d ），OP ＝OQ ，∴a2＋b2＝c2＋d2又∵b ＝a 1，d ＝c 1，∴a2＋(a 1)2＝c2＋(c1)2整理得(ac ＋1)(ac －1)(a ＋c )(a －c )＝0 ∵a ＞0，c ＞0，且a ≠c ，∴ac ＝1 从而可得a ＝d ，b ＝c（2）证明：分别延长P 1P 、Q 1Q 相交于点A ，过点P 1、Q 1分别作x 轴、y 轴的垂线相交于点B 由（1）知AP ＝AQ ＝b －a ，AP 1＝AQ 1＝b ＋a ∴∠APQ ＝∠AP 1Q 1＝45° ∴PQ ∥P 1Q 1（3）解：①易得P 1、Q 1的坐标分别为（－a ，b ）、（b ，－a ） ∴S 梯形PP 1Q 1Q＝S △AP 1Q 1－S △APQ ＝21(b ＋a )2－21(b －a )2＝2ab ＝2 设直线P 1Q 1的解析式为y ＝kx ＋n则⎩⎪⎨⎪⎧－ak ＋n ＝b bk ＋n ＝－a 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1n ＝b －a ∴直线P 1Q 1的解析式为y ＝－x ＋b －a 由已知可得直线OP 的解析式为y ＝abx 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b －a y ＝abx 得x ＝b a a b a +-)( ，y ＝b a a b b +-)( 即点M 的坐标为（b a a b a +-)( ，ba ab b +-)( ） ∴S △PP 1M＝21×2a ×[b －b a a b b +-)( ]＝b a b a +22＝ba a+2 由对称性可知S △QQ 1M＝S △PP 1M＝ba a +2 ∴S 四边形PQNM＝S 梯形PP 1Q 1Q－2S △PP 1M＝2－2×b a a+2＝12222+-a a②假设存在这样的点P ，则12222+-a a ＝58，解得a ＝±31∵a ＞0，∴a ＝31，∴b ＝3∴存在满足条件的点P ，点P 的坐标为（31，3）【例9】如图，矩形ABCD （点A 在第一象限）与x 轴的正半轴相交于M ，与y 的负半轴相交于N ，AB ∥x轴，反比例函数y ＝xk的图象过A 、C 两点，直线AC 与x 轴相交于点E 、与y 轴相交于点F ．（1）若B （－3，3），直线AC 的解析式为y ＝ax ＋b①求a 的值；②连结OA 、OC ，若△OAC 的面积记为S △OAC，△ABC 的面积记为S △ABC，记S ＝S △ABC－S △OAC，问S 是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由；（2）AE 与CF 是否相等？请证明你的结论．【答案】（1）①方法一：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k） ∵y ＝ax ＋b 经过A 、C 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧3ka ＋b ＝3－3a ＋b ＝－3k ∴(3k ＋3)a ＝3k ＋3∵k ＞0，∴3k＋3≠0，∴a ＝1 方法二：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k ），D （3k ，－3k） ∴AB ＝3k ＋3，AD ＝3k＋3，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形 ∴∠AEO ＝∠ACD ＝45°，∴OE ＝OF ＝b ∴E （－b ，0），∴－ab ＋b ＝0 ∵b ≠0，∴a ＝1②∵S ＝S △ABC－S △OAC＝S △ACD－S △OAC＝S △AOM＋S △CON＋S 矩形ONDM＝21×3k ×3＋21×3×3k ＋3k ×3k ＝91k2＋k ＝91(k ＋29)2－49∴当k ＞－29时，S 随着k 的增大而增大又∵k ＞0，k 没有最小值，∴S 没有最小值（2）答：AE ＝CF ，理由如下：方法一：如图，连接MN ，设AB 交y 轴于点P ，BC 交x 轴于点Q∵S 矩形APOM＝S 矩形CQON＝3k ×3＝k ，∴DN ·AD ＝DM ·CD ∴CD DN ＝ADDM，又∵∠D ＝∠D ，∴△DNM ∽△DCA ∴∠DNM ＝∠DCA ，∴MN ∥AF又∵AM ∥FN ，∴四边形AFNM 是平行四边形，∴AF ＝MN 同理CE ＝MN ，∴AF ＝CE ∴AE ＝CF 方法二：设A （m ，m k ），C （n ，n k ），则AM ＝m k ，AD ＝m k －nk，CN ＝－n ，CD ＝m －n∵EM ∥CD ，∴△AEM ∽△ACD ，∴AC AE ＝AD AM ＝n k m k mk -＝nk m k mk -＝m n n- ∵FN ∥AD ，∴△CFN ∽△CAD ，∴AC CF ＝CDCN ＝n m n --＝m n n- ∴AC AE ＝ACCF，∴AE ＝CF 方法三：设A （m ，mk ），C （n ，n k ），则M （m ，0）、N （0，n k）从而⎩⎪⎨⎪⎧ma ＋b ＝m kna ＋b ＝nk ∴(m －n )a ＝m k －nk∴a ＝－mn k ，∴b ＝mn k n m )(+，∴直线AC 的解析式为y ＝－mn k x ＋mnkn m )(+ ∴E （m ＋n ，0），∴EM ＝m －(m ＋n )＝－n ，∵CN ＝－n ，∴EM ＝CN ∵EM ∥BA ∥CN ，∴∠AEM ＝∠FCN又∵∠AME ＝∠FNC ＝90°，∴△AEM ≌△FCN ∴AE ＝CF【例10】已知二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象经过点(10)，和(30)-，，反比例函数1ky x=（0x >）的图象经过点（1，2）．（1）求这两个函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象；（2）若反比例函数1k y x =（0x >）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一象限内交于点00()A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数2k y x=（00k x >>，）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一初中数学.中考冲刺.第06讲.教师版 Page 11 of 11 象限内的交点为A ，点A 的横坐标0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围．【答案】（1）把(10)，和(30)-，分别代入23(0)2y ax bx a =+-≠解方程组，得 12a =，1b = ∴ 抛物线解析式为23212-+=x x y ∵ 反比例函数1k y x =的图象经过点（1，2），∴ k =2. ∴ 12y x= （2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2.（3）由函数图象或函数性质可知：当23x <<时，对23212-+=x x y ，y 随着x 的增大而增大，对2(0)k y k x=>，2y 随着x 的增大而减小.因为00()A x y ，为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，得2y y > 即2k ＞2322212-+⨯，解得5k >. 同理，当03x =时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得2y y >，即2333212-+⨯＞3k ，解得18k <. 所以k 的取值范围为518k <<.。

新课标九年级数学中考复习强效提升分数精华版中考数学复习专题代数、三角、几何综合问题

中考数学复习专题代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．典型例题精析例1．有一根直尺的短边长2cm ，长边长10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm ，如图1，将直尺的矩边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移如图2，设平移的长度为xcm （•0≤x ≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm 2．（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________；（2）当0<x ≤4时（如图2），求S 关于x 的函数关系式；（3）当4<x<10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值（同学可在图3、•图4中画草图）解析：（1）2；2．（2）在Rt △ADG 中，∠A=45°， ∴DG=AD=x ．同理EF=AE=x+2，∴S 梯形DEGF =12（x+x+2）×2=2x+2， ∴S=2x+2．（3）①当4<x<6时，（如图5） GD=AD=x ，EF=EB=12-（x+2）=10-x ，则S △ADG =12x -2，S △BEF =12（10-x ）2，而S △ABC =12×12×6=36，∴S=36-12x 2-12（10-x ）2=-x 2+10x-14，S=-x 2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5（4<5<6）时，S 最大值=11．②当6≤x<10时（如图6）， BD=BG=12-x ，BE=EF=10-x ，S=12（12-x+10-x ）×2=22-2x ， S 随x 的增大而减小，所以S ≤10．由①、②可得，当4<x<10时，S 最大值=11．例2．如图所示，点O 2是⊙O 1上一点，⊙O 2与⊙O 1相交于A 、D 两点，BC⊥AD，垂足为D ，分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C 两点，延长DO 2交⊙O 2于E ，交BA 的延长线于F ，BO 2交AD 于G ，连结AG ．•（1）求证：∠BGD=∠C ；（2）若∠DO 2C=45°，求证：AD=AF ；（3）若BF=6CD ，且线段BD 、BF 的长是关于x 的方程x 2-（4m+2）x+4m 2+8=0•的两个实数根，求BD 、BF 的长．解析：（1）∵BC ⊥AD 于D ， ∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AB 、AC 分别为⊙O 1、⊙O 2的直径．∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°， ∴∠BGD=∠C ．（2）∵∠DO 2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O 2D=O 2C ，∴∠C=∠O 2DC=12（180°-∠DO 2C ）=67.5°， ∴∠4=22.5°， ∵∠O 2DC=∠ABD+∠F ， ∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF ．（3）∵BF=6CD ，∴设CD=k ，则BF=6k ．连结AE ，则AE ⊥AD ，∴AE ∥BC ，∴AE AFBD BF∴AE ·BF=BD ·AF ．又∵在△AO 2E 和△DO 2C 中，AO 2=DO 2 ∠AO 2E=∠DO 2C ， O 2E=O 2C ，∴△AO 2E≌△DO 2C ，∴AE=CD=k，∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0，解得：BC=3k或BC=4k．当BC=3k，BD=2k．∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．整理，得：4m2-12m+29=0．∵△=（-12）2-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．∴BC=3k（舍）．当BC=4k时，BD=3k．∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4，∴原方程可化为x2-18x+72=0，解得：x1=6，x2=12，∴BD=6，BF=12．中考样题训练1．已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y 随x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、•B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？2．如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．（1）若sin ∠OAB=45，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式；（2）若⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C ，在此变化过程中探究： ①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M 、N 、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？若存在，•表示出来；若不存在，说明理由．3．如图，已知直线L 与⊙O 相交于点A ，直径AB=6，点P 在L•上移动，连结OP 交⊙O 于点C ，连结BC 并延长BC 交直线L 于点D ．（1）若AP=4，求线段PC 的长；（2）若△PAO 与△BAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积．（•答案要求保留根号）LyM CBA xPO N考前热身训练1．如图，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 为以点A 为旋转中心，AM 边从与AO•重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP•上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM 的面积为S ，若cos α、OA•是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：AN 2=ON ·MN ；（3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量量x 的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．2．如图，已知P 、A 、B 是x 轴上的三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），•且PA ：AB=1：2，以AB 为直径画⊙M 交y 轴的正半轴于点C ．（1）求证：PC 是⊙M 的切线；（2）在x 轴上是否存在这样的点Q ，使得直线QC 与过A 、C 、B•三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）画⊙N ，使得圆心N 在x 轴的负半轴上，⊙N 与⊙M 外切，且与直线PC 相切于D ，•问将过A 、C 、B 三点的抛物线平移后，能否同时经过P 、D 、A 三点？为什么？M A Q P O N答案:中考样题看台1．（1）k=1，抛物线解析式y=-x2+2x+3（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）（3）∵⊙O′过A、B两点，∴O′在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有MP×MN=MA×MB，4MN=2×2，∴MN=1，•PN=5，O′P=52<PM，∴O′点在x轴上方，∴O′M=32，∴O′（1，32）．（4）①过B点作⊙O′的切线交y轴于点G，直线BO′交y轴于点E，可求出直线BO•′的解析式为，y=-34x+94，∴E（0，94），∵BG是⊙O′的切线，BO⊥EG，∴BO=OE×OG，∴OG=4，•∴G（0，-4），求出直线BG的解析式为y=43x-4．②-4<m<0．2．（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=45，cos∠OAB=35，∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2．•在Rt△APM中，APAM=cos∠OAB=35，∴AM=5，OM=2，∴点M（0，-2），又△NPB∽△AOB，∴BN AB BP OB，∴BN=52，•∴ON=32，∴点B（32，0），设MP的解析式为y=kx+b，∵MP经过M、N两点，∴MP的解析式为y=43x-2，设过M、N、B的抛物线解析式为y=a（x-32）（x-4）且点M（0，-2）在其上，可得a=-13，即y=-13x2+116x-2．（2）①四边形OMCB是矩形．证明：在⊙A不动，⊙B运动变化过程中，恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，∴△AOB≌△APM，∴OB=PM，AB=AM，∴PB=OM ，而PB=BC ，∴OM=BC ，由切线长定理知MC=MP ，∴MC=OB ， ∴四边形MOBC 是平行四边形，又∵∠MOB=90°，∴四边形MOBC 是矩形．②存在，由上证明可知，Rt △MON ≌Rt △BPN ， ∴BN=MN ．因此在过M 、N 、B 三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在，• 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M ′与M 关于其对称轴对称， ∴BN=BM ′，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB 和△M ′NB ． 3．（1）∵L 与⊙O 相切于点A ，∴∠4=90°，∴OP 2=OA 2+AP 2， ∵OB=OC=12AB=3，AP=4， ∴OP 2=32+42，∴OP=5， ∴PC=5-3=2．（2）∵△PAO ∽△BAD ，且∠1>∠2，∠4=90°， ∴∠2=∠APO ，∴OB=OC ，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO ∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90° ∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°．在Rt △BAD 中，∠2=∠APO=30°．∴AD=6sin30°=6×3．过点O 作OE ⊥BC 于点E ∵∠2=30°，BO=3，∴OE=32，BE=3×cos30°=2，∴∴S 四边形OADC =S △BAD -S △BOC =12AB ·AD=12BC ·OE=12×6×12×3294154．考前热身训练1．（1）易知OA=2，cos α=12，∠POQ=∠MAN=60°， ∴初始状态时，△AON 为等边三角形，•∴ON=OA=2，当AM 旋转到AM ′时，点N 移动到N ′， ∵∠OAM ′=30°，∠POQ=∠M ′AN•′=60°，∴∠M ′N ′A=30°，在Rt △OAN 中，ON ′=2AO=4， ∴NN ′=ON ′-ON=2，∴点N 移动的距离为2．（2）易知△OAN ∽△AMN ，∴AN 2=ON ·MN ．（3）∵MN=y-x ，∴AN 2=y 2-xy ，过A 点作AD ⊥OP ，垂足为D ，可得OD=1， ∴DN=ON-OD=y-1，在Rt △AND 中，AN 2=AD 2+DN 2=y 2-2y+4， ∴y 2-xy=y 2-2y+4，即y=42x-． ∴y>0，∴2-x>0，即x<2，又∵x ≥0，∴x 的取值范围是：0≤x<2．（4）S=12·OM ·x ，∵S 是x 的正比例函数，且比例系数2>0，∴0≤S<2·2．即0≤ 2．（1）易知⊙M 半径为2，设PA=x ，则x ：4=1：2⇒x=2，由相交弦定理推论得OC=OA ．OB=1×3，2=PO 2+OC 2=32+2=12，PM 2=42=16，MC 2=22=4，∴PM 2=PC 2+MC 2，∴∠PCM=90°．（2）易知过A 、C 、B 三点的抛物线的解析式为（x+1）（x-3），•假设满足条件的Q 点存在，坐标为（m ，0），直线QC 的解析式为y=-m， ∵直线QC 与抛物线只有一个公共点，∴方程（x+1）（x-3）∴（2+3m）2=0，∴m=-32，即满足条件的Q 点存在，•坐标为（-32，0）；（3）连结DN ，作DH ⊥PN ，垂足为H ，设⊙N 的半径为r ，则∵ND ⊥PC ， ∴ND ∥MC ，∴DN PN MC PM =，∴224r r -=， ∴r=23，∵DN 2=NH ·NP ，∴（23）2=NH·（2-23），∴NH=13，∴，∴D（-2）．∵抛物线y=-3（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为y=-3（x+•1）（x+3）又经验证D是该抛物线上的点，∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点．。

中考复习之代几综合问题知识讲解

代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1，即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值．解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。

中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题四代数与几何综合问题的基本类型和解题策略第一节用数学思想方法解

专题四代数与几何综合问题根本类型与解题策略类型与策略几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中综合题大多以代数与几何综合题形式出现，而且留有自主探究空间，表达个性开展与新课程标准理念，代数与几何大型综合题为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下几何图形；③函数图象与几何图形相结合问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到题型有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜测，细致演练确保第二问正确，在时间充裕情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．规律与预测纵观遵义近5年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形综合，由浅入深设置多问，难度较大，考察方式综合运用知识与解决问题能力，预计2021年遵义中考压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．第一节用数学思想方法解决问题,中考重难点突破)数学思想方法是指对数学知识与方法形成规律性理性认识，是解决数学问题根本策略．数学思想方法提醒概念、原理、规律本质，是沟通根底知识与能力桥梁，是数学知识重要组成局部．数学思想方法是数学知识在更高层次上抽象与概括，它蕴含于数学知识发生、开展与应用过程中．中考常用到数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它实质，就可以把所学知识融会贯穿，解题时可以举一反三．【例1】(2021遵义二中二模)如图，菱形ABCD 对角线长分别为3与4，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与A ，C 重合)，且PE∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，那么图中阴影局部面积________．【学生解答】3【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目题设与结论中所隐含信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例2】(2021随州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)局部图象如下图，图象上点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，以下结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c>3b ；③8a＋7b ＋2c>0；④假设点A(－3，y 1)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，y 2，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72，y 3在该函数图象上，那么y1<y3<y2；(5)假设方程a(x＋1)(x－5)＝－3两根为x1与x2，且x1<x2，那么x1<－1<5<x2.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【学生解答】B【例3】(2021遵义六中二模)⊙O半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，那么AD长为________．【学生解答】1或3【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合与分类讨论数学思想进展解答，防止出现漏解．【例4】(2021三明中考)如图，AB是⊙O直径，分别以OA，OB为直径作半圆．假设AB＝4，那么阴影局部面积是________．【学生解答】2π【规律总结】此类题就是化未知为、化繁为简、化难为易，通过一定策略与手段，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化．具体地说，比方把隐含数量关系转化为明显数量关系；把从这一个角度提供信息转化为从另一个角度提供信息，转化内涵非常丰富，与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题转机．模拟题区1．(2021遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，假设△PAD与△PBC 是相似三角形，那么满足条件点P个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个(第1题图)(第2题图)2．(2021红花岗二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如下图，那么以下结论：①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0两根之与大于0；③y随x增大而增大；④a －b＋c＞0，其中正确是( A)A．②B．②④C．①②④D．①②③④3．(2021金华中考)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，那么y关于x函数关系用图象大致可以表示为( D),A) ,B),C) ,D)4．(2021淄博中考)如图，△ABC面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，那么图中阴影局部面积是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6(第4题图)(第5题图)5．(2021岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，且k≠0)与反比例函数y ＝4x (x>0)图象交于A ，B 两点，利用函数图象直接写出不等式4x<kx ＋b 解集是__1<x<4__．6．(2021 遵义十一中二模)如图，正方形边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，那么图中阴影局部面积为__8－2π__．(结果用含π式子表示)中考真题区7．(2021 温州中考)假设a ＋b ＝22，ab ＝2，那么a 2＋b 2值为( B ) A ．6 B ．4 C ．3 2 D ．238．(2021凉山中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图，那么反比例函数y ＝－a x与一次函数y ＝bx －c 在同一坐标系内图象大致是( C ) ,A ) ,B ),C ) ,D )9．(2021 牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于点E ，那么C E ＝__5－2或5＋2__．10．(2021德州中考)如图，半径为1半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧中点M 与圆心O 重合，那么图中阴影局部面积是__32－π6__．。

中考数学代数式综合测试卷(1)及答案

中考代数式综合测试卷（一）及答案一、选择题(本题共10 小题，每小题3 分，满分30分)每一个小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号内．每一小题：选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。

1．一个代数式减去22x y -等于222x y +，则这个代数式是（）。

Ａ．23y -Ｂ．222x y + Ｃ．2232y x -Ｄ．23y2．下列各组代数式中，属于同类项的是（）。

A ．b a 221 与221ab B ．b a 2 与c a 2 C ．22与43 D ． p 与q 3．下列计算正确的是（）。

Ａ．2233x x -=Ｂ．22321a a -= Ｃ．235358x x x +=Ｄ．22232a a a -=4．a = 255, b = 344, c = 433, 则 a 、b 、c 的大小关系是（）。

A ． a>c>b B ． b>a>c C ． b>c>a D ． c>b>a 解：a = 255=（25）11=3211b = 344=（34）11=8111c = 433=（23）11=8115．一个两位数，十位数字是x ，个位数字是y ，如果把它们的位置颠倒一下，得到的数是（）。

Ａ．y x +Ｂ．yxＣ．10y x +Ｄ．10x y +6．若26(3)(2)x kx x x +-=+-，则k 的值为（）。

A ． 2B ． -2 Ｃ． 1 Ｄ． –1 7．若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（）。

A ．20B ．10 Ｃ． ± 20 Ｄ．±108．若代数式2231y y +=，那么代数式2469y y +-的值是（）。

Ａ．2Ｂ．17Ｃ．7- Ｄ．79．如果(2－x)2＋(x －3)2＝（x －2）＋（3－x ），那么x 的取值范围是（）。

中考数学专题：圆与一次函数(代几综合)

（2011南京）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是2。

（2010•文山州）如图，已知直线l的解析式为y=-x+6，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，直线n与x轴、y轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．（1）求A、B两点的坐标；（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的t值，使得半圆面积S= 12S梯形ABCD？若存在，求出t值．若不存在，说明理由．(2011四川达州，21，6分)如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，点D 从点A 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动(点D 不与B 重合)，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．以DE 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形ADFE ，设点D 的运动时间为t 秒． (1)用含t 的代数式表示△DEF 的面积S ； (2)当t 为何值时，⊙O 与直线BC 相切?C【答案】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B=60° 在△ADE 中，∵∠A=90° ∴ADAEADE =∠tan ∵AD=t t =⨯1，∴AE=t 3 又∵四边形ADFE 是矩形， ∴S △DEF =S △ADE =22332121t t t AE AD =⨯⨯=⨯（)30<≤t ∴S=223t （)30<≤t （2）过点O 作OG ⊥BC 于G ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，H G∵DE ∥BC ，∴OG=DH ，∠DHB=90° 在△DBH 中，BDDHB =sin ∵∠B=60°，BD=AD AB -，AD=t ，AB=3，∴DH=)3(23t -，∴OG=)3(23t - 当OG=DE 21时，⊙O 与BC 相切，在△ADE 中，∵∠A=90°，∠ADE=60°，∴21cos ==∠DE AD ADE ， ∵AD=t ，∴DE=2AD=t 2， ∴2)3(232⨯-=t t ， ∴936-=t∴当936-=t 时，⊙O 与直线BC 相切（2011湖南娄底，25,10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A(0，，B(-2，0).（1）求C，D两点的坐标.（2）求证：EF为⊙O1的切线.（3）探究：如图13，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）连结DE，∵CD是⊙O1的直径，∴DE⊥BC，∴四边形ADEO为矩形.∴OE=AD=2，DE=AO.在等腰梯形ABCD中，DC=AB.∴CE=BO=2，CO=4.∴C(4，0)，D(2，).（2）连结O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，∠O1EC=∠O1C E，在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.∴O1E∥AB,又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF.∵E在AB上，∴EF为⊙O1的切线（3）解法一：存在满足条件的点P.如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM,在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，tan∠ABO=AOBO==∴∠ABO=60︒，∴∠PCN =∠ABO =60︒.MP在Rt △PCN 中， cos ∠PCN =12CN PC =，即412x x -=, ∴x =83.∴PN =CN ·tan ∠PCN =(4-83)∴满足条件的P 点的坐标为(83). 解法二：存在满足条件的点P ，如右图，在Rt △AOB 中，AB 4. 过P 作PM ⊥y 轴于M ，作PN ⊥x 轴于N ，依题意得PC =PM , 在矩形OMPN 中，ON =PM ，设ON =x ，则PM =PC =x ，CN =4-x ， ∵∠PCN =∠ABO ，∠PCN =∠AOB =90︒. ∴△PNC ∽△AOB ， ∴PC CN AB BO =，即442x x-=. 解得x =83.又由△PNC ∽△AOB ，得834PN PC AO AB ==，∴PN =∴满足条件的P 点的坐标为(83（2010•泰州）如图，⊙O是O为圆心，半径为5的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点．（1）若OA=OB①求k；②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；（2）若k=-12，且直线y=kx+b分⊙O的圆周为1：2两部分，求b．（2010•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为2．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点．（1）连接CO，求证：CO⊥AB；（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．（2009•永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（-3，0），经过A、O两点作半径为5/2的⊙C，交y轴的负半轴于点B．（1）求B点的坐标；（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．相切如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．1. （东营）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ．∴ S =2133248MNP AMN S S x x x∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4）（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =．过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==．在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=．∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切．（3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．BD 图 2P 图 3B图 1∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ． ∴2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()2322PEF S x ∆=-MNP PEFy S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大．综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．图 4（无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=600，；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．解：（1）过C作CD x⊥轴于D，1OA t=+，1OC t∴=+，1 cos602tOD OC +∴==，3(1sin60DC OC==，∴点C的坐标为1)22t t⎛⎫++⎪⎪⎝⎭，．················（2分）（2）①当P与OC相切时（如图1），切点为C ，此时PC OC⊥，cos30 OC OP∴=，3 13t∴+=，1t∴=②当P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=过P作PE OC⊥于E，则12OE OC=，133cos302tOP+∴==．③当P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，则PF OC⊥，FG CD∴==，3(1sin30PC PF OP∴==+．过C作CH y⊥轴于H，则222PH CH PC+=，22213322t⎫⎛+⎛⎫∴+-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简，得2(1)1)270t t+-++=，解得1t+=9310t=-<，1t∴=．∴所求t的值是1，1和1．2010 山东淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点．E 为⊙O 上在第一象限的某一点，直线BF 交⊙O 于点F ，且∠ABF ＝∠AEC ，则直线BF 对应的函数表达式为．【答案】1-=x y ，1+-=x y23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），D（1，a）在直线BC上，⊙A是以A为圆心，AD为半径的圆．（1）求a的值；（2）求证：⊙A与BC相切；（3）在x负半轴上是否存在点M，使MC与⊙A相切，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由；（4）线段AD与y轴交于点E，过点E的任意一直线交⊙A于P、Q两点，问是否存在一个常数K，始终满足PE•QE=K，如果存在，请求出K的值；若不存在，请说明理由．（2010安徽蚌埠）已知⊙O 过点D （3，4）,点H 与点D 关于x 轴对称，过H 作⊙O 的切线交x 轴于点A 。

2019年中考数学复习专题《代数综合、代数几何综合》(有答案)

代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七：设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2，顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一：（1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）；（2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二：（1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。

中考数学专题复习：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合）典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上. (1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

2020年数学中考复习,几何代数综合压轴题解析(三)

2020年数学中考复习，几代综合压轴题解析（三）1.(2019.眉山)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-94x 2+bx+c 经过点A(-5,0)和点B （1，0）.（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE ⊥x 轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作∠DMN=∠DBA ，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求AN 的长；若不存在，请说明理由。

解析：（1）将A(-5,0)和点B （1，0）代入y=-94x 2+bx+c ，可得b=-916,c=920∴抛物线的解析式:y=-94x 2-916x+920,D （-2，4）.（2）设P （m,-94m 2-916m+920）,根据对称性可得GP=-4-2m 。

矩形PEFG 的周长=2（PE+PG ）=2（-94m 2-916m+920-4-2m ）=-98（m+417）2+18225 当m=-417时，矩形PEFG 的周长有最大值，即P 的点的横坐标为m=-417。

（3）由A(-5,0)和点B （1，0），D （-2，4）可求得AB=6,AD=DB=5。

①当MD=MN 时，由∠DBA=∠MAB,∠BDM=∠AMN.可证得△MBD ≌△NAM, ∴AN=MB.又∠DMN=∠DBA=∠DAB ，∠MDN=∠ADM,∴∠DNM=∠AMD ∴△ADM 是等腰三角形，即AM=AD=5，∴AN=MB=6-5=1②当ND=MN 时，∠NDM=∠DMN=∠DBA,又∠DAM 是公共角， ∴△ADM ∽△ABD ，∴AD 2=AM ·AB,可求得AM=625，BM=611 又△ANM ∽△BMD,∴DBAM=MB AN , 可得AN=3655。

③当ND=MD 时，可得∠DNM=∠DMN,又知∠DMN=∠DBA=∠DAB ，而发生了∠PNM=∠PAM,显然这种情况不成立。

(王云松)北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇2

北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇编整理北京市二十中学王云松2012-6-7代几综合题，往往是在二次函数背景下的对动点、动直线的位置及数量关系以及常见几何图形的存在性的研究，对学生的思维水平提出了更高的要求，要求学生具有较强的运算能力、作图能力、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等综合能力。

其掌握程度的高低直接决定学生能否达优。

【海淀】24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标.备用图【参考答案】24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =. ∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO , ∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y . 由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G , 过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形，可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分如右图，同方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形，可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-.[注]在确定平行四边形时，如果知一边的两点坐标，可以用平移的方法，得到其对边的点的坐标，可使解答简捷。

数学一模汇编：代几综合题

2012年北京市中考数学一模分类汇编——代几综合题因动点特殊情况产生相似1．（石景山）已知二次函数)34()22(22-+++-=m m x m x y 中，m 为不小于0的整数，它的图像与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD=AC （D 在线段AB 上），有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD 的面积．25.（1）∵二次函数的图像与x 轴有两个交点，∴()[]()016834422-22>+-=-+-+=∆m m m m∴2<m . ………….1分 ∵m 为不小于0的整数，∴m 取0、1. ………….2分当m=1时，242+-=x x y ，图像与x 轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；当m=0时，322--=x x y ，符合题意.∴二次函数的解析式为：322--=x x y …………..3分（2）∵AC=AD ，∴∠ADC=∠ACD∵CD 垂直平分PQ ，∴DP=DQ ，∴∠ADC=∠CDQ. ∴∠ACD=∠CDQ ，∴DQ ∥AC ∴△BDQ ∽△BAC ，∴ABBD ACDQ = …………..4分∵AC=10，BD=10-4，AB=4. ∴DQ=25-10， …………..5分∴PD=25-10. ∴AP=AD-PD=25，∴t=25125=÷ …………..6分（3）∵△BDQ ∽△BAC∴224104⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆AB BD S S BACBDQ 易求6=∆BAC S ，∴4101239-=∆BDQ S ………..7分∴4151012S ACQD-=四边形. …………8分动点产生图形2.（延庆）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y 1=ax 2+3x +c 的图像经过原点及点A （1,2），与x 轴相交于另一点B 。

专题30 代数几何综合问题-中考数学压轴题精品专题练(第二期)

一、选择题1．（2017四川省乐山市，第10题，3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，点B 坐标为（6，4），反比例函数x y 6=的图象与AB 边交于点D ，与BC 边交于点E ，连结DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B 'DE 处，点B '恰好落在正比例函数y =kx 图象上，则k 的值是（）A ．52-B ．211-C ．51-D ．241- 2．（2017四川省内江市，第11题，3分）如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，33），∠ABO =30°，将△ABC 沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为（）A ．（32，332）B ．（2，332）C ．（332，32）D ．（32，3﹣332） 3．（2017临沂，第14题，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数k y x=（x ＞0）的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为10．若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是（）A ．62B ．10C ．226D ．2294．（2017山东省威海市，第12题，3分）如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为（﹣4，0），点B 在y 轴上，若反比例函数xk y =（k ≠0）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为（）A ．x y 3=B ．x y 4=C ． x y 5=D ．xy 6= 5．（2017新疆乌鲁木齐市，第10题，4分）如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线3y x =上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（）A ．52B ．62C ． 21022D ．26．（2017江苏省泰州市，第6题，3分）如图，P 为反比例函数k y x=（k ＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线交一次函数y =﹣x ﹣4的图象于点A 、B ．若∠AOB =135°，则k 的值是（）A．2B．4C．6D．87．（2017甘肃省兰州市，第15题，4分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．2548．（2017甘肃省天水市，第10题，4分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B 出发，以3c m/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1c m/s的速度沿BA﹣AC 方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C ．D ．9．（2016山东省济南市）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =90°，AB =AD =5，BC =4，M 、N 、E 分别是AB 、AD 、CB 上的点，AM =CE =1，AN =3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB ﹣BE 向点E 运动，同时点Q 从点N 出发，以相同的速度沿折线ND ﹣DC ﹣CE 向点E 运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ 的面积为S ，运动时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．10．（2016山东省济宁市）如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB =45，反比例函数48y x=在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于（）A ．60B ．80C ．30D ．4011．（2016广西梧州市）如图所示，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0），直线x =﹣0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD =MC ，连接AC 、BC 、AD 、BD，某同学根据图象写出下列结论：①a﹣b=0；②当﹣2＜x＜1时，y＞0；③四边形ACBD是菱形；④9a﹣3b+c＞0你认为其中正确的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③12．（2016浙江省湖州市）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4B．174C．32D．2513．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C 点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y 与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．14．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA 上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．1215．（2015乐山）如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB．则△P AB面积的最大值是（）A．8 B．12 C．212D．172二、填空题16．（2017江苏省南通市，第18题，3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为．17．（2017浙江省温州市，第16题，5分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．18．（2017浙江省湖州市，第16题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数1yx=和9yx=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交1yx=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是．19．（2017金华，第16题，4分）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S （m2）（1）如图1，若BC=4m，则S= m2．（2）如图2，现考虑在（1）中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为m．20．（2016四川省眉山市）如图，已知点A是双曲线6yx=在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线kyx=上运动，则k的值是．21．（2016浙江省湖州市）已知点P在一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0）的图象上，将点P 向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到点Q，点Q也在该函数y=kx+b的图象上．（1）k的值是；（2）如图，该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，且与反比例函数4yx-=图象交于C，D两点（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记S1为四边形CEOB的面积，S2为△OAB的面积，若127 9SS=，则b的值是．22．（2016浙江省衢州市）如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数kyx=（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于．（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是．23．（2016湖北省鄂州市）如图，直线l：43y x=-，点A1坐标为（﹣3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为．24．（2016福建省龙岩市）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10= ．25．（2016辽宁省葫芦岛市）如图，点A1（2，2）在直线y=x上，过点A1作A1B1∥y轴交直线12y x=于点B1，以点A1为直角顶点，A1B1为直角边在A1B1的右侧作等腰直角△A1B1C1，再过点C1作A2B2∥y轴，分别交直线y=x和12y x=于A2，B2两点，以点A2为直角顶点，A2B2为直角边在A2B2的右侧作等腰直角△A2B2C2…，按此规律进行下去，则等腰直角△A n B n C n的面积为．（用含正整数n的代数式表示）26．（2016黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大32倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形A n OC nB n的对角线交点的坐标为．27．（2015庆阳）如图，定点A（﹣2，0），动点B在直线y x=上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．28．（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P 是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．三、解答题29．（2017江苏省连云港市，第26题，12分）如图，已知二次函数23yax bx （a ≠0）的图象经过点A（3，0），B （4，1），且与y 轴交于点C ，连接AB 、AC 、BC ．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC 的形状；若△ABC 的外接圆记为⊙M ，请直接写出圆心M 的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA 方向平移，平移后点A 、B 、C 的对应点分别记为点A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的外接圆记为⊙M 1，是否存在某个位置，使⊙M 1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．30．（2017河南省，第23题，11分）如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N ． ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．31．（2017浙江省台州市，第24题，14分）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程2520x x -+=，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A （0，1），B （5，2）；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根（如图1）；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D （请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹）；（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程2520x x -+=的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程20ax bx c ++= （a ≠0，24b ac -≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P （m 1，n 1），Q （m 2，n 2）就是符合要求的一对固定点？32．（2017浙江省宁波市，第25题，12分）如图，抛物线21144y x x c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y轴交于点B ，连结AB ，点C （6，152）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D ．（1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；（2）点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．33．（2017浙江省湖州市，第24题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C （m ，0）是线段A B 上一点（与 A ，B 点不重合），抛物线L 1：211y ax b x c =++（a ＜0）经过点A ，C ，顶点为D ，抛物线L 2：222y ax b x c =++（a ＜0）经过点C ，B ，顶点为E ，AD ，BE 的延长线相交于点F ．（1）若a =12-，m =﹣1，求抛物线L 1，L 2的解析式；（2）若a =﹣1，AF ⊥BF ，求m 的值；（3）是否存在这样的实数a （a ＜0），无论m 取何值，直线AF 与BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．34．（2017浙江省绍兴市，第24题，14分）如图1，已知□ABCD ，AB ∥x 轴，AB =6，点A 的坐标为（1，-4），点D 的坐标为（-3，4），点B 在第四象限，点P 是□ABCD 边上一个动点．（1）若点P 在边BC 上，PD =CD ，求点P 的坐标．（2）若点P 在边AB 、AD 上，点P 关于坐标轴对称的点Q ，落在直线1y x =-上，求点P 的坐标．（3）若点P 在边AB ，AD ，CD 上，点G 是AD 与y 轴的交点，如图2，过点P 作y 轴的平行线PM ，过点G 作x 轴的平行线GM ，它们相交于点M ，将△PGM 沿直线PG 翻折，当点M 的对应点落在坐标轴上时，求点P 的坐标（直接写出答案）．35．（2017衢州，第24题，12分）在直角坐标系中，过原点O 及点A （8，0），C （0，6）作矩形OABC 、连结OB ，点D 为OB 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE ，作DF ⊥DE ，交OA 于点F ，连结EF ．已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t 秒．（1）如图1，当t =3时，求DF 的长．（2）如图2，当点E 在线段AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan ∠DEF 的值．（3）连结AD ，当AD 将△DEF 分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t 的值．36．（2017金华，第24题，12分）如图1，在平面直角组坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O （0，0），A （3，33、B （9，53），C （14，0），动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA ﹣AB ﹣BC 运动，在OA 、AB 、BC 上运动的速度分别为3，3，52（单位长度/秒），当P 、Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动．（1）求AB 所在直线的函数表达式；（2）如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值；（3）在P 、Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．37．（2017海南省，第24题，16分）抛物线23y ax bx =++ 经过点A （1，0）和点B （5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x =+ 相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC 、PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．38．（2017天门，第25题，12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的边AD 在x 轴上，点C 在y 轴的负半轴上，直线BC ∥AD ，且BC =3，OD =2，将经过A 、B 两点的直线l ：y =﹣2x ﹣10向右平移，平移后的直线与x 轴交于点E ，与直线BC 交于点F ，设AE 的长为t （t ≥0）．（1）四边形ABCD 的面积为；（2）设四边形ABCD 被直线l 扫过的面积（阴影部分）为S ，请直接写出S 关于t 的函数解析式；（3）当t =2时，直线EF 上有一动点，作PM ⊥直线BC 于点M ，交x 轴于点N ，将△PMF 沿直线EF 折叠得到△PTF ，探究：是否存在点P ，使点T 恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2017湖北省十堰市，第25题，12分）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A （1，0），B （m ，0），与y 轴交于C ．（1）若m =﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物线上有一点E ，使103ACE ACD S S ∆∆=，求点E 的坐标；（3）如图2，设F （﹣1，﹣4），FG ⊥y 于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使∠OBP =∠FPG ？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．40．（2017湖北省咸宁市，第24题，12分）如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB =OC =6．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠F AB =∠EDB 时，求点F 的坐标；（3）平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ =12MN 时，求菱形对角线MN 的长．41．（2017湖北省恩施州，第24题，12分）如图，已知抛物线2y ax c 过点（﹣2，2），（4，5），过定点F （0，2）的直线l ：y =kx +2与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P 为y 轴上一点，以B 、C 、F 、P 为顶点的四边形是菱形，设点P （0，m ），求自然数m 的值；（4）若k =1，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得△QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．42．（2017湖北省武汉市，第24题，12分）已知点A （﹣1，1）、B （4，6）在抛物线2y ax bx =+上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F 的坐标为（0，m ）（m ＞2），直线AF 交抛物线于另一点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为H ．设抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连接FH 、AE ，求证：FH ∥AE ；（3）如图2，直线AB 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点．点P 从点C 出发，沿射线CD 方向匀速运动，速度2个单位长度；同时点Q 从原点O 出发，沿x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．43．（2017湖北省荆州市，第25题，12分）如图在平面直角坐标系中，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．44．（2017湖北省荆门市，第24题，12分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C=90°，OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N．（1）求点C的坐标；（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．45．（2017湖北省襄阳市，第25题，13分）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线24y ax bx =++过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．46．（2017湖北省鄂州市，第22题，9分）如图，已知BF 是⊙O 的直径，A 为⊙O 上（异于B 、F ）一点，⊙O 的切线MA 与FB 的延长线交于点M ；P 为AM 上一点，PB 的延长线交⊙O 于点C ，D 为BC 上一点且P A =PD ，AD 的延长线交⊙O 于点E ．（1）求证：BE CE =；（2）若ED 、EA 的长是一元二次方程0552=+-x x 的两根，求BE 的长；（3）若MA =62sin ∠AMF =13，求AB 的长．47．（2017湖北省鄂州市，第24题，12分）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使ACD PAC S S ∆∆=21，求点P 的坐标；（4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．48．（2017湖北省随州市，第25题，12分）在平面直角坐标系中，我们定义直线y =ax ﹣a 为抛物线 2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“梦想直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（2017黄冈，第24题，14分）已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t （s ）．（1）当t =1s 时，求经过点O ，P ，A 三点的抛物线的解析式；（2）当t =2s 时，求tan ∠QP A 的值；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM =2AM 时，求t （s ）的值；（4）连接CQ ，当点P ，Q 在运动过程中，记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．50．（2017湖北省黄石市，第25题，10分）如图，直线l ：y =kx +b （k ＜0）与函数4y x=（x ＞0）的图象相交于A 、C 两点，与x 轴相交于T 点，过A 、C 两点作x 轴的垂线，垂足分别为B 、D ，过A 、C 两点作y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ；直线AE 与CD 相交于点P ，连接DE ，设A 、C 两点的坐标分别为（a ，4a）、（c ，4c），其中a ＞c ＞0．（1）如图①，求证：∠EDP =∠ACP ；（2）如图②，若A 、D 、E 、C 四点在同一圆上，求k 的值；（3）如图③，已知c =1，且点P 在直线BF 上，试问：在线段AT 上是否存在点M ，使得OM ⊥AM ？请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．51．（2017湖南省岳阳市，第24题，10分）如图，抛物线223y x bx c =++经过点B （3，0），C （0，﹣2），直线l ：2233y x =--交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点，P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM ∥x 轴交l 于点M ，PN ∥y 轴交l 于点N ，求PM +PN 的最大值．（3）设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．52．（2016四川省自贡市）抛物线()240y x ax b a =-++>与x 轴相交于O 、A 两点（其中O 为坐标原点），过点P （2，2a ）作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （其中B 、C 不重合），连接AP 交y 轴于点N ，连接BC 和PC ．（1）32a =时，求抛物线的解析式和BC 的长；（2）如图1a >时，若AP ⊥PC ，求a 的值；（3）是否存在实数a ，使12AP PN =，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．53．（2016山东省泰安市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ．（1）求二次函数2y ax bx c =++的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．54．（2016山东省济南市）如图1，▱OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，OC =5，反比例函数my x=（x ＞0）的图象经过点A （1，4）．（1）求反比例函数的关系式和点B 的坐标；（2）如图2，过BC 的中点D 作DP ∥x 轴交反比例函数图象于点P ，连接AP 、OP ． ①求△AOP 的面积；②在▱OABC 的边上是否存在点M ，使得△POM 是以PO 为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．55．（2016山东省济宁市）已知点P （0x ，0y ）和直线y =kx +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k-++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离．解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7．所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d 0021kx y b k -++23(1)271k ⨯--++1010．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由；（3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．56．（2016广西河池市）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．57．（2016广西百色市）正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线L 经过O 、P 、A 三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O 、P 、A 三点坐标； ②求抛物线L 的解析式；（2）求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．58．（2016广西贵港市）如图，抛物线25y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE =S △ABC 时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP =∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．59．（2016广西贺州市）如图，矩形的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（10，8），沿直线OD 折叠矩形，使点A 正好落在BC 上的E 处，E 点坐标为（6，8），抛物线2y ax bx c =++经过O 、A 、E 三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求A D 的长；（3）点P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD 的周长最小时，求点P 的坐标．60．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第26题，13分）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交的于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点（P 不与C ，B 两点重合），过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值．61．（2016内蒙古赤峰市）（12分）如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧OB的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．62．（2016内蒙古赤峰市）（14分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．63．（2016吉林省）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴正半轴上，OB 的长度为2m ，以OB 为边向上作等边三角形AOB ，抛物线l ：2y ax bx c =++经过点O ，A ，B 三点．（1）当m =2时，a = ，当m =3时，a = ；（2）根据（1）中的结果，猜想a 与m 的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x 轴的平行线交抛物线l 于P 、Q 两点，PQ 的长度为2n ，当△APQ 为等腰直角三角形时，a 和n 的关系式为；（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB 与△APQ 的面积比．64．（2016天津市）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B （0，3），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A ′BO ′，点A ，O 旋转后的对应点为A ′，O ′，记旋转角为α．（1）如图①，若α=90°，求AA ′的长；（2）如图②，若α=120°，求点O ′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA 上的一点P 旋转后的对应点为P ′，当O ′P +BP ′取得最小值时，求点P ′的坐标（直接写出结果即可）65．（2016四川省凉山州）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；。

北京市2018年中考数学二模试题汇编代几综合题(无答案)

代几综合题2018昌平二模28.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、B 、C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是；（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形； ②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．y xxy yx2018朝阳二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y =x 时， ①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标. （2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．2018东城二模28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)C t +， ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.2018房山二模28. 已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（－12，32），M（0，－1）中，⊙O的“关联点”为；（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为 5 ，求n的值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线443y x=-+与x轴，y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.2018丰台二模28．在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q ，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ -+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=. 已知点A (1，0)、点B (-1，4).（1）则_______=AO D ，_______=BO D ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标；（3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.2018海淀二模28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．2018平谷二模28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，○1点()120P-，，()211P，，()322P，中，⊙O的“美好点”是；○2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．2018石景山二模28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意点P ，给出如下定义：若⊙P 的半径为1，则称⊙P 为点P 的“伴随圆”．（1）已知，点()1,0P ，①点1,2A ⎛⎝⎭在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； ②点()1,0B -在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；（2）若点P 在x 轴上，且点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切，求点P 的坐标；（3）已知直线2+=x y 与x 、y 轴分别交于点A ，B ，直线2-=x y 与x 、y 轴分别交于点C ，D ，点P 在四边形ABCD 的边上并沿DA CD BC AB →→→的方向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．2018西城二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q ，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）2018怀柔二模28. A 为⊙C 上一点，过点A 作弦AB ，取弦AB 上一点P ，若满足131<≤ABAP ，则称P 为点A 关于⊙C 的黄金点．已知⊙C 的半径为3，点A 的坐标为（1，0）． (1)当点C 的坐标为（4，0）时，①在点D （3，0），E （4，1），F （7，0）中，点A 关于⊙C 的黄金点是； ②直线3333-=x y 上存在点A 关于⊙C 的黄金点P ，求点P 的横坐标的取值范围； (2)若y 轴上存在．．点A 关于⊙C 的黄金点，直接写出点C 横坐标的取值范围．2018门头沟二模28.在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直”表示.线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中以(3,0)W-为圆心，半径为2的圆上.（1）已知弦MN长度为2.①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d的长度；中的取值范围.②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d中（2）已知点(5,0)y x=-，求到直线2=-的dy xM-,点N为⊙W上的一动点，有直线2中备用图2018顺义二模28．已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果a ≤PQ ，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”．在平面直角坐标系xOy 中，若A (-1，1)，B (-1，-1)，C (1，-1)，D (1，1) ．（1）在11(,0)2-P ，21(2P ，3P 中，正方形ABCD 的“关联点”有；（2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线y 上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线1+y 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点．如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围．。

专题40 代数综合压轴题-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)

专题40 代数综合压轴题（原卷版）类型一配方法的应用1．（2022•南京模拟）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．2．（2022秋•和平区校级期末）已知多项式A＝2x2+my﹣12，B＝nx2﹣3y+6．（1）若（m+2）2+|n﹣3|＝0，化简A﹣B；（2）若A+B的结果中不含有x2项以及y项，求m+n+mn的值．3．已知a+b+c＝1，b2+c2﹣4ac+6c+1＝0，求abc的值．类型二一元二次方程与二次函数的综合4．（2011•东城区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0．（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；（2）若a：b＝2：3，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值；（3）在（2）的条件下，二次函数y＝x2+2ax+b2的图象与x轴的交点为A、C（点A在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D．若点P（x，y）是四边形ABCD边上的点，试求3x﹣y的最大值．5．（2021秋•沙市区校级期中）已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1＝0（m为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点．类型三含参二次函数6．（2021•邯郸模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）．（1）若抛物线过点A（﹣1，6），求出抛物线的解析式；（2）当1≤x≤5时，y的最小值是﹣1，求1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y＝﹣x+1与抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a＞0）存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；（4）如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．7．（2022•河南模拟）已知二次函数y＝（t+1）x2+2（t+2）x+32在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；（3）把二次函数的图象与x轴两个交点之间的部分记为图象G，把图象G向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为M，请结合图象回答：当（2）中得到的直线与图象M有公共点时，求n的取值范围．8．已知抛物线y＝mx2+（3﹣2m）x+m﹣2（m≠O）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m＝1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′，Q，P 三点，画出抛物线草图．9．（2020•西青区二模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（I）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标及对称轴；（II）①试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将该抛物线沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C1，直接写出C1的解析式；（III）若（II）中抛物线C1的顶点到x轴的距离为2，求a的值．类型四二次函数与几何综合10．（2022•东海县一模）如图，已知抛物线y=―12x2+32x+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在抛物线y=―12x2+32x+2上，若x1+x2＝1，请证明：y1＞y2；（3）已知点M是线段BC上的动点，点N是线段BC上方抛物线上的动点，若∠CNM＝90°，且△CMN 与△OBC相似，试求此时点N的坐标．11．（2021秋•越秀区校级期中）已知抛物线y＝x2+2ax+a2﹣2（a为常数）．（1）求证：无论a取任何实数，此抛物线与x轴总有两个不相同的交点；（2）抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，抛物线顶点为点D．①若x1，x2是直角三角形两条直角边的长，该直角三角形斜边长为4，求a的值；②点E在抛物线对称轴上，△BDE是等腰三角形，求出点E的纵坐标．类型五一次函数与二次函数的综合实际应用12．（2022•铁西区二模）某商家经销一种绿茶，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量随销售单价的变化而变化，具体变化规律如表：…70758085…x…销售单价（元/千克）月销售量…1009080 … …（千克）（1）请根据上述关系，完成表格．（2）用含有×的代数式表示月销售利润；并利用配方法求月销售利润最大值；（3）在第一个月里，按月销售利润取最大值时的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元；且加上其他费用3000元．若商家要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？类型六绝对值概念的应用13．（2021秋•姜堰区期中）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N两点之间的距离MN．小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为m＞n，所以有以下情况：情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN ＝m﹣n．【应用】在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．（1）若b＝1，AB＝2，则a＝　．（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．①当n=12时，求c的值；②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围．（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．。

新人教版八年级数学下册考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题

考点综合专题：一次函数与几何图形的综合问题——代几综合，明确中考风向标◆类型一一次函数与面积问题1．如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B 的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为________．2．如图，直线y＝－2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.【易错7】(1)求A，B两点的坐标；(2)过B点作直线BP与x轴相交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积．3．如图，直线y＝－x＋10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为(8，0)，点P(x，y)是在第一象限内直线y＝－x＋10上的一个动点．(1)求△OPA的面积S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．◆类型二一次函数与三角形、四边形的综合4．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为(－1，1)，顶点B在第一象限，若点B在直线y＝kx＋3上，则k的值为________．第4题图第5题图5．(2016·温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是()A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10◆类型三一次函数与几何图形中的规律探究问题6．(2017·安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y 轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n－1B n顶点B n的横坐标为________．第6题图第7题图7．★(2016·潍坊中考)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x－1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，…，正方形A n B n C n C n－1，使得点A1，A2，A3，…在直线l上，点C1，C2，C3，…在y轴正半轴上，则点B n的坐标是________．参考答案与解析1．16解析：如图，∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝BC2－AB2＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x －6上，∴2x －6＝4，解得x ＝5.即OA ′＝5，∴CC ′＝AA ′＝5－1＝4.∴S ▱BCC ′B ′＝CC ′·CA ＝4×4＝16.即线段BC 扫过的面积为16.2．解：(1)令y ＝0，则－2x ＋3＝0，解得x ＝32；令x ＝0，则y ＝3，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，点B 的坐标为(0，3)．(2)由(1)得点A ⎝⎛⎭⎫32，0，∴OA ＝32，∴OP ＝2OA ＝3，∴点P 的坐标为(3，0)或(－3，0)，∴AP ＝OP －OA ＝32或AP ＝OP ＋OA ＝92，∴S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×92×3＝274或S △ABP ＝12AP ·OB ＝12×32×3＝94.综上所述，△ABP 的面积为274或94. 3．解：(1)∵点P 在直线y ＝－x ＋10上，且点P 在第一象限内，∴x >0且y >0，即－x＋10>0，解得0<x <10.∵点A (8，0)，∴OA ＝8，∴S ＝12OA ·|y P |＝12×8×(－x ＋10)＝－4x ＋40(0<x <10)．(2)当S ＝10时，即－4x ＋40＝10，解得x ＝152.当x ＝152时，y ＝－152＋10＝52，∴当△OP A 的面积为10时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫152，52.4．－2 5.C6．2n ＋1－2 解析：由题意得OA ＝OA 1＝2，∴OB 1＝OA 1＝2，B 1B 2＝B 1A 2＝4，B 2A 3＝B 2B 3＝8，∴B 1(2，0)，B 2(6，0)，B 3(14，0)….∵2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴B n的横坐标为2n ＋1－2.故答案为2n ＋1－2.7．(2n －1，2n －1) 解析：∵y ＝x －1与x 轴交于点A 1，∴点A 1的坐标为(1，0)．∵四边形A 1B 1C 1O 是正方形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴点B 1的坐标为(1，1)．∵C 1A 2∥x 轴，点A 2在直线y ＝x －1上，∴点A 2的坐标为(2，1)．∵四边形A 2B 2C 2C 1是正方形，∴A 2B 2＝A 2C 1＝2，∴点B 2的坐标为(2，3)，同理可得点B 3的坐标为(4，7)．∵B 1(20，21－1)，B 2(21，22－1)，B 3(22，23－1)，…，∴点B n 的坐标为(2n －1，2n －1)．（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

北京中考数学拉分题

北京中考数学对于大家来说，能拉开差距的是：一、新题型：有8题，12题，和22题；二、压轴题：23代数压轴题、24和25分别是几何压轴题和代几压轴题！后2个题目哪个难，哪个放到最后！（有时候也有微小的变化，要注意看考试说明和研究一模和二模）！先说说代几综合题：这个题型以求二次函数解析式为出发点，进而研究二次函数动点问题几乎是各个地区中考压轴题必考知识，北京也不例外!但是大家别着急这种题目真的是有规律可寻找的！基本类型可分为：因动点产生的三角形问题，包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、相似三角形！每种方式解题上都有些较为固定的方法。

只要掌握了方法，105分左右的人照样能做压轴题！因动点产生的四边形问题，主要考察平行四边形和梯形，有时候也考察菱形和矩形。

其中平行四边形又分为：①、3个定点一个动点。

②、2个定点，2个动点。

只要肯下功夫2种情况都能找到很好的解题方法。

因动点产生的面积问题，包括等积变形、面积相等、面积定值、面积倍数关系、面积几等分、面积和差、面积最值等。

因动点产生的角度问题，包括定角问题、等角问题、角度和差问题、角度不等式等。

其中尤其是45°角问题，北京特别喜欢考！对于学生来说，难度较大！因动点产生的线段问题，包括线段最值——最大、最小；线段和差、线段乘积、线段比的定值或最值问题。

这一类北京没有考过，估计也不会考，因为他的难度太大，要参加四中提招考试的有必要掌握（还有，既然不超中考范围，就应该掌握，因为考也是应该的！）最大最小又有如下多的考法：①诸如将军饮马问题的模型5种，那是必须掌握的，今年考这个的可能性还是很大的。

②直线外一点到直线的所有的线段中，垂线段最短。

②最值在二次函数中，多数是将线段用含有二次函数的解析式表示，配方求最大或最小。

③但是其他省市已经有将几何图形种最值考出来了，难度颇大。

二次函数与几何变换，包括全等和相似；全等中三大变换就很难了，在放到二次函数中，发现学生基本上是不会的！2010石景山一模就是很明显，很多人做起来无从下手。

广西南宁历年中考数学代几综合压轴题(第26题)

历年中考第26题（2004年—2012年）（2004年）26某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m ，20m 的梯形空地上种植花木（如图10-1）（1）他们在△AMD 和BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图10-2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P ，使得△APB ≌△DPC 且S △APD = S △BPC ，并说出你的理由.考点：相似三角形的应用；梯形．专题：压轴题．分析：（1）由太阳花的单价和钱数可先求出△AMD 的面积，再由AD ∥BC 证出△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得出△BMC 的面积，从而算出所要花费的钱数；（2）由△AMD ∽△CMB ，根据相似三角形对应高的比等于它们的相似比，可求出两三角形AD 与BC 边上的高之比，再根据三角形的面积公式可求出AD 边上的高，从而可求出整个梯形的高及面积．进而求出三角形AMB 和三角形DCM 的面积和，然后根据两种花的单价来计算哪种花合算；（3）由（2）可知整个梯形高为12，要保证△APB ≌△DPC 且S △APD =S △BPC ，P 点必须在AD 和BC 的垂直平分线上，且P 到AD 的距离是P 到BC 距离的2倍，即到AD 的距离应该为8．（2005年） 26. OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6。

（1）如图所示，在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B’点，求B’点的坐标；（2）求折痕CM 所在直线的解析式；（3）作B’G//AB 交CM 于点G ，若抛物线y x m =+162过点G ，求抛物线的解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标。

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24. 如图，在平面直角坐标系中，直线
1(0)
2
y x b b =-
+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)
C ，、
(80)
D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重叠部
分的面积为S ．
（1）求点E 、F 的坐标；
（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；
（3）若在直线1(0)
2
y x b b =-
+>上存在点
Q
，使
O Q C
∠等于90
，请直接写出b 的取值范围．
25．已知抛物线2
23
y x bx c
=-
++与x 轴交于不同的两点
()
10A x ，和
()
20B x ，，与y 轴交于点C ，且
12
x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知：反比例函数2y x
=
和8y x
=
在平面直角坐标
系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在
8y x
=
的图象上，AB ∥y 轴，与2y x
=
的图象交于点B ，
AC 、BD 与x 轴平行，分别与
2
y x =
、8
y x =
的图象交于点C 、D.
（1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；
（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小，并说明理由；（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.
24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线36
4
y x =-
+与x 轴、y 轴的交点分
别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C. （1）直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T ，Q 为线段BT 上一点，直接写Q A Q O
-的取值范
围
09海淀一模
25．已知抛物线经过点 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x 轴正半轴交于点D. （1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）在x 轴上求一点E, 使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF//BC, 与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E 'FG . 设P （x, 0）, △E 'FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.
24．（本小题满分7分）如图，抛物线
两点
轴交于与B A x bx ax
y ,32
-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．
（I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；
（III ）直线
1
31+-
=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶
点．若α=∠DBC ， βαβ-=∠求,CBE 的值．
24．已知抛物线
1
C ：2
2
221y ax amx am m =-+++(0,1)a m >>的顶点为A ，抛物线2C
的对称轴是y
轴，顶点为点B ，且抛物线1
C 和
2
C 关于P （1，3）成中心对称.
（1）用m 的代数式表示抛物线1
C 的顶点坐标；
（2）求m 的值和抛物线2
C 的解析式；
（3）设抛物线2
C 与x 轴正半轴的交点是C ，当ABC ∆为等腰三角形时，求a 的值.
24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OA ＝3，OC ＝2.动点D 在线段BC 上移动（不与B 、C 重合），连结OD ，作DE ⊥OD 交边AB 于点E ，连结OE.设CD 的长为t.
（1）当t ＝1时，求直线DE 的解析式；
（2）设梯形COEB 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）是否存在t 的值，使得OE 的长取得最小值？若存在，求出此时t 的值并求出点E 的坐标；若不存在，
请说明理由.
25．已知：在平面直角坐标系
xO y
中，二次函数2
y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 在
点B 的左侧，直线3y kx =+与该二次函数的图象交于D 、B 两点，其中点D 在y 轴上，点B 的坐标为（3，0）.
（1）求k 的值和这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C ，点F 为线段DB 上的一点，且使得∠DCF=∠ODB ，求出此时点F 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点P 为直线DB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E.问：是否存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.
24．已知二次函数图象的对称轴为直线2x =，经过两点（0，3）和（－1，8），并与x 轴的交点为B 、C （点C 在点B 左边），其顶点为点P. （1）求此二次函数的解析式；
（2）如果直线y x =向上或向下平移经过点P ，求证：平移后的直线一定经过点B ；
（3）在（2）的条件下，能否在直线y x =上找一点D ，使四边形OPBD 是等腰梯形，若能，请求出点D 的坐标；若不能，请简要说明你的理由. 08西城二模
24．如图,在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线c x ax y ++=322
经过点A(-2,0)和原点O ，顶点是D. (1)求抛物线
c
x ax
y ++=322
的解析式;
(2)在x 轴的上方的抛物线上有点M,连接DM 与线段OA 交于N 点,若ODN
MON S S ∆∆:=2:1,求点M 的坐标;
(3)若点H 是x 轴上的一点,以H 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一个顶点F 在y 轴上，写出H 点的坐标。

（直接写出答案，不要求计算过程）.
A B
C
D
E
P
23.如图,梯形ABCD 中,BC//AD,︒
=∠90BAD ,AD=18,BC=24,AB=m.
在线段BC 上任取一点P,连结DP,作射线DP PE ⊥,PE 与直线AB 交于点E. 当CP=6时, 试确定点E 的位置;
若设CP=x,BE=y,写出y 关于x 的函数关系式; 在线段BC 上能否存在不同的两点21P P 、使得按上述
作法得到的点E 都分别与点A 重合,若能,试求出此时m 的取值范围，若不能,请说明理由.
08丰台二模
24．抛物线2
y ax bx c =++交x 轴于A B ，两点，交y 轴于点C ，对称轴为直线1x =。

且A 、C 两点的坐标分别为
(10)
A -，，
(03)
C -，．
（1）求抛物线2
y ax bx c =++的解析式；（2）求AOC △和BOC △的面积的比；
（3）在对称轴上是否存在一个点P ，使PAC △的周长最小．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
08东城二模 24．已知抛物线2
2
y
ax bx =++的图像经过点A 和点B ．
（1）求该抛物线的解析式；
(2) 把(1)中的抛物线先向左平移1个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AB 只有一个交点? 写出此时抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线向右平移5
2个单位，再向下平移t 个单位（t>0），此时，抛物线与x 轴交于M 、N 两点，直线AB 与y 轴交于点P ，当t
为何值时，过M 、N 、P 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
08朝阳二模
如图，△AOC 在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O 为坐标原点，点A 、C 分别在坐标轴上，AO=4，OC=3，将△AOC 绕点C 按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为△CA′O′．
当CA 边落在y 轴上（其中旋转角为锐角）时，一条抛物线经过A 、C 两点且与直线AA′ 相交于x 轴下方一点D ，如果
AOD
S ∆=9，求这条抛物线的解析式；
继续旋转△CA′O′，当以CA′为直径的⊙P 与（1）中抛物线的对称轴相切时，圆心P 是否在抛物线上，请说明理由．
解：（1）。