《7.2 复数的四则运算》名校名师PPT课件
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2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第五章-§2复数的四则运算
高中数学
必修第二册
北师大版
新知学习
一、复数的加法与减法
1.复数的加法与减法
两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们
的虚部的和.也就是：（ + i） + （ + i）＝（ + ） + （ + ）i.
名师点析
（1）复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加.很明显，两个复数的和仍然是一个确定的
根据平面向量的坐标运算，得1 +2 ＝（ + ， + ）.
这说明两个向量1 ，2 的和就是与复数（ + ）+（ + ）i对应的向量.
因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义.
高中数学
必修第二册
北师大版
二、复数的乘法与除法
1.复数的乘法
（ + i）（ + i）＝（ − ） + （ + ）i.
解：（方法1）原式＝（1-2+3-4+…+2 017-2 018）+（-2+3-4+5+…-2 018+2 019）i＝-1 009+1 009i.
（方法2）（1-2i）-（2-3i）＝-1+i，（3-4i）-（4-5i）＝-1+i，…，（2 017-2 018i）-（2 018-2 019i）＝-1+i.
解析：＝（1+i）（1+2i）＝1+2i+i+2i2＝1+2i+i-2＝-1+3i，∴ ||＝
.
−1
2
+ 32 ＝ 10.
复数的四则运算公开课完整ppt课件
z1-z2＝(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)＋(b-d)i
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
2、复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是
任意两个复数，则它们积为
z1•z2＝(a＋bi)•(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i 3、(复a数b的i) 除(法c：di)abi (abi)(cdi)
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
问题：复数集是实数集的扩展，如何规定 复数的运算？
1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加(减).
一复习引入
4. 两个复数相等
设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2
a
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c,
d
即实部等于实部,虚部等于虚部.
特别地，a+bi=0 a=b=0 .
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?
答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
x2 x24,
x2 3x220.
解得
x 3或x 2 x 3或x 6
所以 x3．
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
《复数四则运算》课件
复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03
7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)
解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义
复数的四则运算市公开课(一等奖)ppt课件
的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作
a bi
（a+bi）÷ （c+di) 或
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di)(c
di)
di)本质：分母实数化,OK
ac
bd (bc c2 d2
ad
)i
ac c2
bd d2
【例3】求值：i i2 i3 i2009
解：原式 （i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） ... （i2005 i2006 i2007 i2008） i2009
0 i1 i
13
3. 共轭复数的概念、性质：
(1)定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数
则(a bi)2 3 4i，
a2 2ab
b
2 4
3，
解得：ba
12，或ba
-2 .
-121
例3．设关于 x 的方程
x2 (tan i)x (2 i) 0 ( R)
若方程有实数根，求锐角 的值, 并求出
方程的所有根．
1 i
④1
⑤ i 2002+( 2 + 2 i)8 ( 2 )50
1i
⑤ －1＋256 i
20
例2.
⑴、已知复数z的平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;
⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
(1)由题意，知：z (3 4i)2，
7 24i.
高中数学新教材第二册第七章《7.2复数的四则运算》全套课件
解: (5 6i) (2 i) (3 4 i) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi，z2=c+di， 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i； z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对 任何z1，z2，z3∈C，有:
=(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·z2=z2·z1
(交换律)
3.乘法运算律
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C. 有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例题分析：
例2.计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
Z Z Z • Z a2 b2 | Z |2 | Z |2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 • Z2 Z1 • Z2
zR z z
z为纯虚数 z 0,且z z
7.复数的除法法则
探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探
究复数除法的法则. 满足(c di)(x yi) a bi(c di 0)的复数x yi
总结：复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi，z2=c+di， 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i； z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对 任何z1，z2，z3∈C，有:
=(ac-bd)+(ad+bc)i ∴z1·z2=z2·z1
(交换律)
3.乘法运算律
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C. 有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例题分析：
例2.计算：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
Z Z Z • Z a2 b2 | Z |2 | Z |2
Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 • Z2 Z1 • Z2
zR z z
z为纯虚数 z 0,且z z
7.复数的除法法则
探究：我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探
究复数除法的法则. 满足(c di)(x yi) a bi(c di 0)的复数x yi
总结：复数加、减法的运算法则：
已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）
(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
《复数的四则运算》优质课PPT课件
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
2．(1)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)复数 z＝3－14－i1i＋4 i2(其中 i 是虚数单位)，则 z·－z 的值为
___________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)由已知得 4a＋(a2－4)i＝－4i，
(3)复数相等的充要条件：
a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且___b_＝__d___(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝___0_ (a，b∈R)．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．复数的几何意义
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复 数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复 数乘、除等基本运算．
(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算 把复数化为 a＋bi 的形式，然后从定义出发，把复数问题 转化为实数问题来处理．
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)表示－z 的点与表示 z 的点关于实轴对称， 所以表示－z 的点为 B. (2)根据题意，画出示意图：
①因为 AD ＝ BC ＝ AC － AB ，所以 AD 对应的复数为 (－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i. ②因为 OD － OA ＝ AD ，所以 OD ＝ OA ＋ AD ， 所以 D 对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.
7.2复数的四则运算-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
02
仍然是一个确定的复数
03
01
复数的加法运算律
01
（对任意 z1，z 2，z 3 ∈C,有
02
（1）交换律：z1 + z 2 = z 2 + z1
03
（2）结合律：（z1 + z 2）+ z 3 = z1+（z 2 + z 3 ）
01 复数的减法法则
02
设 z1 =a+bi，z2 =c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，
经典例题
解析
【答案】5+i 1+7i 【分析】 根据加法法则（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3;bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3-2）+（4+3）i=1+7i
经典例题
例2
已知复数z1=2+4i,z2=6+2i， 求z1z2，z1÷z2
经典例题
解析
【答案】4+28i 1/2+1/2i 【分析】 根据乘法法则（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+bdi²=（ac-bd)+(ad+bc)i带入 （2×6-4×2）+（2×2+4×6）i=4+28i 根据除法法则（a+bi）÷（c+di）= ac bd + bc ad i带入
第七章复数
7.2复数的四则运算
学习目标
01
复数的加、减法法则
02
复数的乘、除法法则
03
仍然是一个确定的复数
03
01
复数的加法运算律
01
（对任意 z1，z 2，z 3 ∈C,有
02
（1）交换律：z1 + z 2 = z 2 + z1
03
（2）结合律：（z1 + z 2）+ z 3 = z1+（z 2 + z 3 ）
01 复数的减法法则
02
设 z1 =a+bi，z2 =c+di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，
经典例题
解析
【答案】5+i 1+7i 【分析】 根据加法法则（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3;bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i带入 （3-2）+（4+3）i=1+7i
经典例题
例2
已知复数z1=2+4i,z2=6+2i， 求z1z2，z1÷z2
经典例题
解析
【答案】4+28i 1/2+1/2i 【分析】 根据乘法法则（a+bi）（c+di）=ac+bci+adi+bdi²=（ac-bd)+(ad+bc)i带入 （2×6-4×2）+（2×2+4×6）i=4+28i 根据除法法则（a+bi）÷（c+di）= ac bd + bc ad i带入
第七章复数
7.2复数的四则运算
学习目标
01
复数的加、减法法则
02
复数的乘、除法法则
03
《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = ,
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=
.③
= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+
= , −
= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +
= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=
−
−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与
7.2.2复数的乘、除运算 课件(共32张PPT)
第七章 §7.2 复数的四则运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝___1__. 解析 因为(3－4i)z＝4＋3i， 所以 z＝43＋－34ii＝43＋ －34ii33＋ ＋44ii＝2255i＝i. 则|z|＝1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 ， 其 桥 梁 是 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
(1)－4－3i； 解 －24－－i3i＝－24－－i3i－－4＋4＋3i3 i＝－8＋62i5＋4i＋3＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
1＋2i2＋31－i
(2)
；
2＋i
解 1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i＝15＋25i.
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝___1__. 解析 因为(3－4i)z＝4＋3i， 所以 z＝43＋－34ii＝43＋ －34ii33＋ ＋44ii＝2255i＝i. 则|z|＝1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 ， 其 桥 梁 是 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
(1)－4－3i； 解 －24－－i3i＝－24－－i3i－－4＋4＋3i3 i＝－8＋62i5＋4i＋3＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
1＋2i2＋31－i
(2)
；
2＋i
解 1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i＝15＋25i.
新教材人教A版高中数学必修第二册7.2复数的四则运算 精品教学课件
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝____(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i___， z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.
2.复数加法的运算律
(1)交换律：__z_1_＋__z_2＝__z_2_＋__z1__； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z_1_＋__(_z2_＋__z_3)__.
(1)―AO→表示的复数； (2)对角线―CA→表示的复数； (3)对角线―O→B 表示的复数.
[解] (1)因为―AO→＝－―O→A ，所以―AO→表示的复数为－3 －2i.
(2)因为―CA→＝―O→A －―O→C ，所以对角线―CA→表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
A.8i
B.6
C.6＋8i
D.6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.
答案：B
2.设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2 在复平面内对应的点 位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2 在复平面内对应的点位于 第四象限.
形状？ 提示：正方形.
[学透用活] [典例 3] 设 z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2， 求|z1－z2|. [解] 法一：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0. ∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd) ＝2，∴|z1－z2|＝ 2.
《复数的加减乘除》课件
复数在物理学、工程学等领域中广泛应用，有 助于解决实际问题。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
数学人教A版(2019)必修第二册7.2复数的四则运算(共41张ppt)
2.加法法则
追问2：复数的加法满足交换律、结合律吗？
设两个任意复数 = + , = + , , , , , ∈ .
1 + 2 = + i + + i = + + + i.
2 + 1 = c + i + + i
= + + + i
= 1 + 2 .
所以2 + 1 = 1 + 2 ，复数的加法交换律成立.
类似的可得
1 + 2 + z3 = 1 + 2 + 3 .（加法结合律）
2.加法法则
探究2：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，
而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复
数加法的几何意义吗？
结合律同理可得。
z1
Z1 (, )
3.减法法则
探究3：我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数
减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
实数减法：若满足 + = (, ∈ )则称为减去的差。
复数减法：若满足 2 + = 1 (1 , 2 ∈ )则称为1 减去 的差。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈
+ i + + i
= + + + i.
①复数的和仍然是一个复数; ②加法法则对实数也成立.
2.加法法则
探究1：阅读教材75页，探究复数的加法法则。
设两个任意复数1 = + i, 2 = + i. , , , ∈
复数 7.2复数的四则运算(2个课时) 实用精品课件 同步课堂(人教A版2019必修第二册)
必修第二册第七章《复数》
7.2 复数的四则运算
必修第二册第七章《复数》
7.2.1 复数的加减运算及几何意义
1.复数的加法和减法的运算法则 P75-77
复数加法与减法的运算法则：实部和虚部分别相加/减
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i___. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有加法交换律：z1＋z2＝_z2_＋__z_1_，
(法1)两个复数对应的点为A(1,1), C(4,3). AC (1 4)2 (1 3)2 5.
(法2)AC OC OA AC对应的复数z (4 3i) (1 i) 3 4i.
z AC 5.
必修第二册第七章《复数》
7.2.2 复数的乘、除运算
1.复数的乘法法则：类似于多项式的乘法
(法1) | z | 2 : 点Z在圆心为O, r 2的圆上.
| z i | 表示点Z到点A(0,1)的距离| AZ | .
A
Z
O, A, Z不共线时,1 | AZ | 3.
O
O, A, Z共线时,| AZ | 1或3.
(法2)设z a bi,则| z | a2 b2 2,即a2 b2 4.
②若 b2 4ac 0, 方程系数化为1得x2 b x c 0,
aa
配方得(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
[(b2 4ac)] 4a2
[(b2 4ac)]i2 ， 4a2
x b 2a
(b2 4ac) i, x
b
2a
2a
b2 4ac i b 2a
b2 4ac i .
2a
7.2 复数的四则运算
必修第二册第七章《复数》
7.2.1 复数的加减运算及几何意义
1.复数的加法和减法的运算法则 P75-77
复数加法与减法的运算法则：实部和虚部分别相加/减
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则 z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i___. (2)对任意z1，z2，z3∈C，有加法交换律：z1＋z2＝_z2_＋__z_1_，
(法1)两个复数对应的点为A(1,1), C(4,3). AC (1 4)2 (1 3)2 5.
(法2)AC OC OA AC对应的复数z (4 3i) (1 i) 3 4i.
z AC 5.
必修第二册第七章《复数》
7.2.2 复数的乘、除运算
1.复数的乘法法则：类似于多项式的乘法
(法1) | z | 2 : 点Z在圆心为O, r 2的圆上.
| z i | 表示点Z到点A(0,1)的距离| AZ | .
A
Z
O, A, Z不共线时,1 | AZ | 3.
O
O, A, Z共线时,| AZ | 1或3.
(法2)设z a bi,则| z | a2 b2 2,即a2 b2 4.
②若 b2 4ac 0, 方程系数化为1得x2 b x c 0,
aa
配方得(x
b )2 2a
b2 4ac 4a2
[(b2 4ac)] 4a2
[(b2 4ac)]i2 ， 4a2
x b 2a
(b2 4ac) i, x
b
2a
2a
b2 4ac i b 2a
b2 4ac i .
2a
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
A.1＋2iB.12iC.2＋i D.2－i
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
高中数学必修二 《7 2 复数的四则运算》多媒体精品课件
(2)实数集中的乘法公式、幂的运算律，因式分解方法等在复数集中仍成 立．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)原式＝－1＋2＋23i i＝－12＋＋23ii11－－22ii ＝－2＋162＋＋223＋4i＝54＋57i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
中把 i2 换成 □02 －1
，并且把实部和虚部分别合并即可．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
知识点二
复数的乘法运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1z2＝z2z1；
结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
知识点三
复数的除法法则
[答案] (1)D (2)－20
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
答案
(1)复数的乘法可以把 i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2 化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母 实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只 需同时乘以 i)．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
知识点一
复数的乘法法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
计算：(1)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)原式＝－1＋2＋23i i＝－12＋＋23ii11－－22ii ＝－2＋162＋＋223＋4i＝54＋57i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
中把 i2 换成 □02 －1
，并且把实部和虚部分别合并即可．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
知识点二
复数的乘法运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有
交换律：z1z2＝z2z1；
结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
知识点三
复数的除法法则
[答案] (1)D (2)－20
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
答案
(1)复数的乘法可以把 i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2 化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母 实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只 需同时乘以 i)．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
知识点一
复数的乘法法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积
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证明：（（2）1）13(12
2
231i)3( 12(
1223i)
23(i12)2( 2312i )2
3 i) 2
(1
13
i
(
13)2i)2(1
1
3 i
(
33ii ))2
2 22 22 2 22 22
(
11 2
)2
3 2(
i
3 i14)2231i
433
1
22 0;
44
讲
课
人
：
邢
启 强
14
典型例题
特. 别地，|z|表示： 复__平__面__中__点__Z_与__原__点__间__
o
Z1(a，b)
x
的__距__离__._____________
如. ：|z+(1+2i)|表示：点Z(对应复数z)到
讲 课 人 ：
_点_(_-_1__，_-_2__)的__距__离__.___
邢
启 强
4
学习新知
1.复数的乘法法则：
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个 复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
说明： 1 | Z || Z |
Z Z
2 Z1 Z2 Z1 Z2
Z1 Z2 Z1 Z2
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
di )
a bi c di
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
3
6i 4i 32 42
8i 2
共轭复数)
5 10i 1 2 i
25
55
化简成代数形式 就得结果.
练习.计算
讲 课 人
⑴
(7
i
)
(3
4i
)
：
邢
启
强
⑵ (1 i )2 ⑶ 1 1
1 i
3 2i 3 2i 13
典型例题
例4.设
1
3i ，
22
求证：(1）1 2 0；（2） 3 1.
讲 课 人 ：
zz ?
邢
zz ?
启 强
7
巩固练习
口答：说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3i z =2-3i
⑵z= -6i z =6i ⑶z= 3 z=3
注意：
⑴当虚部不为0时的共轭复数称为共轭虚数
讲 课
⑵实数的共轭复数是它本身
人
：
邢
启 强
8
学习新知
5.思考：若z1,z2是共轭复数， 那么⑴在复平面内，它们所对应的点有怎
例5、下列命题中正确的是 (2)
(1)如果Z1
Z
2是实数，则Z1、Z
互为共轭复数
2
(2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。
(3)两个纯虚数的差还是纯虚数
(4)两个虚数的差还是虚数。
例6、下列命题中的真命题为：D
( A)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
(B)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
讲
的位置关系？
⑵z1·z2是一个怎样的数？
解：⑴作图
y
y
y
(a,b)
(0,b)
⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
o
x
(a,-b)
o
x
o
x
(a,o)
(0,-b)
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
z1=a+bi
z1=bi
z1=a
=a2-abi+abi-bi2
得出结论：在复平面内，
讲 共轭复数z1 ,z2所对应的点
课 人 ：
关于实轴对称。
邢
启
强
=a2+b2=|z|2
结论：任意两个互为共轭 复数的乘积是一个实数.
9
学习新知
那么复数的除法又应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类
比思考,我们可定义复数的除法: 定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的
复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
(C )若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
课
人 ： 邢 启 强
(D)若Z1
Z2
0,
则Z1与Z
互为共轭复数。
2
15
巩固练习
练习:
13 1.计算 (2 3i)(2 3i)
3-i 2.已知 (3 i)z 10 ,则 z _____.
2 3.已知 f ( x) x3 2x2 5x 2 ,则 f (1 2i) =_____.
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd) (bc ad)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
运算过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并.
(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
= (8 i)(1 3i)
我们知道多项式的乘法用
= 8 24i i 3i2
乘法公式可迅速展开, 运算, 类似地,复数的乘法也可大例2.计算(a+bi)(a-bi)
解:原式= a2 (bi)2 = a2 b2
讲
课 人 ： 邢
一步到位!
启 强
6
学习新知 二、共轭复数：
复数的四则运算
复习回顾
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 1.加法、减法的运算法则
(a+bi)±(c+di) =__(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i_.
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
2.加法运算律： 对任意z1，z2，z3∈C
有两种方法考虑: 法一:直接代入计算.
法二:由 x 1 2i 得 x2 2x 5 0
讲
整体代入妙!
课
人
：
邢
启 强
16
课堂小结
(1)复数乘法的运算法则、运算规律. (2)共轭复数概念. (3)复数除法运算法则
作业:
课本 P80 习题 7.2
第 3、（1）、（2）题.
第 4、（1）、（4）题.
交换律： z1+z2=z2+z1,
讲 课 人 ： 邢
结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
启 强
2
复习回顾
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 3.复数加、减的几何意义
设OZ1， OZ2分别与复数z1=a+bi，z2=c+di对应.
y
y
Z2(c，d)
Z
Z2(c，d)
i
c2 d2
c2 d2 c2 d2
讲
课
人 ： 邢 启
分母实数化
强
12
典型例题 例 3.计算(1 2i) (3 4 i)
解: (1 2i) (3 4i) 1 2i 3 4i
先写成分式形式
然后分母实数化
(1 2i)(3 4i)
即可运算.(一般分子
(3 4i)(3 4i)
分母同时乘以分母的
讲 第8题
课
人
：
邢
启 强
17
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ),
讲 课 人 ： 邢 启
z1 (z2
z3 )
z1 z2
z1 z3 .
强
5
典型例题
例1.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
解:原式= (6 4i 3i 2i2)(1 3i)
复数的乘法与多项式的 乘法是类似的.
Z1(a，b)
o
x
o
Z1(a，b)
x
讲课人向量OZ1+OZ2
： 邢 启 强
z1+z2 向量OZ1-OZ2
z1-z2
3
复习回顾
已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R)
4.复数模的几何意义： |z1-z2|表示： 复__平__面__中__点_
y
Z2(c，d)
Z_1_与__点__Z_2_间__的__距__离__.____
记为 (a bi) (c di)或 a bi . c di
即 a bi x yi ,那么 x ? , y ?
讲 课 人
c di
：
邢
启 强
10
学习新知
(a bi) (c di) a bi x yi ,那么 x ? , y ? c di
除法法则:
(a
bi) (c