数值计算方法-2

数值计算方法第章数值积分第2章-数值积分电子科技大学自动化工程学院彭晓明1要主要内容机械求积z1.机械求积z2.牛顿-柯特斯公式z3.龙贝格算法z4.高斯求积2机械求积z1.机械求积z2.牛顿-柯特斯公式z3.龙贝格算法z4.高斯求积3z 对于定积分问题()bI f x dx =¾如果很容易求得不定积分a ∫则I=F(b)F(a)()F f x dx=∫I=F(b)-F(a)¾但是，现实中这往往很困难，举例sin xi 4x 2sin xz 根据积分中值定理bx ξ=−即：存在一个底为(b a)()()()a f dx b a f ∫即：存在个底为(b-a)而高为f(ξ)的矩形，其面积等于所求积分。

z 现在的问题是，ξ是未知的！z 数值积分的基本思想是找到一种近的方法似f(ξ)的方法。

5z 举例¾梯形公式()[]()()b b a f x dx f a f b −=+∫2a ⎛¾中矩形公式()()2b aa b f x dx b a f +⎞=−⎜⎟∫Si ⎝⎠¾Simpson 公式bb a a b d −+⎡⎤⎛6()()4()62a f x dx f a f f b ⎞=++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫一般形式z 般形式取[a, b]内若干个节点x 处的函数值[,]k f(x k )，通过加权平均的方法生成)这类求积公式称f(ξ) ，这类求积公式称机械求积公式，可以表示为n b()()0k k a k f x dx A f x =≈∑∫求积节点7求积系数z特点¾求积系数A仅与积分节点x的选取k k有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式¾利用积分节点上的函数值计算积分值，从而把积分问题转化为函数值的计算8z数值求积方法是近似方法，自然希望对于“尽可能多”的函数是准确的。

z如果求积公式对于次数≤m的多项k(k=0,1,2,…,m)式x(k0, 1, 2,…,m)均能准确成立，但对x m+1不准确，则称机械求积公式具有m次代数精度。

式有z问题：梯形公式具有几次代数精度问题梯形公式具有几次代数精度？9n ⎧z 如果()()0bk k a k f x dx A f x ==⎪⎪∑∫()()n b k k a g x dx A g x ⎨⎪=∑∫0k =⎪⎩n ⎡¾f()()()()0()()b k k k a k f x g x dx A f x g x αβαβ=+=+⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∫如果求积公式对于f(x)和g(x)准确成立，则求积公式对于f(x)和g(x)的线性组合也准确成立。

10代数精度z 以代数精度作为标准构造求积公式¾令求积公式对f(x)=x k (k=0, 1,均能准确成立构造求积2,…,m)均能准确成立，即构造求积系数满足系数，满足求积公式具有m 次代数精度⎧0122n A A A b a ""+++=−⎪=−0011()/2n n A x A x A x b a ""+++⎪⎨⎪11110011()/(1)m m m m m n nA x A x A x b a m "++⎪+++=−+⎩z (k=0,1,设已给出f(x)在插值节点x k (k 0, 1, 2,…,n)处的函数值，作插值多项式()()()nn k k p x f x l x =∑0k =nj x x l x −=¾()0k j k jj kx x =≠−∏p n (x)是次数≤n 的多项式)=f(x ¾p n (x k )f(x k )12(x)z 利用p n (x) 取代f(x)做积分bbx ≈¾由于()()n aaf dx p x dx∫∫()()()()()nnbb bn kkkkp x dx f x l x dx f x l x dx==∑∑∫∫∫对比aaa k k ==()nkkA f x ∑0k =bd可知这时13()k k aA l x dx =∫z 所谓“插值型的求积公式”有两重所谓插值型的求积公式有两重含义¾插值函数p n (x) 取代f(x)做积分bbx dx p x dx≈()()n aaf ∫∫¾积分系数A k 可以表示为bd14()k k a A l x dx =∫z 由于¾任意次数≤n 的多项式f(x)的插值多()项式p n (x)就是其本身，所以b bd d 至少具有n 次代数()()n a a f x dx p x dx ≈∫∫精度¾如果至少具有n 次()()bbnaaf x dx p x dx ≈∫∫代数精度，则n15()()b k j k j kaj l x dx A l x A ===∑∫•以下回顾拉格朗日插值多项式16z 一般情形般情形¾l (x)的构造k ()则()0,k ≠⎧如果满足，则p n (x)()1,k j j l x j k=⎨=⎩满足条件，意味着()()nk j l x c x x =−∏17标量0j j k=≠z 一般情形般情形¾l (x)的构造k ()根据()1n和l k (x k )=1，()0()k j j l x c x x ==−∏我们有n−j k≠()0j j k x x l x x x ==−∏18jj k ≠z 所以求积公式具有n 次代数精度的充要条件是它是插值型的。

z 求解A k 的方法⎧0122n A A A b a ""+++=−⎪=−方法10011()/2n n A x A x A x b a ""+++⎪⎨⎪110011()/(1)m m m m m n nA x A x A x b a m "++⎪+++=−+⎩19()bk k a A l x dx=∫方法2z 方法2举例构造下列形式的插值型求积公式1113x dx A f A f A f ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎜⎜⎜≈++⎟⎟⎟⎜⎜⎜0120()424f ⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫2bd ()003a A l x dx ==∫()1113b a A l x dx ==−∫20()2223b a A l x dx ==∫机械求积z1.机械求积z2.牛顿-柯特斯公式z3.龙贝格算法z4.高斯求积21形式z [a,b]h=(b-将区间[a, b]分为n 等份，步长h (b a)/n ，积分节点选取为等分点构出x k =a+kh(k=0, 1, 2,…,n)，构造出下面的插值型求积公式nx 称为(N t ()()0n k k k I b a C f ==−∑柯特斯系数n 阶“牛顿-柯特斯(Newton-”公式。

nCotes)公式。

22()nk kk I A f x ==∑z 令x=a+th, 则1n −0b jk aj kjx xC b a xx ==−−∏∫j k≠=−=∏¾”The Calculus of ()(),0,1,2,...,!!t j dt k nn k n k ⋅−∫具体推导过程见” The Calculus of Observations A Treatise on152156p.152-156z -1阶牛顿柯特斯公式对应梯形公式（代数精度为1）z 2阶牛顿-柯特斯公式对应Simpson 公式（代数精度为3）z 4阶牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式（代数精度为5）73212()327b a C x f x f x f x f x −=24[]01234()()()()90f ++++积分中值定理(Weighted Meanz(Weighted Mean Value Theorem for Integrals) [Bradie, Appendix A]25z 梯形公式的余项¾根据牛顿插值公式，我们有1()()[,,]()()f x p x f a b x x a x b =+−−1()()[,,]()()b b bf x dx p x dx f a b x x a x b dx=+−−由在间aaa∫∫∫梯形公式由于在区间[a, b]上(x-a)(x-b)≤0，应用积分中值定理我们有应用积分中值定理，我们有26•以下回忆牛顿插值公式27牛顿插值公式顿z 牛顿插值公式[][]0010(),()f x f x f x x x x =+−+[]01201,,()()...f x x x x x x x −−++−−−[][]010110101,,...,()()...(),,...,,()()...()n n n n f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x −+−−−()()n p x R x =+28z 梯形公式的余项(,,)()()(,,)()()b b f a b x x a x b dx f a b x a x b dxξ−−=−−)6''(=−[](,,...,,f f x x x x ξ=()12f ξz 一般地，如果积分公式的余项对应阶导数则该积分被积函数的第m 阶导数，则该积分公式的代数精度为m-129z Simpson 公式的余项可以表示为(详见Bradie, p.462)()5(4)ˆˆ)b a −¾因此Si (),2880fa bξξ−<<因此，Simpson 公式的代数精度为3z 类似地分析可知，柯特斯公式代数精度为530z 不能通过提高阶数来提高()ba f x dx ∫的求解精度。

种有效的方法是(it )z 一种有效的方法是复化(composite)-[a,b]牛顿柯特斯求积：将[a, b]分为n 等份，步长h=(b-a)/n ，积分节点为x k =a+kh (0≤k ≤n)，先用低阶的求x 积公式求得每个子段[x k , x k+1]上的积分值I ，然后用作为所求1n I −k 积分的近似值。

31k k =∑z 复化梯形公式¾回顾一下，采用梯形公式近似积分时我们有b []3()()()()''()212b ab a a f x dx f a f b f ξ−−=+−∫¾按照前面的“复化牛顿-柯特斯求积”思路，我们有−3211()()k kn b x ax k f x dx f x dx+==∑∫∫z 复化梯形公式¾而11k n b x+−余项)()3k ξ12''=−()()2()()k k f a f x f b f ξ⎢⎥++⎢⎥∑∑其中x k <ξk <x k+133复化梯形公式z 复化梯形公式¾对上面余项进一步分析，利用极值(B di A di A)定理(Bradie, Appendix A)可知，区间[a, b]内存在两个数c 1和对于所有的c 2，对于所有的k 有下式成立''''''34()()()21k f c f f c ξ≤≤z 复化梯形公式−¾也即(B di A di A)()()()12101''''''n k k f c f f c n ξ=≤≤∑根据介值定理(Bradie, Appendix A) 可知，区间[a, b]内存在数ξ，使得()11''()''n k f f ξξ−=∑35k n =z 复化梯形公式¾于是，余项可以表示为(((3321()''''''n h nh b a h f f f ξξξ−−−=−=−项我们称复化)))0121212k k =∑¾注意上式中包含h 2项，我们称复化梯形公式的收敛速度(rate of (convergence)为O(h 2)36z复化Simpson公式¾由于在运用Simpson公式时已经把区间[a, b]分为了两段，所以在应用[b]分为了两段所以在应用复化Simpson公式时需要把区间[a,[a, b]分为偶数段¾令n=2m，步长h=(b-a)/n=(b-a)/(2m)，xi=a+ih (0≤i 2m)，则复)/(2)i+ih(0i≤2)则复(Bradie,化Simpson公式可以写为(Bradie, p.470)37z 复化Simpson 公式b 复化Simpson 公式42()()a f x f x f b ⎢⎥2124()()3j j f −+++⎢⎥∑∑()b a h −¾收敛速度为O(h 4)()38z 举例计算，分别采用复化梯形公式对区间0sin xdx π∫公式和复化Simpson 公式，对区间[0, π都分成8段。