高等数学电子教案(下)
无穷级数高等数学下册国家级课程教案
无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案一、教学目标1. 理解无穷级数的基本概念，掌握无穷级数的相关性质。
2. 学会无穷级数的收敛性判断，掌握常见级数的收敛性判定方法。
3. 熟悉无穷级数的部分和，理解部分和的性质及其在无穷级数中的应用。
4. 掌握无穷级数求和的方法，会求解常见无穷级数的和。
5. 能够运用无穷级数的基本知识解决实际问题，提高数学建模能力。
二、教学内容1. 无穷级数的基本概念：级数定义、级数项、级数收敛等。
2. 无穷级数的收敛性：收敛判定、发散判定、绝对收敛与条件收敛。
3. 无穷级数的部分和：部分和公式、部分和的性质、部分和的界。
4. 无穷级数求和的方法：逐项求和、部分分式分解、积分求和等。
5. 常见无穷级数的求和：等比级数、等差级数、幂级数等。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统讲解无穷级数的基本概念、性质、判定方法和求和技巧。
2. 利用案例分析，让学生通过具体例子理解无穷级数的应用。
3. 运用互动教学，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度和积极性。
4. 利用数学软件或板书演示无穷级数的相关性质和求和过程，增强学生的直观感受。
四、教学步骤1. 引入无穷级数的基本概念，讲解级数定义及级数项的性质。
2. 讲解无穷级数的收敛性，引导学生理解收敛与发散的判断方法。
3. 介绍无穷级数的部分和，讲解部分和公式及部分和的性质。
4. 教授无穷级数求和的方法，让学生掌握逐项求和、部分分式分解等技巧。
5. 通过案例分析，让学生应用无穷级数的基本知识解决实际问题。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对无穷级数基本概念的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生对无穷级数收敛性、部分和及求和方法的掌握。
3. 课程报告：让学生选择一个无穷级数应用实例进行研究，培养学生的实际应用能力。
4. 期末考试：全面测试学生对无穷级数知识的掌握和运用能力。
六、教学资源1. 教材：《高等数学下册》等相关教材。
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
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《高等数学》
授课教案
2008 ～2009 学年第二学期
教师姓名：李石涛
授课对象：1.化学工程与工艺0801－0803，应用化学0801，0802
2.高分子材料工程0801，0802；环境工程0801，0802 授课学时： 128/64
选用教材《高等数学》史俊贤主编
大连理工大学出版社2006/2
基础部数学教研室
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
第 6 周授课日期 09.3.27
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
第 9 周授课日期 09.4.17
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
第 11 周授课日期 09.5.1
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
第 13 周授课日期 09.5.13
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
第 14 周授课日期 09.5.22
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
沈阳工业大学教案
第 18 周授课日期 09.6.17。
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
《高等数学2》教案
《高等数学2》教案一、课程基本信息课程名称：高等数学 2课程类型：公共基础课授课对象：＿____专业大一学生学分：＿____学时：＿____二、课程目标1、使学生掌握多元函数微积分学的基本概念、基本理论和基本方法。
2、培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力。
3、为学生学习后续课程以及解决实际问题提供必要的数学基础。
三、课程内容（一）多元函数的极限与连续1、多元函数的概念（1）通过实例引入多元函数的概念，如空间中温度的分布、物体的质量分布等。
（2）讲解二元函数的定义、定义域的确定方法。
2、多元函数的极限（1）介绍多元函数极限的定义，通过图形和实例帮助学生理解。
（2）分析多元函数极限的计算方法，与一元函数极限进行对比。
3、多元函数的连续性（1）讲解多元函数连续性的定义和判定方法。
（2）探讨连续函数的性质，如局部有界性、局部保号性等。
（二）偏导数与全微分1、偏导数的概念（1）通过实际问题引出偏导数的概念，如研究温度随地理位置的变化。
（2）讲解偏导数的定义和计算方法。
2、全微分（1）介绍全微分的概念和定义。
（2）讲解全微分存在的条件和计算方法。
（三）多元复合函数与隐函数求导法则1、多元复合函数求导法则（1）通过具体例子讲解多元复合函数的求导方法，如链式法则。
（2）强调求导过程中的注意事项。
2、隐函数求导法则（1）介绍隐函数的概念和存在定理。
（2）讲解隐函数求导的方法，通过实例进行巩固。
（四）多元函数的极值与最值1、多元函数的极值（1）讲解多元函数极值的定义和必要条件。
（2）介绍极值的充分条件，通过例题进行分析。
2、多元函数的最值（1）探讨在有界闭区域上求多元函数最值的方法。
（2）通过实际问题，如生产优化问题，进行应用。
（五）重积分1、二重积分的概念与性质（1）通过实例引入二重积分的概念，如求平面图形的面积。
（2）讲解二重积分的性质，如线性性、可加性等。
2、二重积分的计算（1）介绍直角坐标系下二重积分的计算方法。
《高等数学教案》
《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。
《高等数学》课程电子教案
《高等数学》课程电子教案本课程为我校第二批精品课程建设立项项目，学院为此专门抽调各教研室骨干教师组成课程组，充分发挥和强化其建设与改革职能，前期建设所取得的成果要紧表达在以下几个方面：一、师资队伍建设本课程组共12名成员，其中正副教授5人，讲师3人，助教5人，其中具有博士学位3人，具有硕士学位6人，已初步建立一支数量充足、结构合理、素养优良、充满生气与活力的专任教师队伍。
二、教材建设考虑到师范院校属性及相关学科的教学特点，构建融会贯穿的课程体系，我们差不多编写出下述《高等数学》系列教材：1. 孙国正主编，高等数学，安徽大学出版社20032. 刘树德编，高等数学，校科类基础课，教材，已申请出版3. 刘树德编，高等数学续论，选修课教材，校内胶印使用三、教学改革1. 加强教学内容的整合力度，以社会进展的新科技、新成果充实教学内容，提高教学起点。
2. 深入进行教学方法改革，多用启发式、讨论式、研究式教学方法，从改变教师的教学方式之入手，达到转变学生的学习方式之目的。
3. 运用现代教育手段提升教学水平。
为教师制作CAI课件，使用多媒体授课，加快运算机辅助教学软件的开发积极制造条件。
四、教学研究项目1. 省高校教学研究项目, 高等数学课程的优化设计，1999-2002；2. 校教材建设基金资助项目，出版校科类基础课教材《高等数学》, 20063. 校第二批精品课程建设立项项目, 《高等数学》，2005-2008课程建设是一项长期困难的工作，今后我们要连续努力，加快建设的步伐。
2005.12《高等数学》课程电子教案(节选)授课人：刘树德教学内容：1、微积分学的差不多定理与差不多公式；2、定积分的换元积分法与分部积分法。
教学目的：1、明白得微积分学的差不多定理与差不多公式的涵义和重要性；2、熟练把握和运用定积分的换元积分公式与分部积分公式。
教学重点：定积分的换元积分法与分部积分法教学难点：微积分学的差不多定理与差不多公式教学手段：讲授§6.2 微积分学的差不多定理与差不多公式若已知f(x)在[a,b]上的定积分存在，如何样运算那个积分值呢？假如利用定积分的定义，由于需要运算一个和式的极限，能够想象，即使是专门简单的被积函数，那也是十分困难的。
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-1_2 极限的概念-电子课件
2n 2 2n 1
成立.
发散数列 1n 也可能有界， 1 n 1 ；
无界数列 (1)n 2n 一定发散；
有界数列
1 2
1
(1)n
不
一
定
收
敛
，
1 2
1
(1)n
1，但当
n
为奇数时，
1 2
1
(1)
n
0 ；当
n
为偶数时，
1 2
1
(1)n
1.
综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的
2x 1 7 ，即 m f (x) M .此处 f x 2x 1 在x 3 处有定义，且当 x 3时， f x 的极限值恰好是f 2 .
例 8 由表达式
y
f
(x)
1
x, 0, x
x 0
0
1
的确定的函数，如图 1-26 所示.
O
1
x
图21-526
当 x 0时， f (x) 1 x，则lim f (x) lim(1 x) 1.
x2 x2
求 lim f (x), lim f (x),并由此判断lim f (x) 是否存在.
x2
x2
x2
解 lim f (x) lim (2x 1) 5, lim f (x) lim (x2 1) 5，
x2
x2
x2
x2
即 f (2 ) f (2 ) 5, 由函数 f (x) 在x 2 处极限存在的充要
自变 x x0的变化过程中，函数值 f (x)无限接近于 A，就
称 A 是函数 f (x)当
x
x0
时
极
限
.
记
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-2_5 高阶导数-电子课件
(x 1)(n 1, 2,...).
注 0! 1,因此，这个结果n 1 时也成立.
例5
求函数 f (x)
1 x2 6x 5
(x 1,5)的 n 阶导数.
解
f
(x)
x2
1 6x 5
1 (x 1)(x 5)
1 4
1 x 5
1 x 1
f
( x)
1 4
(x
1 5)2
1 (x 1)2
例如，自由落体的位置函数 s(t) 1 gt2 ，一阶导数 2
v(t) s(t) gt 是瞬时速度， Biblioteka (t) (gt) g 是加速度 .
例 1 设 f (x) x5 4x2 3x, 求 f (x)及 f (1).
解 因为 f (x) 5x4 8x 3, 则 f (x) (5x4 8x 3) 20x3 8
所以 f (1) (20x3 8) |x1 12.
例 2 证明： y exsinx满足关系式 y 2 y 2 y 0.
证明 因为 y exsinx excosx ex (sinx cosx),
y ex sin x cos x ex cos x sin x 2ex sin x
一般地， f (x)的 n-1 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 阶导数.
三阶导数的记号是
y,
f
( x),
d3 y dx3
或d3 f dx3
.
n
4时的
n
阶导数
的记号是
y(n) ,
f
(n) (x),
dn y dxn
或dn f dxn
.二阶或二阶以上的导数统
称为高阶导数.
二阶导数有明显的物理意义.变速直线运动的位置函 数s s(t)时，s(t)为瞬时速度v(t)，加速度是速度v(t)的变 化率，等于v(t) ，即位置函数 s(t)的二阶导数 s(t)为变速 直线运动的加速度 a(t ).
无穷级数高等数学下册国家级课程教案
无穷级数——高等数学下册国家级精品课程教案第一章：无穷级数的概念与性质1.1 无穷级数的定义1.2 无穷级数的收敛性与发散性1.3 无穷级数的分类1.4 无穷级数的运算性质第二章：幂级数2.1 幂级数的定义与收敛半径2.2 幂级数的运算2.3 幂级数在函数逼近中的应用第三章：泰勒级数与泰勒公式3.1 泰勒级数的定义3.2 泰勒公式的推导与意义3.3 泰勒级数在函数逼近中的应用第四章：傅里叶级数4.1 傅里叶级数的定义与收敛性4.2 傅里叶级数的运算4.3 傅里叶级数在信号处理中的应用第五章：斯特林级数与级数的热传导问题5.1 斯特林级数的概念与性质5.2 级数的热传导问题及其求解方法5.3 斯特林级数在概率论与数学物理中的运用第六章：级数的一致收敛性与绝对收敛性6.1 一致收敛性与绝对收敛性的定义6.2 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法6.3 级数的一致收敛性与绝对收敛性的性质与应用第七章：交错级数7.1 交错级数的定义与性质7.2 交错级数的收敛性判定7.3 交错级数在数学分析中的应用第八章：多重级数8.1 多重级数的定义与性质8.2 多重级数的收敛性判定8.3 多重级数在数学分析中的应用第九章：级数逼近与数值计算9.1 级数逼近的基本概念与方法9.2 数值计算中常用的级数逼近方法9.3 级数逼近在科学计算中的应用第十章：特殊级数10.1 常用特殊级数的概念与性质10.2 特殊级数的求和方法10.3 特殊级数在数学分析中的应用第十一章：级数展开与积分11.1 级数展开的基本方法11.2 常用积分公式与级数展开11.3 级数展开在微分方程求解中的应用第十二章：级数解微分方程12.1 级数解的一阶微分方程12.2 级数解的二阶线性微分方程12.3 级数解微分方程在物理学和工程学中的应用第十三章：级数在常微分方程中的应用13.1 级数方法在常微分方程定性分析中的应用13.2 级数方法在常微分方程数值解中的应用13.3 级数方法在常微分方程几何解释中的应用第十四章：级数在偏微分方程中的应用14.1 级数方法在偏微分方程求解中的应用14.2 级数方法在偏微分方程数值解中的应用14.3 级数方法在偏微分方程稳定性分析中的应用第十五章：级数方法在其他数学领域的应用15.1 级数方法在概率论与数理统计中的应用15.2 级数方法在数值分析中的应用15.3 级数方法在其他数学分支学科中的应用重点和难点解析重点：1. 无穷级数的基本概念、性质及其分类；2. 幂级数、泰勒级数、傅里叶级数和斯特林级数的基本概念、性质与应用；3. 级数的一致收敛性与绝对收敛性的判定方法及其性质；4. 交错级数、多重级数的收敛性判定及其在数学分析中的应用；5. 级数逼近与数值计算的基本方法及其在科学计算中的应用；6. 特殊级数的概念、性质与求解方法；7. 级数展开与积分在微分方程求解中的应用；8. 级数解微分方程、常微分方程定性分析、数值解及几何解释中的应用；9. 级数方法在偏微分方程求解、数值解及稳定性分析中的应用；10. 级数方法在概率论与数理统计、数值分析及其他数学分支学科中的应用。
高等数学教案-向量代数与空间解析几何
高等数学教学教案第8章 向量代数与空间解析几何授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件教学难点 两个向量垂直、平行的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.教 学 基 本 内 容一．空间直角坐标系1.直角坐标系，点叫做坐标原点.2.在直角坐标系下，数轴统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.3.数组为点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．二．空间两点间的距离设，为空间两点，则与之间的距离为.三．向量的概念1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．O Oxyz 111(, , )M x y z 222(, , )N x y z M N 212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=Oxyz Oz Oy Ox ,,zOx yOz xOy ,,(, , )x y z M Oxyz z y x ,,M2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作或.3. 单位向量:模为的向量叫做单位向量.4. 零向量:模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.6.负向量:与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作．7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.四．向量的线性运算1. 向量的加法定义 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作．这种向量求和方法称为平行四边形法则．若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和，该法则称为三角形法则．对于任意向量，，，满足以下运算法则：(1)(交换律)． (2) (结合律)． (3)．2.向量的减法定义 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即．特别地，当时，有.若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.3.数乘向量定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向：当时，与同向；当时，与反向；当时，．对于任意向量，以及任意实数，，有下列运算法则：(1) ． (2) ． (3) ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合．特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记作，即. 定理 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数，使得.a AB10b a =a a -a a b A AB AD a b AB ADABCD A C ACa b b a +b a a b c a b a b c a +b =b +a ()()a +b +c =a +b +c 0a +=a a b -b a b ()--a b =a +b b =a ()-0a +a =a b a b b a λa λa λa λa 0λ>λa a 0λ<λa a 0λ=λ0a =a b λμ()()λμλμa =a ()+λμλμ+a =a a ()+λλλ+a b =a b λμa +b a b (, )R λμ∈a a a e ||a ae a =a b λλa =b例7 已知向量，，求.例8 已知三角形的顶点分别是，求三角形的面积.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角教学难点 利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决问题参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.教 学 基 本 内 容一．空间平面方程1.平面方程的各种形式（1）若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量．（2）平面的点法式方程：过点，法向量为的平面方程为．（3）平面的三点式方程：过三点的平面方程为 称为平面的三点式方程.（4）平面的截距式方程：过三点，，的平面的方程为}2,1,3{--=a }1,2,1{-=b b a 2⨯ABC (1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ABC n ∏n ∏0000(, , )M x y z {, , }A B C n =000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---(, 0, 0)A a (0, , 0)B b (0, 0, )C c (0)abc ≠例8将直线的一般式方程化为点向式方程和参数方程．例9求直线和的夹角. 例10求直线与平面的夹角.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影及其方程参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.教 学 基 本 内 容一．空间曲面定义 如果曲面与方程满足如下关系： (1) 曲面上每一点的坐标都满足方程； (2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上． 则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形．几个常见的曲面方程.1.球面（1）以坐标原点为球心，以为半径的球面方程为．（2）以为球心，以为半径的球面方程为. （3）一般方程.2310,32120,x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩113:141x y z l -+==-220:20x y l x z ++=⎧⎨+=⎩300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩10x y z --+=∑(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =∑∑R 2222R z y x =++000(,,)x y z R 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=0222=++++++D Cz By Ax z y x组称作空间曲线的一般方程.2.空间曲线的参数方程对于空间曲线，若上的动点的坐标可表示成为参数的函数随着的变动可得到曲线上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.3.空间曲线在坐标面上的投影（1）设空间曲线的一般方程为消去变量之后所得到的方程,表示一个母线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线.以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成（2）消去方程组中的变量或，再分别与或联立，我们便得到了空间曲线在或面上的投影曲线方程：或（3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.三．二次曲面1.椭圆锥面由方程所确定的曲面称为椭圆锥面.2.椭球面(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩C C x y z ,,t ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x t C C (,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩z (,)0H x y =z C C z xoy xoy C xoy (,)0,0.H x y z =⎧⎨=⎩(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩x y 0x =0y =C yoz xoz (,)0,0,R y z x =⎧⎨=⎩(,)0,0.T x z y =⎧⎨=⎩22222x y z a b+=由方程 ()所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程．3.单叶双曲面由方程()所确定的曲面称为单叶双曲面．4.双叶双曲面由方程()所确定的曲面称为双叶双曲面．注 方程和也都是单叶双曲面;方程和也都是双叶双曲面．5.椭圆抛物面由方程 ()所确定的曲面称为椭圆抛物面．6.双曲抛物面由方程 ()所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解例1建立球面的中心是点，半径为的球面方程. 例2 方程表示怎样的曲面？ 例3 分析方程表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.1222222=++cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>, , a b c 1222222=-+cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222-=-+c z b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222=+-c z b y a x 1222222=++-cz b y a x 1222222-=+-c z b y a x 1222222-=++-cz b y a x 2222by a x z +=0, 0, 0a b c >>>2222by a x z -=0, 0, 0a b c >>>),,(0000z y x M R 024222=+-++y x z y x 222R y x =+8.24 图8.25坐标面上的双曲线分别绕绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的12222=-by c z L。
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理解向量的基本概念和运算规则，掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法；理解空间曲线和曲面的几 何性质，掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
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高等数学的重要性与应用
总结词
高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用，是许多学科的基础工具 。
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详细描述
高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具，如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学，人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题，为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质，如线性性质、积 分常数性质等。
定积分的概念与性质
定积分是积分学的核心概念，用于计算平面图形面积和体积等。定积分具有一些重要的性质，如可加 性、区间可加性等。
级数与幂级数
级数的概念与性质
级数是无穷序列的和，分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质，如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词：重积分与线积分是高等数学中的重要概念，它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述：重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法，而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词：重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的力学和热学等问题；工程学中的机 械设计和流体动力学等问题；经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述：在物理学中，重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
2024版年度高等数学下册教案
2024/2/3
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线性微分方程解结构
线性微分方程解的性质
叠加原理、解的独系数线性微分方程
形如$y''+py'+qy=0$的微分方程，其中$p,q$为常数，可通过特征 方程求解通解。
二阶常系数非齐次线性微分方程
形如$y''+py'+qy=f(x)$的微分方程，其中$f(x)$为已知函数，可通过 通解加特解的方式求解。
三重积分计算方法
三重积分的计算可以通过化为累次积分进行，即先 对$z$积分，再对$y$积分，最后对$x$积分。也可 以根据具体情况选择适当的坐标系（如柱面坐标、 球面坐标等）进行简化计算。
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重积分在物理中应用
重积分在几何上的应用
利用重积分可以计算平面图形的面积、空间立体的体积以及曲面的面积等。
重积分在物理上的应用
二重积分性质
二重积分具有线性性、可加性、保号性、绝对值不 等式等性质。
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二重积分计算方法
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利用直角坐标计算二重积分
01
将二重积分化为累次积分进行计算，即先对$y$积分，再对$x$
积分。
利用极坐标计算二重积分
02
当积分区域为圆域或环域时，利用极坐标变换可以简化计算。
利用换元法计算二重积分
理解对弧长曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对弧长曲线积分的方法。
对坐标曲线积分的基本概念与性质
理解对坐标曲线积分的定义、几何意义和基本性质，掌握计算对坐标曲线积分的方法。
2024/2/3
两类曲线积分之间的关系
理解两类曲线积分之间的联系和区别，能够相互转化并计算。
高等数学下册(第7章无穷级数)-教案
高等数学教学教案第7章无穷级数授课序号01++ n授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05其中0=nb),2,1(=n，⎰=lnxlxnxfladcos)(2π),2,1,0(=n. (13)另外，若x是函数)(xf的间断点，那么)(xf的傅里叶级数收敛于2)0()0(-++xfxf.四．例题讲解例1．设)(xf是周期为π2的周期函数，它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤-=.)(ππxxxxf，，，将)(xf展为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例2．(脉冲矩形波) 矩形波用来表示电闸重复地断开和接通时的电流模型.设脉冲矩形波的信号函数)(xf是以π2为周期的周期函数(如图7.2所示)，它的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=.11)(ππxxxf，，，求此函数的傅里叶级数展开式.图7.2例3．设)(xf是周期为π2的周期函数，试将函数⎩⎨⎧<≤<≤--=,0,,0,)(ππxxxxxf展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例4．将函数xxf+=1)()0(π≤≤x分别展开为正弦级数和余弦级数.例5．设)(xf是以4为周期的函数，在)2,2[-上的表达式为020,()02,xf xh x-≤<⎧=⎨≤<⎩，，其中常数0≠h. 将函数)(xf展开为傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形.例6．将函数]2,0[1)(∈-=xxxf，展开为以4为周期的余弦级数.1。
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《高等数学》
授课教案
2008 ～2009 学年第二学期
教师姓名：李石涛
授课对象：1.化学工程与工艺0801－0803，应用化学0801，0802
2.高分子材料工程0801，0802；环境工程0801，0802授课学时： 128/64
选用教材《高等数学》史俊贤主编
大连理工大学出版社 2006/2
基础部数学教研室
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第 6 周授课日期 09.3.27
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第 9 周授课日期 09.4.17
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第 11 周授课日期 09.5.1
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第 13 周授课日期 09.5.13
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第 14 周授课日期 09.5.22
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第 18 周授课日期 09.6.17。