离心率练习题(题型全面)
高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)
高中数学专题 双曲线中的离心率问题限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.32.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.4333.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2334.如图，双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.235.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,26.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+27.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.5210.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.211.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.13312.已知F 1、F 2是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若DE=2AB，则双曲线C的离心率是．16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．18.已知椭圆C1:x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=4PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.19.已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R>0．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有∠AOB=π2，求离心率e的取值范围．20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，PF1=(2+3)PF2，∠F1PF2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-AF1=2b．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2=1，求双曲线C的方程．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.高中数学专题 双曲线中的离心率问题答案解析限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：ba=tan π3⇒b a =3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c2a>22，即e =c a >2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c 3，则-c32a2+y 2Mb 2=1，解得y M =b 3ac 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3ac 2-9a 2 ⋅-4c 3，b3a c 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC 11.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =c a =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知ba=22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =bax 对称的点A 在渐近线y =-b a x 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=ba=3，所以e =c a =a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e ≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +m x 24-y 23=1 得：3-4k 2 x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB =0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB =x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB =x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB =k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km 3-4k 2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .·15·。
高三离心率提速练习题
高三离心率提速练习题一、填空题1. 圆的离心率是______。
2. 椭圆的离心率是______。
3. 双曲线的离心率是______。
二、选择题1. 下列哪个图形的离心率等于0？a. 圆b. 椭圆c. 双曲线2. 当椭圆的离心率为1时，该椭圆是一条：a. 圆b. 抛物线c. 双曲线3. 曲线的离心率越大，表示：a. 曲线越接近圆形b. 曲线越扁平c. 曲线越陡峭三、解答题1. 一椭圆的焦点分别是(-4,0)和(4,0)，离心率为2/3。
求此椭圆的方程。
2. 已知一双曲线的离心率为3/2，焦点到直线的距离为2。
求此双曲线的方程。
3. 画出离心率为1/2的椭圆和离心率为2的双曲线。
四、应用题某天，小明骑自行车以恒定的速度沿椭圆形跑道绕行。
已知此椭圆的焦点为A、B，小明起始点C与焦点A、B的距离分别为7m和9m。
小明从C点出发后，经过40秒后又回到C点。
试问小明此次跑道的周长是多少米？五、综合题在太阳系中，行星围绕太阳运动形成的轨道大致是一个椭圆。
已知地球绕太阳运行的平均速度为30km/s，并且地球和太阳的距离（称为半长轴）为1.496×10^8km，离心率为0.0167。
假设地球绕太阳的轨道是一个正椭圆，请回答以下问题：1. 地球离太阳最远时与最近时的距离分别为多少？2. 地球离太阳的距离是否处于任何一个固定的数值范围内？3. 地球绕太阳一周需要多长时间？4. 地球从最近点运动到最远点需要多长时间？5. 地球到最近点和最远点的距离差是多少？六、总结与归纳本练习题以高三离心率提速为题，涵盖了填空题、选择题、解答题、应用题和综合题等多个类型的题目。
通过解答这些题目，我们可以深入理解离心率概念，并应用到实际问题中。
此练习题旨在帮助学生巩固和提高对离心率知识的掌握程度，并培养解决实际问题的能力。
双曲线离心率专题
双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。
2024年高考数学专题16 妙解离心率问题(12大题型)(练习)(原卷版)
专题16 妙解离心率问题目录01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 (2)02焦点三角形顶角范围与离心率 (2)03共焦点的椭圆与双曲线问题 (3)04椭圆与双曲线的4a通径体 (4)05椭圆与双曲线的4a直角体 (5)06椭圆与双曲线的等腰三角形问题 (6)07双曲线的4a底边等腰三角形 (7)08焦点到渐近线距离为b (8)09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 (9)10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 (10)11渐近线平行线与面积问题 (11)12数形结合转化长度角度 (11)01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,124p p a æöÎç÷èø，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23æöç÷èøB ．C ．D ．23ö÷÷ø2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,64p p a éùÎêúëû，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．ùúûB ．1ùúûC ．D ．3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,43p p a æöÎç÷èø，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．1ö÷÷øB ．ö÷÷øC ．D ．4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ^，设ABF q Ð=，且(,)124p pq Î，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．(12)，C ．(2,)+¥D ．)+¥02焦点三角形顶角范围与离心率5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且212PF PF c ×=uuu r uuu u r，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．1[3D ．6．（2024·黑龙江·校联考）已知0a b >>，1F ，2F ，是双曲线22122:1x y C a b -=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1x y C a b +=上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF Ð取最小值，则椭圆2C 离心率的取值范围为（ ）A．æçèB．ö÷÷øC．æççèD．ö÷÷ø7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ³使得1260PF F oÐ=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．ö÷÷øB．æçèC ．1,12éö÷êëøD ．10,2æùçúèû8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点00(,)P x y （00x ³）使得1230PF F Ð=°，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．10,2æöç÷èøB．æççèC ．1,12éö÷êëøD．ö÷÷ø03共焦点的椭圆与双曲线问题9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F D 是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1e 与2e 满足的关系是（）A ．12112e e +=B ．12112e e -=C ．122e e +=D ．212e e -=10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆1C ：2222111x y a b +=()110a b >>与双曲线2C ：2222221x y a b -=（20a >，20b >）有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，1C ，2C 的离心率分别为1e 和2e ，则（ ）A ．22221122a b a b -=+B ．12112e e +=C ．212e e -=D ．111,32e æöÎç÷èø11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F 、2F ，M 是它们的一个交点，且121cos 4F MF Ð=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则121e e 的最大值为 ．12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P Ð=o ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于 ．13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F 、2F ，P 是它们的一个交点，1260F PF Ð=o ，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则2212e e +的最小值是 .04椭圆与双曲线的4a 通径体14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的离心率为35，左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，若212NF F F =，则11MF NF =（ ）A ．25B ．35C ．12D ．2315．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F (如图)，过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，2213PF F Q =，则E 的离心率为（ ）AB ．12CD16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，229PF F Q =，则E 的离心率为（）A B ．12C D 17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，223PF F Q =，则E 的离心率为（ ）A B ．12C D05椭圆与双曲线的4a 直角体18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆C 的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 的直线交C 于A ，B 两点，若1123AF F B =，且22AF BF ^，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C D 19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =×uuu u r uuu u r uuuu r，且2PQF V 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，113AF BF =，若23cos 5AF B Ð=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C D 21．（2024·湖南·校联考）已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦F ，若BF AC ^，且3AF CF =，则该双曲线的离心率为A B ．52C D ．2322．（2024·湖北·高三开学考试）已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ^且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A ．53B C D ．9423．（2024·山东聊城·统考）已知A ，B ，C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ^，且32CF FA =uuu r uuu r，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．32D06椭圆与双曲线的等腰三角形问题24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ^，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =A B ．1C D 125．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C 1D 126．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，连接2AF ，2BF ，在2ABF △中，2AB BF =，231cos 32ABF Ð=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D07双曲线的4a 底边等腰三角形27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 28．（2024·江西九江·统考）设双曲线()2222100x y C a b a b -=：＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线分别交双曲线左、右两支于点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若P ，Q ，F 1都在以M 为圆心的圆上，且10PQ MF ×=uuu r uuuu r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．C D ．29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且222MN MF MN =×uuuu r uuuu r uuuu r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 30．（2024·河北石家庄·统考）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ^，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2C D 131．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A在C 的右支上，1AF 与C 交于点B ，若220F A F B ×=uuu u r uuu u r，且22F A F B =uuu u r uuu u r ，则C 的离心率为（ ）A B C D08焦点到渐近线距离为b32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F 1，F 2为双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，且与C 的右支交于点Q ，若1//OQ PF （O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．333．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F 1，F 2分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若|HF 1|=3|HF 2|，则双曲线的离心率为（ ）34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝3|OP |，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦点在1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ､N 两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且13MN F N =uuuu r uuuu r，又过点1F 作1F P OM ^于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（ ）A B C D09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形36．（2024·安徽宣城·统考）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =uuu r uuu r，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．537．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，交另一条渐近线于点A ，已知O 为原点，且4||3AH a =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O 为原点，且5||3OA a =，则双曲线离心率为（ ）339．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B C D10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uuu r，120F B F B ×=uuu r uuur，则C 的离心率为（ ）A ．2B C 1+D 141．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知F 是双曲线22221x y a b -=的左焦点，圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点为P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D 42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3p 的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若()112OA OB OF =+uuu v uuu v uuuv ，则该双曲线的离心率为A ．2BC ．2D 43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b -=(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A B ．2C D 44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A B C D11渐近线平行线与面积问题45．（2024·安徽芜湖·统考）设M 为双曲线()222:1016x y D a a -=>上任意一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点．若ABM V 的面积为4，则双曲线D 的离心率为（ ）A B ．2C D 46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M ，N ，若214OM ON b ׳uuuu v uuu v ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．ö+¥÷÷øB ．æççèC ．ö+¥÷÷øD ．æççè47．（2024·福建·）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ×=，12F F 等于3212x x æö-ç÷èø展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3CD ．12数形结合转化长度角度48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F Ð的角平分线，则椭圆C 的离心率为 .49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x a =交于点M ，PFB Ð的角平分线与直线x a =交于点N ，若PF AB ^，MAB △的面积是NFB V 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是 .50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，若过()1,0F c -的直线与圆2222c x y æö+=ç÷èø相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为 ．。
离心率习题1
2a AC BC 3 1，c AB 1， 2 c 2c 1 1 3 • 所以双曲线的离心率 e ， a 2a 2 3 1
•
故选B.
设 PQ 的中点为 N，则点
a2 b N 的坐标为 2， 2，因为 1－a 1－a
线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，|MF2|＝|F1F2|，所 b 2－0 1－a 1 以点 M 的坐标为(3,0)，因此有 kMN＝ 2 ＝－ ， a b 2－3 1－a 2 6 所以 3－4a ＝b ＝1－a ，所以 a ＝ ，所以 e＝ . 3 2
2 2 2 2
练习题
两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，以 O F1 为半径的圆与该双 离心率为
2 x 2 y 1(a 0, b 0) 的 【1】如图， F1 和 F2 分别是双曲线 2 a b2
曲线左支的两个交点，且△ F2 AB 是等边三角形，则双曲线的
1 3 .
| AF1 | c, | AF2 | 3c, 3c c 2a c 2 3 1 a 3 1
让理想的雄鹰展翅高飞！
题型一 离心率问题
例 1．(文)(2010·新课标全国文)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离 心率为( A. 6 C. 6 2 ) B. 5 D. 5 2
[答案] D
[解析]
x2 y2 设双曲线的标准方程为 2 － 2 ＝1(a>0 ， a b
b 2a e 5.
（3）.设△ABC为等腰三角形∠ABC=120°, 则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率 B 为（ ）
1 2 1 3 • A. B. C. 1 2 D. 1 3 2 2 • 设 AB CB 1， ∠ABC=120°,由余
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
离心率在历年真题中题型总结
离心率总结一、椭圆离心率1.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）2 2.2a b = （B ）2 2.34a b = （C ）2a b=（D ）34a b=2．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为A ． 23B ．12C ．13D ．143．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．B C ．23D ．59 4．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆ 是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为 A 、21 B 、32 C 、43 D 、54 7．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为（ ）8．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．9．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．10．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．11．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于12．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，椭圆的离心率为（ ）二、双曲线离心率1.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 2．（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是AB ．1CD ．23.（2019天津理5）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||A B O F =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.24．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||P F O P =，则C 的离心率为AB ．2CD5．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则错误！未找到引用源。
离心率练习题(题型全面)(最新整理)
a2 2
3
()
A．2
B． 3
26 C．
3
23 D．
3
9．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1, (a 0, b 0) 的左，右焦点分别为 F1, F2
,点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
（）
4
A．
3
5
B．
3
C． 2
7
D．
3
三、求离心率范围
y
1相交于不同的两点
A，B。求双曲线
C
的离心率的取
值范围。
5．直线 L 过双曲线 双曲线离心率的取值范围。
的右焦点，斜率 k=2。若 L 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求
6．已知 F1、F2 分别是双曲线
的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B
两点。若△ABF2 是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
a2 b2
x2 y2
5.椭圆 a2
+ =1(a>b b2
>0)的两焦点为
F1
、F2
，AB
为椭圆的顶点，P
是椭圆上一点，且
PF1
⊥X
轴，PF2
∥AB,
B P
F
F
A
O
1
2
求椭圆离心率？
x2 y2
6.椭圆 a2
+ =1(a>b b2
>0)的两焦点为 F1
、F2
，点 P 在椭圆上，使△OPF1
为正三角形，求椭圆离心率？
离心率练习题（题型全面）
高二数学 专题 求离心率(强化训练)(解析版)
专题求离心率题型一利用几何性质求解题型二利用坐标法求解题型三利用第一定义求解题型四利用第二定义求解题型五利用第三定义求解题型六与斜率乘积相关题型七焦点三角形双余弦定理模型题型八焦点弦与定比分点题型一利用几何性质求解1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，两个焦点为1F ，2F ，线段2BF 的垂直平分线过点1F ，则椭圆的离心率为．【答案】12/0.5【分析】求出线段2BF 的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得224a c =，再结合222a b c=+可求得离心率.【详解】如图，设2BF 的垂直平分线与2BF 交于点H ，由题，()1,0F c -，()2,0F c ，()0,B b ，则,22c b H ⎛⎫⎪⎝⎭，()10232F Hb b kc c c -∴==--，200BF b b k c c -==--，121F H BF k k ⋅=- ，13b b c c ⎛⎫∴⨯-=- ⎪⎝⎭，化简得，223b c =，由222a b c =+，解得224a c =，22214c e a ∴==，即12e =.故答案为：12.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F c -，坐标原点为O ，若在双曲线右支上存在一点P 满足1PF =，且PO c =，则双曲线C 的离心率为.1【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为12||||PO c FO F O ===，所以1122,PF O OPF PF O OPF ∠=∠∠=∠，所以1212π2OPF OPF F PF ∠+∠=∠=，则2222221212||||||,32)4PF PF F F c a c +=∴+-=，22240c a -+=，220e -+=，解得1e =.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且212PF F F ⊥，过P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，若212AF c =，记椭圆的离心率为e ，则2e =.【分析】由题意可得22122PF F F AF =⋅，从而可求得2PF c =，根据勾股定理可求得1PF ，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.【详解】如下图所示：因为212PF F F ⊥，1AP PF ⊥，所以122PF F APF ，可得22122P F F A F F PF =，即222212122P F A F c F c c F =⋅=⋅=，可得2PF c =；又在12Rt PF F 中，1PF ==，由椭圆定义可得122PF PF a +=2c a +=，所以12c e a ===，可得22e ==⎝⎭4．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为()()12,0,,0,F c F c M -是椭圆上一点，且满足120F M F M ⋅= .则椭圆离心率e 的取值范围为（）A ．22⎡⎢⎣⎦B ．22⎛ ⎝⎭C ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．2⎫⎪⎪⎣⎭【答案】D【分析】根据给定条件，可得12F M F M ⊥，进而得出||MO c b =≥，再求出离心率范围即得.【详解】由点M 满足120F M F M ⋅=，得12F M F M ⊥，即12F MF △是直角三角形，原点O 是斜边12F F 的中点，因此||MO c =，又点M 在椭圆上，则c b ≥，即2222c b a c ≥=-，整理得2212c a ≥，即212e ≥，而01e <<，因此212e ≤<，所以椭圆离心率e 的取值范围为22⎫⎪⎪⎣⎭.故选：D5．点P 在椭圆上，且在第一象限，过右焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该椭圆的离心率为．【答案】3【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据PA 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解.【详解】延长2F A ，交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||QF OA ==.又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=，2a ∴=，222233()a b a c ∴==-，则62a c =，∴离心率为c a =故答案为：36．如图，A B C ，，是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的三个点，AB 经过原点O AC ，经过右焦点F ，若BF AC⊥且3BF CF =，则该椭圆的离心率为.【答案】2【分析】设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接111,,AF BF CF ，设CF m =，利用对称性得到13AF BF m ==，23AF a m =-，12CF a m =-，再根据BF AC ⊥，分别在1AF C △和1R t AF F 中，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：设椭圆的左焦点为()1,0F c -，连接111,,AF BF CF ，设CF m =，由对称性知：13AF BF m ==，23AF a m =-，12CF a m =-，因为1//AF BF ，所以1AF AC ⊥，在1AF C △中，22211AF AC CF +=，即()()2229222m a m a m +-=-，解得3a m =，在1R t AF F 中，()()2229232m a m c +-=，将3a m =代入上式，得22c e a ==，故答案为：22题型二利用坐标法求解7．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（）A．2BC ．32D【答案】B【分析】设(),B m n ，联立方程组求得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭，根据90OAF ∠=︒，得到1AF OA k k ⋅=-，求得ab n c =，再由(),B m n 在双曲线C 上，化简得到22422a c am c+=，结合OB OF =，化简得到222a c =，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±.设(),B m n ，联立方程组b y x a y n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为90OAF ∠=︒，所以1AF OAk k ⋅=-，即1n ban a c b⋅=--，可得ab n c=.又因为点(),B m n 在双曲线C 上，所以22221m na b-=，将ab n c =代入，可得22422a c a m c +=，由OBF OFB ∠=∠，所以OB OF =，所以222m n c +=，即22422222a c a a bc c c++=，化简得222a c =，则ce a==.故选：B.8．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）AB C ．2D【答案】D【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)x c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．C．)2D．)+∞【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出,,A B D 的坐标，写出向量,DA DB，根据∠ADB 为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(,0)F c -，令x c =-，得2by a=±，可设22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由对称性，不妨设(0,)D b ，可得2,b DA c b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题意知,,A D B 三点不共线，所以∠ADB 为钝角0DA DB ⇔⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入化简得4224420e a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，解得22e >e ，综上，离心率的取值范围为)+∞．故选：D.10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P ﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为.【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a ⋅=-= ，ce a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得e =故答案为：622．11．已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点1F 作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点,A B （,A B 在同一象限内），且满足1F A AB =．联结2AF ，满足21AF BF ⊥．若该双曲线的离心率为e ，求2e 的值．【答案】12-【分析】设点()0000,()0,0A x y x y <>，由21AF BF ⊥，A 在双曲线上，1F A AB =得到B 的坐标，然后根据B在渐近线b y x a =-上列方程，解方程得到a b =，然后求离心率即可.【详解】不妨设()0000,()0,0A x y x y <>，由21AF BF ⊥得00001y y x c x c⋅=--+，化简得222000y x c +-=（1），A 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002a y x a b =+，代入（1）解得20b y c=，1F A AB = ，()002,2B x c y ∴+，又B 在渐近线by x a=-上，()0022by x c a∴=-+，即0022bx ay bc +-=．两边平方得222222000444b x a y b c abcy =++（2），将2222002a y x a b =+和20b y c =代入（2）得242422322224444a b a b b c ab a b c c++=+，化简得22340a ab b --=，解得a =或a b =（舍去），即)222a c a =-，化简得212e =-.故答案为：12-.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 斜率为43的直线与C 的右支交于点P ，若线段1PF 与y 轴的交点恰为1PF 的中点，则C 的离心率为（）A ．13B C ．2D ．3【答案】D【分析】求得P 点坐标，根据直线1PF 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由于线段1PF 与y 轴的交点恰为1PF 的中点，且O 是12F F 的中点，所以212PF F F ⊥，由22221c y a b -=解得2P by a=，则2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，而()1,0F c -，所以1222242223PF b b c a a k c ac ac -====，2222833,3830ac c a c ac a =---=，两边除以2a 得23830e e --=，解得3e =或13e =-（舍去）.故选：D13．直线2y x =与椭圆C ：22221x y a b+=的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为（）A1BC1D．12【答案】A【分析】根据A 在椭圆上和直线2y x =上列方程，整理后求得椭圆的离心率.【详解】设在第一象限的交点为A ，右焦点为(),0F c ，根据题意：AF x ⊥轴，A 在椭圆上，由22221c y a b +=解得2A b y a =，则2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 在直线2y x =上，则(),2A c c ，所以22b c a=，22b ac =，222-=a c ac ，所以()221001e e e +-=<<，解得1e =.故选：A题型三利用第一定义求解14．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>分别是C 的左，右焦点，P 为C 上一点，若线段1PF 的中点在y 轴上，12π6PF F ∠=，则C 的离心率为（）AB ．23CD．2【答案】A【分析】根据中点关系可得2PF x ⊥轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.【详解】由于线段1PF 的中点M 在y 轴上,O 是12F F 的中点，所以22//,MO PF PF x ∴⊥轴，122F F c =，12π6PF F ∠=，所以1221212112tan ,cos 32F F PF F F PF F PF PF F =∠=∠，2a a e ⇒=⇒=故选：A15．1F ，2F 是椭圆E ：()222210 x y a b a b+=>>的左，右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1245FM N F MN ∠=∠=︒，1234NF NF =，则椭圆E 的离心率为.【答案】57【分析】根据1245FM N F MN ∠=∠=︒，得到12F M F M ⊥，且MN 是12F MF ∠的角平分线，再结合1234NF NF =和角平分线定理得到1243F M F M=，然后在12Rt F MF △中，利用勾股定理求解.【详解】解：因为1245FM N F MN ∠=∠=︒，所以12F M F M ⊥，则MN 是12F MF ∠的角平分线，所以1122F M F N F MF N=，又因为1234NF NF =，所以1243F M F M=，设124,3F M F x M x ==，由椭圆定义得122F M F M a +=，即432x x a +=，解得27x a =，则1286,77F M F M a a ==，则22286477a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222549c a =，则57c e a ==，故答案为：5716．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，经过2F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，O 为坐标原点，且()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅==，则椭圆C 的离心率为.【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.【详解】因为()2220,2OP OF PQ PF F Q +⋅== ，所以()22302OP OF PF +⋅=，即()()22302OP OF OF OP +⋅-=，所以21OP OF OF c === ，所以12π2F PF ∠=.设2F Q x =，则22PF x =，所以1122,2PF a x QF a x =-=-，由22211||PF PQ QF +=得222(22)(3)(2)a x x a x -+=-，所以3a x =，所以2124,33a PF a PF ==，在12Rt PFF △中，由2221212PF PF F F +=，得22224(2)33a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以53c e a ==.故答案为:17．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．34B ．23C D 【答案】C【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +-=-，22222948444n a an n a an n ∴+-+=-+，2124n an ∴=，3an =，123a MF ∴=，243a MF =，在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+，223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈ ，e ∴=故选：C.18．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12120F PF ∠=，124PF PF =，则C 的离心率为（）AB ．215C D 【答案】A【分析】根据124PF PF =，12120F PF ∠=，利用余弦定理可得2c =，再由双曲线定义可得32m a =，由离心率定义可得c e a ==.【详解】如下图所示：根据题意可设21,4,0PF m PF m m ==>，易知122F F c =；由余弦定理可知2222112212212221741cos 24P m PF F F F P c F PF m m F PF +-∠=⋅==--⋅，可得22214c m =；即212c =，由双曲线定义可知可知1232PF PF m a -==，即32m a =；所以离心率213c e a ==.故选：A19．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30 的直线与双曲线的左，右两支分别交于点,A B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．【答案】A【分析】设22AF BF m ==，利用双曲线的定义及题中几何关系将m 用a c 、表示，再利用几何关系建立关于a c 、齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过2F 作2AB F N ⊥与N,设22AF BF m ==，则12AF m a =-，12BF a m =+，∴114AB BF AF a =-=，2AN a =，1F N m =，由题意知1230BF F ︒∠=，∴在12Rt F NF 中，212sin 30F N F F c ︒==，112cos30F N F F ︒==，∴m =，在2Rt ANF 中,22222AN NF AF +=,即())2222a c +=解得c a=双曲线C.故选：A.题型四利用第二定义求解20．已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则a b的值为．【答案】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法可求ab的值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，故2211222211ax by ax by ⎧+=⎨+=⎩，所以()()()()111122220a x y x y b x y x y -++-+=即()()1201200a x x x b y y y -+-=，所以0121200y y y a b x x x -+⨯⨯=-.因为过原点和线段AB中点的直线的斜率为002y x =-.由:1AB y x =-+可得12121y y x x -=--，所以()102a b ⎛⎫+⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以2a b =-.故答案为【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.21．已知椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，P ，Q 为C 上两点，2223PF F Q =，若12PF PF ⊥ ，则C 的离心率为（）A ．35B ．45CD【答案】D【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.【详解】设23PF m =，则22QF m = ，123PF a m =- ，122QF a m =- .5PQ m =在1PQF △中得：()()222232522a m m a m -+=-，即215m a =.因此225PF a = ，185PF a = ，212F F c = ，在12PF F △中得：22264442525a a c +=，故221725a c =，所以175e =.故选：D22．设1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若113MF F N =，且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为.【分析】如图，设1F N x =，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得3ax =，后在12NF F △由余弦定理可得12F F ，即可得答案.【详解】如图，设1F N x =，则13MF x =，4MN x =.又由椭圆定义可得2223,2MF a x F N a x =-=-.则在2MNF 中，由余弦定理可得:()()()222222222162234425825MN NF MF x a x a x MN NF x a x +-+---=⇒=⋅-()222288410101681868253x ax a x ax ax x x ax x x a x +⇒=⇒+=-⇒=⇒=-.则125,33a aF N NF ==，则在12NF F △由余弦定理可得：12F F a=.又12222c F F c c e a =⇒=⇒==.故答案为：2223．已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为2F ，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于,G H 两点，且222GF F H = ，则椭圆的离心率为（）A ．12BC ．23D【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与222GF F H =构建出关于a 、b 、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设()2,0F c ，()11,G x y ，()22,H x y ，过点2F 做倾斜角为π3的直线斜率k =直线方程为)y x c =-，联立方程)22221x y a by x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得22224123033a b y b cy b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，根据韦达定理：21222233cy y a b+=-+，4122233b y y a b =-+，因为222GF F H =，即()()1122,2,c x y x c y --=-，所以122y y =-，所以()22121242112221222323y y y y b y y y y a b⎛ +⎝⎭+=-=-=---+，即2224132c a b =+，所以22238a b c +=，联立22222238a b c a b c ⎧+=⎨=+⎩，可得2249a c =，24293e e =⇒=.故选：C.24．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1F ，过左焦点1F 作倾斜角为π6的直线交椭圆于A ，B 两点，且113AF F B =，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．23CD【答案】C【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得22239a b c +=，进而结合222a b c =+求解离心率.【详解】设()1,0F c -，()11,A x y ，()22,B x y ，过点1F 所作直线的倾斜角为π6所以直线方程可写为x c =-，联立方程22221x y a b x c ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222430a b y cy b +--=，()()22422043cb a b =++>∆，根据韦达定理：12y y +=412223b y y a b =-+，因为113AF F B =，即()()1122,3,c x y x c y ---=+，所以123y y =-，所以()2222212124211222233122333c a b y y y y b y y y y a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭+=-=-=---+，即2223133c a b =+，所以22239a b c +=，联立22222239a b c a b c ⎧+=⎨=+⎩，可得223a c =，2133e e =⇒=.故选：C25．设12,F F 分别为椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点，M 为椭圆上一点，直线12,MF MF 分别交椭圆于点A ，B ，若11222,3MF F A MF F B ==，则椭圆离心率为（）ABC ．37D【答案】D【分析】设出()00,M x y ，根据向量的定比分点，将,A B 两点的坐标表示成含00,x y 的式子，再代入椭圆方程联立即可解得2237a c =，即可求得离心率.【详解】如下图所示：易知()()12,0,,0F c F c -，不妨设()00,M x y ，()()1122,,,A x y B x y ，易知2200221x y a b+=，由112MF F A = 可得()()01012020c x x c y y ⎧--=+⎪⎨-=-⎪⎩，即0101322c x x y y --⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩同理由223MF F B = 可得0202433c x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；将()()1122,,,A x y B x y 两点代入椭圆方程可得22002222002232214331c x y a bc x y a b ⎧--⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎨-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=⎪⎩；即222000222220002296144168199c x cx y a bc x cx y a b ⎧+++=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，又2200221x y a b +=，整理得220220322c cx a c cx a ⎧+=⎨-=⎩解得2237a c =，所以离心率217c e a==；故选：D26．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，过左焦点F 且不与x 轴垂直的直线l 交E 于P 、Q 两点，若直线2a x c =-上存在点T ，使得PQT △是等边三角形，则E 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【分析】设直线PQ 的方程为x my c =-，其中0m ≠，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出PQ 的长以及等边PQT △的高，根据几何关系可得出a c 该椭圆离心率的取值范围.【详解】知点(),0F c -，设直线PQ 的方程为x my c =-，其中0m ≠，设点()11,P x y 、()22,Q x y，联立22221x my cx y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22222420a b m y b cmy b +--=，()()422422224244410b c m b a b m a b m ∆=++=+>，由韦达定理可得2122222b cmy y a b m +=+，412222b y y a b m=-+，所以，()2222221ab m PQ a b m+=+，设线段PQ 的中点为()00,M x y ，则21202222y y b cm y a b m +==+，22200222222b cm a cx my c c a b m a b m=-=-=-++，因为PQT △为等边三角形，则TM PQ ⊥，且直线TM 的斜率为m -，所以，()32220222a b a TM x c c a b m =+=+，且πtan3TM PM ==，即TM=，即()()322222222221a b m a b m c a b m +=++，整理可得(a c =1ca<<，故选：D.题型五利用第三定义求解27．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =故选：B ．【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.28．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（）A ．2BC ．3D【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y ，得22112222222211x y a b x y ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得到()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，代入条件即可计算离心率．【详解】设()()1122,,,B x y D x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a -=可得2ce a==．故选：A.【点睛】直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题，其解法可以利用“点差法”．29．已知椭圆，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．2B ．12C ．14D．2【答案】A【分析】点差法解决中点弦问题.【详解】由题意，设椭圆方程为22221x y a b+=，有(),0F c -，()0,P b -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，122x x ∴+=，121y y +=．//PF l ，1212PF l y y b k k c x x -∴==-=-．由2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，即1212221212()()()()x x y y a y y b x x +-=-+-，∴222a cbb =，可得：22bc a =，22244()c a c a ∴-=，化为：424410e e -+=，解得212e =，01e <<，e ∴=故选：A ．30．已知F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别为双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，直线l ：x y c b +=1与C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于T （﹣5c ，0），则C 的离心率为（）ABCD【答案】D【分析】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为S (x 0，y 0)，运用点满足双曲线方程，作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件，以及双曲线的离心率公式，计算可得所求值．【详解】设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为S (x 0，y 0)，联立方程组2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减可得b 2(x 12﹣x 22)=a 2(y 12﹣y 22)，可得b 2(x 1﹣x 2)(x 1+x 2)=a 2(y 1﹣y 2)(y 1+y 2)，可得2b 2(x 1﹣x 2)x 0=2a 2(y 1﹣y 2)y 0，所以kMN 20122120b x y y b c x x a y -=-==-，即b c -2020y b x a⋅=（1），由kMN ⋅kST =-1，可得b c -⋅005y x c =-+1（2），由（1）（2）可得x 025a c =-，y 0=5b ，即S (25a c -，5b )，又S 在直线l 上，所以225a c-+5＝1，解得e c a ==故选：D ．【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质，考查了点差法和方程思想、运算求解能力，属于中档题．31．（多选）已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B ．椭圆CC ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为c e a ==，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()222121224F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．32．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点M ，点F 为右焦点，点P 为下顶点，2FP MF = ，则椭圆的离心率为.【分析】过M 作MN x ⊥轴于N ，根据相似关系确定3,22c b M ⎛⎫⎪⎝⎭，代入方程计算得到答案.【详解】如图所示：过M 作MN x ⊥轴于N ，2FP MF = ，则122b MN OP ==，122c NF FO ==，故3,22c b M ⎛⎫⎪⎝⎭，则222291441c b a b+=，整理得到29344e =，故33e =.题型六与斜率乘积相关33．已知A ，B 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右顶点，F 是C 的焦点，点P 为C 的右支上位于第一象限的点，且PF x ⊥轴.若直线PB 与直线PA 的斜率之比为3，则C 的离心率为（）ABC ．2D ．3【答案】C【分析】由已知可得A ,B ,P 的坐标，求得PA ,PB 所在直线的斜率，再由直线PB 与直线PA 的斜率之比为3列式求双曲线C 的离心率．【详解】由题意可得，(,0)A a -，(,0)B a ，P 点的横坐标为c ，代入22221c y a b-=，又0P y >，所以2(,)b P c a ，2PAb a kc a =+，2PBb a kc a =-，则3PBPAk c a kc a +==-，可得2ca=．即双曲线的离心率为2．故选：C ．34．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点A 满足3OA OF = ，点P 、Q 在双曲线上，且2AQ AP = ．若直线PQ ，PF 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为．【详解】如图，取P ，Q 的中点为M ，连接OM ，PF，则由题意可得，2PA PM =，2AF FO =，所以APF ，AMO 相似，所以PF MO ∥，因为直线PQ ，PF 的斜率之积为13，所以13PQ OM k k =⋅，设()11P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,且22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=,即()()()()2121221212y y y y b x x x x a +-=+-，即2213PQ OMb k a k ==⋅，即2213b a =，所以双曲线的离心率为233e ===．35．设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(),0F c ，点()3,0A c 在椭圆外，P 、Q 在椭圆上，且P 是线段AQ 的中点.若直线PQ 、PF 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为.【答案】2【分析】取线段PQ 的中点M ，连接OM ，推导出//OM PF ，可得出12OM PQ PF PQ k k k k ==-，利用点差法可求得22b a的值，由此可求得椭圆Γ的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，点(),0E c -为椭圆Γ的左焦点，因为点()3,0A c 、(),0F c ，易知点F 为线段AE 的中点，又因为P 为AQ 的中点，所以，//PF QE ，取线段PQ 的中点M ，连接OM ，则2AP AF PMOF==，所以，//OM PF ，所以，OM PF k k =，故12OM PQ PF PQ k k k k ==-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a -=--，所以，122221212222121212012202OM PQy y y y y y b k k x x x x x x a +---=⋅==-=-+---，所以，椭圆Γ的离心率为2c e a ====.故答案为：22.36．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为13c ．若直线l 与直线PF 的斜率之积等于316-，则C 的离心率为．【答案】12/0.5【分析】设()()1111,,,A x y B x y ，求出PF 的斜率，利用点差法求出直线l 的斜率，在根据题意求出,,a b c 之间的关系即可得解.【详解】(),0F c -，设()()1111,,,A x y B x y ，因为点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为13c ，所以12122,,332y y c c x x P +⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()121212123224832PFy y y y y y k x x c c c+++===++，由直线l 与C 相交于A ，B 两点，得2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得2222112222220x y x y a b a b+--=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即212122l k y y x x b a⋅=++-，所以()222221211223l x x c y y b b k a y a y +=-=-⋅+⋅+，则()()2212122233623841l PFy y b b k a c y y k c a +⋅=-⋅⋅=-=-+，所以2234b a =，所以离心率12c e a ===.故答案为：12.37．双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点为A ，点,M N 均在C 上，且关于y 轴对称.若直线AM ，AN的斜率之积为54-，则C 的离心率为（）A ．32B C ．2D 【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得22b a，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意(),0A a -，设(),M m t ，则(),N m t -，m a >且222222222222221,m t a b t a t a m a a b b b+-===+，而22254AM ANt t t k k m a m a a m ⋅=⋅==-+-+-，()222222222225455t a t a t m a a a b b ⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭，2254b a =，所以32c e a ==.故选：A38．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，P 、Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，若直线AP ，AQ 的斜率之积为25-，则C 的离心率为（）A B C D 【答案】A【分析】根据题意结合椭圆方程整理得22AP AQ b k k a⋅=-，进而可求离心率.【详解】由题意可知：(),0A a ，设()()000,0P x y y ≠，则()00,Q x y --，可得000000,AP AQ y y y k k x a x a x a -===---+，则200022000AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅=-+-，又因为点()00,P x y 在椭圆上，则2200221x y a b +=，整理得()2222002b y a x a=-，可得()222220202222200APAQb a x y b a kk x a x a a-⋅===---，即2225b a -=-，所以C的离心率155e ===.故选：A.39．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 是C 上的任意两点，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为19，则C 的离心率为（）AB．3CD【答案】C【分析】设00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，根据斜率公式结合题意可得19AP AQ k k ⋅=，再结合2200221x y a b+=可求出离心率.【详解】由题意得(,0)A a -，设00(,)P x y ，因为点P ，Q 是C 上的任意两点，且关于y 轴对称，所以00(,)Q x y -，2200221x y a b +=，所以0000,AP AQ y yk k x a a x ==+-，所以20002200019AP AQy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+--，因为2200221x y a b +=，所以2222002()b a x y a-=，所以2220222220()19b a x b a a x a -==-，所以离心率c e a =====，故选：C题型七焦点三角形双余弦定理模型40．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线在第一象限与双曲线相交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且2232AF F B =，1AF AB = ，则双曲线的离心率为.【分析】根据题意，设()230AF t t => ，利用由双曲线的定义，求得23AF a = ，22F B a = ，15AF AB a == ，分别在12AF F △和1AF B △中，由余弦定理，列出方程，求得,a c 关系式，即可求解.【详解】因为2232AF F B =且1AF AB = ，可设()230AF t t => ，则212,5F B t AF AB t === ，由双曲线的定义，可得1222AF AF t a -==，所以t a =，所以23AF a = ，22F B a = ，15AF AB a ==，分别在12AF F △和1AF B △中，可得()()()()()()222222532552cos 253255a a c a a a A a aa a+-+-==⨯⨯⨯⨯，整理得：285c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以双曲线的离心率为5..41．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点．过1F 作双曲线Γ一条渐近线的垂线，垂足为D ，若2DF OD =，则双曲线Γ的离心率为．【分析】先由已知双曲线方程得出一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出1DF ，进而求出OD ，2DF ，再利用余弦定理得出a 与c 的关系，进而求出离心率.【详解】由双曲线2222:1(0,0)x y a b a b Γ-=>>的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为b y x a =-，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c .由1F 作该渐近线的垂线，则由点到直线的距离公式可得1DF b =，所以OD a ==，所以2DF =，由于1FOD ∠与2F OD ∠互补，所以12cos cos 0F OD F OD ∠+∠=，即2222228022a c b a c a ac ac+-+-+=，可得225c a =，则离心率c e a ==42．已知1F ，2F 分别是双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，25CB F A =uu r uuu r，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A B C D ．83【答案】A【分析】因为25CB F A =uu r uuu r，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则28F C c =，设1AF t =，则15BF t =，4AB t =．由角平分线的性质可得24AF t =，由双曲线的定义可得23at =，22BF t =，再结合余弦定理可得226c t =，从而可求解.【详解】因为25CB F A =uu r uuu r，则2//CB F A ，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则28F C c =，设1AF t =，则15BF t =，4AB t =．因为2BF 平分1F BC ∠，由角平分线定理可知，11222841BF F F c BCF Cc ===，所以1420BC BF t ==，所以2145AF BC t ==，由双曲线定义知212AF AF a -=，即42t t a -=，23at =，①又由122BF BF a -=得2522BF t a t =-=，在2ABF △中，由余弦定理知2222222222164161cos 22424AB BF AF t t t ABF AB BF t t +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，在12F BF 中，由余弦定理知22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅，即222125444252t t c t t +-=⨯⨯，化简得226c t =，把①代入上式得22249a c =，解得c e a ==故选：A ．43．已知双曲线E ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与E 交于A ，B两点（B 在x 轴的上方），且满足1117AF F B =．若直线的倾斜角为120°，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．72C ．52D ．32【答案】D【解析】设1,F B k = 则117AF k = ,由双曲线的定义知,2212,27F A a k F B a k =+=+，在12AF F ∆和12BF F ∆中分别利用余弦定理,然后两式相减即可求解.【详解】设1,F B k = 则117AF k = ,则122F F c =,由双曲线的定义知,2212,27F A a k F B a k =+=+,在12AF F ∆中,由余弦定理可得,22221121122cos 60AF AF F F AF F F =+-⋅⋅ ，即()222111122227772a k k c k c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在12BF F ∆中,由余弦定理可得,22221121122cos120BF BF F F BF F F =+-⋅⋅即()()222122222a k k c k c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭两式相减可得,843a c =,所以离心率32c e a ==.故选:D【点睛】本题考查双曲线及其性质、直线与双曲线的位置关系,及三角形中的余弦定理;考查运算求解能力和转化与化归能力;双曲线定义的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.44．已知12,F F 分别为双曲线()2222100x yC a b a b-=>>：，的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线左支交于,A B 两点，且113AF BF =，以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点B ，则C 的离心率为（）A ．3B ．2CD 【答案】B【分析】设1BF m =，利用双曲线定义表示出22,BF AF 的长，再利用勾股定理可得()()22222m m a c ++=，在12BF F △和12AF F △中，分别利用余弦定理可得223b m a =，联立两式即可得离心率e ==【详解】如下图所示，连接22,BF AF ，易知以O 为圆心，2OF 为半径的圆经过点1F ，即12F F 为圆O 的直径，所以12BF BF ⊥；不妨设()1,0BF m m =>，则13AF m =，由双曲线定义可得222,32,BF m a AF m a =+=+所以2221212||||BF BF F F +=，即()()22222m m a c ++=，整理得2222m am b +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①在12BF F △中可得，()2222124244cos 224m c m a b am BF F m c mc+-+-∠==⋅；在12AF F △中可得，()2222129432412cos 23212m c m a b am AF F m c mc+-+-∠==⋅⋅；又易知1212cos cos 0BF F AF F ∠+∠=，可得223b m a=⋅⋅⋅⋅⋅⋅②联立①②可得，2232a b =，则双曲线的离心率为e ==故选：B45．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线3y x =与双曲线C 交于A ，B两点（点A 在第二象限），且12AB F =.则双曲线C 的离心率为（）A BC ．13+D 【答案】A【分析】根据直线斜率可得倾斜角，作焦点三角形，利用余弦定理，结合双曲线的定义，可得答案.【详解】因为12AB F F =，所以OA =因为AB k =130AOF ∠=︒.所以。
离心率题型专练
1．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） A.31+ B.312+ C.512+ D.51- 【答案】A.【解析】试题分析：由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=，又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=，2160PF F ∠=， ∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==+. .考点：双曲线的性质.2．已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（ ） A.332 B.315 C.2 D.210【答案】A 【解析】试题分析：因为直线AB 过原点，且在双曲线上，所以,A B 两点关于原点对称，则可设111122,,,,,A x y Bx y P x y ，所以2121PAy y k x x ，2121PB y y k x x ，由题意得222121212221212113PA PBy y y y y y k k x x x x x x ，又由2211221x y a b ，2222221x y a b ，相减得2222212122x x y y a b ，即222212222113y y b a x x ，2213b a ，所以2222242333a c ab eaa a .故正确答案为A. 考点：1.直线与双曲线；2.双曲线的离心率.3．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是A ．21 B ． 22 C ．23 D ．41【答案】A【解析】试题分析：如下图所示设21F PF ∆的内切圆半径为r ，根据内心的性质，有111||2IPF S PF r ∆=⋅，221||2IPF S PF r ∆=⋅，12121||2PF F S F F r ∆=⋅． 12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，即1212111||||2||222PF r PF r F F r ⋅+⋅=⨯⋅1211||||2||PF PF F F ∴+=故椭圆的离心率1212||212||||2F F c c e a a PF PF ====+，所以正确选项为A ． 考点：①三角形内切圆的性质；②椭圆的定义和性质．4．已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b -=的离心率，则12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定【答案】B 【解析】试题分析：由题意，,0>>b a ab a e a b a e 222221,+=-=，1)(1421<-=a b e e12lg lg e e +)lg(21e e =01lg =<，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.5．过椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）． A.25 B.33 C.21 D.31【答案】B 【解析】试题分析：由题意得点P 的坐标为),(),(22ab c a b c ---或，因为02160=∠PF F所以322=ab c ，即)(332222c a b ac -==，所以03232=-+e e 解得333-==e e 或（舍去），答案为B 考点：椭圆的简单性质6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A.0,2⎛⎝⎭ B.⎛ ⎝⎭C.[,1)2D.[2 【答案】A【解析】试题分析：如图所示，若椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，由于自椭圆长轴端点（顶点）所做圆的切线形成的角最小，所以045APO ∠>,0sin sin 45APO ∠>，即2b a >，所以22212b e a =-<，选A .考点：1.椭圆的几何意义；2.直线与圆的位置关系.7．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 【答案】A 【解析】 试题分析：：∵B 和A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为F ′根据椭圆定义：a F A AF 2||||='+又∵=||AF ||BF ∴+||AF ||BF a 2= ①o 是ABF Rt ∆的斜边中点，∴c AB 2||=又αsin 2||c AF = ②αcos 2||a BF = ③②③代入①αsin 2c +αcos 2a a 2= ∴)4sin(21cos sin 1πααα+=+=a c即)4sin(21πα+=e⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα∴125π24ππα≤+≤,1)4sin(426≤+≤+πα 所以1322-≤≤e . 考点：椭圆的性质．8F ，过F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A 、210B 、5C 、2D 、5 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线的右焦点为F ',||,||,||b EF a OE c OF =∴== 因为E 为PF 的中点， ∴a F P b PF 2||,2||='=， ∵a F P PF 2||||='- ∴a b 2=，所以，5122=+=ab e .考点：双曲线的性质和应用.9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ）A B D 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得：A 点坐标为（a ，0），直线AB 的方程为0=-+a y x ，双曲线的渐进线的方程为x a by ±=，联立方程可的B 、C 两点的坐标分别为),(2b a ab b a a ++，),(2ba abb a a ---，由12AB BC =得ab 2=，所以离心率5)2(222222=+=+==aa a ab a ac e ，答案选 C. 考点：10．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 【答案】A【解析】试题分析：由题意得双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的一条渐近线方程是x aby =，则H F 2方程为)(0c x b a y --=-代入渐近线方程x aby =可得),(2c ab c a ，故H F 2的中点)2,2(2c ab c a c M +中点在双曲线上，所以,144)(2222222=-+cb b a ac a c 所以222=a c ，所以2=ac，所以双曲线C 的离心率2. 考点：双曲线的标准方程及简单性质的应用.11．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：结合图形，得出a 、b 之间的关系，再根据a 2=b 2+c 2推导出a 、c 之间的关系，根据e=求解即可．解：∵从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，∴tan60°==，∴a 2=3b 2=3（a 2﹣c 2）⇒2a 2=3c 2⇒=，∴e==．故选D点评：本题考查椭圆的离心率．12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．解：由题意可知，|F1F2|=2c，∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．13．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x ym+=的离心率为（）A．22B3 C．223．226【答案】C【解析】试题分析：由2，m，8构成一个等比数列，可得m＝4或m＝－4当m＝4时，2212x ym+=表示椭圆，其中a＝2，b2，故c2离心率为e＝22 ca=当m ＝－4时，2212x y m +=表示双曲线，其中a，b ＝2，故c离心率为e＝ca=考点：等比数列，椭圆与双曲线的离心率14．从一块短轴长为b 2的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[]224,3b b ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35C.⎥⎦⎤ ⎝⎛35,0D.⎥⎦⎤⎝⎛23,0【答案】B【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为2222x y a b+=1，在第一象限内取点（x ，y ），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜2π）， 则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab ，由已知得：3b 2≤2ab≤4b 2，3b≤2a≤4b ，平方得：9b 2≤4a 2≤16b 2， 即，9（a 2-c 2）≤4a 2≤16（a 2-c 2），整理得5a 2≤9c 2且12 a 2 ≥16 c 2，∴32c a ≤≤，即e ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35，故选B. 考点：椭圆的基本性质，离心率.15．已知二次曲线224x y m+=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A．22 B．[22 C．,22 D．22【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且m b a -==22,4，所以m c -=42，因为[]1,2--∈m ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==26,2524m a c e ，所以选C ． 考点：双曲线性质的应用．16．已知双曲线方程224312x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A.73B.3【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程224312x y -=，即22134x y -=，则2a b ==，c ==3c e a ===.故正确答案为B. 考点：双曲线方程、离心率.17．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y =，则双曲线的离心率是( )B.322 【答案】D【解析】试题分析：由题意b a =，∴22)14(be a=+= ，∴2e =，故选：D ． 考点：双曲线的简单性质．18．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．16 B ．13C．6 D．3【答案】D【解析】试题分析：∵线段1PF 的中点在y 轴上设P 的横坐标为x ，()0,1c F -，∴c x x c =⇒=+-0； ∴P 与2F 的横坐标相等，∴x PF ⊥2轴，考点：椭圆的性质.19．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．45 B ．2 C ．2 D ．35【答案】D【解析】试题分析：由已知得，在12PF F ∆中，212PF F F ==2c ，由双曲线定义得，122PF a c =+，过点2F 作21F M PF ⊥，垂足为M ，则在2Rt PF M ∆中有222()(2)(2)a c a c ++=，化简得2252ac 3c 0a +-=，23e 2e 50--=，得5e 3=．考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质．20．已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当12PF F 的面积等于2a 时，双曲线的离心率为 （ ） A ．2 B ．3 C ．26D ．2 【答案】A【解析】试题分析：设c F F x PF x PF 2,,212211===，由于三角形21F PF 为直角三角形，()22222142c c x x ==+∴由双曲线的定义得a x x 221=-，两边平方得222212142a x x x x =+-，得()22212a c x x -=，由三角形的面积得22121a x x =，得2212a x x =，222a a c =-∴，即222a c =，离心率222===a c a c e ，故答案为A ．考点：双曲线的性质．21．．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点A 作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M ,N 两点，F 为该双曲线的右焦点，若△FMN 的内切圆恰好是222x y a +=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0=±ay bx ，直线ax -=与渐近线的交点()()b a N b a M ---,,,，由于()0,c F ，()22b c a FN ++=，根据FON ∆面积公式得()bc a b c a ⋅=⋅++⋅212122，()bb c a ac e 22++==∴，1222222222-+=-+=∴e ee a c ac c e 化简得0233=--e e ，解得2=e 考点：双曲线的离心率．22．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）B.1223【答案】C【解析】试题分析：直线220x y -+=与两坐标轴的交点为()()0120，，， ，而椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点一定在x轴上，所以，1,2b c a ==⇒===，所以5c e a ===故选C.考点：椭圆的标准方程与简单几何性质.23．已知2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为1k ，2k （1k 2k ≠0），若｜1k ｜＋｜2k ｜的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．3试题分析：设()ααsin ,cos b a P ()()aa b k a a b k a N a M +=-=∴-ααααcos sin ,cos sin 0,,0,21则 =+∴21k k ()()()()aba b a b b a a b a a b 2sin 2cos 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos sin cos sin ≥=+--++=++-ααααααααααα，由题意可得：12=ab所以23=e . 考点：椭圆的性质. 24．双曲线12222=-b x a y 与抛物线y x 82=有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实 轴的弦长为332，则双曲线的离心率等于 （ ） A.2 B.332 C.223 D.3 【答案】B【解析】试题分析：在双曲线12222=-bx a y 中，令22b a y +=，得到a b x 2=，所以双曲线上过点f 且垂直轴的弦长为2a b 2∴2ab 2=332又因为抛物线y x 82=的焦点为(0,2) 所以a²+b²=4两式联立，得到3a =，得b=1，所以离心率e=332，故选B. 考点：圆锥曲线性质.25．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A C试题分析：设)0,(),0,(21c F c F -，易求M 坐标为),(2a b c M ，在三角形21F MF 中，3330tan tan 212021===∠F F MF F MF 即3322222=-=ac a c ac b ，由a c e =得3=e ，答案选B.考点：双曲线的性质26．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．),23(+∞B ．)23,1( C ．),2(+∞ D ．)2,1( 【答案】C 【解析】将222a c b -=，并化简整理，得0222<-+c ac a ，两边都除以2a ，整理得022>--e e ，解之得2>e （舍负）故选：C . 考点：双曲线的简单性质 .27．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为02=±y x 的双曲线有相同的焦点21,F F ,P 为它们的一个公共点,且 9021=∠PF F ,则椭圆的离心率为（ )（A ）6（B)6 （C ）6 （D)6【答案】C【解析】试题分析：解：设F 1F 2=2c ，在双曲线中，=，a 2+b 2=c 2，得a 2=．不妨设p 在第一象限，则由椭圆的定义得PF 1+PF 2=，由双曲线的定义得PF 1-PF 2=2a=又∠F1PF2=90°∴PF 12+PF 22=4c 2∴48+=8c 2，解c=，∴e===．故选C考点：椭圆及其性质．28．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为 （A ）324 （B ）233 （C ）305 （D ）52【答案】B 【解析】试题分析：双曲线22221(x y a b a b -=>>的渐近线方程为x aby ±=，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴2222212b a abab a bk OA-=-=，∴直线l 的方程为)(222c x b a aby --=，与x a b y ±=联立，可得2232b a abc y --=或222ba abcy +=， ∵FB AF 2=， ∴)32(222222b a abc b a abc -⋅=+，∴c=2b ，考点：双曲线的简单性质.29．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且||5PF =，则双曲线的离心率为A ．2 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()()0,2,0,21F F -，且两曲线的一个公共点为P 在y 轴右侧，因为||5PF =，因此可设点()62,3P ,所以71=PF ,所以221=-=PF PF a ， 所以双曲线的离心率为2==ace ． 考点：双曲线、抛物线的定义及性质．30．对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点则，双曲线的离心率等于A ．2B ．2C ．3D ．10 【答案】D【解析】试题分析：由条件可得：双曲线的渐近线方程为x aby ±=，又因为直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，所以直线03=+-m y x 与渐近线方程x aby ±=平行，所以3=a b ，所以双曲线的离心率1010===a a a c e ． 考点：双曲线的性质．31．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于A ．13 B ．12C ．22D ．32【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的方程为：()012222>>=+b a by a x ，则由题意可得c b =，所以椭圆的离心率22==a c e ． 考点：椭圆的离心率．32．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,∵ 过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ , 2222,,2c a b c a b b e a ∴=∴=-=∴== .故选A. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 33．设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：将双曲线的渐进线方程x aby =代如抛物线方程y=x 2+1中化简得02=+-b ax bx ，由只有一公共点可知0422=-=∆b a 即224b a =，所以，答案选D.考点：1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系 34．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12 B. 23 C.34 D.45【答案】C 【解析】试题分析：∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|=|F 2F 1|∵P 为直线32ax =上一点332()224a c c c e a ∴-=⇒==,故选C ．考点：椭圆的几何性质．35．已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） 36 【答案】B 【解析】试题分析：抛物线24y x =的准线为1x =-，它与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B两点，则坐标为211,1a ⎛-- ⎝，抛物线的焦点(1,0)F ，因为FAB ∆为直角三角形，2112a -=，从而有5a =65c =，因此6ce a == B. 考点：圆锥曲线的性质.36．已知F 2、F 1是双曲线22y a -22x b=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 BC ．2 D【答案】C 【解析】试题分析：设2F 关于渐近线的对称点为P ，P F 2的中点为M ，连接1,PF OM ，则1//PF OM21PF PF ⊥∴，又c F F 221= ，c PF =1，点2F 到渐近线的距离b ba bc d =+=22()()22222b c c +=∴，即224a c =，2=e考点：双曲线性质的应用.37．已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）【答案】B 【解析】试题分析：由题意知圆的圆心()0,a 半径a r =∴圆的方程()222a y a x =+-，渐近线方程x aby =即0=-ay bx 渐近线分弧长为1：2，劣弧所对角为32π由余弦定理得弦长2222332cos 2a a a a a l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+=πa l 3=∴，圆心()0,a 到直线0=-ay bx 的距离22322aa d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222aba ab =+∴化简得223b a =3323422222==+===∴a b a a c a c e 考点：双曲线性质的综合应用.38．斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B.)3,1(C.)5,1(D.),5(+∞ 【答案】D【解析】试题分析：如图,要使斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需2>ab即可,从而有5442222222>⇔>-⇔>ac a a c a b 所以有离心率5>e ,故选D.考点：双曲线的离心率.39．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ） 2 B.123 D.13【答案】B 【解析】试题分析：抛物线22y px =（0p >）的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，它也是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的一个焦点，所以有2pc =①，由两曲线交点的直线恰过点F ，可知它们在第一象限的交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，此点也在双曲线上，故有222214p p a b -=②，由①②消去p ，得222241c c a b-=，即422460c a c a -+=，即42610e e -+=，因为1e >，所以12e =+选择B ，求离心率的值关键是寻找到关于,,a b c 的等式，然后转化到e 的方程，从而解出e .考点：圆锥曲线的性质40．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5B 175214【答案】C 【解析】试题分析：由已知，|OA|＝a 11设OA 所在渐近线的方程为y ＝kx(k ＞0)，于是A 点坐标可表示为A(x 0，kx 0)(x 0＞0) 于是20111k x +，即A(221111,11k k k ++)，进而AB 的一个三分点坐标为221111,3131k k k ++)该点在椭圆C 1上，有222119(1)111119(1)k k k ++=+，即2211119(1)k k +=+，得k ＝2 即b a ＝2，于是225c a b a +，所以离心率5c e a=，选C考点：圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.。
椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015•高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=•|F1F2|•|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴•|F1F2|•|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A．B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2a⇒e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设椭圆（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解答：解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P（﹣c﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A． B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），答：∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）解：如图所示，解答：设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且•=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵•=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足•=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，] C．[，1）D．[，]解解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=+，答：化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C． D．解解：由题意知c=1，离心率e=，答：椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF|=a+c，|BF2|=，2∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．解解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．答：②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
专题十：求椭圆的离心率
专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。
离心率练习(含答案)
一、填空题1. 过双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线,切点为E,延长FE 交抛物线24y cx =于点P ,若E 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为 .2. 已知双曲线22221x y ab-=()0,0a b >>的半焦距为c ，若240b ac -<，则它的离心率的取值的范围是______ ____.3. 设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左,右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率是 .4. 双曲线1422=-kyx的离心率)2,1(∈e ，则实数k 的取值范围是．二、选择题 5. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左右焦点分别为21,F F , P 为双曲线右支上的任意一点，若||||221PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率的取值范围是( )A. (1，+)∞B.]2,1(C.]3,1(D.(1,3]6. 如果椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，那么双曲线22221x y ab-=的离心率为（ ）A．2B ．54CD ．27. 已知双曲线22221x y ab-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B．3C ．54D．28. 双曲线C 的方程为212222,),0,0(1l l b a by ax >>=-为其渐近线，F 为右焦点，过F 作2//l l 且l 交双曲线C 于R ，交1l 于M 。
若)32,21(,∈=λλ且FM FR ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)5,3(D ．),5(+∞9. 设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B C 2D 10. 设点P 是双曲线22221(,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率A ．B ．2C D 211.线的离心率等于 （A ）22 （B ）2 （C ） 2 +1 （D ）312. 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为 A.2B. 21+C. 3D. 31+13. 若在双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. e >B. 1e <<C. 2e >D. 12e <<14. 已知点12F F 、分别是双曲线22221x y ab-=的左右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B、两点，若1ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．1,)+∞B ．C ．(1,1+D ．)+∞15. 已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．（1，+∞）B ．C ．(1,1+D ．(1)++∞16. F1和F2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+17. 直线L 经过双曲线2221xab2y －＝（a>0，b>0）右焦点F 与其一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐近线交于B 点，AF＝12FB ，则双曲线的离心率为（A）4 （B）3（C（D ）2 18. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：2221x ab2y －＝（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，且∠F 1MF 2＝90°，则双曲线的离心率为 （A）（B（C ）2 （D ）319. 已知双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为左支一点，P 到左准线的距离为d ，若12,||,||d PF PF 成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．12⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭B．11,2⎛+⎝⎦C．)1⎡++∞⎣D．(1,1+20. 在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221x y ab+=（a >b > 0）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点P （2ac，0）作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B2C4D21. 已知椭圆222:1(03)9xy C b b+=<<的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆C 短轴的一个端点，直线AF 1与C 的另一个交点为B ，若|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B2C3D ．2322. 以椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（A）2（B）2（C）2（D）223. 椭圆的长轴为A 1A 2，B 为短轴的一个端点，若∠A 1BA 2=120°，则椭圆的离心率为A ．36 B ．21 C ．33 D ．2324. 椭圆M: )0(1a2222>>=+b a by x的左，右焦点分别为,,21F F 且1F P ·2F P 的最大值的取值范围是〔223,2C C 〕，则椭圆M 的离心率的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,23 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31 25. 如图所示，已知椭圆的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，A 为椭圆的左顶点，B ，C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝45°，则椭圆的离心率等于()A2B3C3D326. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A3B．3C．2D227. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若32AFFB =，则椭圆的离心率等于（A ）25（B）3（C ）12（D ）23答案1.22. (1,2+3.1+ 4. （0，12 ）5. D 6. A 7. A 8. B . B 10. D 11. B 12. D 13. C 14. C 15. D 16. D 17.B 18.C 19.D 20. B 21. B 22. A 23. A 24. A 25. C 26. A 27. A。
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C的离心率为（）A． B ．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．7．已知F（1﹣ c，0），F（2 c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C ．D．8．椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为 M，若A． B．2﹣MF1垂直于x C．2（2﹣轴，则椭圆的离心率为（）D．）9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．P，使得12．设椭圆 C 的两个焦点为F1、 F2，过点 F1的直线与椭圆C交于点M，N，若 |MF2 |=|F 1F2| ，且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13（．2015?高安市校级模拟）椭圆 C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若 F 关于直线x+y=0的对称点 A 是椭圆A．B．C 的离心率为（）C 上的点，则椭圆C． D ．一l14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．15．已知椭圆若 |PF2|=|F 1F2| ，且（ a＞ b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（F1的直线交椭圆于）P，Q两点，A．B．C．D．16．已知椭圆 C：轴正半轴上一点，直线MF2交C 于点的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为 yA，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆 C的中心为 O，两焦点为 F1、F2，M是椭圆 C上一点，且满足 ||=2||=2|| ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B． C ． D ．﹣120．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）22．设 F1、F2为椭圆 C： + =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线 l 过焦点 F2且与椭圆交于 A， B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2=（）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6 D．9﹣ 623．直线 y=kx 与椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）交于 A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0， ] B．（0， ] C． [ ， ] D． [ ， 1）24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C． [，1）D． [，]25．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA= ，则椭圆 C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．参照答案与试题剖析一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：①当点P 与短轴的极点重合时，答：△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△F1F2 P；②当△F1F2 P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2 =F1 P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△F1F2P，在△F F P 中， F1F2+PF1＞ PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，1 2 1由此得知 3c＞a．因此离心率 e＞．当 e= 时，△F1 F2 P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当 F P 为等腰三角形的底边时，在 e 且 e≠时也存在 2 个1满足条件的等腰△F 1 F2P这样，总合有 6 个不同样的点P 使得△F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞ b＞ 0， a＜2b它对应的平面地域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P== ，应选 B．3．已知椭圆（ a＞ b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若 AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．解解：已知椭圆（ a＞b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点B，答：F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接 AF，AN， AF， BF因此：四边形AFNB为长方形．依照椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ ANF=α．因此： 2a=2ccosα+2csin α利用 e==因此：则：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．解解：两个交点横坐标是﹣c，c答：因此两个交点分别为（﹣c，﹣c）（ c，c）代入椭圆=1两边乘 2a2 b2则c2（ 2b2+a2）=2a2b222 2∵b=a ﹣ cc2（ 3a2﹣ 2c2）=2a^4﹣ 2a2 c22a^4﹣ 5a2c2+2c^4=0（2a2﹣ c2）（a2﹣ 2c2）=0 =2，或∵0＜ e＜ 1因此 e= =应选 A5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B ．C．D．解解：设|PF2|=x ，答：∵PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F2|=x，又|PF1|+|PF 2|=2a ， |F 1F2|=2c∴2a=3x， 2c= x，∴C的离心率为： e= =．应选 A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．解解：设 P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，答：∴G点坐标为 G（，），∵，∴ IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2 中，|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c∴= ?|F 1F2|?|y 0|又∵I为△F1PF2 的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴= （|PF1|+|F 1F2|+|PF 2 | ） | |∴?|F 1F2|?|y 0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即 ×2c?|y 0|= （ 2a+2c ）|| ，∴2c=a ，∴椭圆 C 的离心率 e= =应选 A7．已知 F （1 ﹣ c ，0），F （2 c ，0）为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解 解：设 P （m ，n ），=（﹣ c ﹣m ，﹣ n ）?（ c ﹣ m ，﹣ n ）222，答： =m ﹣c +n222222①．∴m +n =2c ， n =2c ﹣m把 P （m ， n ）代入椭圆2 22 22 2②，得 b m+a n =a b把①代入②得 22 22 2， m=≥0，∴a b ≤2a cb 2≤2c 2， a 2 ﹣c 2≤2c 2，∴≥ ．2222﹣ 2c 2≥0，又 m ≤a，∴≤a，∴≤0，故 a∴ ≤ ．综上，≤ ≤ ，应选： C ．8．椭圆+ =1（ a ＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别是 F 1， F 2，过 F 2 作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为 M ，若 MF 1垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣ ）D ．解解：如图，答：在 Rt△MF1F2中，∠ MF2F1=60°， F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2 c=2a? e= =2﹣，应选 B．9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若 C上的点 P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B． C ．D．或解解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ |PF1|==3c，答：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF 2|=2a ，∴ |PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（ 2a﹣ 3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣ 3c ，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．10．设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解： F1（﹣ c，0），F2（c， 0），c＞0，设 P（ x1，y1），答：则 |PF1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex1．在△ PF1F2中，由余弦定理得cos120°= =，解得 x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e= ≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．应选 A．P，使得11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解解：设 P（asin α， bcosα），A1（﹣ a， 0）， A2（a， 0）；答：∴，；∴；∴；∴，a，c＞ 0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．应选： C．12．设椭圆 C 的两个焦点为 F 、 F ，过点 F 的直线与椭圆 C交于点 M，N，若 |MF |=|F F | ，1 2 1 2 1 2 且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（ a＞b＞0），答：F1（﹣ c，0），F2（ c， 0），|MF2|=|F 1F2|=2c ，由椭圆的定义可得|NF2|=2a ﹣ |NF1 |=2a ﹣3，|MF2|+|MF 1 |=2a ，即有 2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点 K，连接 KF2，则 KF2⊥MN，由勾股定理可得 |MF2 | 2﹣ |MK| 2=|NF2| 2﹣ |NK| 2，即为 4c2﹣ 4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为 a+c=12，②由①②解得a=7， c=5，则离心率e= = ．应选：D．13．椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0 的对称点 A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（）A．B．C． D ．一l解解：设F（﹣ c， 0）关于直线x+y=0 的对称点A（ m， n），则答：，∴m= ， n= c，代入椭圆方程可得，化简可得 e4﹣ 8e2+4=0，∴e=﹣1，应选： D．14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．解解： F ， F 分别为椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点，1 2答：设 F1（﹣ c， 0）， F2（c， 0），（c＞ 0），P 为椭圆上一点，且 PF 垂直于 x 轴．若 |F F |=2|PF | ，2 1 2 2可得 2c=2 ，即 ac=b2=a2﹣ c2．可得 e2+e﹣ 1=0．解得 e= ．应选： D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过 F1的直线交椭圆于P，Q两点，若 |PF2|=|F 1F2| ，且 2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解解：由题意作图如右图，答：l 1， l 2是椭圆的准线，设点Q（ x0， y0），∵2|PF 1|=3|QF 1 | ，∴点 P（﹣c﹣ x0，﹣y0）；又∵ |PF 1|= |MP| ， |QF1 |=|QA| ，∴2|MP|=3|QA| ，又∵ |MP|=﹣ c﹣ x0+ ∴3（ x0+ ） =2（﹣， |QA|=x 0+c﹣x +），，解得，x0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F2| ，∴（c+ x0+ 将 x0=﹣） =2c；代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8 +3=0；解得，=1（舍去）或= ；应选： A．16．已知椭圆 C：的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为y轴正半轴上一点，直线MF2交 C 于点 A，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．解解：以以下图，1 2 中，1 2．答：在 Rt△AF F |F F |=2|OA|=2c 又|MF2|=2|OA| ，在Rt△OMF2中，∴∠ AF2F1=60°，在Rt△AF1 F2中，|AF2|=c ，|AF1 |= c．∴2a=c+ ∴c，= ﹣1．应选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足| |=2| |=2| | ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．解解：∵|MF1|=|MO|=|MF 2| ，答：由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF 2|=3|MF 2| ，即|MF2|= a， |MF1|= a，在△F1OM中，|F 1O|=c，|F 1 M|=a， |OM|= a，则 cos∠MOF1==，在△ OF2M中， |F 2O|=c， |M0|=|F 2M|= a，则 cos∠MOF2= =，由∠ MOF1=180°﹣∠ MOF2得： cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+ =0，整理得： 3c2﹣2a2=0，即= ，即 e2= ，即有 e=．应选： D．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（， 1）解解：由已知 P（， y），得 F1P 的中点 Q的坐标为（），答：∴，∵2 2，，∴y=2b ﹣2 2 2）（ 3﹣）＞ 0，∴y=（ a ﹣c ∴3﹣＞0，∵0＜ e＜ 1，∴＜ e＜ 1．应选： C．19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．﹣1解解：以以下图所示：答：设椭圆的右焦点为F，依照椭圆的对称性，得直线 OP的斜率为 k=tan60 °=，∴点 P 坐标为：（ c，c），代人椭圆的标准方程，得，2 2 2 2 2 2∴b c +3a c =4a b，∴e=．应选： D．20．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]解解：以以下图，连接OE，OF，OM，答：∵△ MEF为正三角形，∴∠ OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆 C 的离心率 e==．又e＜1．∴椭圆 C 的离心率的取值范围是．应选： C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）解解：以以下图，答：设椭圆的右焦点F（ c， 0），代入椭圆的标准方程可得：，取 y= ， A ．∵△ ABC是锐角三角形，∴∠ BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．应选： A．22．设 F1、F2为椭圆C：+ =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线l 过焦点F2且与椭圆交于 A，B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2= （）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6D．9﹣ 6解解：可设 |F 1 F2 |=2c ， |AF1|=m，答：若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，则 |AB|=|AF 1 |=m，|BF 1|=m，由椭圆的定义可得△ ABF1的周长为 4a，即有 4a=2m+ m，即 m=2（ 2﹣）a，则 |AF2|=2a ﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F 1F2| 2=|AF1| 2+|AF2| 2，即 4c2=4（ 2﹣）2a2+4（）2 a2，即有 c2 =（ 9﹣ 6）a2，即有 e2 = =9﹣ 6．应选D．23．直线y=kx 与椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）交于A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C． [ ，] D． [ ， 1）解解：设 F2是椭圆的右焦点．答：∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为 AB的中点， OF=OF2．∴四边形 AFBF2是平行四边形，∴四边形 AFBF2是矩形．以以下图，设∠ ABF=θ，∵BF=2ccosθ， BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csin θ=2a，∴e=，sin θ+cosθ=，∵θ ∈（0，] ，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．应选： D．24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[ ， ] B．（0， ] C． [ ，1） D． [ ， ]解解：设 P（x0， y0），则 2c2= =（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣ x0，﹣答： y0） = + ，化为．又，∴= ，∵，∴，2 2 2∵b=a ﹣ c ，∴，∴．应选： A．25．已知F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解，解：设 P（x0，y0），则答：∴ = ．∵，∴（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣x0，﹣ y0） =c2，化为=c2，∴=2c2，化为 = ，∵，∴0≤2 ≤a，解得．应选： D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．解解：由题意知c=1，离心率e= ，答：椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点P，则 c=1，∵P在直线 l ：y=x+2 上搬动，∴2a=|PA|+|PB| ．过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C，设 C（m， n），则由，解得，即有 C（﹣ 2， 1），则此时 2a=|PA|+|PB| ≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时 a 有最小值，对应的离心率 e 有最大值，应选 C．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）解解：以以下图： |AF2 |=a+c ， |BF 2|= ，答：∴k=tan ∠BAF2= ，又∵ 0＜ k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．应选： D．28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：连接 OA，OB， OP，依题意， O、 P、 A、 B 四点共圆，答：∵∠ BPA=，∠ APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠ AOP= ，∴c os∠AOP== ，∴ |OP|= =2b，∴b＜|OP| ≤a，∴ 2b≤a，2222 2∴4b ≤a，即 4（ a ﹣ c ）≤a，∴3a2≤4c 2，即，∴，又 0＜ e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆 C 的离心率的取值范围是[，1），应选： A．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则 e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．解解：①当动圆M与圆 O1、 O2都相内切时， |MO2|+|MO1|=4 ﹣r=2a ，答：∴e1=．②当动圆 M与圆 O1相内切而与 O2相外切时， |MO1|+|MO2 |=4+r=2a ′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令 12﹣ r=t （ 10＜ t ＜12），e1+2e2 =2×≥2×==应选： A．。
椭圆离心率高考练习题
椭圆离心率高考练习题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C．D．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A． B．2﹣C．2（2﹣）D．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C． D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13．（2015?高安市校级模拟）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C． D．﹣120．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1，]21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣623．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，]C．[，1）D．[，]25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解答：解：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，∴a＞b＞0，a＜2b它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P==，故选B．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFNB为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：则：即：椭圆离心率e的取值范围为[]故选：A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：两个交点横坐标是﹣c，c所以两个交点分别为（﹣c，﹣c）（c，c）代入椭圆=1两边乘2a2b2则c2（2b2+a2）=2a2b2∵b2=a2﹣c2c2（3a2﹣2c2）=2a^4﹣2a2c22a^4﹣5a2c2+2c^4=0（2a2﹣c2）（a2﹣2c2）=0=2，或∵0＜e＜1所以e==故选A5．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴=?|F 1F2|?|y0|又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴=（|PF 1|+|F1F2|+|PF2|）||∴?|F1F2|?|y0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即×2c?|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率e==故选A7．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：设P（m，n ），=（﹣c﹣m，﹣n）?（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2，∴m2+n2=2c2，n2=2c2﹣m2①．把P（m，n ）代入椭圆得b2m2+a2n2=a2b2②，把①代入②得m2=≥0，∴a2b2≤2a2c2，b2≤2c2，a2﹣c2≤2c2，∴≥．又 m2≤a2，∴≤a2，∴≤0，故a2﹣2c2≥0，∴≤．综上，≤≤，故选：C．8．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为（）A． B．2﹣C．2（2﹣）D．解答：解：如图，在Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，F1F2=2c ∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2c=2a?e==2﹣，故选B．9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．或解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1 ∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是 e∈．故选A．11．设A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解答：解：设P（asinα，bcosα），A1（﹣a，0），A2（a，0）；∴，；∴；∴；∴，a，c＞0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．故选：C．12．设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点F1的直线与椭圆C交于点M，N，若|MF2|=|F1F2|，且|MF1|=4，|NF1|=3，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（a＞b＞0），答：F1（﹣c，0），F2（c，0），|MF2|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得|NF2|=2a﹣|NF1|=2a﹣3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得|MF2|2﹣|MK|2=|NF2|2﹣|NK|2，即为4c2﹣4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为a+c=12，②由①②解得a=7，c=5，则离心率e==．故选：D．13．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．一l解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则解答：，∴m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e4﹣8e2+4=0，∴e=﹣1，故选：D．14．已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D．解答：解：F1，F 2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），（c＞0），P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，可得2c=2，即ac=b2=a2﹣c2．可得e2+e﹣1=0．解得e=．故选：D ．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A ．B ．C ．D．解答：解：由题意作图如右图，l1，l2是椭圆的准线，设点Q（x0，y0），∵2|PF1|=3|QF1|，∴点P （﹣c ﹣x0，﹣y0）；又∵|PF1|=|MP|，|QF1|=|QA|，∴2|MP|=3|QA|，又∵|MP|=﹣c ﹣x0+，|QA|=x0+，∴3（x0+）=2（﹣c﹣x0+），解得，x0=﹣，∵|PF2|=|F1F2|，∴（c+x 0+）=2c；将x0=﹣代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8+3=0；解得，=1（舍去）或=；故选：A．16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y 轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解答：解：如图所示，在Rt△AF1F2中，|F1F2|=2|OA|=2c．又|MF2|=2|OA|，在Rt△OMF2中，∴∠AF2F1=60°，在Rt△AF1F2中，|AF2|=c，|AF1|=c．∴2a=c+c，∴=﹣1．故选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C．D．解答：解：∵|MF1|=|MO|=|MF2|，由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=3|MF2|，即|MF2|=a，|MF1|=a，在△F1OM中，|F1O|=c，|F1M|=a，|OM|=a，则cos∠MOF1==，在△OF2M中，|F2O|=c，|M0|=|F2M|=a，则cos∠MOF2==，由∠MOF1=180°﹣∠MOF2得：cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+=0，整理得：3c2﹣2a2=0，即=，即e2=，即有e=．故选：D．18．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）解答：解：由已知P（，y），得F1P的中点Q的坐标为（），∴，∵，∴y2=2b2﹣，∴y2=（a2﹣c2）（3﹣）＞0，∴3﹣＞0，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：C．19．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B．C．D．﹣1解答：解：如下图所示：设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得直线OP的斜率为k=tan60°=，∴点P坐标为：（c，c），代人椭圆的标准方程，得，∴b2c2+3a2c2=4a2b2，∴e=．故选：D．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）和圆O：x2+y2=b2，若C上存在点M，过点M引圆O 的两条切线，切点分别为E，F，使得△MEF为正三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，1） B．[，1）C．[，1）D．（1，]解答：解：如图所示，连接OE，OF，OM，∵△MEF为正三角形，∴∠OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆C的离心率e==．又e＜1．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故选：C．21．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（，1）C．（，1）D．（0，）解答：解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．22．设F1、F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，直线l过焦点F2且与椭圆交于A，B两点，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则e2=（）A．2﹣B．3﹣C．11﹣6 D．9﹣6解答：解：可设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（）2a2，即有c2=（9﹣6）a2，即有e2==9﹣6．故选D．23．直线y=kx与椭圆C：+=1（a＞b＞0）交于A、B两点，F为椭圆C的左焦点，且?=0，若∠ABF∈（0，]，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，1）解答：解：设F2是椭圆的右焦点．∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为AB的中点，OF=OF2．∴四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示，设∠ABF=θ，∵BF=2ccosθ，BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=，∵θ∈（0，]，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．故选：D．24．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭圆上存在点P满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，] B．（0，]C．[，1）D．[，]解答：解：设P（x0，y0），则2c2==（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=+，化为．又，∴=，∵，∴，∵b2=a2﹣c2，∴，∴．故选：A．25．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解答：解：设P（x0，y0），则，∴=．∵，∴（﹣c﹣x0，﹣y0）?（c﹣x0，﹣y0）=c2，化为=c2，∴=2c2，化为=，∵，∴0≤≤a2，解得．故选：D．26．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．解答：解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，∵P在直线l：y=x+2上移动，∴2a=|PA|+|PB|．过A作直线y=x+2的对称点C，设C（m，n），则由，解得，即有C（﹣2，1），则此时2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时a有最小值，对应的离心率e有最大值，故选C．27．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）解答：解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．28．已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得∠BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解答：解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即，∴，又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1），故选：A．29．已知圆O1：（x ﹣2）2+y 2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e 2的最小值是（）A ．B．C．D．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO 2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．。
离心率专题
离心率训练一、选择题（题型注释）1．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12F F 、，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F V 是以1PF ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e +的取值范围是A ．（1，+∞）B ．，+∞）C ．，+∞）D ．+∞）【答案】B 【解析】试题分析：由三角形12PF F 三边关系可知，因此121e e +的取值范围是（，+∞） 考点：椭圆双曲线的方程及性质2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A 1 D 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知12AF F ∆是等腰直角三角形，3．已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ）A 【答案】A 【解析】试题分析：如图，易知2MF c =，122F F c =，12MF MF ⊥，故∵12F F ，分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M N ， ，过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，∴2MF c =，122F F c = ，12MF MF ⊥，∴A ．考点：椭圆的离心率．4．若椭圆的短轴为AB ,一个焦点为1F ,且1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A【答案】B 【解析】试题分析：因为椭圆的短轴长为2b，1．椭圆的性质；2．离心率． 5．（0a b >>）（0m >，0n >）有相同的焦点(),0c -和(),0c ，若c 是a 、m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A【答案】B 【解析】（0a b >>）与双曲线（0m >，0n >）有相同的焦点(),0c -和(),0c ，所以有22222(1);a b m n c -=+=⋅⋅⋅又c 是a 、m 的等比中项，所以2(2);c am =⋅⋅⋅ 2n 是22m 与2c 的等差中项，所以22222(3);n m c =+⋅⋅⋅由（1），（3）得223,n m =代入（1）得224,2;c m c m =∴=代入（2）得：4;a m =则椭圆的离心率是B 考点：椭圆和双曲线的几何性质，等差中项和等比中项的概念及基本运算．6．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（ ） （A（B（C（D【答案】A 【解析】试题分析：设由余弦定理得：22202212121212121242cos60()3()c PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF =+-=+-=-+所以2222212121216()3()412c PF PF PF PF a a =++-=+，A.考点：椭圆和双曲线定义及离心率7．已知点1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A【答案】B 【解析】试题分析：由对称性22AF BF =，只要290AF B ∠< ，2145AF F ⇒∠< 即可满足2ABF ∆为锐角三角形，代入x c =-，，所以2210e e ⇒+->，，由1e <，所以考点：1．焦点三角形；2．离心率；3．几何法．8．设1F 、2F 为椭圆的两个焦点，以2F 为圆心作圆2F ，已知圆2F 经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M 点，若直线1MF 恰与圆2F 相切，则该椭圆的离心率e 为（ ） A【答案】A1MF 恰与圆2F 相切知：02190=∠MF F ,所以三边满足勾股定理，()22242c c c a =+-，整理得02222=-+a ac c ，两边同时除以2a ，得到：0222=-+e e ，所以考点：椭圆的几何性质9．设12,F F 为椭圆右焦点，点M 在椭圆F 上．若△1MF F 为直角三角形，F 的离心率为（ ）AC【答案】A 【解析】试题分析：当M ∠，当2F ∠为直角时考点：椭圆离心率10．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F∆是以 1PF 为底边的等腰三角形，若 12,e e ，则21e e -的取值范围是（ ）AC【答案】A 【解析】试题分析：设椭圆与双曲线的半焦距为1122c PF r PF r ==，，． 利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c 的范围即可求出21e e -的取值范围; 设椭圆与双曲线的半焦距为1122c PF r PF r ==，，． 由题意知12102r r c ==， ，且12212r r r r ＞，＞，A ．考点：椭圆与双曲线离心率问题． 11．已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 在椭圆上且满足212PF PF c ⋅= ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．3 B．11[,]32 C．[32 D ．(0,2【答案】C 试题分析：由椭圆的定义得：12|PF ||PF |2a +=，平方得：2221212|PF ||PF |2|PF||PF |4a ++=．① 又∵212PF PF c ⋅= ，∴21212|PF||PF |cos F PF c ⋅∠=，② 由余弦定理得：222212121212|PF ||PF |2|PF ||PF |cos F PF |F F |4c+-⋅∠==，③122212|PF ||PF |()2PF PF a +⋅≤＝1椭圆的标准方程，2余弦定理． 12．在ABC ∆中，30CAB CBA ∠=∠=，,ACBC 边上的高分别为,BD AE ，则以,A B 为焦点，且过,D E两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为 （ ）A ．1B ． ．2 D 【答案】C【解析】试题分析：设2AB c =，则BD AE c ==2a ，则，，设双曲线的实轴长为2'a ，则)，13．已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，若△2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ）A【答案】C 【解析】试题分析：设2ABF ∆的边长为2x ，则2ABF ∆的高线长为223a x x x =+=，且C 正确．考点：椭圆的简单几何性质．14．如图，右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，）A【答案】C 【解析】试题分析：a c =+，结合着三者成等比数列，所以2224,c a c =-即225a c =，故其离心率 考点：双曲线的离心率．15P 向x 轴作垂线， 垂足恰为左焦点F 1,又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP ，则椭圆的离心率为（ ）A【答案】C 【解析】试题分析：因AB ∥OP ，可知ABOP k k =,整理得b c =，所以选C ．考点：椭圆的离心率．16的焦点为1F 、2F ，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为 （ ）A【答案】C 【解析】试题分析：设P （x 0,y 0）,当120PF PF ⋅= 时，（x 0（x 0+y 02=0,02=1,得点,∴120PF PF ⋅< 的点在（P 考点：几何概型点评：本题主要考查了几何概型，涉及到椭圆的运算及数量积运算。
椭圆离心率经典题型总结
椭圆离心率经典题型总结一、基础题1. 已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为（ ）A ．3B CD ．253或32. 的两段，则其离心率为________．3. 若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.244. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11A.D.54325. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于________．6. 已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 17. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C 1 D8. 椭圆22221x y a b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A 、13B C 、12D10. 在ABC ∆中，7,cos .18AB BC B ==-若以,A B 为焦点的椭圆经过点,C 则该椭圆的离心率e =________．11. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. 45B.35C.25D.1512. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D13. 椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A(,0),B(0,)a b 且左焦点为F ，FAB ∆是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.B. C. D.14. 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22 D.2＋115. 已知椭圆22221x y a b+=，焦点为12,F F ，在椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．16. 斜率为2的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C D ．1317. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率是A B C ．13 D ．1218. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．19. 与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．20. 设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2B ．1[,1)2C ．(0,2D ．1(0,]2二、中档题21. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，直线12A B 与直线1B F 相交于点,T 线段OT 与椭圆的交点M 恰为OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．23. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.1424. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ．25. 如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．26. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G (,)63c c ，则椭圆C 的离心率为_____．27. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点。
离心率(例、练及答案)
离心率（例、练及答案）1．离心率的值例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）ABC ．D ．2．离心率的取值范围例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A ．B ．C ．D．练习一、单选题1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（） ABCD2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BCD1F 2F ()2222:10x y C a b a b+=>>P C 1PF y 1230PF F ∠=︒1316F 22221x y a b -=()0,0a b >>E Fx A B ABE △e ()1,+∞()1,2(1,1(2,1()2222:10,0x y C a b a b -=>>()2,1-C π4()222210x y a b a b +=>>F A B 2AF FB =323．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（） ABC ．2D4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（） ABCD ．25．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（） A ． B ．C ．D ． 6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（） ABCD ．7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为（）A ．B ．C ．2D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>P 1PF 2PF 12Rt F PF △124PF PF ab ⋅=()2212210,0:x y C a b a b -=>>F ()2220:C y px p =>A B AB F 1C 1()()000,P x y x a ≠±()2222:10x y C a b a b +=>>M C PO PM ⊥O C e ⎛ ⎝⎭()0,1⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭()222210x y a b a b +=>>A B P 120APB ∠=︒3422221x y a b -=1F 2F P 124PF PF =e 435373()222210x y a b a b +=>>1F 2F P O若，且，则该椭圆的离心率为（） A ．BC ．D9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若 为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（）AB ．2CD ．311．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ． 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线______．14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，1212OP F F =212PF PF a =34122y x =()222210x y a b a b -=>>(()+∞)+∞1F 2F 1e 2e 1260F PF ∠=︒2e =:210l kx y k --+=()22122:10x y C a b a b +=>>A B ()()222:211C x y -+-=C D []2,1k ∈--AC DB =1C 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎛ ⎝⎦⎫⎪⎪⎣⎭P ()222210x y a b a b-=>>1F 2F I 12PF F △121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△(]1,2()1,2(]0,3(]1,3()220y px p =>()222210,0x y a b a b-=>>F A AF ()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F M满足，则离心率的取值范围是__________．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________． 三、解答题17．已知双曲线（1）求双曲线的渐进线方程．（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．123MF MF =e ()222210x y a b a b+=>>1F 2F 1F A B 2AF x ⊥P A B 14PAB PBF S S =△△xOy ()222210x y a b a b +=>>1F 2F P 12F F P △()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 1a =0x y m -+=C A B AB 225x y +=m18．已知椭圆的左焦点为，离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点．①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；②若，求面积的取值范围．参考答案1．【答案】A【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，从而，又因为，则直角三角形中，且，，所以，故选A ． ()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F -e C l CA B l C F y P PA AF λ=PB BF μ=λμ+OA OB ⊥OAB △12PF F △1PF y O 12F F 2PF y ∥212PF F F ⊥1230PF F ∠=︒12PF F △1212::2PF PF F F =122a PF PF =+122c F F =121222F F c c e a a PF PF ∴====+2．【答案】B【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通径的一半，得：，，所以，即，故选B ．练习答案一、单选题 1．【答案】D【解析】双曲线的渐近线过点，代入，可得：，即，，故选D ．2．【答案】A【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得，所以，，由于，即，代入上述韦达定理， 化简得，即，A ．3．【答案】D【解析】由双曲线的定义得，所以，即，由题意得，所以，ABE △AEB ∠π0,4AEF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭AF FE a b c AF 2b AF a =FE a c =+()()222tan 1112AFb c a c aAEF e FE a a c a a c a--==<⇒<⇒<⇒<++()1,2e ∈()2,1-∴b y x a =-21ba-=-12b a =e ∴==2x c y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩2222411022a b t ct b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭21222ct t a b +=-+412222b t t a b ⋅=-+2AF FB =122t t =-2228c a b =+2229c a =c a =122PF PF a -=()22124PF PF a -=222121224PF PF PF PF a +-⋅=12PF PF ⊥222212124PF PF F F c +==又，所以，解得，从而离心率，故选D ． 4．【答案】C【解析】设双曲线的左焦点坐标为，由题意可得：，， 则，，即，，又：，，据此有：，即，则双曲线的离心率：．本题选择C 选项． 5．【答案】C【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程为：，与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，所以，结合，解得，．故选C ．6．【答案】C【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即， 因为，所以，，，，，C ． 7．【答案】B124PF PF ab ⋅=22484c ab a -=2b a =ce a==1C ()',0F c -(),0F c 2p c =,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),2A c c (),2B c c -'2AF AF a -='AF 22c a -=)1c a =1c e a ==PO PM ⊥P OM ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭2a 22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭222210b x ax b a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭()0,a a 2aa 22221a a ab a <<⎛⎫- ⎪⎝⎭222a b c =+221122a c<<1e <<M 120AMB APB ∠≥∠=︒60AMO ∠≥︒tan a OMA b ∠=tan60a b ≥︒a ∴≥()2223a a c ≥-2223a c ∴≤223e ≥e ≥【解析】由双曲线的定义知①；又，②联立①②解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值， 当时，解得，即的最大值为，故选B ． 解法二：由双曲线的定义知①，又，②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B ． 8．【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，，又，可得，即为椭圆的短轴的端点， ，且，即有即为，．故选D ． 9．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线与直线有交点，则有，即有，则双曲线的离心率的取值范围为，故选D ．10．【答案】C【解析】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，可得，，可得，， 由余弦定理可得，即有，122PF PF a -=124PF PF=183PF a =223PF a =12PF F △222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅e 12cos F PF ∠12cos 1F PF ∠=-53e =e 53122PF PF a -=124PF PF =183PF a =223PF a =P 2PF c a ≥-23a c a ≥-53a c ≥e 53122PF PF a +=212PF PF a ⋅=12PF PF a ==P OP b =1212OP F F c ==c b =a =c e a ==()222210x y a b a b-=>>b y x a =±2y x =2b a >c e a ==)+∞()1,0F c -()2,0F c a m 122PF PF a +=122PF PF m =-1PF a m =+2PF a m =-2221212122cos60F F PF PF PF PF -⋅=+︒()()()()2222243c a m a m a m a m a m =++--+-=+由离心率公式可得，，即有，解得，故选C ． 11．【答案】C【解析】直线，即， 直线恒过定点，直线过圆的圆心，，，的圆心为、两点中点， 设，，， 上下相减可得：，化简可得，， ，，故选C ． 12．【答案】D 【解析】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，，，由题意得，故， 故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D ．二、填空题2212134e e +=121e e =4222430e e -+=2e =:210l kx y k --+=()210k x y --+=l ()2,1∴l 2C AC DB =22AC C B ∴=2C ∴A B ()11,A x y ()22,B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-2121221212x x y y b k y y a x x +--⋅==+-222b k a -⋅=221,122b k a ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦e ⎛= ⎝⎦12PF F △r 122PF PF a -=122F F c =1112PF S PF r =⋅△2212PF S PF r =⋅△12122PF F S c r cr =⋅⋅=△12111223PF r PF r cr ⋅-⋅≥()12332c PF PF a ≤-=3ce a=≤1e >(]1,313．【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，由于，且，所以是等边三角形， 所以，所以，，所以，所以，由双曲线的定义可知． 14．【答案】【解析】设点的横坐标为，∵，在双曲线右支上，根据双曲线的第二定义， 可得，，，，，，，，故答案为．15．【解析】根据题意，因为轴且，假设在第一象限，则，过作轴于，则易知，由得，所以，，1F AF 60BAF ∠=︒AF AB =ABF △130F BF ∠=︒1BF =4BF c =2221164242cos12028AF c c c c =+-⨯⨯⨯︒=1AF =24a c =-(]1,2M x 123MF MF =M ()x a ≥223a a e x e x c c ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ex a ∴=x a ≥ex ea ∴≥2a ea ∴≥2e ∴≤1e >12e ∴<≤(]1,22AF x ⊥()2,0F c A 2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭B BC x ⊥C 121AF F BFC △～△14PAB PBF S S =△△113AF BF =23AF BC =1213F F CF =所以，代入椭圆方程得，即，又，所以，所以椭圆离心率为．． 16．【答案】 【解析】椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称， 设在第一象限，，当时，， 即，解得， 又因为，所以， 当时，，即且，解得：，综上或．三、解答题17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意，得，， ∴，即，∴所求双曲线的渐进线方程．（2）由（1）得当时，双曲线的方程为．设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，25,33b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222225199c b a a +=222259c b a +=222b a c =-223c a=c e a ==111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭P 12F F P △P 11PFPF >1122PF F F c ==21222PF a PF a c =-=-222a a c >-12e >1e <112e <<2122PF F F c ==12222PF a PF a c =-=-222a c c ->2c a c >-1132e <<112e <<1132e <<y =1m =±ce a==223c a ∴=22222b c a a =-=222b a=C by x a=±=1a =C 2212y x -=A B ()11,x y ()22,x y AB ()00,M x y由，得（判别式）， ∴，， ∵点在圆上，∴，∴．18．【答案】（1）；（2）①见解析，②．【解析】（1）由题设知，，，所以，，， 所以椭圆的标准方程为．（2）①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则．设，，直线代入椭圆得，所以，，由，知，，． ②当直线，分别与坐标轴重合时，易知． 当直线，斜率存在且不为0时，设，，设，，直线代入椭圆得到，所以，，同理， ，令，则因为，所以，故，综上．22120y x x y m -⎧=++=⎪⎨⎪⎩22220x mx m ---=0Δ>1202x x x m +==002y x m m =+=()00,M x y 225x y +=()2225m m +=1m =±2212x y +=32OAB S ≤<△2c a =1c =22a =1c =21b =C 2212x y +=l l ()1y k x =+()0,P k ()11,A x y ()22,B x y l 2212x y +=()2222124220k x k x k +++-=2122412k x x k +=-+21222212k x x k -=+PA AF λ=PB BF μ=111x x λ=-+221xx μ=-+2222121222121222444212124422111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--++++++=-=-=--++++-+++OA OB OAB S △OA OB :OA y kx =1:OB y x k =-()11,A x y ()22,B x y y kx =C 222220x k x +-=212212x k =+2212212k y k =+2222212k x k =+212212y k =+212OAB S OA OB =⨯=△211t k =+>OABS =△()10,1t ∈291192424t ⎛⎫<--≤ ⎪⎝⎭32OAB S ≤<△32OAB S ≤△。
离心率的常考试题
离心率的一些常考试题1 若m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．或3C．或3D．或答案：D。
2 已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且|AB|＝2|AF1|，则C的离心率为（）A．B．C．D．答案：C。
3 已知F（c，0）为双曲线的右焦点，过原点O的直线与双曲线交于A，B两点，若AF⊥BF且△ABF的周长为4a+2c，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：D。
4已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则双曲线E的离心率为（）A．+1B．﹣1C．2+2D．2﹣2答案：A。
5已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为（4，1），则C的离心率e＝（）A．B．C．D．答案：C。
6 双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条有近线方程为y＝﹣2x，则其离心率为（）A．3B．C．D．5答案：A。
7 已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若MF2⊥NF2，则C的离心率为（）A．B．2C．D．答案：A。
8已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1，求双曲线C的标准方程与离心率。
答案：双曲线C的方程：，双曲线的离心率。
9已知椭圆的左右焦点为F1，F2，P为其上顶点，△PF1F2正三角形，求椭圆C的离心率。
答案：椭圆的离心率e＝＝。
10设椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，求椭圆的离心率。
答案：椭圆的离心率。
11已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点为A1，右焦点为F2，过F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M，N 两点，直线A1M的斜率为．求椭圆的离心率。
答案：椭圆的离心率e＝＝。
12已知双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，焦距为2c．若以线段F1F2为直径的圆与直线ax﹣by+2ac＝0有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）答案：D。
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离心率练习题（题型全面）
一、 椭圆
1. 设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是 正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2
=1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e?
4.椭圆x 2 a 2 +y 2
b 2
=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 5.椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？
6.椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2
=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？
7．点F 为椭圆:22
221x y a b
+=(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为 。
3332322223
二、 双曲线
1．已知双曲线1222=-y a x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. 23 B. 23 C. 26 D. 3
32 2．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A.
23 B. 26 C. 23 D 。
3．已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C. 213+
D. 13+
4．设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为
c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.
332 5．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双
曲线的离心率为（ ）
A 3
B 26
C 36
D 3
3 6．如图，1F 和2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A 3
B 5
C 25
D 13+
7．设1F 、2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）
A 25
B 210
C 215
D 5
8．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 π3
， 则双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ． 3 C ．263 D ．233
9．已知双曲线的左，右焦点分别为,点P 在双曲线的右支上，且 ,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 三、求离心率范围
1．设⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为（ ） A. 21 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21 C. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,22 D. ()+∞,2 2．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范
围是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3．已知双曲线12222=-b y a x ()0,>b a 的左，右焦点分别为F 1,F 2，若双曲线上存在点P 使c
a
F PF F PF =∠∠1221sin sin ，求该双曲线离心率的取值范围
4．设双曲线C ：
()01222>=-a y a x 与直线1:=+y x l 相交于不同的两点A ，B 。
求双曲线C 的离心率的取值范围。
5．直线L 过双曲线
的右焦点，斜率k=2。
若L 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。
6．已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点。
若△ABF 2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
7．已知双曲线的左右焦点分别为
、，点P 在双曲线的右支上，且
，求此双曲线的离心率e 的取值范围。
8．已知双曲线的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，P 到右准线的距离为d ，若d 、|PF 2|、|PF 1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
22221,(0,0)x y a b
a b
-=>>12,F F 12||4||PF PF =4353273
1F 2F 120MF MF ⋅=M (0,1)1(0,]2(0,
)2[2
9．设椭圆122
22=+b y a x （a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q ，
使∠F1QF2=120º，求椭圆离心率e 的取值范围。
(136<≤e )。