第四章 截面的几何性质

形心：
bh 2 Sz h 2 yc A bh 2
b zc A 2
Sy
4.1 截面的形心和静距
讨论
b/2,h/2
对称图形的形心必在对称轴上 简单图形：形心已知的图形 简单图形的静矩直接用其面积与形心坐标的乘积计算
4.1 截面的形心和静距
组合截面（图形）的静矩和形心 由几个简单截面组合而成的截面—— 组合截面
I z 02 1 200 400 3 (323 200) 2 200 400 12
4.3 组合截面的惯性矩计算
解：
计算图示的矩形截面（实线部分）对Z轴的惯性矩。如按图示虚线所示，将矩 形的中间部分移到两边拼成工字形，试计算此工字形截面对Z轴的惯性矩。
1、矩形截面惯性矩
z'
第4章 截面的几何性质
4.1 截面的形心和静距
在建筑力学以及建筑结构的计算中，经常要用 到与截面有关的一些几何量。例如轴向拉压的横截 面面积A、圆轴扭转时的抗扭截面系数WP和极惯性 矩 IP等都与构件的强度和刚度有关。以后在弯曲等 其他问题的计算中，还将遇到平面图形的另外一些 如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量。 这些与平面图形形状及尺寸有关的几何量统称为平 面图形的几何性质。
工字钢
槽钢
角钢 T形钢梁 箱形梁
钢管
也可视为简单图形
上述截面形式常见于钢结构、混凝土结构等
4.1 截面的形心和静距
组合截面的静矩：总静矩为各简单截面的静矩代数和。
S z ydA
A
A1 A2
ydA ydA ydA
A1 A2
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
n n
S z1 S z 2
6 6 6
1 50 200 3 12
z′轴是小矩形的形心轴
4

I z1 I z' a2 A
讨论： 矩形 工字形 惯性矩增加了 规律： 有效面积离形心轴越远，截面对该轴的惯性矩就越大。
回顾
1、静 矩：
S z y dA A y c
2、形心位置：
yc
i 1
5、平行移轴定理：
I z1 I z a 2 A
I y1 I y b 2 A
钢结构中钢构件的常见截面形式
工字钢梁
钢结构中钢构件的常见截面形式
槽钢
钢结构中钢构件的常见截面形式
角钢
常见截面形式
T形吊车梁
钢结构中钢构件的常见截面形式
b/2
h / 2
bh3 12
熟记
z 2 I y z h dz h 3 b / 2
3 b/2
b / 2
hb 3 12
4.2 惯性矩、惯性积及惯性半径
②圆形截面
解： 微面积：
dA d d
y sin
dA
d
d
I z y 2 dA
z
S z S zi Ai yci yc Ai
i 1 i 1
n
形心位置：
yc
A y
i 1 i
n
i 1
***注意静矩的正负号
ci
A
i 1
n
Sz A
zc
A z
i 1 i
n
ci
i
A
i 1
n

Sy A
i
4.1 截面的形心和静距
例：求图示组合图形的 形心与静矩
１. 惯 性 矩
y 2 dA ——微元对Z轴的惯性矩
I z y 2 dA 图形对z轴的惯性矩
A
I y z 2 dA 图形对y轴的惯性矩
A
**是对某一根坐标轴而言
量纲：m4、m源自文库4
I>0
4.2 惯性矩、惯性积及惯性半径
2. 极惯 性 矩
2 dA 微面积对原点的极惯性矩
Iz
337.5 106 m m 4
1 3 1 bh 150 3003 12 12
2、工字形截面惯性矩
1 I z 2 350 50 3 125 2 50 350 12
554.2 10 33.3 10 587.5 10 m m
d 4 2
0
d 4 32
＊＊＊熟记
圆环形截面
d D4 4 IP (1 ) D 32
d D
4.2 惯性矩、惯性积及惯性半径
4、惯性积
I xy xydA
A
(4-17)
5、惯性半径
量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义
iz Iz A
(4-19)
iy Iy A
为图形对轴和对轴的惯性半径。
A1 yc1 A2 y c 2 yc A1 A2
600 120 460 400 200 200 600 120 400 200
323mm
2、求组合图形对y0轴的惯性矩
I y 0 I y 01 I y 02 243 10 7 ( mm 4 )
2
注意：z、y为形心轴
4.3 组合截面的惯性矩计算
I z1 I z a A
2
平行移轴公式
I y1 I y b A
2
2. 公式运用
工字钢
槽钢
角钢
T形钢梁
组合截面的惯性矩
4.3 组合截面的惯性矩计算
已知T型组合截面，尺寸如图所示，试求截面形心C点的位置， 以及对形心轴的惯性矩。 解：1、求形心轴
I y 01 1 120 600 3 12 1 400 200 3 12
I y 02
4.3 组合截面的惯性矩计算
解：3、求组合图形对zo轴的惯性矩
I z 0 I z 01 I z 02 371 .5 10 7 ( mm 4 )
z01 z02
1 I z 01 600 120 3 ( 460 323) 2 120 600 12
4.1 截面的形心和静距
例：求图示矩形的形心位置 1、求静矩
S z y dA
A
h 0 2 h
y y bdy b 2
S y z dA
A
b
0
z x hdz h 2
0 2 b
bh2 2
0
hb 2
2
b/2,h/2
2、求形心
A bh
4.1 截面的形心和静距
一. 面积矩的定义
z dA y dA
A
：微面积对y轴的面积矩 ：微面积对z轴的面积矩
S z y dA
S y z dA
A
S z、 S y ：分别表示截面对z轴和y轴的面积矩(静矩）。
其值可正、可负、可为零 单位为 mm3 或 m3
4.1 截面的形心和静距
s z s z1 s z 2
s z1 300 30 15 s z 2 270 50 (135 30 )
S z 135000 2227500 2362500 mm 3
Sz yc 105mm A
例题:试确定图示截面形心C的位置 。 解：建立坐标轴，分成两个简单截面
二. 形心 形心：图形的几何中心。
zc
zdA
A
A
yc

A
ydA A
4.1 截面的形心和静距
三. 形心与静距的关系
SZ yc A
zc
讨论：
Sy A
——计算形心坐标的公式
1、若Sz=0
yc=0 该轴通过形心
2、若轴通过形心(形心轴）
则静矩为零
3、已知静矩可求形心；已知形心和面积也可求静矩
S x S x S xII
S x AI y cI 120 10 60 72000
S x II AII y cII 70 10 5 3500
S x 75500 m m 3
S y AI x cI 120 10 5 6000 S yII AII x cII 70 10 45 31500
I P 2 dA 图形对原点的极
A
惯性矩
2 y2 z2
IP Iz I y
4.2 惯性矩、惯性积及惯性半径
3. 常见截面的惯性矩
① 矩形截面
求矩形对形心轴y、z的惯性矩 解： I z
h/ 2

y 2 dA
取微段dA=b dy
3 h/ 2
A
y 2 I z y b dy b 3 h / 2
Ai y ci
i 1
A n
S y z dA A z c
Ai
n
Sz A
zc
i 1
Ai z ci
i 1
A n
Ai
n

Sy A
3、惯 性 矩：
I z y 2 dA
I y z 2 dA
A
A
4、极惯性矩：
I
A
2
dA I z I y
S y 37500 m m 3
A 120 10 70 10 1900 m m 2
xc 37500 19.74 m m A 1900 S 75500 yc x 39.74 m m A 1900 Sy
形心位置：C (19.74, 39.74)
4.2 惯性矩、惯性积及惯性半径
A



2
0
d 4
64

d 2 0
2 sin 2 dd
d Iz Iy 64
＊＊＊熟记
4
4.2 惯性矩、惯性积及惯性半径
圆形截面
解：
I P 2 dA 取微薄圆环 dA=2 d
A
2 I 2 d 2 4 A
I P d 4 Iz Iy 2 64
4.3 组合截面的惯性矩计算
平行移轴公式
１.公式推导
I z y 2 dA
A
I z1 y dA ( y a ) dA
2 1
2
y 2 dA 2a ydA a 2 dA
A
A
Iz 0 a A
2
A
A
A
I z1 I z a A