有限元分析2桁架

−1
相乘后得到
F cos2 θ sinθ cosθ −cos2 θ −sinθ cosθ UiX iX F U 2 2 −sinθ cosθ −sin θ iY sin θ iY sinθ cosθ =k 2 2 U jX FjX −cos θ −sinθ cosθ cos θ sinθ cosθ 2 2 FjY −sin θ sinθ cosθ sin θ U jY −sinθ cosθ
以上方程表示了施加的外力、单元刚度矩阵和任意单元的节 点的整体位移之间的关系。
桁架的任意杆的刚度矩阵为：
cos2 θ sinθ cosθ −cos2 θ −sinθ cosθ sinθ cosθ sin2 θ −sinθ cosθ −sin2 θ (e) [ K] = k −cos2 θ −sinθ cosθ cos2 θ sinθ cosθ 2 2 −sin θ sinθ cosθ sin θ −sinθ cosθ
UiX U iY {U} = U jX U jY
0 0 cosθ −sinθ sinθ −cosθ 0 0 {T} = 0 cosθ −sinθ 0 0 0 sinθ −cosθ
uix u iy {u} = u jx ujy
0 −k 0 uix 0 0 0 uiy 0 k 0 ujx 0 0 0 ujy
AE 其中 k = keq = ，写成矩阵形式： { f } = [ K]{u} L
将 { f } 和 {u} 替换成 { F} 和 {U} ，有：
[T ] {F} = [ K][T ] {U}
桁架的ANSYS程序例子 桁架的ANSYS程序例子
如图所示桁架，确定图中所示的载荷下每 个节点的位移，弹性模量E=1.9*10 个节点的位移，弹性模量E=1.9*106N/mm2, 横截面积8mm 横截面积8mm2。
写成矩阵形式有：
{F} = [T][ f ]
其中
F iX F iY {F} = F jX FjY
是整体坐标下施加在节点i 是整体坐标下施加在节点i和j上的力的分量。
fiX f iY { f} =f jX f jY
代表局部坐标下施加在节点i 代表局部坐标下施加在节点i和j上的力的分量。
注意：在局部坐标下y 注意：在局部坐标下y方向上位移和力为零。因为在假设 的二力条件下，杆只能沿轴向（局部坐标下x 的二力条件下，杆只能沿轴向（局部坐标下x方向）伸长或 缩短。 局部内力和位移通过刚度矩阵有以下关系：
fix k f iy 0 = f jx −k f jy 0
负载
压缩 二力杆
拉伸
在许多力学的问题中，都讨论了静定桁架问 题。这类问题通过将桁架分成节点和截面的方法 进行分析。但在这类问题中，桁架的杆被看作是 刚体。 但是有限元的方法允许我们在去除刚体这一 限制的情况下解决这类问题。
2.2 有限元公式
二力杆的平均应力为： σ
F = A
∆L 杆的平均应变为： ε = L
−1 −1
其中 [T ] 是变换矩阵 [T]的逆矩阵，为：
−1
0 0 cosθ sinθ −sinθ cosθ 0 0 −1 [T] = 0 0 cosθ sinθ 0 −sinθ cosθ 0
将上边方程两边都乘以 [T] ，得到：
{F} = [T ][ K][T ] {U}
在弹性区域，应力和应变服从虎克定律：
σ = Eε
由以上三个方程我们得到：
AE F = ∆L L
所得方程和线性弹簧的方程 F = kx 很相似。因此， 统一横截面的中心受力的杆建模时可以有如下刚度的弹簧：
如图所示的有五个节点和六个单元的桁架模型：
AE keq = L
(3)
3
(6)
整体位移和局部位移之间的关系为： 整体位移和局部位移之间的关系为：
UiX = uix cosθ −uiy sinθ UiY = uix sinθ + uiy cosθ U jX = ujx cosθ − ujy sinθ U jY = ujx sinθ + ujy cosθ
将以上方程写成矩阵形式有： {U} = [T ][u] 其中：
分别代表整体XY坐标和局部xy参考系下节点i {U}和{u}分别代表整体XY坐标和局部xy参考系下节点i和j的
位移。 T} 是从局部变形转化到整体变形的变换矩阵。 {
类似地，局部力和整体力之间有以下关系：
F = fix cosθ − fiy sinθ iX F = fix sinθ + fiy cosθ iY FjX = f jx cosθ − f jy sinθ FjY = f jx sinθ + f jy cosθ
第二章 桁架
本章的主要论题有： 本章的主要论题有： 桁架的定义 有限元公式 空间桁架
2.1 桁架的定义
桁架是一种工程结构，它由直的杆件（member） 桁架是一种工程结构，它由直的杆件（member） 组成，这些杆件在端点处通过螺栓、铆钉、销或焊 接而连接在一起。 平面桁架指的是所有杆件均在同一平面的桁架。 施加在这种桁架上的力也必须在这个平面上。 桁架的杆件通常被认为是二力杆。也就是沿杆的 方向的内力大小相等、方向相反。
4
5
(2)
Biblioteka Baidu(4)
(5)
(1)
θ
2
1
一般来说，需要两个参考系来描述有限元问题：整体坐标 系统和局部参考坐标系统。 选择固定的整体坐标系统XY： 选择固定的整体坐标系统XY： （1）代表每个节点，使用角度 θ 记录每个单元的方向。 （2）根据各自的整体部件应用约束并施加负荷。 （3）来表示问题的解，即在整体方向上的每个节点的位 移。 同时，需要一个局部的或单元的坐标系统来描述各个杆 （单元）的二力杆行为。