吉布斯现象matlab实现和傅里叶级数
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S(t)=a 0 [a n cos(n1t) b n sin(n1t)] 的图。
n 1 N
四：实验过程 我们取课本 99 页的函数 f(t) 作为实验的目标函数
-E/2 f(t)= E/2 -E/2 (T / 2 t T / 4) ( T / 4 t T / 4) (T / 4 t T / 2)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
有 限 级 数 S3 3
2
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
有 限 级 数 S20 3
2
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
n 1
因为此题的函数既是偶函数，又是奇谐函数。因此在它的傅里 叶级数中只可能含有奇次谐波的余弦项。所以 于是
f (t) 2E 1 1 [cos(1t) cos(31t) cos(51t) ] 3 5 an 2E n sin( ) n 2
若取傅里叶级数的前 (2N 1) 项来逼近周期函数 f (t) ， 则有限项傅 里叶级数为
S(t)=a 0 [a n cos(n1t) b n sin(n1t)]
n 1 N
进一步简化为
SN
2E 2 N 1 sin(nt) n T n 1
为了得到对称波形，将它移动四分之一个周期，即
2E 2N 1 SN T n 1 sin(nt n nT ) 2
clear; E=4; T=pi; t=-T:0.0001:T;%周期 N=input('N'); i=1; for i=1:N%设出 i，让它变化，从而绘出 S1， S2，S3…… SN a=0;
for n=1:2:i b=(E/2)*sin(n*t+n*T/2)/n;%移动四分之一周期以显示对称波形 a=a+b; end S(i,:)=4*a/T; f_t=(E/2)*square(t+T/2); plot(t,S,t,f_t) xlabel(' 时间 t') ylabel(' 相应的函数值 f(t)和 S(t)') title(' 有限级数 S20') end E_N=sum((f_t-S(N,:)).^2)/length(t)
t 0 2 lim( N (t1 )t) 因为均分所以积分变为 t t1 T T 2 2 其中 N 为 N t1 T T T
t1 T
2 所有分量 t1 对应的 N 值的总和
求 E N 时应除以总周期即 2T ， 数，matlab 中为
t 即是将区间分为多少等份的倒 2T
1 ， 其中 length(t) 为将区间分成的等份数。 length(t)
综上 ，我们得 E N
t1 T
T
2 N
length(t)
sum((f_t-S).^2) length(t)
（后面是用在
matlab 中的计算方法）
第一问： 运行 matlab 分别令 N 1; N 3; N 5 得 n 2N 1， n 为 E n 的计数， 出 E1 0.7577; E 2 0.3975; E 3 0.2678 …………如下表 1 表1 N n
S N 就是代码中的 S
这样用 S(t) 逼近 f (t) 引起的误差函数为 N (t) f (t) S(t) 方均误差等于
2 EN N (t)
1 t 0 T1 2 N (t)dt T1 t 0
在程序中我们取 t=-T:0.0001:T; 将 t 等分成多份，所以不能直接用 积分函数 int （即不连续） ，所以依据定义的方法来求积分（极 限法）
matlab 有专门产生矩形波的函数 square(t) ， 为了显示对称波形，
将它移动四分之一个周期，即 square(t+T/2) ，然后再乘上我们此 题中的振幅 ,因此得到
f_t=(E/2)*square(t+T/2);
E 2
已知周期函数 f (t) 的傅里叶级数为
f(t)=a 0 [a n cos(n1t) b n sin(n1t)]
En
方均误差 5 3 0.2678 …… …… …… N 2N-1
En
1 1 0.7577
3 2 0.3975
第二问：
有 限 级 数 S1 3 S1 f 2
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
有 限 级 数 S2 3 f S1 S2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
放大跳变点附近的图像得到下图
有 限 级 数 S20 2.35 2.3
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
2.25 2.2
2.15 2.1
2.05 2 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 时间t 1.6 1.65 1.7 1.75
五：实验结论与分析 由第一问的表 1 和第二问的图像可知，随着 N 的增大，即 随着所取级数项数的增多，进似方均误差减小，且峰起随着 项数的增多向跳变点靠近，并且从有限级数 S20 跳变点附近 的放大图可知峰起值趋于相同（峰起值趋近于跳变值的 9%， 这里不再予以验证） 。 代码如下：
信号与系统实验
一：实验题目 运用 matlab 验证吉布斯现象 二：实验原理 对于具有不连续点 （跳变点） 的波形， 所取级数项数越多， 近似波形的方均误差虽可减小， 但在跳变点处的峰起 （上冲） 值不能减小，此峰起随项数增多向跳变点靠近。 （详见课本 279 页） 三：实验内容 1.计算 N 取不同值时的方均误差 E N 的值 2.用 matlab 画出 N 取不同值时
n 1 N
四：实验过程 我们取课本 99 页的函数 f(t) 作为实验的目标函数
-E/2 f(t)= E/2 -E/2 (T / 2 t T / 4) ( T / 4 t T / 4) (T / 4 t T / 2)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
有 限 级 数 S3 3
2
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
有 限 级 数 S20 3
2
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
n 1
因为此题的函数既是偶函数，又是奇谐函数。因此在它的傅里 叶级数中只可能含有奇次谐波的余弦项。所以 于是
f (t) 2E 1 1 [cos(1t) cos(31t) cos(51t) ] 3 5 an 2E n sin( ) n 2
若取傅里叶级数的前 (2N 1) 项来逼近周期函数 f (t) ， 则有限项傅 里叶级数为
S(t)=a 0 [a n cos(n1t) b n sin(n1t)]
n 1 N
进一步简化为
SN
2E 2 N 1 sin(nt) n T n 1
为了得到对称波形，将它移动四分之一个周期，即
2E 2N 1 SN T n 1 sin(nt n nT ) 2
clear; E=4; T=pi; t=-T:0.0001:T;%周期 N=input('N'); i=1; for i=1:N%设出 i，让它变化，从而绘出 S1， S2，S3…… SN a=0;
for n=1:2:i b=(E/2)*sin(n*t+n*T/2)/n;%移动四分之一周期以显示对称波形 a=a+b; end S(i,:)=4*a/T; f_t=(E/2)*square(t+T/2); plot(t,S,t,f_t) xlabel(' 时间 t') ylabel(' 相应的函数值 f(t)和 S(t)') title(' 有限级数 S20') end E_N=sum((f_t-S(N,:)).^2)/length(t)
t 0 2 lim( N (t1 )t) 因为均分所以积分变为 t t1 T T 2 2 其中 N 为 N t1 T T T
t1 T
2 所有分量 t1 对应的 N 值的总和
求 E N 时应除以总周期即 2T ， 数，matlab 中为
t 即是将区间分为多少等份的倒 2T
1 ， 其中 length(t) 为将区间分成的等份数。 length(t)
综上 ，我们得 E N
t1 T
T
2 N
length(t)
sum((f_t-S).^2) length(t)
（后面是用在
matlab 中的计算方法）
第一问： 运行 matlab 分别令 N 1; N 3; N 5 得 n 2N 1， n 为 E n 的计数， 出 E1 0.7577; E 2 0.3975; E 3 0.2678 …………如下表 1 表1 N n
S N 就是代码中的 S
这样用 S(t) 逼近 f (t) 引起的误差函数为 N (t) f (t) S(t) 方均误差等于
2 EN N (t)
1 t 0 T1 2 N (t)dt T1 t 0
在程序中我们取 t=-T:0.0001:T; 将 t 等分成多份，所以不能直接用 积分函数 int （即不连续） ，所以依据定义的方法来求积分（极 限法）
matlab 有专门产生矩形波的函数 square(t) ， 为了显示对称波形，
将它移动四分之一个周期，即 square(t+T/2) ，然后再乘上我们此 题中的振幅 ,因此得到
f_t=(E/2)*square(t+T/2);
E 2
已知周期函数 f (t) 的傅里叶级数为
f(t)=a 0 [a n cos(n1t) b n sin(n1t)]
En
方均误差 5 3 0.2678 …… …… …… N 2N-1
En
1 1 0.7577
3 2 0.3975
第二问：
有 限 级 数 S1 3 S1 f 2
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
1
0
-1
-2
-3 -4
-3
-2
-1
0 时间t
1
2
3
4
有 限 级 数 S2 3 f S1 S2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
放大跳变点附近的图像得到下图
有 限 级 数 S20 2.35 2.3
相 应 的 函 数 值 f(t)和 S(t)
2.25 2.2
2.15 2.1
2.05 2 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 时间t 1.6 1.65 1.7 1.75
五：实验结论与分析 由第一问的表 1 和第二问的图像可知，随着 N 的增大，即 随着所取级数项数的增多，进似方均误差减小，且峰起随着 项数的增多向跳变点靠近，并且从有限级数 S20 跳变点附近 的放大图可知峰起值趋于相同（峰起值趋近于跳变值的 9%， 这里不再予以验证） 。 代码如下：
信号与系统实验
一：实验题目 运用 matlab 验证吉布斯现象 二：实验原理 对于具有不连续点 （跳变点） 的波形， 所取级数项数越多， 近似波形的方均误差虽可减小， 但在跳变点处的峰起 （上冲） 值不能减小，此峰起随项数增多向跳变点靠近。 （详见课本 279 页） 三：实验内容 1.计算 N 取不同值时的方均误差 E N 的值 2.用 matlab 画出 N 取不同值时