计算机模拟排队论模型
排队论模型
排队论模型随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。
排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。
随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。
随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。
排队论模型及其在医院管理中的作用每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。
排队论就是对排队进行数学研究的理论。
在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。
由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。
但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。
一、医院系统的排队过程模型医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。
如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。
图1 医院系统的多级排队过程模型二、排队系统的组成和特征一般的排队系统都有三个基本组成部分：1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。
2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。
排队的列数还分单列和多列。
3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。
排队论模型专业知识课件
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/
排队模型的随机模拟
求导得分布函数
， 积分可得
λ
λ λ
。 由此对
分布函数求反函数，则随机变量的变化规律 （ ， ），则 （ ）。
，设
，因为
服务时间以1min为单位时间，而服务时间Y满足均匀分布，分布范围（0,2），由已知， 用rand（）函数产生随机变量符合服务时间的要求。
蒙特卡诺随机模拟
Monte carlo 算法是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问
对于以上问题，随机模拟100次的结果： 平均排队时间为0.6526分钟 服务员的空闲率49.63% 平均队伍长度0.60 日平均服务客人240人 随机模拟次数为200次的统计结果： 平均排队时间为0.6590分钟 服务员的空闲率49.78% 平均队伍长度0.60 日平均服务客人239人 同时，随机模拟次数为500次的统计结果： 平均排队时间为0.6600分钟 服务员的空闲率49.95% 平均队伍长度0.60 日平均服务客人239人
Y
i <480?
N
初始化到达时间与开始服务时间
到达时间 = 上个到达时间 + 到达时间间隔 ; 起始服务时间 =ma x( 到达时间,上一个结束服务时间)
累计等待时间,空闲时间营业范围内?YN输出结束
5
由于C语言包括服从均匀分布的随机变量函数rand() ，调用随机函数在VC6.0中运行程 序如下： #include<stdio.h> #include<time.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> double AverageRandom(double min,double max) { while(1) { int p=rand(); if(p>=30000)continue; int q=rand(); if(q>=30000)continue; float s=fmod(p,max)+min+q%10000/10000.0; if(s>min && s<max) return s; } } double ExponentRandom(double landa) { double x; int q; while((q=rand())>30000); x=q%10000/10000.0; return -1.0/landa*log(1-x); } int main() { int i,j,k,Sumi=0; int count=0; srand(time(NULL)); double SumW=0,SumE=0; int LengthQ1,LengthQ2; double SumLQ=0,LastTime; while(count<200) { double TimeR[480]={0};//到达时间间隔 double TimeS[480]={0};//服务时间 double TimeB[480]={0};//开始服务时间 double TimeN[480]={0};//到达时间 double LQ[480]={0}; TimeR[0]=ExponentRandom(0.5); TimeS[0]=AverageRandom(0,2);
排队模型的随机模拟
ListNode *p,*s,*q;
p=L;
while (p!=NULL)
{
if(newelem>p->OccurTime)
{
if(!p->next)
{
s=new(ListNode);
s->OccurTime=newelem;
AvgLenth(L);
}
srand( (unsigned)time( 0 ) );
while(temp2<=CloseTime)
{
Customer++;
x1=rand()%1001;
ServerTime=x1/500.0;
y1=rand()%1001;
y=y1/1000.0;
{
ListNode *p;
p=L;
while (p!=NULL)
{
printf("OccurTime=%.2f EventType=%d \n",p->OccurTime ,p->EventType);
p=p->next;
}
}
void InsertList(LinkList L,DataType newelem,int EventType)
SumWaitTime：顾客总的等待时间；SumServerTime：服务员总的服务时间；
SumFreeTime：空闲时间；
四，思考过程：
给出两个随机数分别是：（ServerTime，NextCusTime），把这两个数当成一组数据。 把顾客离开置为“1”，顾客到达置为“0”。以顾客离开作为分界点，统计顾客人数，顾客的排队时间，顾客队伍长度，服务员的服务时间。根据顾客的到达时间和服务时间要分两种情况：①上一个顾客还没服务完，而下一个顾客已经到了。②上一个顾客服务结束后，而下一个顾客过一段时间才到达。
3.2 排队论模型
从上表知方案乙的总费用最省。 例7.2.3 要购置计算机，有两种方案．甲方案是购进 一大型计算机，乙方案是购置n台小型计算机．每台小型 计算机是大型计算机处理能力的1/ n 倍．设要求上机的题 目是参数为 的最简单流，大型计算机与小型计算机计 算题目的时间是负指数分布，大型计算机的参数是 试 从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案． 解 设 按甲方案，购大型计算机． 平均等待时问 平均逗留时间 按乙方案，购n台小型计算机，每台小计算机的题目
两个或
时间区间内1个顾客被服务完的概率为 两个以上顾客被服务完的概率为 且 与系统的 顾客数无关，与微小时问区间的起点无关． 对任意给定的 微小增量 假设 时 先考虑j＝i十1的情况， 当 P{ 时间内恰好到达1个顾客而没 有顾客被服务完或恰好有k个顾客到 达并且k -1个顾客被服务完，
＝p{ 时间内恰好到达1个顾客而没有顾客被服务完} 十{ 时间内到达k个顾客而服务完k -1个顾客，
这两组关系式，可以作这样直观解释：当系统内有顾 客时，平均等待队长Lq应该是平均队长L减1，当系统内 没有顾客时，平均等待队长Lq与平均队长L相等，所以
单位时间内平均进入系统的顾客为 个． 每个顾客在系 统内平均逗留W单位时间．因此系统内平均有 W个顾客 同样理由，系统内平均有 Wq个顾客在等待服务．
表12-9
为病人完成手术时间v（小时） 出现次数fv 0．0—0．2 0．2—0.4 0．4—0.6 0．6—0.8 0．8—1．0 1．0—1.2 1．2以上 合计 38 25 17 9 6 5 0 100
• （1）算出每小时病人平均到达率= ∑n fn =2.1 (人/小时) • 100 • 每次手术平均时间= ∑v fv =0.4 (小时/人) • 100 • • 每小时完成手术人数（平均服务率）= 1/0.4 =2.5 (人/小时)
第四章 排队论在计算机性能评价中应用-1
L W , s e s
L W q q e
成立，则称该排队系统满足Little公式。其中e 表示单位时间内实际进入系统的平均顾客数。
13
Little公式的直观解释
在系统达到统计平衡下，考虑一个刚开始接受 服务的顾客，在他后面排队等待服务的平均顾客 数等于在他的平均等待时间内实际进入系统的平 均顾客数，即 Lq q ；又考虑一个刚服务结束 eW 的顾客，在他离开系统时留在系统中的平均顾客 数等于在他的平均逗留时间内实际进入系统的平 均顾客数，即 Ls eWs 。 显然，M/M/1/排队系统中，Little公式是成立 的，且e等于泊松过程的参数。
◆ 请求的个数不受限制；
18
◆ 队列的长度不受限制，排队规则为FCFS； ◆ 系统只有一个服务员。
若M/M/1模型的到达率为，服务率为，1个服务 员。根据稳定的生灭过程，有状态转换和状态方程：
λ0 0 μ1 ... n-1 μn λn-1 n μn+1 λn n+1 μn+2 λn+1 ...
Lq Wq
系统的忙期与闲期 系统处于空闲状态的概率： 系统处于繁忙状态的概率：
服 务 强 度
P 0 1 P ( N 0 ) 1 P 0
21
例1：一个CPU及具有n个中断源的中断系统。设CPU处理中 断的时间是指数分布，平均时间为500ms(500ns)。一个 中断源的两个相邻中断请求时间间隔服从指数分布，其平 均值为20ms。求：最大中断源的个数及在相应中断源个 数的中断响应时间。 解：服从指数分布，属于M/M/1队列，其响应时间有：
获得较大吞吐率和较小响应时间是相互矛盾
的，如何进行折衷是计算机体系结构要研究的
( 数学建模)排队论模型
导出 pn (t ) 满足的微分方程组
p0 (t t ) p0 (t )(1 t ) p1 (t ) t (1 t ) o(t ) p0 (t t ) p0 (t ) p0 (t ) t p1 (t ) t o( t )
(1)流具有平衡性 对任何 a 0和 0 t1 t2 tn , x(a ti ) x(a ) (1 i n) 的分布只取决于 t1 , t2 , , tn 而与 a 无关。 (2)流具有无后效性 对互不交接的时间区间序列 ai , bi (1 i n) ， x (bi ) x ( ai ) 是一组相互独立的随机变量。 (3)流具有普通性 Prx(a t ) x(a) 1
Prx(t ) k
E x (t ) t
k!
e
(k 0,1,2,)
故参数λ表示单位时间内事件发生次数的平均数。
2.Poisson流的发生时间间隔分布
当流(过程) x(t ) : t 0 构成Poisson过程时，就称 为Poisson流。设流发生的时刻依次为 t1 , t2 , , tn ,…， 发生的时间间隔记为 n tn tn1 (n 1,2,) ，其中t0 0 。
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内 流(事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换 台的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时 间内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t） 表示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
最简单流应 x(t ) : t 0 具有以下特征称 5 3二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统）
对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过 程为Poisson流，服务时间服从负指数分布，单服 务台的情形，即M／M／1排队系统。
计算机模拟排队论模型
排队论模型排队系统模型的根本组成局部效劳系统由效劳机构和效劳对象〔顾客〕构成。
如果效劳对象到来的时刻和对他效劳的时间〔即占用效劳系统的时间〕都是随机的，则这个效劳系统称为派对系统。
图1为一最简单的排队系统模型。
排队系统包括三个组成局部：输入过程、排队规则和效劳机构。
输入过程对于排队系统，顾客到达时输入。
输入过程考察的是顾客到达效劳系统的规律。
它可以用一定时间顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。
随机型的输入是指在时间t 顾客到达数 n 〔t 〕服从一定的随机分布。
如服从泊松分布,则在时间t 到达n 个顾客的概率为其中λ>0为一常数。
令第i 个顾客到达的时刻为Τi(i=1,2,…),Τ0≡0,并令ti=Τi-Τi-1,则相继到达的顾客的间隔时间ti 是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
排队规则排队规则分为等待制、消失制和混合制三种。
1， 等候制顾客到达后，如果效劳机构已经占满，当允许顾客等待时，再到的顾客便排队等待。
常见的有以下几种排队方式：（1） 先到先效劳 这是最普遍的情形。
例如：医院候诊的患者。
（2） 后到先效劳 许多存储系统中运用这种规则，例如：加工钢板总是先从上面取来加工。
A(t)=1-t e λ- , t ≥0 0 , t<0（3） 随即效劳 当一名顾客承受效劳完毕离去时，随机的从等候的顾客中选择一名进展效劳，等待中的每位顾客被选中的概率是相等的。
例如订票效劳。
（4） 优先效劳 对于不同的顾客，规定不同的优先权，具备较高优先权的顾客，优先承受效劳。
例如；急诊病人、加急电报等。
2， 消失制当效劳机构已全部占满时，再到的顾客不能进入效劳系统，顾客自动消失。
排队模型与仿真
Standard Deviation mean 0 (1 / k) (Mean) (1 / 2) (Mean) (1 / 2) (Mean) (1 / 22) (Mean) (1 / 4) (Mean)
13
排队模型的符号表示
排队模型通常用下列形式来表示:
服务时间的分布
—/—/—
服务台数目
到达间隔时间的分布
17
Internal Service System 内部服务系统
系统类型
顾客
服务台
秘书服务
雇员
秘书
复印服务
雇员
复印机
计算机编程服务 雇员
程序员
大型计算机
雇员
计算机
急救中心
雇员
护士
传真服务
雇员
传真机
物料处理系统
货物
物料处理单元
维护系统
设备
维修工人
质检站
物件
质检员
18
Transportation Service System 运输服务系统
用于表示可能分布的符号是: M = Exponential distribution (Markovian) D = Degenerate distribution (constant times) Ek = Erlang distribution (shape parameter = k) GI = General independent interarrival-time distribution (any distribution) G = General service-time distribution (any arbitrary distribution)
当顾客是提供服务的组织(内部服务系统)的内部顾客时,第一个 测度比较重要.在这种情况下,
排队模型的计算机模拟方法探讨
过 符 号 表 示 。 如 Ｍ／ １表 示 患 者 相 Ｍ／ 式 中 入为单 位 时间患 者期 望 到达 继到 达 的间 隔 时间 为负 指 数 分 布 、 服 础 ， 过计 算 机 模 拟 ， 不 同类 型 的 通 为 数， 称为平 均到 达 率 ；／ １ｋ为 平 均 间隔 务 时 间为 负 指数 分布 、 务 台个 数 为 服 队 列 测 算 需 要 开 设 的 窗 口数 ， 供 提
Ｐ ≤ ￡ ＝ １一ｅ （ ≥ ０ （ ） ｔ ）
开 设 的窗 口数 （ 务 台 ）， 据 不 同 服 根
类 型 的 队列 安 排 不 同 的排 队 方 式 ，
啪
）：
（ ＿０ ｌ２ Ⅳ） ，，， ２…’
式 中 为平均服 务率 ， 为 平均 ｌ 或 相继 到达 的患 者 的间 隔时 间 Ｔ 服 务 时 间 。 以缩 短 患 者 等 待 时 间 ， 医 院 资 源 使 服从 负指 数分布 ， ： 即 排 队 系 统 的 ３个 组 成 部 分 可 通 得 到 充 分 利 用 具 有 重 要 的 意
蠢
ｌ 质量 与信 息化
’。 ０ｕａ ｉｖ＆ Ｉ ｏｒ ａ ｉ ｌｔ ｎｆ ｍ ｔｏｎ
（ 国 生 管 ） ８ 第１ （ 第 ８ ） ｉ 中 卫 质量 理 第１卷 期 总 ９期２ ｌ ０ 年叭月
排 队 模 型 的 计 算 机 模 拟 方 法 探 讨
计算机网络的排队论模型
计算机网络的排队论模型计算机网络的排队论模型是一种理论模型，用于研究计算机网络中传输数据时产生的排队现象和性能表现。
排队论模型可以帮助我们理解计算机网络中的数据传输过程，优化网络性能，提高网络的吞吐量和响应速度。
在本文中，我们将介绍计算机网络排队论模型的基本概念、分类和应用。
一、排队论模型的基本概念1.1 排队系统排队系统是指在一个服务设施之前等待服务的顾客队列。
在计算机网络中，排队系统可以看作是数据包在网络节点之间传输时产生的排队现象。
排队系统包括输入过程、服务机构和排队规则。
1.2 排队论模型排队论模型是对排队系统进行数学建模和分析的方法。
排队论模型通常包括顾客到达过程、服务时间分布、队列容量和服务规则等因素。
排队论模型可以帮助我们预测排队系统的性能表现，如平均等待时间、系统繁忙度和响应时间等指标。
二、排队论模型的分类2.1 M/M/1排队模型M/M/1排队模型是最简单的排队论模型之一，其中"M"代表顾客到达过程和服务时间满足指数分布，"1"代表只有一个服务设施。
M/M/1排队模型可以用来分析单一服务节点的性能表现，如平均等待时间和系统繁忙度等指标。
2.2 M/M/C排队模型M/M/C排队模型是相对复杂一些的排队论模型，其中"C"代表有C个服务设施。
M/M/C排队模型可以用来分析多个服务节点的性能表现，如系统的吞吐量和响应时间等指标。
2.3 其他排队模型除了M/M/1和M/M/C排队模型，还有很多其他类型的排队论模型，如M/M/∞排队模型、M/G/1排队模型和多类别排队模型等。
每种排队模型都有其独特的特点和适用范围，可以根据实际情况选择合适的模型进行性能分析。
三、计算机网络排队论模型的应用3.1 网络流量建模计算机网络排队论模型可以用来建模网络中的数据传输过程，分析网络节点的繁忙度和数据包的平均等待时间。
通过对网络流量进行建模，可以优化网络拓扑结构、改进路由算法和提高网络性能。
排队模型与模拟 ppt课件
pn
与初始状态无关而且满足 pn 1
n0
那么称这个排队模型是稳定的。
概率分布pn : n 0,1,2,称为队长的稳定解。
对于长时间连续不断运行的排队模型，稳定解 比瞬时解有更重要的意义。
PPT课件
20
令
，称为服务强度。
1 即 ，表明服务员有足够的能力完全 接待到来的全体顾客。可以证明排队模型是稳定的。 但这决不是说，每位顾客就不用等待了，因为在 系统运行中随机因素在起作用。
M——到达的过程为泊松过程或负指数分布
D——定长输入
EK——K阶爱尔朗分布 G——一般相互独立的随机分布
②——服务时间分布
③——服务台(员)个数
④——顾客源总数
⑤——系统内顾客的容量
PPT课件
29
四、排队系统的常见分布
1．泊松分布（Poisson distribution）
(1) 平稳性 在时间 t t 内，到达 n 个顾客的概率只与 t 和 n 的大小有关。
有确定的时间间隔，也有随机的时间间隔
PPT课件
12
2．排队规则：指服务台从队列中选取顾客 进行服务的顺序。
(1)损失制 ，这是指如果顾客到达排队系统时, 所有服务台都被先到的顾客占用, 那么他们就自动离开系统。
PPT课件
13
(2)等待制，指当顾客来到系统时，若服务 台没有空闲，则顾客排队等候服务。
， 顾客源无限，容量N，单列，混合制．
2．系统的状态概率和主要运行指标：
1
P0
1
1
N
1
1 N
1 1
n
P0
随机服务系统排队论模型
随机服务系统排队论模型随机服务系统排队论模型随机服务系统排队论模型是一种用于研究排队现象的数学模型。
排队现象无处不在，无论是在日常生活中的超市、银行，还是在工业生产中的生产线，都存在着等待服务的过程。
排队论通过建立数学模型，可以对排队系统中的各种指标进行预测和优化，以提高服务效率和顾客满意度。
在随机服务系统排队论模型中，通常包括以下几个要素：顾客到达过程、服务过程、服务台数量和服务策略。
顾客到达过程是指顾客到达系统的时间间隔，可以是按照某种概率分布进行模拟；服务过程是指服务台为顾客提供服务的时间，也可以按照概率分布进行模拟；服务台数量是指系统中可同时提供服务的服务台数量，可以是一个或多个；服务策略是指服务台的调度规则，如先来先服务、最短任务优先等。
----宋停云与您分享----通过建立数学模型，可以计算出排队系统的一些重要指标，如平均等待时间、顾客平均逗留时间、服务台利用率等。
这些指标可以帮助管理者评估当前系统的性能，并提出改进措施。
例如，如果发现系统的平均等待时间过长，可以考虑增加服务台数量或改变服务策略，以提高服务效率。
随机服务系统排队论模型在实际应用中具有广泛的价值。
在超市或银行等零售行业，可以通过对顾客到达过程进行建模，预测顾客的到达情况，从而合理安排服务台的工作人员；在工业生产中，可以通过对生产线的排队进行建模，优化生产过程，降低生产成本。
除了传统的排队论模型，近年来还出现了基于仿真的排队论模型。
基于仿真的排队论模型利用计算机技术，通过模拟大量的顾客到达和服务过程，可以更加真实地模拟排队系统的运行情况。
这种模型可以帮助管理者直观地了解系统的运行状况，以及不同决策对系统性能的影响。
----宋停云与您分享----总之，随机服务系统排队论模型是一种重要的数学工具，可以帮助我们理解和优化排队系统的运行。
通过合理应用排队论模型，可以提高系统的效率和顾客的满意度，为各行各业的管理者提供有力的决策支持。
计算机网络课件网络排队模型
第 2章
• 2.1
• 2.2
网络排队模型
排队模型概述
M/M/1排队模型
2.1
• 2.1.1
排队模型概述
网络性能指标
• 2.1.2
排队模型
2.2
• 2.2.1
• 2 . 2. 2 • 2 . 2. 3 • 2 . 2. 4
M/M/1排队模型
报文到达及发送过程
排队系统参数分析 利特尔定律 γ % 时延
• 设计计算机网络，就是要确定这个六元组。 由于六元组中的很多元素都是由多个分量 构成的，因此确定这个六元组是一个极为 复杂的问题。
2.1.2 排队模型
• 排队论的发展经历了以下几个阶段： • 1909年 [丹麦] A•K•Erlang的论文，研究电话 交换机使用状况，第一次论述了排队论； • 20世纪30年代 [法] F•Pollaczek（勃拉彻）、 [苏] A•Khinchine（辛钦）提出了有名的 • M/G/1 P-K公式 ，二人被称为排队论的先驱； • 二战后， [ 英 ] D•G•Kendall （堪道）系统地阐 述排队问题，并利用嵌入马尔可夫链推动了排队 论的进一步发展（1951，1953）；
吞吐量相关概念：
① = 吞吐率（throughput） ② S（网络能传输一个报文的时间内，实际传 输的报文数，显然小于1） ①②均是通信能力的利用率
• 可靠性——表现为网络的连通性。 上述性能与网络中各个节点处的排队有关（特别 是时延、吞吐量等）。 一个计算机网络是由六元组（ D，L，C，λ， γ，T）确定的[1]。其中D是构造这个网络的总费 用(代价)，主要是结点和链路的费用（即建设和 维护以及运行费用）。 L代表网络的拓扑结构,即结点和链路的构形，应 该在哪些位置配置结点设备，各结点间应该有哪 些链路。为了保证达到一定的可靠性，还需要考 虑整个拓朴图的连通性，考虑结点缓冲区大小的 选定。
计算机系统的建模与分析排队论
7、连续到达 在有些排队问题里(如水库管理)到达却是一个连续变 数，有时为了方便起见我们也可以把离散的假定为 连续到达以简化计算或推演求解，明显的例子是大 都市车辆在马路上川流不息，由于数量庞大有时可 当作流体来处理． 服务时间的类别也有多种，通常是以服务时间长度 的分布来表示。平均服务时间的倒数称作“服务率 ”，也可视作服务台在被占用期间，单位时间内可 以完成服务的平均次数。到达率与服务串之间的关 系是度量服务系统负荷量的重要指标．
计算机系统的建模与分析
1．常数 2．指数分布 3．爱尔兰分布 4．超指数分布 5．库克斯类分布 6．依剩余服务时间随机变化而界定的分布 第一类是指服务时间永远不变，第三、四类都具有指 数分布的某些共同特性，在计算上较为简单，第五 类是一般化的分布但是可以用许多指数随机变数的 随机组合来表示，第六类主要用于队列上下界限的 研究，第五、六两类都不具有特定的数学式子，而 代表一群或一类的分布．
排队系统的基本组成
一般的排队系统，都可由下图加以描述。
排队系统
计算机系统的建模与分析
排队系统的基本组成部分 通常，排队系统都有输入过程、服务规则和服务 台等3个组成部分： 输入过程：这是指要求服务的顾客是按怎样的 规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾 客流．一般可以从 3 个方面来描述一个输入过 程。 顾客总体数，又称顾客源、输入源。这是指顾 客的来源。顾客源可以是有限的，也可以是无 限的。 例如，到医院看病的病人可以认为是无限的，而 某个工厂因故障待修的机床则是有限的。
计算机系统的建模与分析
2. 服务规则 : 这是指服务台从队列中选取顾客 进行服务的顺序。一般可以分为损失制、等 待制和混合制等3大类。 (1) 损失制 : 这是指如果顾客到达排队系统时 ，所有服务台都已被先来的顾客占用，那么 他们就自动离开系统,永不再来。 典型例子是，如电话拔号后出现忙音，顾客不 愿等待而自动挂断电话，如要再打，就需重 新拔号，这种服务规则即为损失制。
计算机模拟_排队论
当排队系统的到达间隔时间和服务时间的概率分布很复杂时，或不能用公式给出时，那么就不能用解析法求解。
这就需用随机模拟法求解，现举例说明。
例1 设某仓库前有一卸货场，货车一般是夜间到达，白天卸货，每天只能卸货2车，若一天内到达数超过2车，那么就推迟到次日卸货。
根据表3所示的数据，货车到达数的概率分布（相对频率）平均为1.5车/天，求每天推迟卸货的平均车数。
服从指数分布（这是定长服务时间）。
随机模拟法首先要求事件能按历史的概率分布规律出现。
模拟时产生的随机数与事件的对应关系如表4。
表 4 到达车数的概率及其对应的随机数我们用 a1 表示产生的随机数，a2 表示到达的车数，a3 表示需要卸货车数，a4 表示实际卸货车数，a5 表示推迟卸货车数。
编写程序如下：clearrand('state',sum(100*clock));n=50000;m=2a1=rand(n,1);a2=a1; %a2初始化a2(find(a1<0.23))=0;a2(find(0.23<=a1&a1<0.53))=1;a2(find(0.53<=a1&a1<0.83))=2;a2(find(0.83<=a1&a1<0.93),1)=3;a2(find(0.93<=a1&a1<0.98),1)=4;a2(find(a1>=0.98))=5;a3=zeros(n,1);a4=zeros(n,1);a5=zeros(n,1); %a2初始化a3(1)=a2(1);if a3(1)<=ma4(1)=a3(1);a5(1)=0;elsea4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m;endfor i=2:na3(i)=a2(i)+a5(i-1);if a3(i)<=ma4(i)=a3(i);a5(i)=0;elsea4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;endenda=[a1,a2,a3,a4,a5];sum(a)/nm =2ans =0.4985 1.4909 2.3782 1.4909 0.8874例2银行计划安置自动取款机，已知A型机的价格是B型机的2倍，而A型机的性能—平均服务率也是B型机的2倍，问应该购置1台 A 型机还是2台 B 型机。
排队模型的计算机模拟
j 1 j 1 N
对一个具有更新性质的排队系统,我们将时间 取离散的整数值,Ti为更新时刻.
令yi
Ti 1 1 j Ti
f ( x j ), i Ti 1 Ti .由 更 新 过 程 的 性 质
下一零件的信息可由F(x) 及Pi(x) (i=1,2,3,4)对进行随机抽样得到. 表2
零件类型
下一零件
加工时间
到达时间
下一事件时刻
2 3
21 75
2018 2002
2018 -
排队零件
加工零件
1 4 4 2 3 (1)33
52 43 43 21 75 (2)14
1992 1976 1972 1936 1896 (3)24
现在时间
已加工数
2040 2017 2003 2002 (4)22
注:模拟程序交替地在处理系统图像和计 算抽样值的子程序间运行. 从表2可知,下一事件是加工完毕一个3型零件. 将时钟拨到2003分,将这个3型零件移出系统,并 在表的最后一行的统计数据中将3型零件的数 量加1,得到表3.
表3
零件类型 下一零件 加工时间 到达时间 下一事件时刻
4.表处理技术
在处理排队论模拟中的表格时,形成了一定的技 巧.主要是使用指针来处理链接表格中的每一条 记录.表格中的一行表示一个零件的相关信息, 我们称之为一条记录.在计算机内存中,每条记 录用固定长度的若干连续单元存放,而系统图像 中的连续两条记录则不必连续放置,因为在每条 记录所使用的单元中其实存放了两部分的信息, 一是模拟信息,二是加入一个指针变量的值,用 以表示此记录的下一记录的首地址.当然在表头 （第一条记录）、表末(最后一条记录)都要引 入特殊标志.这样就形成一个链表.对记录的处 理时,我们就只要对指针进行操作即可.
数学建模方法与其应用医院排队论模型
解 平均到达率 = 6/8 = 0.75人/小时,平均服 务率 = 1人/小时,服务强度 = 0.75/1 = 0.75.
① MRI室没有拍摄患者的概率为
P0 = 1 - = 1 - 0.75 = 0.25.
即工作人员有25%的时间空闲.
② MRI室有2名等候患者的概率为
此外, 用 表示服务强度,其值为有效的平均到达率与平均 服务率 之比, 即 =/ .
M | M | 1 模型
M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分 布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系 统模型.
假定系统的患者源和容量都是无限的,患者单队排列,排队 规则是先到先服务.
因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便 提高服务质量,降低服务费用.
医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它 是运筹学的重要分支之一.
在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排 队系统,称为随机服务系统.
这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液 管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等.
排队系统的主要数量指标
评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映. 建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期 与队长. ⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这 一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好.
用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间, 则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务 时间).
的； ③ 普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不
存在同时到达2个以上患者的情况； ④ 有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可
计算机网络的排队论模型
计算机网络的排队论模型计算机网络是现代社会中不可或缺的一部分，它连接了人们、企业和机构，带来了信息的快速传递和资源的共享。
然而，在网络中，由于各种因素的存在，比如带宽限制、网络拥塞、数据包丢失等，会导致网络性能下降和用户体验下降的问题。
为了解决这些问题，排队论模型被引入到计算机网络中，用于研究和优化网络的性能。
一、排队论简介排队论是一种数学工具，用于研究到达一个服务系统的输入和离开系统的输出之间的关系。
它通过建立数学模型来描述输入、服务和输出的过程，并通过一些指标来衡量系统的性能。
在计算机网络中，排队论被广泛应用于分析和优化网络性能，如网络延迟、带宽利用率等问题。
二、排队论模型的基本元素在计算机网络的排队论模型中，有四个基本元素，分别是顾客、服务设备、队列和调度策略。
1. 顾客：顾客是指网络中需要进行服务的对象，可以是一个用户、一个数据包等。
每个顾客都有自己的到达时间和服务时间。
2. 服务设备：服务设备是指完成顾客服务的实体，可以是一个路由器、一个服务器等。
服务设备具有能力对顾客进行服务，并有一定的服务速率。
3. 队列：当顾客到达服务设备时，如果服务设备正在为其他顾客进行服务，该顾客将会进入队列中等待。
队列可以有多种形式，如先进先出(FIFO)队列、优先级队列等。
4. 调度策略：调度策略是指决定哪个顾客能够获得服务的规则。
常见的调度策略有先来先服务(FCFS)、最短作业优先(SJF)、循环调度(Round Robin)等。
三、排队论模型的应用排队论模型在计算机网络中有多种应用，以下是其中几个典型的应用场景。
1. 带宽利用率：通过排队论模型，可以分析网络中的数据流量和带宽的利用率。
根据顾客到达率、服务速率以及调度策略，可以计算出网络中数据包的平均排队长度、平均等待时间等指标，从而评估网络的带宽利用率。
2. 延迟分析：网络的延迟是影响用户体验的重要指标。
排队论模型可以帮助分析和优化网络的延迟。
通过调整服务速率、队列容量以及调度策略等因素，可以降低网络的延迟。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排队论模型排队系统模型的基本组成部分服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。
如果服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的，则这个服务系统称为派对系统。
图1为一最简单的排队系统模型。
排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
输入过程对于排队系统，顾客到达时输入。
输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。
它可以用一定时间顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。
例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。
随机型的输入是指在时间t顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。
如服从泊松分布,则在时间t到达n个顾客的概率为其中λ>0为一常数。
令第i个顾客到达的时刻为Τi(i=1,2,…),Τ0≡0,并令ti=Τi-Τi-1,则相继到达的顾客的间隔时间ti是相互独立同分布的，其分布函数为负指数分布，即式中λ为单位时间顾客期望到达数，称为平均到达率；1/λ为平均间隔时间。
在排队论中，讨论的输入过程主要是随机型的。
A(t)=1-teλ-, t≥00 , t<0排队规则排队规则分为等待制、消失制和混合制三种。
1， 等候制顾客到达后，如果服务机构已经占满，当允许顾客等待时，再到的顾客便排队等待。
常见的有以下几种排队方式： （1） 先到先服务 这是最普遍的情形。
例如：医院候诊的患者。
（2） 后到先服务 许多存储系统中运用这种规则，例如：加工钢板总是先从上面取来加工。
（3） 随即服务 当一名顾客接受服务完毕离去时，随机的从等候的顾客中选择一名进行服务，等待中的每位顾客被选中的概率是相等的。
例如订票服务。
（4） 优先服务 对于不同的顾客，规定不同的优先权，具备较高优先权的顾客，优先接受服务。
例如；急诊病人、加急电报等。
2， 消失制当服务机构已全部占满时，再到的顾客不能进入服务系统，顾客自动消失。
例如：当旅店客满时，再来的顾客只好离去。
3， 混合制等待制的排队方式可以认为队伍长度没有限制。
当允许排队、但服务机构的空间和时间有限时，队伍长度必然有一定的限制，这种情形成为混合制。
（1） 等待空间有限 （2） 等待时间有限 （3）逗留时间有限服务机构可以是一个或多个服务台。
多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。
服务时间一般也分成确定型和随机型两种。
例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗（服务）时间是相同的，因而是确定型的。
而随机型服务时间v 则服从一定的随机分布。
如果服从负指数分布，则其分布函数是式中μ为平均服务率，1/μ为平均服务时间。
排队系统的分类B(t)= 1-t e *μ- , t ≥00 , t<0如果按照排队系统三个组成部分的特征的各种可能情形来分类，则排队系统可分成无穷多种类型。
因此只能按主要特征进行分类。
一般是以相继顾客到达系统的间隔时间分布、服务时间的分布和服务台数目为分类标志。
现代常用的分类方法是英国数学家D.G.肯德尔提出的分类方法，即用肯德尔记号X/Y/Z 进行分类。
X处填写相继到达间隔时间的分布；Y处填写服务时间分布;Z处填写并列的服务台数目。
各种分布符号有：M-负指数分布;D-确定型; Ek-k阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。
例如,M/M/1表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布和单个服务台的模型。
D/M/C表示顾客按确定的间隔时间到达、服务时间为负指数分布和C个服务台的模型。
至于其他一些特征,如顾客为无限源或有限源等，可在基本分类的基础上另加说明。
排队系统问题的求解1.评价排队系统优劣有6项数量指标研究排队系统问题的主要目的是研究其运行效率,考核服务质量,以便据此提出改进措施。
通常评价排队系统优劣有6项数量指标。
①系统负荷水平ρ：它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度；②系统空闲概率P o：系统处于没有顾客来到要求服务的概率；③队长：系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数，其平均值记为L s；④队列长：系统中排队等待服务的顾客数，其平均值记为Lq；⑤逗留时间：一个顾客在系统中停留时间，包括等待时间和服务时间，其平均值记为W s；⑥等待时间：一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值记为Wq。
2.各项指标之间的关系设λ为单位时间顾客的到达数（即为客户平均到达率），μ为单位时间被服务完毕离去的平均顾客数（即单个服务台的平均服务率），则1/λ为相邻两个顾客到达的平均间隔时间，1/μ即为每个顾客的平均服务时间，因此有L s=λW s 即系统中平均的顾客数等于单位时间平均到达的顾客数乘以每个顾客在系统中的平均停留时间；即平均队列长为单位时间平均到达的顾客数乘以得到服务前的平均等待时间；W s=W q+1/μ即每位顾客在系统中的平均停留时间等于顾客在系统中的平均等待时间加上平均服务时间，因此，L s=Lq+λ/μ排队论的案例分析汽车售后服务当今排队论研究的容包括3个方面：系统的性态、系统的优化和统计推断，根据资料的合理建立模型，其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
利用排队论的知识来解决汽车售后服务中的排队论问题。
1.排队模型的建立假设客户平均到达率为λ，单个服务台的平均服务率（表示单位时间被服务完的顾客数）为μ，整个服务机构的平均服务率为cμ，系统的服务强度ρ=λ/cμ（ρ<1）时才不会排成无限的队列，P n(c)为c个服务台任意时刻系统中有n个顾客的概率；当到达率为λ，服务率为cμ的过程达到稳态时，可得(1)(2)当系统达到平衡状态时,每位顾客在系统中的等待时间w的均值为:(3)排队逗留的人数：(4)2.排队系统的最优化在排队系统中，顾客希望服务台越多、服务效率越高、逗留时间越短越好，使自己的损失达到最小，为此4S店就要增加服务人员数，而4S店也不可能无限投入，因此就需要优化设计，目的就是使顾客损失费用和公司运营成本最低。
假设服务台的个数为Cc，每个服务台单位时间所需的成本费为C s，每个顾客在系统中逗留单位时间的费用为C w，总成本为Z(c)，则目标函数：minZ(c) = C s C + C w L s其中L s为逗留的人数公式（4），C只能取整数。
设C * 是使目标函数Z(c)取最小值的点C * 满足。
L s = L s(C) 化简得：(5)通过计算机模拟依次算出L S(1),L S(2),L S(3)…相邻两项之差，看常数落在哪两者之间，从而确定使顾客损失费用和公司服务成本之和达到最优化服务台个数C的最优解C * 。
3.模型的求解由已知易得：L S(1) −L S(2) -2.7113 L S(4) −L S(5) -2.6241λ（辆/h）μ（辆/h）C s（元）C w（元）L S(2) −LS(3) -1.5813 L S(5) −L S(6) 0.020315.05 3.7 30.512 143.189L S(3) −L S(4) 1.5020 L S(6) −L S(7) 0.0008由上表知只有维修机组个数C * = 4时满足公式（5），从而使得每一位客户来店等待维修时间最短，且公司成本最低的最优维修机组个数为4。
4.模型的分析当顾客平均到达率上升引起服务强度增加致使平均队长L太大，甚至由于服务强度ρ > 1使队长趋向无限时，在平均服务率不变的情况下就只能增加服务台。
下面考虑有两个服务台且平均服务率相等的情况。
两个服务台的排队有两种形式分别由下面两图表示:左图一个队是一个M/M/2模型;右图两个队，且入队后不能换队,是两个M/M/1模型。
可以知道，两个服务台的两种服务形式平均队长L,等待时间W之比为：就人们最关心的等待时间而言有,而当较大时，M/M/2模型的形式比2个M/M/1模型节省较多的等待时间。
同理可证：在有多个并列服务台的排队系统中,排成单队比排成并列多队的方案具有明显的优越性.对于设置多个服务台的随机过程，应该让顾客排成一个队。
5.接待派工程序的设计由上知，在设置4个并列维修机组的排队系统中，排成单队比排成并列4队的方案具有明显的优越性.具体的接待、派工程序如下：服务月工作安排在最优条件下，各维修机组基本上一直处于繁忙状态，但该4S店4月份与9月份来店保养客户比平均每天来店保养客户多31%及43%，因此为了在不增加员工数量且遵守国家法定工作时间的条件下完成服务月活动，只能提高各维修机组的工作效率。
由已知易得：4月份每小时客户平均到达率λ = 18.77(辆/h)，设每个维修机组提高效率后每小时修理的汽车数量为μ,由MATLAB计算得当μ = 4.6时即可满足条件,此时每个维修机组提高的效率为P=21.8%.同理9月份当μ = 5时即可满足条件，此时每个维修机组提高的效率P=32.4%。
因此，该4S店需提高的工作效率如下：各维修机组在4月份、9月份需提高的工作效率时间/月λ（辆/时）μ（辆/时）P（%）4 18.77 4.6 21.8结论应用排队论一方面可以有效地解决售后服务系统中人员和设备的配置问题，为公司提供可靠的决策依据；另一方面通过系统优化，找出客户和公司两者之间的平衡点，既减少排队等待时间，又不浪费公司人力物力，从而使公司和客户之间达到双赢。
排队是一种司空见惯的现象，因此排队论可以用来解决许多现实问题。