参数方程的应用(带答案原稿)

参数方程的应用

1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数。 （2）三角法：利用三角恒等式消去参数

（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。 2、常见曲线的参数方程

（1）过定点),(00y x P 倾斜角为

α的直线的参数方程 ⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x （t 为参数） （2）圆2

2

2

r y x =+参数方程⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos r y r x （θ为参数）

（3）圆2

2

2

00()()x x y y r -+-=参数方程为：⎩

⎨⎧+=+=θθ

sin cos 00r y y r x x （θ为参数）

（4）椭圆122

22=+b

y a x 参数方程

⎩⎨

⎧==θ

θ

sin cos b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y 22

=参数方程⎩

⎨⎧==Pt y Pt x 222

（t 为参数）

7．已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为

3

4，直线l 和抛物线x y 22

=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离。（2）M 点的坐标。（3）线段AB 的长AB 。

解：由34tan =α得：53cos ,54sin ==αα，所以直线的参数方程为()为参数t t y t x ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=54532，代入x y 22=化简得：045625162=--t t ，4

25

,8152121-==+t t t t

（1）4

15221

=+=t t PM （2）⎪⎩

⎪⎨⎧

=⨯==⨯+=341554417415532y x 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛3,417M

（3）()8

65

542

1221=

-+=

t t t t AB

10 (1) 写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程；

(2) 利用这个参数方程，求这条直线l 与直线032=--y x 的交点到点M 0的距离。 (3) 求这条直线l 和圆162

2

=+y x 的两个交点到点M 0的距离的和与积。

解：(1)()为参数t t y t x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=235211 (2)3610+

(3)把()为参数t t y t x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=235211代入1622=+y x 化简得：()

0103512=+++t t ()3103642

122121+=-+=

-t t t t t t ，1021=t t

1. 设是椭圆上的一个动点，则的最大值是

，最小值是。P x y x y 2312222+=+

分析一：注意到变量（x ，y ）的几何意义，故研究二元函数x+2y 的最值时，可转化为几何问题。若

设x+2y=t ，则方程x+2y=t 表示一组直线（t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x ，y ）既满足2x 2+3y 2=12，又满足x+2y=t ，故点（x ，y ）是方程组的公共解。依题意，可知直线与椭圆总有公共点。从而转化为

研究消元后的一元二次方程的判别式。

231222022x y x y t x y t +=+=⎧⎨⎩+=≥∆ 解法一：

令，，还满足，故x y t y +=+=23122x y 2x 2

方程组有公共解，消去x y t

x y x +=+=⎧⎨⎩

223122

2

()

得的一元二次方程：y y t y t 118212022-⋅+-= ()

由解得：∆=-⨯⨯-≥-≤≤644112*********t t t ∴+-x y 22222的最大值为，最小值为

分析二：

由于研究二元函数x+2y 相对困难，因此有必要消元，但由x ，y 满足的方程2x 2+3y 2=12表出x 或y ，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y 转化为一元函数呢？

方法是利用椭圆的参数方程

代入中，即可转化为以x

y x y x y 2

2

641622+=⇔==⎧⎨⎩

+cos sin θθ θ为变量的一元函数。

解法二：

由椭圆的方程，可设，2x +3y =12x =622cos sin θθy =2 ()代入，得：x y x y ++=+⋅=+2262222cos sin sin θθθϕ ()其中，由于，所以的最小值为，最大值为tg x y x y ϕθϕ=

-≤+≤-≤+≤∴+-6

4

1122222

22222

sin ［注］以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题，解法一是通过引入t ，而把x+2y 几何

化为直线的纵截距的最值问题；解法二则是利用椭圆的参数方程，设出点P 的坐()标（，），代入中，转化为一元函数求其最值，这两种解法不妨都622cos sin θθθx y f +

称为“参数法”。

2. 求椭圆

x y P 2

2

94

110+=上一点与定点（，）之间距离的最小值 2. 解：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

()()()()

设，，则到定点（，）的距离为P P d 32103120565535165

22

2

2

cos sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ=

-+-=-+=-⎛

⎝ ⎫⎭⎪+

当时，取最小值

cos )θθ=

(3545

5

d 5．设直线 022:=-+y x l ，交椭圆14

9:2

2=+y x C 于A 、B 两点，在椭圆C 上找一点P ，使ABP ∆面积最大。

解：设椭圆的参数方程为()为参数θθ

θ

⎩⎨

⎧==sin 2cos 3y x ，则()θθsin 2,cos 3P ，到直线022:=-+y x l 的

距离为：()5

2

sin 55

2

sin 4cos 3-+=

-+=ϕθθθd ，当()1sin -=+ϕθ，即2

3π

ϕθ=

+时，此时

⎪⎩

⎪⎨⎧

-

==-==58sin 259cos 3θθy x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛58,59P

3.已知实数y x ,满足()()25212

2

=-+-y x ，求y x y x ++2,2

2的最值。

解：设圆的参数方程为()为参数θθθ

⎩

⎨

⎧+=+=sin 52cos 51y x

⑴()()()φθθθ++=+++=+sin 51030sin 52cos 512

2

2

2y x ，最大值与最小值分别是

51030,51030-+

⑵()ϕθθθ++=+++=+sin 154sin 52)cos 51(22y x ，最大值与最小值分别是19与-11。

11 求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆14

22

=+y x 所得的弦长。