【通用版】高中数学重点难点突破：专题13 统计案例(重难点突破)

【通用版】高中数学重点难点突破：专题13 统计案例【重难点知识点网络】： 一、 相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.二、线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^__，则b ^＝∑ni ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑n i ＝1(x i －x －)2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^是在y 轴上的截距，回归直线一定过样本点的中心(x －，y －).三、回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x －，y －)称为样本点的中心. (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4) 相关指数：R 2＝1－∑ni ＝1 （y i －y ^i ）2∑ni ＝1（y i －y －）2.其中∑n i ＝1(y i －y ^i )2是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.四、独立性检验(1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d则随机变量K 2＝(－)(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.【知识必备】1.求解回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过样本中心点(x －，y －).2.根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的y ^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.【重难点题型突破】： 一、相关关系判断例1、（山西大同一中2019届质检）观察下列各图形，其中两个变量x ，y 具有相关关系的图是( ) A.①② B.①④ C.③④ D.②③【变式训练1-1】、(1)（江苏无锡一中2019届模拟）已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( )A.x 与y 正相关，x 与z 负相关B.x 与y 正相关，x 与z 正相关C.x 与y 负相关，x 与z 负相关D.x 与y 负相关，x 与z 正相关(2)x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.①x ，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用y ＝c 1e c 2x 拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21>R 22；③x ，y 之间不能建立线性回归方程.二、线性回归方程分析例2、（山东青岛一中2019届模拟）商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：月平均气温x (℃) 17 13 8 2 月销售量y (件)24334055由表中数据算出线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计商场下个月毛衣销售量约为________件．【变式训练2-1】、为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176【变式训练2-2】、（2014新课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的 数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i nii tty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-【变式训练2-3】、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对 年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1， 2，·，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw821()i i x x =-∑821()i i w w =-∑81()()i i i x x y y =--∑81()()iii w w yy =--∑46.65636.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =w =1881i i w =∑．（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为0.2z y x=-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v，22(,)u v，⋅⋅⋅，(,)n nu v，其回归线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()ni iiniiu u v vu uβ==--=-∑∑，ˆˆv uαβ=-．三、独立性检测例3、（2018年全国Ⅲ卷理数）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m 第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【变式训练3-1】、(湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学2019届联考)环境问题是当今世界共同关注的问空气污染指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.(1)求频率分布直方图中m的值；(2)若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数11 27 11 7 3 1根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.空气质量优、良空气质量污染总计限行前限行后总计参考数据：参考公式：K 2＝（－）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .【变式训练3-2】、（河北承德一中2019届模拟）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.【通用版】高中数学重点难点突破：专题13 统计案例（教师版）【重难点知识点网络】： 一、 相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 二、线性回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^__，则b ^＝∑ni ＝1(x i －x －)(y i －y －)∑n i ＝1(x i －x －)2＝∑n i ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －.其中，b ^是回归方程的斜率，a ^是在y 轴上的截距，回归直线一定过样本点的中心(x －，y －).三、回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中(x －，y －)称为样本点的中心. (3)相关系数当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R 2＝1－∑ni ＝1 （y i －y ^i ）2∑ni ＝1（y i －y －）2.其中∑n i ＝1(y i －y ^i )2是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. 四、独立性检验(1)利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为则随机变量K 2＝(－)(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.【知识必备】1.求解回归方程的关键是确定回归系数a ^，b ^，应充分利用回归直线过样本中心点(x －，y －).2.根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K 2越大，则两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的y ^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. 【重难点题型突破】： 一、相关关系判断例1、（山西大同一中2019届质检）观察下列各图形，其中两个变量x ，y 具有相关关系的图是( )A.①②B.①④C.③④D.②③ 【答案】C【解析】由散点图知③中的点都分布在一条直线附近.④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系.【变式训练1-1】、(1)（江苏无锡一中2019届模拟）已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是( )A.x 与y 正相关，x 与z 负相关B.x 与y 正相关，x 与z 正相关C.x 与y 负相关，x 与z 负相关D.x 与y 负相关，x 与z 正相关(2)x 和y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.①x ，y 是负相关关系；②在该相关关系中，若用y ＝c 1e c 2x 拟合时的相关指数为R 21，用y ^＝b ^x ＋a ^拟合时的相关指数为R 22，则R 21>R 22；③x ，y 之间不能建立线性回归方程. 【答案】(1)C (2)①②【解析】(1)由y ＝－0.1x ＋1，知x 与y 负相关，即y 随x 的增大而减小，又y 与z 正相关，所以z 随y 的增大而增大，减小而减小，所以z 随x 的增大而减小，x 与z 负相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c 1e c 2x 拟合比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合效果要好，则R 21>R 22，故②正确；x ，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误.二、线性回归方程分析例2、（山东青岛一中2019届模拟）商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^，气象部门预测下个月的平均气温约为24℃，据此估计商场下个月毛衣销售量约为________件． 【答案】10【解析】因为x －＝14×(17＋13＋8＋2)＝10，y －＝14×(24＋33＋40＋55)＝38，代入y ^＝－2x ＋a ^中，得a ^＝58，所以y ^＝－2x ＋58，所以y ^＝－2×24＋58＝10.【变式训练2-1】、为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12xD.y ^＝176 【答案】C [设y 对x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x ＝176，y ＝176，检验得y ＝88＋x 2过点(x ，y )．]【变式训练2-2】、（2014新课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的 数据如下表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i niitty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt=-【解析】（I ） 由所给数据计算得17t =（1+2+3+4+5+6+7）=4，17y =（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.37211()t t t =-∑=9+4+1+0+1+4+9=287111()()t tt y y =--∑=(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)-⨯-+-⨯-+-⨯-00.110.520.93 1.614+⨯+⨯+⨯+⨯=71117211()()140.528()t t tt y y b tt ==--===-∑∑， 4.30.54 2.3a y bt =-=-⨯=.所求回归方程为0.5 2.3y t =+. 【变式训练2-3】、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对 年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1，2，·，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()ii i xx y y =--∑81()()iii w w yy =--∑46.65636.8289.8 1.6 1469108.8表中i i w x =w =1881i i w =∑．（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与yc x =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =-．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()nii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-． 【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，yc =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．（Ⅱ）令w =y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8ˆ681.6()iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑． ˆˆ56368 6.8100.6cy dw =-=-⨯=， 所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ100.668y w =+，因此y 关于x的回归方程为ˆ100.6y=+ （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y的预报值ˆ100.6576.6y=+= 年利润z 的预报值ˆ576.60.24966.32z=⨯-=． （ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润z的预报值ˆ0.2(100.620.12zx x =+-=-+．13.66.82==，即46.24x =时，ˆz取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 三、独立性检测例3、（2018年全国Ⅲ卷理数）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m 第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【解析】（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过m 不超过m 第一种生产方式15 5第二种生产方式 5 15（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 【变式训练3-1】、(湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学2019届联考)环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：空气污染指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考察了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号).王先生有一辆车，若11月份被限行的概率为0.05.(1)求频率分布直方图中m的值；(2)若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：根据限行前6年180天与限行后60天的数据，计算并填写2×2列联表，并回答是否有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.参考数据：参考公式：K 2＝（－）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .【解析】(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m )×50＋0.1＝1，解得m ＝0.003. (2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1，按分层抽样的方法从中抽取6天，则空气质量良好的天气被抽取的有4天，记作A 1，A 2，A 3，A 4， 空气中度污染的天气被抽取的有2天，记作B 1，B 2，从这6天中随机抽取2天，所包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个， 记事件A 为“至少有一天空气质量是中度污染”，则事件A 所包含的事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9个，故P (A )＝915＝35，即至少有一天空气质量是中度污染的概率为35.(3)2×2列联表如下：由表中数据可得，K 2＝240×（90×22－90×38）180×60×128×112≈3.214>2.706，所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.【变式训练3-2】、（河北承德一中2019届模拟）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.【答案】5%【解析】K 2的观测值k ≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.。