5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解

4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。


x 2 Xx y 2 Yy xy (2-26) y x 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件 （3）
2
2
2 xHale Waihona Puke Baiduy
（多连体问题）。

应力函数表示的相容方程
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
3.
按位移求解平面问题的基本方程
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 1 x 2 y 2 xy （1）平衡方程： 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
第六节
位移分量的求出
第四节
（1） 逆解法
逆解法与半逆解法—多项式解答
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
x , y , xy（具有待定系数）；
（3）再利用应力边界条件式，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样 的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问 题。 —— 主要适用于简单边界条件的问题。
（2） 半逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设部分应力分量 x , y , xy 的某种函数形式 ； （ 2） 4 根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 0 ，求 出φ(x,y) 的形式；
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
5.
相容方程的应力函数表示
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
—— 应力函数表示的相容方程
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： ( x, y ) （1） 先由方程（2-27）求出应力函数：
4 4 4 4 (3-11) 2 0 0 4 2 2 4 x x y y （2） 然后将 3-9）求出应力分量： ( x , y代入式（ ) x , y , xy 2 2 2 x 2 Xx y 2 Yy xy (2-26) xy y x
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
x 2 y
2


y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x , y )
4 4 4 4 2 0 (2-27) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
上节课内容回顾：
1. 弹性力学问题的求解方法 （1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示， 并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。 （2）按应力求解（力法，柔度法） 以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并 求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。 （3）混合求解 以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这 些未知量，再求出其余未知量。 2. 按位移求解平面问题的基本方程