定解问题和本征值问题
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X '' X 0 X (0) X( l) 0
(a) 0
？
X ( x) Ce
x
De
l
x
C D 0 代入边界条件： l Ce De
(b) 0
C 0 0 D 0
仅有零解
X ( x ) C Dx
1
一、常见的偏微分方程
波动方程 描述现象：声波、电磁波 等波动过程
输运方程 描述现象：热扩散、物质 扩散等扩散过程 稳定场方程 描述现象：电势、稳定温 度场分布等与时间无关的 稳定场。
utt a u 0
2 2
u a 2 2 u 0 t
u0
2
2
一般情况 输运 方程
稳定态
连接条件：
u1 u2 u1 1 n
（电势连续）
u2 2 n
源自文库
（电位移矢量的法向分量 连续）
9
其它边界条件
有限性条件：在没有源处，物理量一般有界 无穷远条件：
r
lim u = 0或有限数
周期性单值条件
u( 2 ) u( )
10
本征值、本征函数和本征值问题 =-
C 0 D 0 仅有零解
11
C 0 代入边界条件： Dl 0
X '' X 0 X (0) X (l ) 0
(c ) 0
X ( x) C cos x D sin x
仅有零解
C 0 代入边界条件： D sin l 0
（3） u x 0 u u 0, 0或 0, u x l 0 x x l x x 0
6
以上均为齐次边界条件。
¶ u 2 2 例2：弦振动问题 2 - a ? u ¶t
初始条件：
u( r , t ) |t 0 ( r ) u( r , t ) (r ) t t 0
条件。
C I , uI
C II , uII
交界面上 电学问题：电位连续，电位移矢量法向分量连续； 热传导问题：热流强度矢量法向分量连续； 扩散问题：扩散流强度矢量法向分量连续。
u I u II II I u I II u C C x x
8
例3：两种电介质的界面 /上的电势。
即 u 随 t 周期的变化
2v k 2v 0
k=w/a为波数
3
二、定解条件
初始条件：
输运方程：
u(r , t ) |t 0 (r )
波动方程：
初始分布
u(r , t ) |t 0 ( r ) u(r , t ) (r ) t t 0
l n (n 1, 2)
D 0或 sin l 0
n 2 X n ( x ) Dn sin x，其中 ( ) ( n 1, 2, 3, ) l
可见：的取值不是任意的，只能取某些特定的 数值才有满足条件的非零解。这些特定的值称 为本征值，相应的非零解称为本征函数。求本 征值和相应的本征函数的问题称为本征值问题 。
典型方程与定解问题
许多物理规律、过程和状态都可以用微分方程来 表述。 根据物理规律建立方程 ——泛定方程（共性）
根据边界及初始状况建立——定解条件（个性）
边界条件：物理系统与外部的相互作用 初始条件：物理系统过去的历史
泛定方程 定解问题 定解条件
求一个微分方程的解使之 满足一定的初始条件和边 界条件的问题
5
例1：长为 l 的均匀杆的导热问题
（1）杆的两端温度保持零度； 设 u(x, t) 为杆 （2）杆的两端均绝热； （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热。 的温度函数
三种情况下的边界条件分别为：
（1） u x0 0, u xl 0
u u （2） 0, 0 x x 0 x x l
2
0
初始时刻的位移 初始时刻的速度
边界条件： 1、u( x , t ) | x 0 u( x , t ) | x l 0
两端固定 端点受力 弹性受力
u 2、 x
0
x 0 或l
YS u 3、 u0 ( t ) u k x xl
7
衔接条件：反映两种介质交界处物理状况的
u 不随 t 变化 泊松方程
u 2 u f t
2u f /
f 0: u 0
2
拉普拉斯方 程
uf /a
2
u 不随 t 变化
2
泊松方程
拉普拉斯方
波动 方程
2u 2 2 a u f 2 t
f 0: u 0
2
程
亥姆霍兹方 程
u( x , y, z , t ) v( x , y, z )e i t
初始位移分布 初始速度分布
4
边界条件
第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在
边界上的数值。
u | f1
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
界外法线方向上方向导数的数值。
u f2 n 第三类边界条件（混合边界条件）：规定了所 研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边 界上的数值。 u u H n f 3
12
本例题中 X '' X 0 本征值问题： X (0) X ( l ) 0 本征函数： 本征值： sin x n 2 ( ) ( n 1, 2, 3, ) l
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(a) 0
？
X ( x) Ce
x
De
l
x
C D 0 代入边界条件： l Ce De
(b) 0
C 0 0 D 0
仅有零解
X ( x ) C Dx
1
一、常见的偏微分方程
波动方程 描述现象：声波、电磁波 等波动过程
输运方程 描述现象：热扩散、物质 扩散等扩散过程 稳定场方程 描述现象：电势、稳定温 度场分布等与时间无关的 稳定场。
utt a u 0
2 2
u a 2 2 u 0 t
u0
2
2
一般情况 输运 方程
稳定态
连接条件：
u1 u2 u1 1 n
（电势连续）
u2 2 n
源自文库
（电位移矢量的法向分量 连续）
9
其它边界条件
有限性条件：在没有源处，物理量一般有界 无穷远条件：
r
lim u = 0或有限数
周期性单值条件
u( 2 ) u( )
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本征值、本征函数和本征值问题 =-
C 0 D 0 仅有零解
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C 0 代入边界条件： Dl 0
X '' X 0 X (0) X (l ) 0
(c ) 0
X ( x) C cos x D sin x
仅有零解
C 0 代入边界条件： D sin l 0
（3） u x 0 u u 0, 0或 0, u x l 0 x x l x x 0
6
以上均为齐次边界条件。
¶ u 2 2 例2：弦振动问题 2 - a ? u ¶t
初始条件：
u( r , t ) |t 0 ( r ) u( r , t ) (r ) t t 0
条件。
C I , uI
C II , uII
交界面上 电学问题：电位连续，电位移矢量法向分量连续； 热传导问题：热流强度矢量法向分量连续； 扩散问题：扩散流强度矢量法向分量连续。
u I u II II I u I II u C C x x
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例3：两种电介质的界面 /上的电势。
即 u 随 t 周期的变化
2v k 2v 0
k=w/a为波数
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二、定解条件
初始条件：
输运方程：
u(r , t ) |t 0 (r )
波动方程：
初始分布
u(r , t ) |t 0 ( r ) u(r , t ) (r ) t t 0
l n (n 1, 2)
D 0或 sin l 0
n 2 X n ( x ) Dn sin x，其中 ( ) ( n 1, 2, 3, ) l
可见：的取值不是任意的，只能取某些特定的 数值才有满足条件的非零解。这些特定的值称 为本征值，相应的非零解称为本征函数。求本 征值和相应的本征函数的问题称为本征值问题 。
典型方程与定解问题
许多物理规律、过程和状态都可以用微分方程来 表述。 根据物理规律建立方程 ——泛定方程（共性）
根据边界及初始状况建立——定解条件（个性）
边界条件：物理系统与外部的相互作用 初始条件：物理系统过去的历史
泛定方程 定解问题 定解条件
求一个微分方程的解使之 满足一定的初始条件和边 界条件的问题
5
例1：长为 l 的均匀杆的导热问题
（1）杆的两端温度保持零度； 设 u(x, t) 为杆 （2）杆的两端均绝热； （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热。 的温度函数
三种情况下的边界条件分别为：
（1） u x0 0, u xl 0
u u （2） 0, 0 x x 0 x x l
2
0
初始时刻的位移 初始时刻的速度
边界条件： 1、u( x , t ) | x 0 u( x , t ) | x l 0
两端固定 端点受力 弹性受力
u 2、 x
0
x 0 或l
YS u 3、 u0 ( t ) u k x xl
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衔接条件：反映两种介质交界处物理状况的
u 不随 t 变化 泊松方程
u 2 u f t
2u f /
f 0: u 0
2
拉普拉斯方 程
uf /a
2
u 不随 t 变化
2
泊松方程
拉普拉斯方
波动 方程
2u 2 2 a u f 2 t
f 0: u 0
2
程
亥姆霍兹方 程
u( x , y, z , t ) v( x , y, z )e i t
初始位移分布 初始速度分布
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边界条件
第一类边界条件：直接规定了所研究物理量在
边界上的数值。
u | f1
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
界外法线方向上方向导数的数值。
u f2 n 第三类边界条件（混合边界条件）：规定了所 研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边 界上的数值。 u u H n f 3
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本例题中 X '' X 0 本征值问题： X (0) X ( l ) 0 本征函数： 本征值： sin x n 2 ( ) ( n 1, 2, 3, ) l
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