一元二次方程题型分类总结

元二次方程题型分类总结

① 只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程

就是一元二次方程。

(2) —般表达式：I ax 2 + bx + C = 0(a H 0)

⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”： ① 该项系数不为“ 0”； ② 未知数指数为“ 2”；

③ 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨 论。

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是(

)

3(x +1 2

=2(x +1 )

B 2+丄-2=0

x x

时，关于x 的方程kx 2

+2x =X 2

十3是一元二次方程。

方程(m +2 乂叫+3mx +1=0是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值

是 _______ O

★★★ 4、若方程nx m

+x n

-2x 2

=0是一元二次方程，则下列不可能的是（

A.m=n=2

B.m=3 ,n=1

C.n=2,m=1

D.m=n=1

知识梳理

一、知识结构：^I 元二次方程= ‘解与解法 根的判别 韦达定理*

★★

考点类型一 概念

(1)定义: ax 2

+bx + c = 0

2 2

D x +2x=x +1

变式:

★ 1、方程8x 2

=7的一次项系数是

，常数项是

考点类型二方程的解

★ 3、已知m 是方程x

2

-x-1=0的一个根，则代数式

m 2

-m =

★★ 4、已知 a 是 X 2

-3x +1 =0 的根，贝U 2a 2

-6a =

★★ 5、方程（a -b x 2

+（b —c x + c-a =0 的一个根为（

）

C b -c

★★★ 6、若 2x+ 5y-3=0,贝

y 4X •32y

=

⑴概念:

使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值;

例1、已知2y 2

+y -3的值为2,则4y 2

+2y +1的值为

例2、关于x 的一元二次方程（a -2X 2

+x + a 2

-4 = 0的一个根为0,则a 的值

例3、已知关于x 的一元二次方程ax 2

+bx + c=0（aH0 ）的系数满足a + c = b ，则 此方程 必有一根为

例4、已知a,b 是方程X 2

-4x +m =0的两个根，b,c 是方程y 2

-8y + 5m = 0的两 个根， 则m 的值为

★ 1、已知方程 2

X 2

+kx-10 = 0的一根是2，贝U k 为

，另一根是

★ 2、已知关于 X +1

x 的方程X 2

+ kx -2 =0的一个解与方程亠=3的解相同。

X-1

⑴求k 的值;

⑵方程的另一个解。

A -1

考点类型三解法

⑵关键点：降次

※※对于(x + a 2

= m ， (ax +m f =(bx + n f 等形式均适用直接开方法

例2、若9(X -1 f =16(x +2 f ，则x 的值为

A. X 2 +3=2X 2

-1 B.(X -22=0 C.2X +3=1-X D. x 2

+9 = 0 类型二、因式分解法：(x-X j I x-X 2 )= 0= X=x 1,或X = X 2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“ 0”

探方程形式：如(ax +mf =(bx + n f , (x +a )(x + b )=(x + a )(x + c )，

X 2 +2ax +a 2

=0

例 1、2x(x-3)=5(x-3 的根为(

)

5

X I = ,X 2 =3

2

例 2、若(4x + y f + 3(4x + y )- 4 = 0，贝U 4x+y 的值为 变式 1：

(a ^b 2 2 -(a 2 +b 2)-6 =0,则a ^b 2 =

变式2:若(x + yl2-X- y )+ 3 = 0，则x+y 的值为

变式 3:若 x 2

+xy+ y =14 , y 2

+xy + x=28，则 x+y 的值为

⑴方法:

①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

X 2

= m(m > 0 )= x = ±

例 1、解方程：(1 2x

2

-8=0; (2 25-16X 2

=0;

针对练习:

下列方程无解的是(

5

A x=— B

2

2

X =一

5

★ ★ ★ 7、 方 程(1999x f -1998X 2000X -1 =0 的 较大根为r ,方程

例3、方程x 2

+ x-6 = 0的解为（

A. X 1 = —3,X 2 = 2

B. X 1 = 3,X2 = —2

C. X 1 = 3,X2 = —3

D.

X 1 = 2,X2 = —2

已知 2X 2 —3xy — 2y 2 =0,且 x>0,y>0,贝 U y

的值为

X —y

★ 1下列说法中:

① 方程 X 2

+ px +q =0 的二根为 X 1 , X 2，贝y X 2

+ px +q = (x-xJd-X 2) ② _x 2

+6X -8=(X -2)(X -4). ③ a 2-5ab +6b 2 =(a-2)(a-3)

④ X 2

- y 2

=(X + y)(Ux + j y)( J x - J y)

⑤方程（3X +1）2

-7 =0可变形为（3x+1 + 77）（3X +1-77） =0 正确的有（）

A.1个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

★ 2、以1+77与1-J 7为根的一元二次方程是（）

A. X 2-2X -6=0 B . X 2

-2X +6=0 C. y 2 + 2y-6=0

D . y2+2y+ 6 = 0

★★ 3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数:

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为

1,且两根互为相反数：

★★ 4、若实数 x 、y 满足（X + y —3 K x + y ）+2 = 0 ,贝U x+y 的值为（

A 、-1 或-2

B 、-1 或 2

C 、1 或-2 D

5、方程：X 2

+1=2的解是

X

例4、 解方程:

X 2

+2(J 3+1 X + 273+4 =0

例5、 已知2X 2

—3xy-2y 2

=0,则亠的值为

x-y

变式: