例说求函数的最大值和最小值的方法

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求解三角函数的最大值和最小值

求解三角函数的最大值和最小值三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

求解三角函数的最大值和最小值在数学和科学应用中具有重要意义。

本文将介绍三角函数的最大值和最小值的求解方法，并通过示例进行说明。

一、正弦函数的最大值和最小值正弦函数是一种周期性函数，其图像在[-1, 1]之间周期性波动。

该函数的最大值为1，最小值为-1。

当x为正弦函数的周期之一时，正弦函数取得最大值1；当x为周期的中点时，正弦函数取得最小值-1。

二、余弦函数的最大值和最小值余弦函数也是一种周期性函数，其图像同样在[-1, 1]之间周期性波动。

该函数的最大值为1，最小值为-1。

与正弦函数类似，余弦函数在周期的中点处取得最大值1，在周期的端点处取得最小值-1。

三、正切函数的最大值和最小值正切函数是一种无界函数，其值在整个数轴上波动。

正切函数的最大值、最小值并不存在。

然而，正切函数在特定点上取得无穷大或无穷小值。

例如，正切函数在90度的整数倍处（如90°、180°等）取得无穷大值，在90度的奇数倍处（如270°、360°等）取得无穷小值。

四、其他三角函数的最大值和最小值除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他三角函数如余切函数、正割函数和余割函数。

这些函数的最大值和最小值的求解方法与正弦函数、余弦函数类似，但其值的范围会有所不同。

结论- 正弦函数的最大值为1，最小值为-1，取决于周期的位置。

- 余弦函数的最大值为1，最小值为-1，同样取决于周期的位置。

- 正切函数在特定点上取得无穷大或无穷小值，没有明确的最大值和最小值。

- 其他三角函数如余切函数、正割函数和余割函数的最大值和最小值的求解方法类似。

通过以上分析，我们可以了解到三角函数的最大值和最小值求解方法及其特点。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择正确的求解方法，以便有效地使用三角函数进行数学和科学问题的研究和计算。

3.5 函数的极值与最大值最小值

因为在1的左右邻域内f (x)0
所以f(x)在1处没有极值同理 f(x)在1处也没有极值
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例4已知f(x)x3+ax2bx在x=1处有极值-12,试确定常系数a与b 解因为f(x)x3+ax2bx,所以 f (x)3x2+2ax+b 因为f(1)=-12为极值点,所以,令f (1)0
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三、数学建模——最优化问题
1.数学建模数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表刻画客观事物的本质的属性、结构与联系。创建一个数学模型的全过程称为数学建模。为解决一个实际问题，建立数学模型是一种有效的重要方法．
2.最优化模型给定一个函数(称为目标函数)，寻找自变量的一个取值使得对于定义域中所有的情况中，目标函数取得最小值或者最大值．
f (x)
f(x)

↗
不可导
极大值0

↘
0
极小值
1 2

↗
(4)函数f(x)在区间( 0)和(1 )单调增加, 在区间 (0 1)单调减少. 在点x0处有极大值0，在点x1处有极小值-1/2
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定理3(第二充分条件)
设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 >>>证明 (2)当f (x0)0时函数f(x)在x0处取得极小值
M
注意：极值在哪些点处取得？
m
驻点 + 奇点
x1 x2
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x3 x4 x5
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最大值和最小值的求法 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点设这此点

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。

本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。

例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。

如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。

如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。

对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。

例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。

我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。

同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。

当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。

我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。

在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。

通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

函数的极值与最大、最小值

极大值点与极小值点统称为极值点.
例如
x =1 为极大值点 ,
f (1)=2是极大值;
x =2 为极小值点 ,
f (1)=2是极小值.
例如
x =0为极小值点 ,
f (0)=0是极小值.
注意:
函数的极值是函数的局部性质.
x1 , x4 , x6 为极小值点,
x2 , x5 为极大值点,
二、最大与最小值问题
第十节函数的极值与最大、最小值
单击此处添加副标题
一、函数的极值及其求法
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一、函数的极值及其求法 1.函数极值的定义
设 f(x) 在区间 (a,b) 内有定义 , x0 (a,b) ,
若对任意的 xU(x0, ) (a,b) 且 x x0 , 有
练习题答案
第二充分条件;
(注意使用条件)
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
利用最大、小值证明不等式
则:
1
且
2
当 n 为偶数时,x = x0 为极值点 , 且
3
x = x0 为极小值点 ;
4
= x0 为极大值点 .
5
当 n 为奇数时,
6
= x0 不是极值点 .
7
但点 (x0 , f (x0 ) ) 是曲线 y=f(x)的拐点 .
最大值, 最小值的特殊情形:
1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
3)对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点 .
例3 三角形 ABC 的底为 a , 高为 h ,求内接

求最大值和最小值的公式数学

求最大值和最小值的公式数学在数学中，求解函数的最大值和最小值是常见的问题。

一般来说，可以利用微积分的知识来解决这类问题。

本文将介绍一些常用的方法和公式，帮助我们求取函数的最大值和最小值。

寻找函数的极值点对于一个函数f(x)，要求其最大值和最小值，我们首先需要找到其在定义域内的极值点。

函数的极值点分为两类：极大值点和极小值点。

极值点通常出现在函数的导数为零的点或者导数不存在的点。

寻找导数为零的点如果函数在某点的导数为零，那么该点可能是函数的驻点，即可能是极值点。

我们可以通过求解f′(x)=0的方程来找到这些点。

寻找导数不存在的点函数的极值点也可能出现在导数不存在的点，通常是函数的拐点。

我们可以通过观察函数在这些点的变化情况来判断是否为极值点。

利用二阶导数判断极值点的类型在找到极值点后，我们需要进一步判断这些点是极大值点还是极小值点。

这时可以利用二阶导数的信息。

如果函数在某一点的二阶导数大于零，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数小于零，那么该点是函数的极大值点。

实例分析举例说明如何利用上述方法求解函数的最大值和最小值。

考虑函数f(x)=x2−4x+3，首先计算其导数为f′(x)=2x−4。

令f′(x)=0，解得x=2。

那么x=2为函数的一个极值点。

计算f″(x)=2，由于f″(2)>0，所以x=2为函数的极小值点。

代入原函数可得最小值为f(2)=1。

结论通过以上方法，我们可以求解函数的最大值和最小值，从而更好地理解函数的性质和变化规律。

希望本文对您有所帮助。

求最大值怎么算最小值

求最大值怎么算最小值在数学中，求函数的最大值和最小值是一种常见的问题。

通常情况下，我们可以通过找到函数的导数为零的点，或者通过观察函数的图像来确定函数的最大值和最小值。

接下来，我们将介绍求最大值和最小值的常见方法。

一、求最大值和最小值的基本概念在数学中，给定一个函数f(x)，我们希望找到该函数在某个区间内的最大值和最小值。

最大值指的是函数在该区间内取得的最大值，而最小值则是函数在该区间内取得的最小值。

通常情况下，我们将求函数最大值和最小值的问题转化为求函数的驻点（导数为零的点）或者分析函数的定义域和函数的图像。

二、求导数为零的点求导数为零的点是求解最大值和最小值的常见方法之一。

假设我们有一个函数f(x)，要找到其最大值和最小值，我们可以先求出函数f(x)的导数，即f′(x)。

然后，我们将f′(x)置为零，得到方程f′(x)=0，解这个方程可以得到函数f(x)的驻点。

我们需要进一步通过二阶导数或者函数图像的形状来判断这些驻点是最大值点还是最小值点。

三、分析函数的定义域和图像除了求导数为零的点之外，我们还可以通过分析函数的定义域和图像来求解最大值和最小值。

通过观察函数的定义域、函数的增减性质和凹凸性质，我们可以初步判断函数的最大值和最小值可能出现的位置。

进一步结合函数的导数和二阶导数，我们可以更准确地确定函数的最大值和最小值。

四、举例说明下面通过一个简单的例子来说明如何求解最大值和最小值。

假设我们需要求函数f(x)=x2−4x+3在区间[−1,5]内的最大值和最小值。

首先我们计算函数的导数f′(x)=2x−4，令导数为零，得到x=2。

然后，我们可以通过计算二阶导数或者观察函数图像的形状，发现x=2是一个最小值点。

进一步计算f(2)，即可得到该函数在区间[−1,5]内的最小值。

五、总结求最大值和最小值是数学中的重要问题，对于函数的最大值和最小值求解有多种方法。

通过求解导数为零的点或者分析函数的定义域和图像，我们可以找到函数的最大值和最小值。

求最大值和最小值的公式不等式

求最大值和最小值的公式不等式在数学中，求解函数的最大值和最小值是一项常见的问题。

我们可以通过一些特定的方法和技巧来解决这类问题。

其中，利用不等式来求最大值和最小值是一种常见且有效的方法。

本文将介绍如何使用不等式来求解函数的最大值和最小值。

不等式求最大值假设我们要求解函数f(x)的最大值，其中x属于某个区间[a,b]。

我们可以通过构造一个不等式来找到最大值。

假设我们已经知道了一个不等式 $g(x) \\geqf(x)$，并且g(x)在区间[a,b]上的最大值是M，即对任意 $x \\in [a, b]$，有 $g(x) \\geq M$。

根据不等式 $g(x) \\geq f(x)$，我们可以得到 $f(x) \\leq g(x) \\leq M$，即在区间[a,b]上，f(x)的取值范围在[f min,M]内。

因此，M就是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值。

不等式求最小值与求最大值类似，我们也可以利用不等式来求解函数的最小值。

假设我们已经知道一个不等式 $h(x) \\leq f(x)$，并且ℎ(x)在区间[a,b]上的最小值是m，即对任意 $x \\in [a, b]$，有 $h(x) \\leq m$。

根据不等式 $h(x) \\leq f(x)$，我们可以得到 $m \\leq h(x) \\leq f(x)$，即在区间[a,b]上，f(x)的取值范围在[m,f max]内。

因此，m就是函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。

示例让我们通过一个简单的例子来说明如何利用不等式求解函数的最大值和最小值。

考虑函数f(x)=x2在区间[0,2]上的最大值和最小值。

首先，我们可以构造一个不等式 $x^2 \\leq 4$，其中4是x2在区间[0,2]上的最大值。

因此，4就是函数f(x)在区间[0,2]上的最大值。

同样地，我们可以构造一个不等式 $x^2 \\geq 0$，其中0是x2在区间[0,2]上的最小值。

函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4・y・(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习：1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。

3.求函数最值问题常用的10种方法

【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否则相反．
八、平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
【例8】已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0，解析由题意，得
x＋3≥0，

中考知识点函数的最大值与最小值

中考知识点函数的最大值与最小值函数的最大值和最小值是中考数学中的一个重要知识点。

在解题过程中，我们需要运用一些方法来求解函数的最大值和最小值。

本文将介绍三种常见的方法：图像法、导数法和附加条件法，以帮助大家更好地理解和应用这一知识点。

一、图像法使用图像法求解函数的最大值和最小值，一般需要绘制函数的图像。

在中考中，我们通常采用手绘图像的方式进行计算。

下面以一个例题来说明图像法的具体步骤。

例题：已知函数$f(x)=x^2-6x+5$，求$f(x)$的最大值和最小值。

解题步骤：（1）首先，我们绘制出函数$f(x)=x^2-6x+5$的图像。

为了方便计算，我们可以计算出函数的顶点坐标。

由二次函数的性质可知，函数的顶点坐标为$(p,q)$，其中$p$的值等于二次项系数的相反数的一半，$q$的值等于函数在$p$处的取值。

可以求得顶点坐标为$p=3$，$q=-4$。

将这个顶点坐标标在函数图像上。

（2）根据图像，我们可以看出函数$f(x)$的最大值为$q=-4$，对应的$x$值为$p=3$；最小值为$q=-\infty$（无穷小），对应的$x$值为$x\to \infty$。

因此，函数$f(x)=x^2-6x+5$的最大值为$-4$，最小值为$-\infty$。

二、导数法使用导数法求解函数的最大值和最小值，可以利用函数的导数来判断函数的增减性。

下面以一个例题来说明导数法的具体步骤。

例题：已知函数$g(x)=3x^2+4x+2$，求$g(x)$的最大值和最小值。

解题步骤：（1）首先，我们需要求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。

对于一次或二次函数，我们可以通过对函数的表达式进行求导来得到导函数。

对函数$g(x)$进行求导，得到$g'(x)=6x+4$。

（2）根据导数的定义，导数表示函数在某一点的变化率。

根据函数的导数可以判断函数的增减性。

当导数大于$0$时，函数递增；当导数小于$0$时，函数递减。

怎么用函数求出最大值最小值

怎么用函数求出最大值最小值在数学中，寻找函数的最大值和最小值是一个常见的问题。

通过计算函数的导数可以找到函数的极值点，进而确定最大值和最小值。

以下是一些常见的方法和步骤来解决这个问题。

寻找最大值和最小值的一般步骤1.求导数：首先，对给定的函数进行求导。

导数表示了函数在不同点的变化率，极值点一般对应导数为0的点。

2.解导数为0的方程：找到导数等于0的方程，并解出其根，这些根就是函数可能的极值点。

3.排除无关点：对于导数等于0的点，需要验证其是否确实是极值点。

排除掉在潜在的极值点处二阶导数不等于0的点。

4.确定最大值和最小值：对剩余的点，通过比较函数在这些点上的取值，确定最大值和最小值。

通常，最大值对应极大值点，最小值对应极小值点。

示例：使用函数求出最大值和最小值假设有一个函数f(x)=x2+3x+2，我们来求解其最大值和最小值。

1.求导数：计算f′(x)=2x+3。

2.解导数为0的方程：解方程2x+3=0，得到 $x = -\\frac{3}{2}$，这是一个极值点。

3.排除无关点：计算二阶导数f″(x)=2，在 $x = -\\frac{3}{2}$ 处二阶导数不等于0，说明这是一个极值点。

4.确定最大值和最小值：分别计算 $f(-\\frac{3}{2})$ 和 $f(-\\infty),f(\\infty)$ 的取值，比较得到最小值和最大值。

因此，函数f(x)=x2+3x+2在 $x = -\\frac{3}{2}$ 处取得最小值为$\\frac{1}{4}$，无最大值。

总结通过对函数进行求导，找到导数为0的点，再通过二阶导数的符号来排除无关点，最终确定函数的最大值和最小值。

这一过程是数学分析中常见的一种方法，可以帮助我们在解决实际问题时准确找到函数的极值点。

函数的极值与最值的求解方法

函数的极值与最值的求解方法函数的极值与最值是数学中常见的概念，它们在解决实际问题和优化计算等方面起着重要的作用。

本文将介绍函数的极值与最值的求解方法。

一、函数的极值函数的极值包括极大值和极小值。

要求函数的极值，首先需要找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点。

然后，通过判断驻点的二阶导数来确定驻点是极大值还是极小值。

1. 寻找驻点对于给定的函数f(x)，我们首先需要求导数f'(x)，然后找到导数为零或不存在的点。

这些点就是函数的驻点。

2. 判断驻点的性质驻点的性质可以通过二阶导数f''(x)来判断。

若f''(x)>0，则该驻点为极小值；若f''(x)<0，则该驻点为极大值；若f''(x)=0，则无法判断。

二、函数的最值函数的最值包括最大值和最小值。

要求函数的最值，可以通过以下方法进行求解。

1. 首先，找到函数的定义域。

在定义域内，求出函数的一阶导数f'(x)。

2. 确定导数的零点和边界点。

将导数f'(x)置为零，求解方程f'(x)=0，得到导数的零点。

同时，找到定义域的边界点。

3. 将零点和边界点代入原函数f(x)。

计算这些点对应的函数值，比较大小，即可得到函数的最值。

三、实例分析下面通过一个实例来说明函数的极值与最值的求解方法。

例：求函数f(x)=x^3-3x的极值与最值。

1. 寻找驻点求导得到f'(x)=3x^2-3。

令f'(x)=0，解得x=±1。

所以驻点为x=-1和x=1。

2. 判断驻点的性质求二阶导数f''(x)=6x。

将驻点代入得到f''(-1)=-6<0和f''(1)=6>0。

所以驻点x=-1为极大值点，驻点x=1为极小值点。

3. 求最值由于函数定义域为全体实数，不存在边界点。

代入驻点和边界点得到f(-1)=2和f(1)=-2。

如何在Excel中使用函数计算最大值和最小值

如何在Excel中使用函数计算最大值和最小值在Excel中，函数是帮助我们进行各种数学和逻辑运算的强大工具。

其中，计算最大值和最小值是常见的需求之一。

本文将介绍如何在Excel中使用函数来计算最大值和最小值。

一、使用MAX函数计算最大值MAX函数是Excel中常用的函数之一，它可以计算一组数值中的最大值。

以下是使用MAX函数计算最大值的步骤：1. 打开Excel，并创建一个新的工作表。

2. 在工作表中选择一个单元格作为计算结果的位置。

3. 输入以下公式：=MAX(数值1, 数值2, ...)其中，数值1、数值2等为你需要比较的数值。

4. 按下回车键，即可得到计算结果，该结果为所选数值中的最大值。

举例来说，假设你有一列成绩数据，要计算其中的最高分。

你可以在一个单元格中输入以下公式：=MAX(A1:A10)其中，A1到A10为你所需计算的成绩数据范围。

二、使用MIN函数计算最小值MIN函数与MAX函数类似，它可以帮助我们计算一组数值中的最小值。

以下是使用MIN函数计算最小值的步骤：1. 打开Excel，并创建一个新的工作表。

2. 在工作表中选择一个单元格作为计算结果的位置。

3. 输入以下公式：=MIN(数值1, 数值2, ...)其中，数值1、数值2等为你需要比较的数值。

4. 按下回车键，即可得到计算结果，该结果为所选数值中的最小值。

举例来说，假设你有一列成绩数据，要计算其中的最低分。

你可以在一个单元格中输入以下公式：=MIN(A1:A10)其中，A1到A10为你所需计算的成绩数据范围。

三、使用IF函数结合MAX和MIN计算条件最值除了使用MAX和MIN函数来计算一组数值的最大值和最小值外，我们还可以结合IF函数使用，实现更灵活的条件最值计算。

IF函数是一个逻辑函数，它可以根据指定的条件返回不同的结果。

以下是使用IF函数结合MAX和MIN计算条件最值的步骤：1. 打开Excel，并创建一个新的工作表。

第五节函数的极值与最大最小值

(2) 最大值
M m f(x1),a f(x2), x ,f(xm), f (a), f (b)
最小值
m m f (x1), fi (x2n ),,f(xm), f (a), f (b)
特别:
• 当 f (x) 在 [a,b]内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
得
x0

ma mn
是区间唯一的驻点，
故 f ( x0 ) 为区间(0, a)之间的最大值
fma x f(m m n)a m m nn(m a n)m n
例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有点,则唯该一点驻的函数值即为所求的最小（）或值最．
例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于
观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角最大) ?
例6. 设 x1是, x任2 意两正数，满足： x 1 x 2 a (a 0 )
求 x1m x2n 最大值。
解: 设 f (x) xm(ax)n
0xa
即求 f (x) 在 ( 0, a ) 内的最大值
f'(x ) x m 1 ( a x )n 1 [ m ( m a n )x ]令 f'(x)0

o
x0
x
求极值的步骤:
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值.

求函数的最大值和最小值配方法

求函数的最大值和最小值配方法我折腾了好久求函数的最大值和最小值用配方法这事儿，总算找到点门道。

说实话，最开始的时候我真是瞎摸索。

拿简单的二次函数y = x²+ 2x + 3来说明吧。

我刚开始就想着把函数变形一下，但是根本没什么方向。

我试过直接求导数来找最值，那是另一种方法，虽然也能求出来，但是相对来说比较复杂，而且当时我并没有完全掌握好。

后来我就专注于配方法。

我就把这个二次函数当成是摆积木一样。

首先看二次项系数，这里是1，还行。

然后着重处理一次项，对于x²+ 2x，我就想让它变成一个完全平方式的一部分。

你看，一次项系数是2，我就想到(x + 1)²= x²+ 2x + 1。

那这个函数就可以写成y = (x + 1)²+ 2。

这时候就好像是把一堆零散的积木搭成了一个规则的形状。

我们知道任何数的平方都是大于等于0的，那么(x + 1)²最小就是0啊，所以这个函数的最小值就是2。

再给你说个我犯过的错吧，遇到y = -x²- 4x + 5的时候，我一下就懵了。

因为有个负号在前面。

我开始不知道该怎么处理这个负号，我就直接还是按照前面的方式去配。

结果发现完全乱套了。

后来我就明白了，对于这个函数，我应该先把负号提出来，变成y = - (x²+ 4x)+5。

然后再对括号里面的式子进行配方。

x²+ 4x可以写成(x + 2)²- 4。

所以这个函数就变成了y = - ((x + 2)²- 4)+5，也就是y = - (x + 2)²+ 9。

这个时候就看出来了，因为(x + 2)²大于等于0，前面还有个负号，所以-(x + 2)²最大就是0，这个函数的最大值就是9。

还有一个心得就是，在配方的时候一定要特别小心符号的变化。

比如一次项系数是负数的时候怎么处理。

再给个例子，y = 2x²- 6x + 4。

函数的最大值和最小值的求解方法

0
,1
0,
2 x1 x2 2 2 x1 x2
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)= •7 .
2 (2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数. ∴当x=1时，ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立，故a>-3. 探究提高要注意函数思想在求函数值域中的运用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分离参数法，要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立，由二次函数的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.
求导数得
f
'(x)

ax
ln
a

(x
3 1) 2
,
∵a>1,∴当x>-1时，axln
a>0,
3 (x 1)2
0,
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提高对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.

函数最值的求解方法及应用

函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。

函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。

本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。

一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。

对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。

-首先，求出f(x)的导数f'(x)。

-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。

-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。

2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。

- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。

-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。

-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。

3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。

它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。

-首先，选择任意一个起始点x_0。

-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。

-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。

二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。

例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。

供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。

2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。

例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。

3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。

似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。