自动控制原理第2章 数学基础
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1．线性性质 设函数 f1 (t ) 和函数 f (t ) 的象函数分别为 F1 ( s) 和 F2 (s) ，A1 和 A2 是两个任意的实数，则
2
L[ A1 f1 (t ) A2 f 2 (t )] A1 L[ f1 (t )] A2 L[ f 2 (t )]
A1 F1 (s) A2 F2 (s)
即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两 个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反 变换的时候，起着十分重要的作用。
2017/6/16
第2章 数学基础
13
2.2 拉普拉斯反变换
2.2.1 拉普拉斯反变换的定义
拉式反变换的定义如下：
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j
第2章 数学基础
7
2.1 拉普拉斯变换
3．积分性质
函数 f (t ) 的象函数与其积分 0 f ( )d 的象 函数之间满足如下关系：
t
若：
L[ f (t )] F (s)
t F ( s) L f ( )d 0 s
则有：
2017/6/16
第2章 数学基础
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第2章 数学基础
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2.1 拉普拉斯变换
2．微分性质
函数 函数之间有如下关系：
若：
df (t ) f ( t ) f (t ) 的象函数与其导数 dt
的象
L[ f (t )] F (s)
则有： L[ f (t )] sF (s) f (0 )
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t 0 s
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第2章 数学基础
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2.1 拉普拉斯变换
7．卷积性质
卷积的定义为：若 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 可以进行 t 拉氏变换，称积分 0 f1 ( ) f 2 (t )d 为 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的卷积。记为 f1 (t ) f 2 (t ) ，即
N (s) a0 s m a1s m1 am1s am F ( s) D(s) b0 s n b1s n 1 bn 1s bn
其中m和n为正整数，且n≥m。
2017/6/16 第2章 数学基础 15
D( s ) 0
2.2 拉普拉斯反变换
把上式F(s)分解成若干简单项之和， 需要对分母多项式作因式分解，求出 D(s)=0的根，可以有三种情况： D(s)=0有n个单根 D(s)=0有重根 D(s)=0有共轭复根
式中σ为正的有限常数。 1 L 通常可用符号 [] 表示对方括号里的复 变函数作拉氏反变换，记作
f (t ) L [ F (s)]
2017/6/16 第2章 数学基础 14
1
2.2 拉普拉斯反变换
2.2.2 拉普拉斯反变换的部分分 式展开
自动控制系统的响应的象函数F(s)通常可 以表示为两个实系数的s的多项式之比，即 s的一个有理分式：
8
2.1 拉普拉斯变换
4．延迟性质
函数 f (t ) 的象函数与其延迟函数 象函数之间有如下关系：
若：
f (t t0 )
的
L[ f (t )] F (s)
则有： L[ f (t t0 )] e st 0
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第2章 数学基础
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2.1 拉普拉斯变换
5．终值定理
函数 ，则
0
1 st st st f (t )e dt e dt e 0 s
st st 0
f (t ) (t )
0 0 0
0
1 s
F (s) L[ f (t )] f (t )e dt (t )e dt (t )e st dt e s (0) 1
0
f (t )e st dt
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第2章 数学基础
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2.1 拉普拉斯变换
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可 知：一个时域函数通过拉氏变换可成为 一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因 子，收敛因子中的s=+j是一个复数形 式的频率，称为复频率，其实部恒为正 ，虚部既可为正、为负，也可为零。上 式左边的F(s)称为复频域函数，是时域 函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的 象函数。记作
第2章 数学基础
1
本章内容
2.1 2.2 2.3
拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换
Matlab运算基础
2017/6/16
第2章 数学基础
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2.1 拉普拉斯变换
2.1.1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换 为频域函数F(s)。只要f(t)在区间[0,∞]有定 义，则有
F ( s)
f (t ) et
F ( s) L[ f (t )]
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0
e ( s )t st t st f (t )e dt e e dt 0 s
0
1 s
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第2章 数学基础
2.1 拉普拉斯变换
2.1.2 拉普拉斯变换的性质
Hale Waihona Puke Baidu
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
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2.1 拉普拉斯变换
卷积定理为：若 L[ f1 (t )] F1 (s)，L[ f 2 (t )] F2 (s) ，则：
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s)
F(s ) L[f( t )]
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2.1 拉普拉斯变换
【例2-1】求单位阶跃函数 f (t ) 1(t ) 、单 位冲激函数 f (t ) (t ) 、指数函数 f (t ) et 的象函数。 解： f (t ) 1(t )
F ( s) L[ f (t )]
f (t ) f (t )
及其一阶导数都是可拉氏变换的 的终值为：
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
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2.1 拉普拉斯变换
6．初值定理
函数 ，则
f (t ) f (t )
及其一阶导数都是可拉氏变换的 的初值为：
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )
2
L[ A1 f1 (t ) A2 f 2 (t )] A1 L[ f1 (t )] A2 L[ f 2 (t )]
A1 F1 (s) A2 F2 (s)
即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两 个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反 变换的时候，起着十分重要的作用。
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2.2 拉普拉斯反变换
2.2.1 拉普拉斯反变换的定义
拉式反变换的定义如下：
1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 2j
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2.1 拉普拉斯变换
3．积分性质
函数 f (t ) 的象函数与其积分 0 f ( )d 的象 函数之间满足如下关系：
t
若：
L[ f (t )] F (s)
t F ( s) L f ( )d 0 s
则有：
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2.1 拉普拉斯变换
2．微分性质
函数 函数之间有如下关系：
若：
df (t ) f ( t ) f (t ) 的象函数与其导数 dt
的象
L[ f (t )] F (s)
则有： L[ f (t )] sF (s) f (0 )
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t 0 s
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2.1 拉普拉斯变换
7．卷积性质
卷积的定义为：若 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 可以进行 t 拉氏变换，称积分 0 f1 ( ) f 2 (t )d 为 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的卷积。记为 f1 (t ) f 2 (t ) ，即
N (s) a0 s m a1s m1 am1s am F ( s) D(s) b0 s n b1s n 1 bn 1s bn
其中m和n为正整数，且n≥m。
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D( s ) 0
2.2 拉普拉斯反变换
把上式F(s)分解成若干简单项之和， 需要对分母多项式作因式分解，求出 D(s)=0的根，可以有三种情况： D(s)=0有n个单根 D(s)=0有重根 D(s)=0有共轭复根
式中σ为正的有限常数。 1 L 通常可用符号 [] 表示对方括号里的复 变函数作拉氏反变换，记作
f (t ) L [ F (s)]
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1
2.2 拉普拉斯反变换
2.2.2 拉普拉斯反变换的部分分 式展开
自动控制系统的响应的象函数F(s)通常可 以表示为两个实系数的s的多项式之比，即 s的一个有理分式：
8
2.1 拉普拉斯变换
4．延迟性质
函数 f (t ) 的象函数与其延迟函数 象函数之间有如下关系：
若：
f (t t0 )
的
L[ f (t )] F (s)
则有： L[ f (t t0 )] e st 0
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2.1 拉普拉斯变换
5．终值定理
函数 ，则
0
1 st st st f (t )e dt e dt e 0 s
st st 0
f (t ) (t )
0 0 0
0
1 s
F (s) L[ f (t )] f (t )e dt (t )e dt (t )e st dt e s (0) 1
0
f (t )e st dt
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2.1 拉普拉斯变换
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可 知：一个时域函数通过拉氏变换可成为 一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因 子，收敛因子中的s=+j是一个复数形 式的频率，称为复频率，其实部恒为正 ，虚部既可为正、为负，也可为零。上 式左边的F(s)称为复频域函数，是时域 函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的 象函数。记作
第2章 数学基础
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拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换
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2.1 拉普拉斯变换
2.1.1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换 为频域函数F(s)。只要f(t)在区间[0,∞]有定 义，则有
F ( s)
f (t ) et
F ( s) L[ f (t )]
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0
e ( s )t st t st f (t )e dt e e dt 0 s
0
1 s
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2.1 拉普拉斯变换
2.1.2 拉普拉斯变换的性质
Hale Waihona Puke Baidu
f1 (t ) f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
0
t
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第2章 数学基础
12
2.1 拉普拉斯变换
卷积定理为：若 L[ f1 (t )] F1 (s)，L[ f 2 (t )] F2 (s) ，则：
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s)
F(s ) L[f( t )]
2017/6/16 第2章 数学基础 4
2.1 拉普拉斯变换
【例2-1】求单位阶跃函数 f (t ) 1(t ) 、单 位冲激函数 f (t ) (t ) 、指数函数 f (t ) et 的象函数。 解： f (t ) 1(t )
F ( s) L[ f (t )]
f (t ) f (t )
及其一阶导数都是可拉氏变换的 的终值为：
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
2017/6/16
第2章 数学基础
10
2.1 拉普拉斯变换
6．初值定理
函数 ，则
f (t ) f (t )
及其一阶导数都是可拉氏变换的 的初值为：
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s )