一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵
单元刚度矩阵的计算-回复
单元刚度矩阵的计算-回复首先，我们需要了解刚度是什么。
刚度是指材料抵抗形变的性质。
在结构中，它表示了结构单元（如梁或柱）受到外部力作用时的形变反应。
刚度可以用它对这些力的反应程度来测量。
计算单元刚度矩阵的第一步是建立结构单元的局部坐标系。
局部坐标系是以结构单元自身为参考的坐标系，用于描述结构单元的几何特征和材料性质。
接下来，需要确定结构单元的几何特征和材料性质。
这包括结构单元的长度、截面形状、材料弹性模量等。
这些参数将用于计算结构单元的刚度。
然后，需要建立结构单元的位移-应变关系。
位移-应变关系是描述结构单元变形特征的方程。
它可以通过应变能原理或力平衡方程得到。
接下来，可以使用有限元分析方法推导出结构单元的刚度矩阵。
有限元分析方法将连续的结构分割为离散的有限单元，然后对每个单元进行力学分析。
在计算单元刚度矩阵时，可以使用单元的位移-应变关系和材料性质来推导出刚度矩阵的公式。
最后，根据结构单元的连通性和边界条件，可以将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
这样可以得到整个结构的刚度参数。
计算单元刚度矩阵的过程中，还需要注意以下几个问题：1.确保结构单元的局部坐标系的选择是合理的，以便正确描述结构单元的几何特征。
2.确保位移-应变关系的推导是准确的，可以选择适当的理论或公式来得到位移-应变关系。
3.在有限元分析方法中，需要选择适当的数值方法和积分方法来计算刚度矩阵。
4.在组装整个结构的刚度矩阵时，需要正确处理结构单元之间的连通性和边界条件。
总之，单元刚度矩阵的计算是一个繁琐而重要的任务。
它需要合理的坐标系选择、准确的位移-应变关系、适当的数值方法和正确的组装过程。
通过计算出单元的刚度矩阵，可以通过有限元分析方法分析结构的静力性能。
optistruct 单元刚度矩阵
optistruct 单元刚度矩阵
在有限元分析中，单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是用于描述一个单元对应的局部坐标系下的刚度性质的矩阵。
OptiStruct是一种常用的有限元分析软件，它也根据单元的几何形状和材料特性计算出单元的刚度矩阵。
单元刚度矩阵描述了单元受力和变形之间的关系，它可以用于计算整个结构的全局刚度矩阵。
OptiStruct使用几何非线性、材料非线性和接触等特性来计算单元刚度矩阵。
根据不同的单元类型（如线性、非线性、壳单元等），OptiStruct采用不同的方法和公式来计算单元刚度矩阵。
一般来说，单元刚度矩阵的计算需要考虑以下几个方面：
1. 几何刚度：单元的形状和尺寸对刚度矩阵的计算有影响，如线性单元的刚度矩阵与单元长度有关。
2. 材料性质：材料的弹性模量和泊松比等材料特性对刚度矩阵的计算有影响。
3. 边界条件：单元所在的整体结构的边界条件对刚度矩阵的计算也有影响。
4. 单元类型：不同的单元类型具有不同的刚度矩阵计算方法。
了解单元刚度矩阵的计算对于进行有限元分析模拟和结果预测非常重要。
通过OptiStruct等有限元分析软件，可以方便地计算出各种类型的单元刚度矩阵，并进一步分析结构的强度和刚度等性能。
§9-2 单元刚度矩阵(局部坐标系)
1. 单元划分及编号（离散化） 单元划分及编号（离散化） （1）杆系结构以自然杆件为单元； 杆系结构以自然杆件为单元； （2）单元都采用两端固支梁。 单元都采用两端固支梁。 2.结点编号及结点位移编号 （1）结点编号 ） 用于单元定位 确定未知量
1
2
3
4
EI 6 2 l EI 4 l EI −6 2 l EI 2 l
EI −12 3 l EI −6 2 l EI 12 3 l EI −6 2 l
EI 6 2 l EI 2 l EI −6 2 l EI 4 l
e
v1 θ 1 v2 θ 2
（1,2,3） ① ） 1
（4,5,6） ） 2
） （1,2,3） ①（4,5,6） ） 1 2 3 4,5,7） （ ）
②
3 （0,0,7） ）
③
4 （0,0,0） ）
②
4 （0,0,8） ）
③
5 （0,0,0） ）
有铰支座的刚架
铰支座结点位移处理： 铰支座结点位移处理： 被约束的方向用0编号 编号； 被约束的方向用 编号； 有位移的方向顺序编号。 有位移的方向顺序编号。
顺序码
1
e
2
e
F x1 矩阵 表示： 表示：2 F x 2
1
EA EA e − l l u1 1 = − EA EA u 2 2 l l
单元刚度矩阵 杆端 位移
桁架单元刚度方程
杆端力
（2）不考虑轴向变形的梁单元 ）
abaqus 单元刚度矩阵
abaqus 单元刚度矩阵
ABAQUS中的单元刚度矩阵是一个表示单元刚度的矩阵。
在
有限元分析中，通过将结构分成许多小的单元来近似表示结构的行为。
每个单元都具有特定的形状和尺寸，其行为由其材料性质和几何特征决定。
单元刚度矩阵描述了一个单元内部应力和应变之间的关系。
它是一个方阵，大小根据单元的自由度数量而定。
每个单元刚度矩阵都是通过对单元的基础方程进行积分和数值近似得到的。
其中，基础方程表示了单元内部的应力和应变之间的关系。
在ABAQUS中，单元刚度矩阵可以在输入文件中定义，也可
以由软件根据所选的单元类型自动生成。
根据单元类型的不同，单元刚度矩阵可以有不同的形式。
要在ABAQUS中查看或输出单元刚度矩阵，可以在输入文件
中使用相应的输出控制命令。
一般情况下，可以使用POST26
或OUTPUT，FIELD命令来输出单元刚度矩阵。
需要注意的是，ABAQUS中的单元刚度矩阵通常是局部坐标
系下的。
如果需要将其转换为全局坐标系下的刚度矩阵，可以使用转换矩阵进行坐标变换。
综上所述，ABAQUS中的单元刚度矩阵是表示单元刚度的矩阵，描述了单元内应力和应变之间的关系。
它可以通过输入文件定义或由软件自动生成，并可以使用输出控制命令查看或输出。
09矩阵位移法(学习版)(1)
1
2
3 6
4
y
5
θ x
O
练习：
3 ④ 2 ① 1
8 ⑨ ⑤ 6 ⑦ ② 4 5 ⑧ 7 ⑩ ⑥
13
12 10 11 ③ 9
（2）结点位移编码 矩阵位移法基本未知量的确定： 矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与 单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序 有关。 结点位移的统一编码 —— 整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点 位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编 码。
第九章
矩阵位移法
9.1 概述
1. 概述
结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的 一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分 析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。 矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。 矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵 进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等 计算的方法。
e
e
建立单元的杆端力和杆端 位移之间关系的过程称单元分 析，形成的方程称单元刚度方 程。
e
⎡δ 1 ⎤ ⎡ u i ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ 2 ⎥ ⎢ vi ⎥ ⎢ e ⎡ δ i ⎤ ⎢δ 3 ⎥ ⎢θ i ⎥ e δ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎣δ j ⎦ ⎢δ 4 ⎥ ⎢u j ⎥ ⎢δ 5 ⎥ ⎢ v j ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎦ ⎢ ⎣θ j ⎥ ⎣δ 6 ⎥
2. 单元分析
y y e i x
α
j x
局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所 建立的坐标系。 局部坐标系相对于整体坐标系的方位角用α表示。α的方向 以 x 轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局 部坐标系也不完全相同。
关于midas软件中一些名词的详细解释
一．名词解释1.单元刚度矩阵eF=e k e 表示由单元杆端位移求单元杆端力的方程，成为局部坐标系中的单元刚度矩阵。
矩阵e k称为单元刚度矩阵。
一般单元刚度矩阵是6X6的方阵，其中每个元素称为单元刚度系数，表示单元杆端位移所引起的杆端力。
2．单元坐标系：在杆件上确立的坐标系x y，其中x轴与杆件重合。
整体坐标系：在复杂结构中，各个杆件的杆轴方向不同，各自的局部坐标系也不同。
为了便于整体分析，而确定的一个统一的坐标系。
用xy表示。
3影响线：当单位集中荷载沿结构移动时，表示某一指定量变化规律的图形，成为该量值的影响线。
4徐变系数：问题总结一.有限元基本原理1.有限元分析的基本步骤：结构离散-----建立单元刚度矩阵-----单元组集成平衡方程-----引起等效节点力和位移边界条件----求解节点位移-----由位移求应变-----由应变求内力。
2.单元刚度如何得到3.空间梁单元具有6个自由度，其单元刚度矩阵的阶数，其中每一刚度系数的含义4.结构的变形、位移和反力是基于整体坐标系还是单元坐标系，单元的应力、内力是基于整体坐标系还是单元坐标系。
5.在梁单元上施加的非节点荷载，如何等效为节点荷载静力等效，指原荷载于节点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。
6.在结构分析中，需要设置节点的原则7.在结构分析中，需要设置细分单元的情况8.在单元划分时，应注意事项二.单元类型1.在结构有限元分析时，主要有哪些单元类型桁架单元只受拉单元索单元只受压单元梁单元/变截面梁单元平面应力单元板单元平面应变单元平面轴对称单元空间单元2.什么是平面应力单元，平面应力单元的单元坐标系是如何规定，平面应力单元与平面应变单元的区别平面应力单元只能承受平面方向的作用力，利用它可以建立在单元内均匀厚度的薄板。
单元坐标是由X.Y,Z 三轴构成的，是满足右手螺旋法则的空间直角坐标系系统。
而平面应变单元只能用于线性静定结构分析中，它一般作为坝，或隧道等结构的分析。
单元刚度矩阵及其元素的特点
单元刚度矩阵及其元素的特点
单元刚度矩阵是在有限元分析中使用的重要概念。
它是描述单
元内部应力和应变关系的工具，通常用于分析结构的强度和稳定性。
单元刚度矩阵的元素特点包括：
1. 对称性，单元刚度矩阵是对称的，即其(i, j)和(j, i)位置
的元素相等。
这是由于材料的弹性性质决定的，对称性简化了计算
过程。
2. 正定性，单元刚度矩阵是正定的，这意味着对于任意非零的
向量，其与单元刚度矩阵相乘后的结果仍为正数。
这一特性保证了
单元的稳定性和可靠性。
3. 局部坐标系，单元刚度矩阵的元素是相对于局部坐标系而言的，这意味着在全局坐标系下需要进行坐标变换才能得到全局刚度
矩阵。
4. 尺寸，单元刚度矩阵的尺寸取决于单元的自由度数量。
例如，对于二维单元而言，3节点三角形单元的单元刚度矩阵是6x6的，4
节点矩形单元的单元刚度矩阵是8x8的。
5. 形状函数的影响，单元刚度矩阵的元素受到所采用的形状函数的影响，不同的形状函数会导致不同的单元刚度矩阵。
总的来说，单元刚度矩阵的特点包括对称性、正定性、局部坐标系、尺寸和受形状函数影响。
这些特点对于理解和应用单元刚度矩阵在有限元分析中起着重要作用。
各单元类型的单元刚度矩阵
各单元的单元刚度矩阵一）杆件单元刚度矩阵局部坐标系中：整体坐标系中：αμαλsin ;cos ==二、）梁单元刚度矩阵剪弯梁局部坐标系下：坐标转换矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111][l EA ke ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI k z z z z z z z z z z z z z z z z e 46612266122661246612][223223223223[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=ααααααααcos sin 00sin cos 0000cos sin 00sin cos T轴剪弯梁局部坐标系下：坐标转化矩阵为：三、）平面三节点三角形单元刚度矩阵{}[]{}e N δδ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=m j i m j i N N N N N N N 000000][ )(21y c x b a AN i i i i ++=； ),,(m j i i = j m m j i y x y x a -=，m j i y y b -=，j m i x x c -=。
单元为等腰直角三角形，直角边长为1。
泊松比为0，弹性模量为1。
（单元节点编号为逆时针i ，j ，m ；直角顶点为m ）[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA K e 460260612061200000260460612061200000222322222223[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1000000sin cos 0000sin cos 0000001000000cos sin 0000sin cos ααααααααT⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=23211212102302121110002*********][E k e 1)集中力：}{][}{P N R T e =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧y x y x m m j j i i m m j j i i P P N N N N N N Y X Y X Y X p p ),(000000 2)体力：⎰⎰=tdxdy p N R T e }{][}{3）分布面力：⎰=s T e tds P N R }{][}{例题3：在均质、等厚的三角形单元ijm 的ij 边上作用有沿x 方向按三角形分布的载荷，求移置后的结点载荷。
常用单元的刚度矩阵
rur r u r =-+=πππεθ22)(2由于各点在圆周方向上无位移，因而剪应变θr v 和r v θ均为零。
将应变写成向量的形式，那么{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=r w z u z w r u r u rz z r γεεεεθ根据上式，可推导出几何方程{}[]{})(e B ϕε=其中几何矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆=ij jikiikjkkj ji ik kj k j i ijkjjkz r z r z rr r r r z r N r z r N r z r N z z z B 0000),(0),(0),(00021 3.弹性方程和弹性矩阵[D]依照广义虎克定律，同样可以写出在轴对称中应力和应变之间的弹性方程，其形式为[])(1θσσσε+-=z r r u E [])(1z r u E σσσεθθ+-=[])(1θσσσε+-=r z z u Erz rz Er τμ)1(2+=所以弹性方程为{}[]{}εσD = 式中应力矩阵{}{}T rz z r τσσσσθ=弹性矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+=221000010101)21)(1(μμμμμμμμμμμμED 4.单元刚度矩阵[])(e k与平面问题相同，仍用虚功原理来建立单元刚度矩阵，其积分式为[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(在柱面坐标系中，drdz dV π2=将drdz dV π2=代入[][][][]dV B D B k VT e ⎰=)(，那么[][][][]rdrdz B D B k T e ⎰⎰=π2)(即为轴对称问题求单元刚度矩阵的积分式。
与弹性力学平面问题的三角形单元不同，在轴对称问题中，几何矩阵[B]内有的元素〔如rz r N i ),(等〕是坐标r 、z 的函数，不是常量。
一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵
9.3 一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵1.杆端内力与位移关系回顾（轴向）；；（弯曲）；2.公式推导（图1）图1杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。
（1）（2）列成矩阵形式：（3）即：（4）局部坐标系下单元刚度矩阵：（5）9.4 梁单元1.简支梁简支梁单元见图1。
图1说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。
即去掉位移分量为零的相应行和列。
即：单元刚度方程：单元刚度矩阵：（1）2.悬臂梁等思考：建立图2的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移)图2图a：图b：3.桁架仅有轴向位移9.5 单元刚度系数的物理意义1.单元刚度系数的意义一般地，第j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0 时所引起的第i个杆端力分量的值。
例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。
对称性（反力互等定理）3.奇异性（，不存在逆矩阵）根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。
但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。
说明：已知6个杆端力分量，（a）无法保证力状态的合法性——可能造成无解；（b）无法确定杆的支承条件——可能造成非唯一解。
9.6 单元坐标转换矩阵的物理意义1.问题的提出单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图1）图1分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别；（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：。
同理：2.公式推导矩阵形式：（1）同理：（2）其中：为单位坐标转换矩阵。
3.［T］的特性正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即。
α＝0时，（单位矩阵）。
9.7 整体坐标系单元刚度矩阵1.整体坐标系中的单元刚度矩阵两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。
矩阵位移法知识讲解
2i3 4i3
10-4 连续梁的整体刚度矩阵
(3)换码重排座
1
2
2
3
整体刚度矩阵置零
0 0 0
K 0 0 0
0 0 0
集成单元②的刚度矩阵
4i1 2i1
0
K 2i1 4i1 4i2 2i2
0
2i2 4i2
3
0
集成单元①的刚度矩阵
4i1 2i1 0
K 2i1 4i1 0
l
0
6EI
l2
4EI
l
局部坐标下自由单元的单元刚度矩阵
10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵
2 单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
单位杆端位移引起的杆端力
（2）单元刚度矩阵是对称矩阵
反力互等定理
（3）自由单元刚度矩阵是奇异矩阵
矩阵行列式等于零，逆阵不存在。
Fe k e e
e k e 1 F e
M2 6EI l 2 Fy2 12EI l 3
M2 2EI l
Fy2 6EI l2
10-2 局部坐标系下的单元刚度矩阵
EA EA Fx1 l u1 l u2
Fy1
12EI l3
v1
6EI l2
1
12EI l3
v2
6EI l2
2
M1
6EI l2
v1
4EI l
1
6EI l2
v2
2EI l
10-5 刚架的整体刚度矩阵
2 整体坐标系下的单元刚度矩阵
300 0 0 300 0 0
0
12 30
0
12
30
k
①
0 300
有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系(一)
有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系(一)有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系什么是有限元分析有限元分析是一种解决连续介质力学问题的数值计算方法。
它将复杂的结构划分为许多小的单元，并对每个单元进行离散化和建模，以求解分析问题。
在有限元分析中，单元刚度矩阵和残差矩阵是两个重要的概念。
单元刚度矩阵单元刚度矩阵是对每个单元在局部坐标系下进行局部建模后的刚度矩阵。
它描述了单元内部各个节点之间的刚度关系。
单元刚度矩阵的计算通常基于材料的性质、几何形状和边界条件等。
残差矩阵残差矩阵是在有限元分析中引入的一个重要概念，用于描述节点的约束关系。
它是根据边界条件和节点位移的计算结果生成的。
在有限元分析中，为了保证整个结构的连续性和平衡，必须对节点之间的位移进行限制和约束。
残差矩阵表示这些约束关系。
单元刚度矩阵和残差矩阵的关系单元刚度矩阵和残差矩阵之间存在着紧密的关系。
这种关系可以通过有限元分析的公式推导得到。
通常来说，在线性静力学问题的有限元求解过程中，可以通过以下步骤来求解整体的刚度矩阵和残差矩阵：1.将整个结构划分为若干个单元，对每个单元进行局部建模和刚度矩阵的计算。
2.根据节点之间的约束关系，将所有单元的局部刚度矩阵进行组装，得到整个结构的总体刚度矩阵。
3.在施加边界条件的情况下，求解整体刚度矩阵和施加边界条件的节点位移，得到节点位移的解。
4.根据节点位移的解，计算整体结构的残差矩阵，即节点受到的力的不平衡情况。
因此，可以说单元刚度矩阵是构建整体刚度矩阵的基础，而残差矩阵则是在整体刚度矩阵和节点位移的解的基础上得到的。
单元刚度矩阵和残差矩阵之间的关系是有限元分析中求解问题的关键所在。
以上就是有限元中单元刚度矩阵和残差矩阵关系的简述和解释。
通过对单元刚度矩阵和残差矩阵的理解和计算，可以帮助我们更好地理解和解决连续介质力学问题。
单元刚度矩阵(局部坐标系)
1
2
②
3 （0,0,7）
③
4 （0,0,0）
有铰支座的刚架
铰支座结点位移处理： 被约束的方向用0编号； 有位移的方向顺序编号。
（1,2,3） ①（4,5,6）
1
2 3（4,5,7）
②
③
4
5
（0,0,8）
（0,0,0）
有内部铰的刚架
内部铰的编号处理： 汇交两杆端作为两个结点编号； 两个结点位移编号考虑位移协调。
3.单元杆端位移、杆端力的表示方法 —— 列向量表示
位移分量正方向：
x
（局部坐标系—x与杆轴重合）
(i)
y
( j)
序码(局部码)
单元杆端位移向量: （6×1）
全部以顺坐标方向为正
力分量正方向：
（局部坐标系）
单元杆端力向量: （6×1）
(i)
( j)
序码(局部码)
4. 单元杆端力与杆端位移之间的关系式（单元刚度方程）
ee
=k Δ
（4×1）（4×4）（4×1）
杆端力向量与杆端位移向量 之间的关系矩阵称为“单刚”
（3）一般梁单元
（考虑轴向变形）
顺序码
1
2
1
2
3
4
3
坐标顺序码： 1
i
2
3
4
5
6
e
j4
5
6
1
2
3
4
5
5
6
6
上式简记为: （6×1） （6×6（）6×1）
（4）连续梁单元 （单元两端只有转角位移，无线位移）
补充题2 根据矩阵位移法的“先处理法”（考虑轴向变形）， 对图示结构进行单元编号，结点编号，结点位移编号。
单元刚度矩阵推导步骤
单元刚度矩阵推导步骤单元刚度矩阵是在有限元分析中用于描述单元位移与力的关系的矩阵。
它是由单元的物理和几何性质计算得出的。
下面将详细介绍单元刚度矩阵的推导步骤。
1. 选择单元类型和材料模型首先，需要选择单元类型和材料模型。
不同的单元类型具有不同的形状和自由度，而材料模型则描述了材料的物理性质。
这些因素将影响最终的单元刚度矩阵。
2. 定义单元的几何形状和尺寸接下来，需要定义单元的几何形状和尺寸。
这通常涉及选择节点（或顶点）的位置，并确定单元的尺寸和形状。
这些信息将用于计算单元刚度矩阵。
3. 建立局部坐标系为了计算单元刚度矩阵，需要建立一个局部坐标系。
这个坐标系将用于描述单元内力和位移的关系。
通常，局部坐标系的原点设在单元的中心，x轴沿单元的长度方向，y轴沿宽度方向（对于矩形单元），z轴则垂直于xy平面。
4. 确定单元的物理性质单元刚度矩阵还取决于单元的物理性质，如弹性模量、泊松比、密度等。
这些性质将用于计算单元刚度矩阵中的元素。
5. 建立平衡方程根据弹性力学的平衡方程，可以建立单元的平衡方程。
对于一个三维单元，平衡方程可以表示为：[F] = [B] * [u]其中，[F]是作用在单元上的力向量，[u]是位移向量，[B]是应变-位移矩阵（或称为应变矩阵）。
该矩阵包含了由于位移引起的应变信息。
6. 计算应变-位移矩阵根据几何形状和尺寸，可以计算应变-位移矩阵[B]。
该矩阵描述了位移如何引起应变的变化。
对于三维单元，应变-位移矩阵通常具有以下形式：[B] = [B1 B2 B3; B4 B5 B6; B7 B8 B9]其中，B1-9是应变-位移矩阵的元素。
这些元素可以通过几何关系和物理性质计算得出。
7. 建立单元刚度矩阵使用弹性力学的公式，可以将平衡方程重写为：[K] * [u] = [F]其中，[K]是单元刚度矩阵，它描述了力和位移之间的关系。
通过将应变-位移矩阵[B]和弹性模量等物理性质代入公式中，可以计算出单元刚度矩阵[K]。
整体刚度矩阵与单元刚度矩阵的合同关系
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11-11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
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称为单元坐标系中平面刚架一般单元的单元刚度矩阵，简称单刚。 是6×6阶的方阵。
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11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
11.3.2 单元刚度矩阵的性质
1.单刚是单元固有的性质
单刚中各元素只与单元的弹性模量E、横截面面积A、惯 性 矩I及杆长l等有关，而与外荷载等其他因素无关。
vj(e) =1
y
单刚中第五列元素
3）某一行的六个元素，分别表示各个杆端位移分量分别等 于1时，所引起的按该行号顺序排列的那个杆端力分量的数值。
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11.3 单元坐标系中的单元刚度矩阵
11.3.2 单元刚度矩阵的性质
3. 单元刚度矩阵是对称矩阵
7.4单元刚度矩阵组装及整体分析
根据全结构的平衡方程可知，总体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的个结构的计算模型分成个单元，那么总体刚度矩阵可由各个单元的刚度矩阵组装而成，即是由每个单元的刚度矩阵的每个系数按其脚标编号将总体坐标轴分别用表示，对某单元有式中，和分别是局部坐标系和总体坐标系下的单元结点位移向量是该单元在总体坐标系下的单元刚度矩阵图7-27（1）按单元局部编号顺序形成单元刚度矩阵.图7-27中所示的单元③，结点的局部编号顺序为.形成的单元刚度矩阵以子矩阵的形式给出是（2）将单元结点的局部编号换成总体编号，相应的把单元刚度矩阵中的子矩阵的下标也换成总体编号.对下图3-27所示单元③的刚度矩阵转换成总体编号后为（3）将转换后的单元刚度矩阵的各子矩阵，投放到总体刚度矩阵的对应位置上.单元③的各子矩阵投放后情况如下：（4）将所有的单元都执行上述的1，2，3步，便可得到总体刚度矩阵，如式（3-9）.其中右上角的上标表示第单元所累加上的子矩阵.（3-9）（5）从式（3-9）可看出，总体刚度矩阵中的子矩阵AB是单元刚度矩阵的子矩阵转换成总体编号后具有相同的下标，的那些子矩阵的累加.总体刚度矩阵第行的非零子矩阵是由与结点相联系的那些单元的子矩阵向这行投放所构成的.7.4.2 结点平衡方程我们首先用结构力学方法建立结点平衡方程.连续介质用有限元法离散以后，取出其中任意一个结点，从环绕点各单元移置而来的结点载荷为式中表示对环绕结点的所有单元求和，环绕结点的各单元施加于结点的结点力为.因此，结点的平衡方程可表示为（3-10）以[K]代入平衡方程，得到以结点位移表示的结点的平衡方程，对于每个结点，都可列出平衡方程，于是得到整个结构的平衡方程组如下：式中，[K]为整体刚度矩阵，为全部结点位移组成的向量，为全部结点载荷组成的向量.当然，如果各点的载荷向量也是在单元局部坐标下建立的，在合成以前，也应把它们转换到统一的结构（总体）坐标系下，即式中，是总体坐标系下的结点载荷向量，为坐标转换阵.7.4.3 位移边界条件在有限元法对结构进行整体分析时，建立了整体刚度矩阵[K]，也得到了结构的刚度平衡方程，即.结构刚度方程的求解相当于总刚[K]求逆的过程.但是，从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆.从物理意义看，在进行整体分析时，结构是处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移.所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程惟一地解出结点位移.为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件.首先要通过施加适当的约束，消除结构的钢体位移，再根据问题要求设定其他已知位移.所以，处理位移边界条件在有限元分析步骤中十分重要.约束的种类包括使某些自由度上位移为零，，或给定其位移值，还有给定支承为了理解这个方法，我们把方程分块如下：其中，假设是给定的结点位移；是无约束的（自由）结点位移因而是已知的结点力；是未知的结点力（3-13）其中，不是奇异的，因而可以解方程（3-12）得出（3-14）一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知结点力.在全部给定的结点自由度都等于零的特殊情况下，我们可以删除对应于的各行和各列（即删行删列法），故可把方程简写为（3-15）3．置“1”法由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的编号方法是很麻烦的.因此，为了引入给定的边界条件，可以采用下述等价的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起写为（3-16）在实际计算中，方程（3-16）所示的过程可以在不重新排列所述方程的情况下用下述分块的方法为进行.步骤（1）如果把给定为，则载荷向量P可以修改为为结点自由度总数.中对应于的行和列为零，而对角线元素为）在载荷向量中引入规定的值，即对全部规定的结点位移均应反复运用上述过程（步骤（置大数法的思路是：在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素乘上一个很大的数，如，此行其他元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用来代替，这里为指定位移，于是原平衡方程组变为除第行外，其他各行仍保持原来的平衡特性，而第个方程式展开为由于上式中的比其他项的系数大得多，求和后可略去其小量，则上式变为即.边上有，但在若结构的总体坐标系为为斜支座的局部坐标系（见图对于边界结点，须限定方向位移，为此，将边界结点的位移及载荷都变换到局部坐标轴系设轴与斜支座的轴夹角为，逆时针为正，图7-28 图7-29则依据第二单中坐标转换关系有其中，.或写成（3-17）与位移关系相同有（3-18）将上两式带入结构刚度方程有（3-19））中第行左右两边前乘以上式的系数矩阵仍然是对称的，而且此方程中结点位沿轴表示，这样，限定方向的位移奇异性，解这个线性代数方程组可求出结位移.阶线性代数方程，需进行次消元行元素作为主元行，为主元，对第行元素（）的消元公式为（3-21）式中等的上角码（m），表示该元素是经过第m次消元后得到的结果.同样，可以把经过m次消元后的系数矩阵和载荷阵分别记为及.式表时第m 次消元是在经m-1次消元的基础上进行的.消元过程中，主元及被消元素的位置可见图3-30（a）.图中阴影部分已完成消元过程的元素，主元行以下的矩阵为待消部分.在进行第m次时，1-m行元素的消元过程已经完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角阵中的元素. m行发下的元素消元过程尚未结束，连同m行元素在内构成一个待消的方阵.消元共需进行n-1次.消元完成后，即可回代求解.我们把消元最后结果记为，为上三角阵，回代公式可写作（3-22）回代过程自后向前进行.当回代求解时，已经解得.回代示意图见图3-30（b），阴影部分为已求得解答的部分.图7-30 高斯消去法2．三角分解法总体刚度平衡方程中，[K]是对称、正定矩阵，因而可做如下分解（3-23）其中，是单位上三角矩阵，.记，则.由其中第一个方程解得，再由第二个方程解得，向上回代，可得，由得依此类推可求得.由平衡方程组解出位移后，从中分离出各单元的结点位移，再通过方）等计算各单元的应变、应力和结点力等内力。
结构力学选择原题带答案
正确答案：【计算自由振动的振幅要考虑阻尼的影响。
】1、对图示体系进行几何组成分析.答题说明：简单给出分析过程。
最后给出结论。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【去除基础，再去除二元体后，小三角形、大三角形用三根链杆相连，故体系为无多余约束的几何不变体系。
】2、试对图示体系进行几何构造分析。
答题说明：简单给出分析过程。
最后给出结论。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【先去掉基础在分析上部体系，上部体系为两刚片用一个铰一根杆相连，故该体系为无多余约束的几何不变体系。
】3、对图示体系进行几何组成分析。
答题说明：简单给出分析过程。
最后给出结论。
问题反馈4、试对图示体系进行几何构造分析。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【依次去除二元体DGF,FHE,DFE,ADC,CEB后，B点少一个约束。
该体系为有一个自由度的几何常变体系】1、找出图示桁架中的零杆。
答题说明：按你的分析结果，给出零杆总数和零杆编号（以两端结点编号表示）。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【23、34、49、89、59、96、65、57共8根零杆。
】2、找出图示桁架中的零杆。
答题说明：按你的分析结果，给出零杆总数和零杆编号（以两端结点编号表示）。
问题反馈【教师释疑】正确答案：【13、12、27、25、56、64、67杆为零杆。
共7根零杆。
】问题反馈【教师释疑】正确答案：【EA、EB、AF、AC、BG、GD共有6根零杆。
】1、。
4-5单元刚度矩阵坐标变换
=
0
0
0
0
[t]
0 0
0 0
[t]
0
[ ] K 0
0
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0
[t]
[K
]
41
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]
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0
[ ] K
44
0 0
0
[t]T
0
0
0
0
[t]T
0
0
0
0
[t
]T
[t ][K 11][t ]T
[t
][K
14][t
]T
[t
][K
41][t
]T
[t
][K
44][t
z z
n1 = cos(x z) n2 = cos( y z) n3 = cos(z z)
y
L2
L3
x L1 x
对于平面坐标系，OP从x − y转换到x − y
u = u cosα − v sin α
y
yv
v = u sin α + v cosα
w=w
u v w
=
cosα sin α
0
{δ }= [T ]{δ }
0
u
j
v
j
θ j
0 0
0
0 sin a
cosα
0v
j
0 00
0
1θ j
P
α
α
u
u cosα
x
u x
v sinα
简化为
{ } δ
e
=
δ i
δ j
=
[t ]
0
=
[t ]
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9.3 一般单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵
1.杆端内力与位移关系回顾
（轴向）；
；（弯曲）；
2.公式推导（图1）
图1 杆件性质：长度l，截面面积A，截面惯性矩I，弹性模量E；杆端位移u、v、θ。
（1）
（2）列成矩阵形式：
（3）
即：（4）局部坐标系下单元刚度矩阵：
（5）
9.4 梁单元
1.简支梁
简支梁单元见图1。
图1
说明：（a）梁单元通常忽略轴向变形；（b）图10-3中；相应的力分量也应该为零；（c）依据刚度矩阵的物理意义，可以由一般单元的刚度矩阵生成梁单元矩阵。
即去掉位移分量为零
的相应行和列。
即：单元刚度方程：单元刚度矩阵：
（1）
2.悬臂梁等
思考：建立图2的单元刚度矩阵：（固定端位移为零；自由端有转角和竖向位移)
图2
图a：图b：
3.桁架
仅有轴向位移
9.5 单元刚度系数的物理意义
1.单元刚度系数的意义
一般地，第 j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为 0 时所引起的第i个杆端力分量的值。
例：的物理意义：当第3个杆端位移分量时引起的第5个杆端力分量。
对称性
（反力互等定理）
3.奇异性（，不存在逆矩阵）
根据式可由杆端位移求解杆端力，且是唯一解。
但由杆端力求杆端位移，可能无解，如有解也是非唯一解。
说明：已知6个杆端力分量，（a）无法保证力状态的合法性——可能造成无解；（b）无法确定杆的支承条件——可能造成非唯一解。
9.6 单元坐标转换矩阵的物理意义
1.问题的提出
单元刚度矩阵——单根杆；多根根组成的复杂结构呢？（图1）
图1 分析（a）从数学的角度理解整体坐标系（xy）与局部坐标系（）的区别；
（b）力分量应向整体坐标系转换，图f给出了两种坐标系下力分量之间的数学关系：。
同理：
2.公式推导
矩阵形式：
（1）同理：（2）
其中：为单位坐标转换矩阵。
3.［T］的特性
正交矩阵：其逆矩阵等于转置矩阵，即。
α＝0时，（单位矩阵）。
9.7 整体坐标系单元刚度矩阵
1.整体坐标系中的单元刚度矩阵
两种坐标系中单元刚度矩阵的转换关系为：
单元刚度矩阵的性质：同局部坐标系下。
2.实例
例10-1：图1结构，已知单元（1）、（2）在局部坐标系（杆件箭头方向）中的单元矩阵如下（单位：长度m，角度rad，力kN），求各单元在整体坐标系下的刚度矩阵。
图1
分析：→求［T］→求α→依据图形。
解：（1）单元1：α＝0，（2）单元2：α＝90
；
（3）单元2：α＝120
；
注意：图中单元的方向，计算时宜取与整体坐标系相同（转角以逆时针为正）。
思考图2的求解。
图2
9.8 位移法建立整体刚度矩阵
1. 回顾
（1）连续梁的特点：并考虑杆件的轴向变形；一般情况下，结构仅有转角位移。
（2）两端固定的梁，在近端有一转角θ，相应产生杆端弯矩：4iθ（近端）和2iθ（远端）。
2. 公式推导
图1两跨连续梁。
图1 结点力与结点力偶的关系见表1。
表1
矩阵形式：
记为：――整体刚度方程
其中：――整体刚度矩阵
注意：红、绿框中分别是单元（1）和（2）的单元刚度矩阵。
3.单元集成法的概念
基本思路：考虑单元独立贡献，再叠加。
如图1。
图1 基本过程：局部单元刚度矩阵→单元贡献矩阵→整体单元刚度矩阵
；
4.单元定位向量的概念
总码（整体分析）：结点位移在结构中统一编码，如1，2等；
局部编码（单元分析）：单元结点位移，如（1），（2）等。
单元定位向量（λ）：单元结点位移的总码组成的向量。
具体见图2和表1。
图2
表10-1
5.实例分析
求图10-11连续梁的整体刚度矩阵。
图10-11
分析：固定端总码为0；总码的最后编号为n，则整体刚度矩阵为n×n阶。
解：见表10-3
6.整体刚度矩阵的性质
Kij――第 j 个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为 0 时所引起的第i个杆端力分量的值。
［K］是对称矩阵、可逆矩阵、和带状稀疏矩阵（非零元素集中在主对角线两侧的局部带宽之内）。
9.9刚架整体刚度矩阵刚结点
1．问题的引出
（a）连续梁建立方法：单元刚度矩阵通过单元定位向量形成整体刚度矩阵。
（b）刚架与连续梁的区别：考虑轴向变形（有水平竖向位移）。
（c）必须采用整体坐标系，统一各杆的方向。
2．建立过程：编码→单元定位向量→单元集成
编码原则：
已知位移分量为零的，总码为零；
位移分量不为零的，总码（每个结点）按顺序：水平位移→竖向位移→转角位移；其方向由整体坐标系的方向确定。
一般结点顺序可按：刚结点→支座；左→右；上→下。
注意处理支座情况和刚结点。
见图1。
图1
实例分析：图1中a）和b）的单元单位向量见表1，整体刚度矩阵的集成过程见表2a和b。
表1
表10-5（图a）
表10-5（图b）
与刚性结点的区别
铰结点（两杆相交）编号有4个，两个线位移（水平和竖向）和两个铰位移，即两杆的线位移编号相同，角位移编号不同。
如图1。
图1
图2中a）、b）和c）整体刚度矩阵的集成过程见表1a、b和c。
图2 分析：图a和图b的区别在于支座变化；图c特殊：杆①为链杆，仅有轴向变形（1和4）。
表1（图a）
表1（图c）。