第四章功和能

速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。
解：小物体对环带压力
r
N m v2
r
摩擦力的大小为
转一 周摩擦力做的功为
f N m v2
r
A 2r m v2 ds 2mv 2
0
r
例 一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所 示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。
此“一对力”做的功之和：
dA dA1 dA2 f1 dr1 f2 dr2
r2 r1 r21
dr1
r21
m1
dr2
m2
r1
f1 f2 r2
f
1
f
2
o
ddArv21表f示2 m d2相(r2对于rm1)1的相f2对位dr移21。
A一对力 dA f2 dr21
意义：两质点间的一对力作功之和等于一 个质点受的 力沿该质点相对于另一质点移动的路径所作的功。
Ai
(b) F合
ds
i
(a)
即，各力作功之和等于合力作的功。 但对质点系：写不出像质点那样的简单式子， 即，各力作功之和不一定等于合力的功。
功率
功率的定义：单位时间内所做的功。即
P
dA
F
dr
F
v
dt dt
例：其一中个一质个点力同为时恒在力几个F力作3i用 下5 j的 9位k(移SI为) ，r则此4i力在5 j该 6位k(移SI过) ， 程中所做的功为（ C ）
0 mAv mBv MV
V (mB mA )v M
mA mB
V 0 向x轴正向即向左运动
[例]体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的 绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相 对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是
(A)甲先到达． (B)乙先到达．
摩擦力做的总功为
B rB
m
A
对直线 对曲线
A
B
A
dA
AB
mg
ds
mg
AB
A
B
dA
mg
ds
mg
AB
A
AB
结论：摩擦力的功与质点运动的相对路径有关，不只决
定于质点初、终态的相对位置。
[例]如图所示，质量为m的陨石在距地面高h处时速度为 v0．忽略空气阻力，求陨石落地的速度.令地球质量为M, 半径为R, 万有引力常量为G．
力f（设为恒力）等于多大？
正 v0
解：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
A Ek Ek Ek0
f mg
mg
f
H
0
1 2
mv02
f mv02 mg 1N 2H
[为例]v质 的量子为弹M的沿木水快平静方止向在打光入滑木的块水并平陷面在上其，中质，量试为计m算、相速对度于
地面木块对子弹所做的功 W1及子弹对木块所作的功W2。
考虑合力的功：
力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？
A
B A
v F合力
drv
B
A Ft ds m
B dv ds m A dt
vB vdv
vA
过程量
即
A
1 2
mvB2
1 2
mvA2
状态量 1 mv2
2
在B点的取值
状态量1 mv2
2
在A点的取值
引入动能 Ek：
Ek
1 2
mv2
p2 2m
例. 质点在外力作用下运动,下述哪种说法正确？
(A)质点的动量改变时,其动能一定改变. (B)质点的动能不变时,其动量也一定不变. (C)外力的冲量是零,则外力的功一定是零. (D)外力的功是零,则外力的冲量一定是零.
答案：C
[例]把一质量为m＝0.4 kg的物体，以初速度v 0＝20 m/s竖 直向上抛出，测得上升的最大高度H＝16 m，求空气对它的阻
解：木块、子弹系统水平方向不受外力作用，动 量守恒设。子弹打入后二者的共同运动速度为V
mv m M V
木块对子弹所做的功： （对子弹应用动能定理）
W子1 弹 对E木K子块弹所作12 的mV功2： 12（m对v 2木块m应M2用mM动M能2定m理 v）2
W2
1 2
MV 2
0
Mm2V 2
2m M 2
0 ma 2
a
c ostdx
1 ma2 2
2
Wy
b
0 Fy dy

b mb 2
0
sin tdy
1 2
mb2 2
§4-3 势能 §4-4 引力势能
几种常见力的功
一.重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
A M2 mg dr Z（ 2 mg）dz
M1
Z1
z M1
②
m①
M2
G
mg（z1 z2）
O
y
x
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
位置的高度差。
结论 (1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路
径无关。
(2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
二.万有引力的功
Mm F引 G r 2
dr drcos
Aab
b F引
dr
a
F引 drcos
rb
b
M
（A） 67 J （B）17 J （C）67 J （D） 91J
解：该问题是计算恒力的功。
A
F
r
3i 5 j 9k 4i 5 j 6k
67 J
例
已知用力 F缓慢拉质量为m 的小球，
F保持方向不变
求 = 0 时，F作的功。
解 F T sinθ 0
T cosθ mg 0
1 2
m2v22b
)
（1 2
m1v12a＋
1 2
m2v22a）
记作 A外 A内 Ekb Eka
即：外力的功之和+内力的功之和=质点系的总动能的增量
注意： 内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。
例: 一质量为m的质点，在xoy平面上运动。
其位置矢量为： r a costi bsint j
量平方之差的一半。
结论
(1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径
无关。
(2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，
弹性力作负功。
四.摩擦力的功
考虑一质点m ,从A运动到B，在这个
过程中，所受的摩擦力大小恒为 F mg
在位移d s上的元功为
O
rA
dA Fd s mgds
ra
d F
rdr
am
rb G ra
Mm dr
r2
GMm
1 ra
1 rb
结论：万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于 质点初、终态的相对位置。
三.弹性力的功
弹簧弹性力 F kx
F
O x1
x2
x
由x1 到x2 路程上弹性力的功为
A
x2 kxdx
x1
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变
解：
I F dt
W
F
dr
F
ma
v dx 3 8t 3t2 dt
a dv 8 6t dt
I
Fdt
4 8 6tdt 8t 3t 2
0
4 0
16
W
Fdx
8
6t vdt
4
0 (8
6t)
3 8t
3t 2
dt
176
§4-2 动能定理
质点的动能定理
解： 根据动能定理
h v0
A EK
1 mv2 2
1 2
mv02
陨石落地过程中，万有引
地球O
力的功
A F
dr
R
Rh
GMm r2
d
r
R
GMm
Rh
dr r2
GMmh R(R h)
v
2GM
h R(R h)
v
2 0
例：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦
系数 ，在外力作用下小物体（质量 m ）以速率 v做匀
x1
x2
x
合力的功
如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力 的功：
A
B A
v F合力
drv
B A
i
v Fi
drv
i
B A
v Fi
drv
Ai
i
结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。
思考：
写这个 等号的 条件？
所以在计算功的过程中特别要分清研究对象
对质点有：
A
A(a,0)点：cos t=1 sin t=0
EKA
1 2
mvx2
1 2
mvy2
1 2
mb2 2
B(0,b)点：cos t=0 sin t=1
EKB
1 2
mvx2
1 2
mvy2
1 ma2 2
2
(2)F max i may j
ma 2 costi mb 2 sin t j
Wx
0
a Fxdx
(C)同时到达． (D)谁先到达不能确定．
［C ］
r甲 O r乙
v甲