离散系统分析和离散傅里叶变换讲解
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第四章 离散系统分析和离散傅里叶变换
4-1概述
在上一章中我们已经介绍了连续时间信号（周期的或非周期的）的傅里叶变换。在第一、二章中介绍了离散信号和离散系统的概念，在这一章中主要讨论离散信号的傅里叶变换。
4-2离散信号的傅里叶变换
时域抽样定理告诉我们，连续时间信号可以由它的样本值恢复出来，即
]2
)
([
)()(∑
∞
-∞
=-Ω=
n s nT t Sa nT f t f 当抽样频率s Ω给定时，抽样函数]2
)
([
nT t Sa s -Ω就确定了，唯一与信号相关的是信号的样本值)(nT f ，换句话说传载)(t f 中信息的是样本值)(nT f 。因此研究连续时间信号)(t f 中的信息，就转
变为研究样本值)(nT f 中的信息。当抽样频率s Ω给定时，T 也就一定了，样本值)(nT f 就可以抽象为序列)(n f ，也就是说离散信号的数学抽象是序列。以后我们就用序列)(n f 表示离散信号（样本值）。
由于序列的变量是整数变量，与连续信号的变量不同，因此对序列的处理方法与连续时间变量的处理方法也必定不同。先来看看序列的傅里叶变换，连续非周期时间信号)(t f 的傅里叶变换为
⎰
∞
∞
-Ω-=
=Ωdt e t f t f F t j )(])([)(F
⎰
∞
∞
-ΩΩΩ=
Ω=d e F F t f t j -)(21
)]([)(1
π
F
假定)(n f 是非周期的，仿照连续时间信号的傅里叶变换形式可以定义序列的傅里叶变换：
∑∞
-∞
=-=
n jn j e n f e
F ω
ω
)()( （4-1）
⎰-
=
π
πωω
ωπ
d e e
F n f jn j )(21
)(
（4-2）
式中ω为数字角频率。（4-1）式和（4-2）式构成了序列的傅里叶变换对，前者称为序列的傅里叶正变换，后者称为序列的傅里叶逆变换。注意到序列傅里叶正变换公式是个和式，这是因为序列)(n f 的变量是离散的整数，序列的傅里叶逆变换公式是个积分式，由此也说明序列的傅里叶变换是ω的连续函数，也就是说，离散信号的傅里叶变换是频域中连续的函数。此外因
∑∞
-∞
=++=
n n
j j e
n f e
F )2()
2()()(πωπω
∑∞
-∞==
n n
j n j e
e n
f πω2)(
)()(ωω
j n n
j e F e n f ==
∑∞
-∞
=
所以任何序列的傅里叶变换都是以π2为周期的频域连续函数。
序列的傅里叶变换具有如下性质： 1. 线性特性 若 )()(ωj e X n x −→←F
，
)()(ωj e Y n y −→←F
则
)()()()(ωωj j e bY e aX n by n ax +−→←+F
（4-3）
式中a 和b 均为常数。
2. 时间位移特性 若 )()(ωj e X n x −→←F
则
)()(00ωωj n j e X e n n x -−→←-F
（4-4）
式中0n 为任意整数。
3. 频率位移特性 若 )()(ωj e X n x −→←F
则
)()()(00ωωω-−→←j n j e X e n x F
（4-5）
式中0ω为任意常数。
4. 对称特性
若)(n x 为实数序列，且有)()(n x n x -=
则称)(n x 为偶序列（even sequence ），通常用下标e 表示偶序列，即)(n x e 。
若)(n x 为实数序列，且
)()(n x n x --=
则称)(n x 为奇序列（odd sequence ），通常用下标o 表示奇序列，即)(n x o 。
任何序列都可以表示为偶序列与奇序列之和，即 )()()(n x n x n x o e +=
（4-6） 其中 )]()([2
1
)(n x n x n x e -+= （4-7）
)]()([2
1
)(n x n x n x o --=
（4-8）
若)(n x 为复数序列，且其实部为偶对称，虚部为奇对称，即 )](Re[)](Re[n x n x -=
)](Im[)](Im[n x n x --=
则称此序列为共轭对称序列（conjugate symmetric sequence ），通常表示为)()(*
n x n x e
e -=。 若)(n x 为复数序列，且其实部为奇对称，虚部为偶对称，即 )](Re[)](Re[n x n x --=
)](Im[)](Im[n x n x -=
则称此序列为共轭反对称序列（conjugate ant symmetric sequence ），通常表示为)()(*
0n x n x o
--=。 任意复数序列)(n x 均可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列之和，即 )()()(n x n x n x o e +=
（4-9） 其中 )]()([2
1
)(*n x n x n x e -+= （4-10）
)]()([2
1
)(*n x n x n x o --=
（4-11）
实际上，（4-9）式与（4-6）式是等价的，当)(n x 为实数序列时，（4-9）式就变成（4-6）式了。
若 )()(ωj e X n x −→←F
则 )()(**ωj e X n x -−→←F
（4-12）
)()(**ωj e X n x −→←-F
（4-13）