离散系统的系统函数和频率响应
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filter design specifications
block-diagram realization
sample processing
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
p1 R e j 0 p2 R e j0
z-plane
p ω0
1
0<R<1
sample processing algorithm（方框图及采样算 法描述） • I/O difference equation （输入输出差分方程） • Pole/zero pattern（零极点描述） • Impulse response h(n)（冲激响应） • I/O convolutional equation（卷积）
impulse response h(n)
I/O convolutional equation
I/O difference equation(s)
system function H(z)
pole/zero pattern
filter design method
frequency response
e Transfer fHu(nctjio)n
h(n) 0, n 0
Rx | z |
in the z-domain
Im [z ]
p2 p1 p3
Re [z ]
|
z
|
max i
|
pi
|
causality
来自百度文库
|
z |
min i
|
pi
|
anti - causality
Im [z ]
p1 p2
p3
因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： | z |
离散系统的系统函数和频率响应
系统函数： H (z) FT[h(n)] Y (z) X (z)
频率响应： H (e j )
单位圆上的系统函数(传输函数)
H
(e
j
)
H
(z)
|
ze
j
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：
稳定性：
|h(n) |
n
|h(n)z n | ,
n
z 1
（稳定的系统收敛域包括单位圆）
by the pole/zero pattern of the z-transform X(z).
X (z)
1 1
z1z 1 p1z 1
z z
z1 p1
X (e j )
e j e j
z1 p1
|
X (e j )
|
| e j | e j
z1 | p1 |
|X( ω)|
pole peak
p1 0
zero dip
0
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e j)|²
1
1/2
ω 0 ω0 /2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e j
pole
|H(ω)|²
1
unit circle
zero 0
ω0
unit
circle
0
1
unit circle
（ROC包含单位圆且极点均在单位圆内）
2、利用零极点分布确定系统的频率特性：
M
H (z)
Y(z) X (z)
bi z i
i0
N
ai z i
i0
M
M
(1 cr z 1)
(z cr )
A
r 1 N
Az N M
r 1 N
(1 dr z 1)
(z dr )
r 1
r 1
相量相减的
矢量几何表
离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆)
Im[z]
p2 p1 p3
unit circle
Re[z]
Im[z] unit circle
p1
p3
p2
Re[z]
Im[z]
p1
unit circle
p2
Re[z]
p3
Causality ( 因果性 )：
设系统稳定,将z=e^jw代入上式 示法:从Cr 单位圆上的
e^jw
零点矢量
M
(e j cr )
H (e j ) Ae j ( N M )
r 1 N
(e j dr )
r 1
极点矢量
位于原点的零极点不影响 | H (e j ) |
只影响 ( )
M
cr B
H (e j )
A
r 1 N
H (e j ) e j ( )
p* -ω0
We obtain the transfer function:
H (z)
(1
G R e j 0 z 1 )(1
R e j 0 z 1 )
1
a1z
G 1
a2z
2
Where a1=-2Rcos ω0, a2=R².
If |H(ω0)|=1, then
G (1 R) 1 2R cos(20) R2
z1
0 φ1
ω
ω1
2.6 Transfer functions
Equivalent Descriptions of Digital Filters • system function H(z)（传递函数）
• Frequency response/transfer function H(e j )
（频率响应） • Block diagram realization and
dr B
r 1
B为单位圆上的一点,对应jw的角度,Cr是零 点,dr是极点
单位圆附近的零点
ck | ck | e j arg[ck ]
使得 | H (e j ) |
分子变小，形成波谷，越靠近单位圆，波谷 越低
极点使 | H (e j ) | 形成波峰，极点越靠近
单位圆，波峰越尖锐。
例1：The shape of the spectrum X( e j ) is affected
block-diagram realization
sample processing
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
p1 R e j 0 p2 R e j0
z-plane
p ω0
1
0<R<1
sample processing algorithm（方框图及采样算 法描述） • I/O difference equation （输入输出差分方程） • Pole/zero pattern（零极点描述） • Impulse response h(n)（冲激响应） • I/O convolutional equation（卷积）
impulse response h(n)
I/O convolutional equation
I/O difference equation(s)
system function H(z)
pole/zero pattern
filter design method
frequency response
e Transfer fHu(nctjio)n
h(n) 0, n 0
Rx | z |
in the z-domain
Im [z ]
p2 p1 p3
Re [z ]
|
z
|
max i
|
pi
|
causality
来自百度文库
|
z |
min i
|
pi
|
anti - causality
Im [z ]
p1 p2
p3
因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： | z |
离散系统的系统函数和频率响应
系统函数： H (z) FT[h(n)] Y (z) X (z)
频率响应： H (e j )
单位圆上的系统函数(传输函数)
H
(e
j
)
H
(z)
|
ze
j
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：
稳定性：
|h(n) |
n
|h(n)z n | ,
n
z 1
（稳定的系统收敛域包括单位圆）
by the pole/zero pattern of the z-transform X(z).
X (z)
1 1
z1z 1 p1z 1
z z
z1 p1
X (e j )
e j e j
z1 p1
|
X (e j )
|
| e j | e j
z1 | p1 |
|X( ω)|
pole peak
p1 0
zero dip
0
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e j)|²
1
1/2
ω 0 ω0 /2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e j
pole
|H(ω)|²
1
unit circle
zero 0
ω0
unit
circle
0
1
unit circle
（ROC包含单位圆且极点均在单位圆内）
2、利用零极点分布确定系统的频率特性：
M
H (z)
Y(z) X (z)
bi z i
i0
N
ai z i
i0
M
M
(1 cr z 1)
(z cr )
A
r 1 N
Az N M
r 1 N
(1 dr z 1)
(z dr )
r 1
r 1
相量相减的
矢量几何表
离散系统稳定的充分必要条件是： The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆)
Im[z]
p2 p1 p3
unit circle
Re[z]
Im[z] unit circle
p1
p3
p2
Re[z]
Im[z]
p1
unit circle
p2
Re[z]
p3
Causality ( 因果性 )：
设系统稳定,将z=e^jw代入上式 示法:从Cr 单位圆上的
e^jw
零点矢量
M
(e j cr )
H (e j ) Ae j ( N M )
r 1 N
(e j dr )
r 1
极点矢量
位于原点的零极点不影响 | H (e j ) |
只影响 ( )
M
cr B
H (e j )
A
r 1 N
H (e j ) e j ( )
p* -ω0
We obtain the transfer function:
H (z)
(1
G R e j 0 z 1 )(1
R e j 0 z 1 )
1
a1z
G 1
a2z
2
Where a1=-2Rcos ω0, a2=R².
If |H(ω0)|=1, then
G (1 R) 1 2R cos(20) R2
z1
0 φ1
ω
ω1
2.6 Transfer functions
Equivalent Descriptions of Digital Filters • system function H(z)（传递函数）
• Frequency response/transfer function H(e j )
（频率响应） • Block diagram realization and
dr B
r 1
B为单位圆上的一点,对应jw的角度,Cr是零 点,dr是极点
单位圆附近的零点
ck | ck | e j arg[ck ]
使得 | H (e j ) |
分子变小，形成波谷，越靠近单位圆，波谷 越低
极点使 | H (e j ) | 形成波峰，极点越靠近
单位圆，波峰越尖锐。
例1：The shape of the spectrum X( e j ) is affected