第四章 质点系动力学 A4

第四章 质点系动力学

§4.1 质点系及其基本性质

10、质点系

所谓的质点系就是由若干个质点构成的系统。 20

、外力与内力

质点系内部质点间的相互作用力称之为质点系的内力，而质点系外部对质点系某个质点的作用力称之为质点系的外力。

30、内力的性质 (1)、内力之和为零

如图4.1，设质点系由n 个质点组成，质点系内部第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f

，而由牛顿第三定律，第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f

，并且有

0=+ji ij f f

(4.1.1)

若假设第i 个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力之和为 ∑

≠==

n

i

j j ji i f f 1

(4.1.2)

由于质点系内部质点间的作用力总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力之和就为 01

11

==

=

∑∑

∑

=≠==n i n

i

j j ji n

i i f f f

(4.1.3)

即质点系的内力之和为零。

(2)、内力矩之和为零

同样如图4.1，设第i 个质点相对于某一参考点o 的位置矢量为i r

，它受到的第j 个质点的作用力为ji f

，其力矩为

ji i ji f r J

⨯= (4.1.4)

而第j 个质点相对于参考点o 的位置矢量为j r

，它受到的第i 个质点的作用力为ij f

，其力矩为

ij j ij f r J

⨯= (4.1.5)

二者之和为

ij j ji i ij ji f r f r J J

⨯+⨯=+

ji f

i r

ij r ij f

j r

o 图 4.1， 第i 个质点对第j 个质点的作用力为ij f ，而第i 个质点也要受到第j 个质点对它的作用力ji f 。

由牛顿第三定律，有

ji ij f f

＝－

于是 ij i j ij i ij j ij ji f r r f r f r J J

⨯-=⨯-⨯=+)(

即 0=⨯=+ij ij ij ji f r J J

(4.1.6)

由此可见，两质点间对某一参考点的内力矩也是大小相等，方向相反，处在同一条直线上。这样，若假设第i 个质点受到的质点系内部别的质点对它的作用力对参考点o 的力矩之和为 ∑

∑

≠=≠=⨯=

=

n

i

j j ji i n

i

j j ji i f r J J 11)(

(4.1.7)

同样由于质点系内部质点间的作用力对参考点o 的力矩总是成对出现的，故质点系内所有的质点所受到的内力矩之和就为 0)(1

11

11

=⨯=

=

=

∑∑

∑∑

∑

=≠==≠==n i n

i

j j ji i n i n

i

j j ji n

i i f r J J J

(4.1.8)

即质点系的内力矩之和为零。

40

、质点系的质心与质心存在定理

设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，， 21组成，各质点对惯性参照系内一定点o 的位置矢量分别为n i r r r r

，，，，，21， 则在惯性系内，总可以找到一点C ，使得该点的位矢C r

满足 ∑∑=

i

i

i C m

r m r

(4.1.9)

其中， ∑=

i

m

M 。

此C 点即称为质点系的质心，这就是质点系的质心存在定理。

在直角坐标系中，质心的位置坐标有 ⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧==

=∑∑∑i

i

C

i i

C i

i

C z m

M z y m M y x m M x 111 (4.1.10) 对于质量连续分布的质点系，设在),,(z y x 点处有一可看成质点的质量元

dV dxdydz z y x dm ρρ==),,(，则对整个质点系求和就可有

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧=

===

==⎰⎰

⎰⎰⎰⎰dV

z M

zdm M z dV y M ydm M y dV x M xdm M

x C

C C

ρρρ111111 (4.1.11)

其中， ⎰=

dV

M ρ。

50、相对质心定理

如图4.2，设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，， 21组成，各质点相对于质心C 的位置矢量分别

为n i r r r r ''''

，，，，，21，则必有

0='∑

i i r m

(4.1.12)

这个相对质心定理可以这样考虑，如对第i 个质点i m ，设对惯性系中的定点o 的位矢为i r

， 而质心C 对o 点的位矢为C r ，则质点i m 相对于质心C 的位矢i r '

就有

C i i r r r

-=' 即 C i i i i i r m r m r m

-=' 对整个质点系求和就得

∑

∑

∑

-

=

'C i i i i i r m r m r m

利用(9)式∑

∑=

i i C i r m r m

即得

0='∑

i i r m

60

、质点系的重心与质心的关系

设质点系由n 个质点n i m m m m ，，，，

， 21组成，各质点的重力加速度不尽相同，分布为n i g g g g

，，，，，21，如果存在这样的点G ，使得

0)(1

=⨯'∑

=n

i i i i g m r

(4.1.13)

其中),,2,1(n i r i

='为各质点相对于点G 的位置矢量，则该点G 就称之为质点系的重心。

如果各质点的重力加速度均相同为g g i

=，则(13)式可以化为

i m i r

i r '

o C r

C

图4.2，质点i m 相对于质心C 的位矢为i r '

。