二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
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课件4：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
解析 (1)原式＝12sin15°cos15°＝41sin30°＝18.
(2)cos215°－sin215°＝cos30°＝
3 2.
答案 (1)C (2)B
例2
求证：33－ ＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
证明：∵左边＝33－＋44ccooss
2A＋2cos22A－1 2A＋2cos22A－1
＝11－＋ccooss 22AA2＝22csoins22AA2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边，
∴33－＋44ccooss
2A＋cos 2A＋cos
44AA＝tan4A.
规律总结 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边
式子中角间的倍角关系.先用倍角公式统一角，再用同角三角函数 基本关系式等完成证明．
3 2.
跟踪训练 3 证明：(1)sin 2α＝1＋2tatnanα2α； (2)cos 2α＝11－＋ttaann22αα .
证明：(1)左边＝sin
2α＝2sin
αcos
α＝2sin
αcos 1
α
＝c2ossi2nα＋αcsoisn2αα＝1＋2tatnanα2α＝右边．
(2)左边＝cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－1 sin2α＝ccooss22αα＋－ssiinn22αα
4.已知 cosx－π4＝102，则 sin 2x＝ －2245 .
解析 sin 2x＝cos2π－2x ＝cos2x－π2 ＝cos 2x－π4 ＝2cos2x－π4－1 ＝2× 1022－1 ＝－2245.
5.已知 tan(π4＋α)＝2，则 tan2α＝________.
解析 ∵tan(π4＋α)＝11＋ －ttaannαα＝2，∴tanα＝13， ∴tan2α＝1－2tatannα2α＝43.
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
θ＝
cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边．
法二：右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2 θ＝ cos2 θ1－csions22 θθ＝cos2 θ(1－tan2 θ)＝左边．
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明
1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手， 左边
证明一边等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0， 右边
＝1；(3)分析法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等 式成立的条件．
(1)sin 2π4·cos 2π4·cos 1π2；
(2)1－2sin2 750°；
(3)tan
1π2－tan1
π. 12
解：(1)原式＝122sin
π 24cos
π 24·cos
1π2＝12sin
1π2·cos
1π2＝142sin
1π2·cos
π 12
＝14sin
π6＝18.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝
1＋cos（2A＋2B）
(1)证明：左边＝
2
＝
1－cos（2A－2B）
2
＝
cos（2A＋2B）＋cos（2A－2B）
2
＝
12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin
2Asin 2B)＝
cos 2Acos 2B＝右边，
所以原式成立．
(2)法一：左边＝cos2θ1－cossi2nθ2
cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.
5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
例6
4
在△ ABC 中， cos A 5
tan 2 A 2B 的值.
， tan B 2 ，求
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
解：在△ ABC 中，由 cos A
4
，0
5
A π ，得
2
3
4
sin A 1 cos 2 A 1 ，
5
2
tan tan
2 tan
tan 2 tan
.
2
1 tan tan 1 tan
2
推导
二倍角的余弦公式有三种表达情势：
cos 2 cos sin
2
cos 2 1 2sin
2
cos 2 2 cos 1
2
2
推导
余弦公式，有下面的等价变情势：
cos 2 2 cos 1
2
cos 2 1 2sin
2
1 cos 2 2cos
1 cos 2 2sin
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sin
2
2
2
2
=±
2
1+
2
2
sin 与 cos 的符号由角
24 4
tan 2 A tan 2 B
44
7 3
tan 2 A 2 B
24 4 117 .
1 tan 2 A tan 2 B
1
7 3
，
解法 2：
4
在△ ABC 中，
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－34π.
[规律方法] 在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出 角．其中确定角的范围是关键的一步．
【活学活用3】 已知tan α＝17，sin β＝ 1100，且α，β为锐角，求α
＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4，
类型一 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°；(3)1－2tatnan125105°0°； (4)sin110°－cos 130°；(5)cos 20°cos 40°cos 80°.
[思路探索] 利用倍角公式或公式变形求值即可．
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10° ＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
【活学活用1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°＋csoins 1155°°；
(2)tan 20°＋4sin 20°的值．
解 (1)原式＝csoins 1155°°＋csoins 1155°°＝sisni2n1155°＋°cocsos1251°5°
＝sin
1 15°cos
15°＝2sin
2 15°cos
θ 2
＝
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
14sinπ5π＝14. sin5
(2)原式＝－122cos2π8－1＝－12cosπ4＝－
2 4.
(3)原式＝tan21π2π－1＝－21－taπn21π2
tan12
2tan 12
＝－2·tan21×1π2＝t－an2π6＝－2 3.
在解决这种题型时，要正确处理角的倍半关系．如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角，π2－2α 是π4－α 的二倍角．
2α .
求下列各式的值．
(1)cosπ5cos25π；(2)12－cos2π8；
(3)tan1π2－
1 π.
tan12
分析式 把式子变形，使其符合 【思路点拨】子结构 → 正、逆用或变形用形式 → 求值
π π 2π 1 2π 2π 1 4π
sin 解：(1)原式＝
5cos 5cos sinπ5
5 ＝2sins5incπ5os 5 ＝4ssiinnπ55 ＝
x
＝2sin
xcos cos
x－sin x＋sin
xcos x
x
＝sin
2xcos x－sin cos x＋sin x
x
＝sin
1－tan 2x1＋tan
xx＝sin
2xtanπ4－x
＝cosπ2－2xtanπ4－x＝ ＝2cos2π4－x－1tanπ4－x.
∵54π＜x＜74π， ∴－32π＜π4－x＜－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
• 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行：
• (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值；
• (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角 的范围，从而确定角的大小．
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
1 tan tan
2
思考：当 时，
你能推导出哪些恒等式呢？ zxxk
二倍角公式
在公式S，C ,T中，令＝
就得到下列当结果
sin 2 2sin cos (S2 )
cos2 cos2 sin2 tan 2 2 tan
1 tan2
(C2 ) (T2 )
公式推广
cos 2 cos 2 sin 2 中 cos2 sin 2 1,易得：
特别强调：tan 2＝1－2ttaann2 仅当
k , k , k Z时成立2 Nhomakorabea4
例1、不查表，求下列各式的值
1、sin15cos15
2、 cos2 sin 2
8
8
3、
2 tan 22.5 1 tan 2 22.5
4、 1 2sin 2 75
例2、
已知：sin 12 , ( , )
二倍角的正弦余弦正切
复习引入
• 复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin( ) sin cos cos sin , ( R, R) (S )
cos( ) cos cos sin sin ,( R, R) (C )
tan( ) tan tan , (, , k , k Z ) (T )
13
2
求sin2，cos2 , tan2的值
例3
求证：1 sin2 - cos2 ＝tan 1 sin2 cos2
试试身手！
1.已知：tan＝3 求：sin2－cos2的值
答案：7/5
2.求函数y sin4 x cos x的周期。
课堂小结
●理解二倍角公式，领会二倍的相对意 义 ●运用公式求解，证明 ●特别注意公式的逆向使用，和公式变 形。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
练习 1：2sin 15°cos 15°＝________.
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
练习 2：cos2α2－sin2α2＝________.
练习 3：1－2tatnan22α2α＝________.
2tan α 1－tan2α 练习：1.12 2.cos α 3.tan 4α
二、二倍ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ公式中应注意的问题 (1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解． 如 8α 是 4α 的二倍角，α 是α2的二倍角，α3是α6的 二倍角等等．又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…，2αn ＝2×2nα＋1等等．
∴tan α<0，tan β<0.
∴tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝－1－3 43＝ 3，
∵α，β∈－π2，π2，且 tan α<0，tan β<0， ∴α，β∈－π2，0，∴－π<α＋β<0，
∴α＋β＝－23π.
∴cos 2θ＝－
1－sin22θ＝－
3 2.
利用二倍角公式化简与证明
已已知tatann2β2＝β＝tanta2αn＋2α＋co1s2α求.求证证：：cos 2α－2c
cos 2α－2cos 2β＝1.
分析：本题考查利用二倍角公式证明．首先要降 幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它 们的关系．
(2)当 α＝kπ＋2π，(k∈Z)时，tan α 的值不存在，
这时求 tan 2α 的值可用诱导公式求得． (3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如 sin3π≠2sinπ6.
(4)公式的逆用变形
升幂公式：
1＋cos α＝________，1－cos α＝________，
1±sin 2α＝________
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
已知 sinα＝35，cosα＝45，则 sin2α等于(
)
A.7B.125源自5C.1225D.2245
[答案] D
[解析] sin2α＝2sinαcosα＝2245.
已知 cosα＝13，则 cos2α等于(
)
A.13
B.23
C．－79
D.79
[答案] C
[解析] cos2α＝2cos2α－1＝29－1＝－79.
[拓展]倍角公式的变形公式 剖析：(1)公式的逆用： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝12sin2α； cosα＝s2isni2nαα； cos2α－sin2α＝cos2α； 1－2tatannα2α＝tan2α.
(2)公式的有关变形： 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα ＝(sinα±cosα)2； 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α； cos2α＝1＋c2os2α；sin2α＝1－c2os2α.
自主预习 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
公式
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
余弦
cos2α＝cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α
正切
2tanα tan2α＝ 1－tan2α
简记 S(α＋β) S2α C(α＋β) C2α
T(α＋β) T2α
[总结]对倍角公式的理解： ①成立的条件：在公式S2α，C2α中，角α可以为任意角， T2α则只有当α≠k2π＋π4(k∈Z)时才成立． ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的 二倍、α是α2的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的．
B．π
C．3π
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(共11张PPT) 高一数学人教A版必修第一册
cos 4α = cos [2×(2α)] = 1 −
sin 4α
120
tan 4α =
=−
.
cos 4α
119
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α
的二倍，
2
是
4
的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
3
5
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
1 – tan 2A· tan 2B 117
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没
有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 已知 tan 2α =
1
，求
3
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
sin 4α
120
tan 4α =
=−
.
cos 4α
119
注意：“倍”是两个数量间一种相对的关系，如 2α 是 α 的二倍，4α 又是 2α
的二倍，
2
是
4
的二倍；应准确理解“倍”的含义，灵活运用倍角公式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
3
5
1. 已知 sin (α – π) = ，求 cos 2α 的值.
1 – tan 2A· tan 2B 117
思考：上述题目还有没有其他的解答方法，若有，请说出其他解法，若没
有，请说明理由.
将 tan (2A+2B) 视为 tan 2(A+B)，先求出 tan (A+B)的值，再利用倍角公式即可.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 已知 tan 2α =
1
，求
3
5.5.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程；（重点）
2. 能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值等问题．（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：二倍角的正弦、余弦、正切公式
忆一忆：按照相应规律，说出所有的和（差）角公式!
sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
经典例题
题型二 条件求值
例 2(1)已知 tan α＝2，则 tan 2α＝________；
(2)已知 0<α<π2，cosπ6＋α＝13，则 sin3π＋2α＝________.
解：(1)∵tan α＝2， ∴tan 2α＝1－2tatnanα2α ＝12－×222＝－43.
(2)∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<23π.
＝cos2( ＋α)＝2cos2( ＋α)－1＝2×( )2－1＝－ .
经典例题
题型二 条件求值
跟踪训练2 (2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝45，则 sin2α＋1π2的值为________．
(2)∵α 为锐角，∴α＋π6∈π6，23π. 又∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35，
公式
简记
正弦 sin2α＝ 2sinαcosα
S2α
余弦 cos2α＝ cos2α－sin2α
C2α
正切 tan2α＝
2tan α 1－tan2α
T2α
解读：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的情况都 成立，如 4α 是 2α 的二倍，α 是α2的二倍等.
自主学习
二．正弦的二倍角公式的变形 1.sin αcos α＝12sin 2α； 2.1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
－ 解析：因为 tanα＝－ ，所以 tan2α＝
＝
＝－ .
经典例题
题型一 给角求值
例 1 求下列各式的值：
(1)sin2 π－cos2 π；
(2)sin1π2cos1π2；
(3)
；
(4)cos20°·cos40°·cos80°.
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
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例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
5.5.1二倍角的正弦余弦正切公式课件共17张PPT
1 tan A tan B 2
tan
2A
2B
2 1
tan
tan 2
A B A B
44 117
巩固练习
变式：在ABC中, sin A 4 , tan B 2,
5
tan A 3
求 tan 2 A 2B 的值.
4
分A为钝角和锐角讨论
当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
2
学习新知 思考：能利用S(±)、C(±)、 T(±)推导出 sin2,cos2,tan2的公式吗？
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
( T(+) ) ( T(-) )
2
和 k , k Z时 ,公 式 才 有 意 义 .
42
学习新知
2.倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
=1-2sin2
=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
学习新知
1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数 公式与和角的三角函数公式之间关系.
tan
2A
2B
2 1
tan
tan 2
A B A B
44 117
巩固练习
变式：在ABC中, sin A 4 , tan B 2,
5
tan A 3
求 tan 2 A 2B 的值.
4
分A为钝角和锐角讨论
当A为钝角时，可求得tan(A+B)>0,与题 意不符，舍去
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
k (k Z )
2
k (k Z )
2
k (k Z )
2
学习新知 思考：能利用S(±)、C(±)、 T(±)推导出 sin2,cos2,tan2的公式吗？
复习引入 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S(+) ) ( S(-) )
( C(-) ) ( C(+) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
( T(+) ) ( T(-) )
2
和 k , k Z时 ,公 式 才 有 意 义 .
42
学习新知
2.倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
=1-2sin2
=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
学习新知
1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数 公式与和角的三角函数公式之间关系.
5.5.1(第三课时)二倍角的正弦、余弦、正切公式课件(人教版)
cos 2 1 2sin2 cos 2 2cos2 1
这样我们就得到了二倍角的正弦、余弦、正切公式
2 cos 2 1 1 2 sin2
不仅“2α”是“α”，而且 “4α”是“2α”的二倍角，只要一个角是另一个角的两倍就可以用二倍角公式
例 1 (1)cosπ7cos37πcos57π的值为(
注意： T2α公式成立的条件
二倍角的余弦公式的变形
cos 2 cos2 sin2
cos2 1 sin 2
(1 sin2 ) sin2
1 2 sin 2
cos 2 cos2 sin2
sin2 1 cos2
cos2 (1 cos2 )
2 cos2 1
7
cos
7 π
cos
7
2sin ＝
7
cos π
7
sin ＝
7π＝－18.
8sin7
8sin7
8sin7
7
(2)求下列各式的值： ①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tatnan7257°5°；
④sin110°－cos 310°.
(2)[解] ①cos415°－sin415° ＝(cos215°－sin215°)(cos215°＋sin215°) ＝cos215°－sin215° ＝cos 30°
sinA 1 cos2 A 3，所以tanA sinA 3，
5
cosA 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tan2 A
2tanA 1 tan2 A
24 . 7
又 tan
B
2，所以tan2B
2 tan B 1 tan2 B
4. 3
于是tan(2A 2B) tan2A tan 2B 44 . 1 tan2Atan 2B 117
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
例2.在△ABC中，cos A 4 , tan B 2，求 tan(2A 2B)的值. 5
解法1 在△ABC中，
Байду номын сангаас
由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 22
4. 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24 4 73 24 (
4)
44 . 117
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
cos 2 co（ s )
cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
二倍角的余弦公式.
简记为 C2 .
tan
2
tan（
)
2 tan 1 tan2
二倍角的正切公式.
简记为 T2 .
倍角公式
S2 sin 2 2sin cos
C2 cos 2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用
同角三角函数基本关系式等完成证明．
跟踪训练 2
化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
22θθ＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ θ
二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．倍角公式
1
(1)S2α：sin 2α＝ 2sin αcos α
，sin
α 2cos
α2＝
2sin α
；
(2)C2α：cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ；
2tan α (3)T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
2．倍角公式常用变形 (1)s2isnin2αα＝ cos α ，2sicnos2αα＝ sin α ；
跟 解踪原训式练＝3 scion已sπ24π知＋＋2sxixn＝π4－2sxin＝π4c＋o15s3x，4πc＋o0s<xxπ4<＋π4x，＝求2csoicnsoππ4s4＋＋2xxx.的值． ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且 0<x<4π，
∴π4＋x∈π4，π2，
∴sinπ4＋x＝
1－cos2π4＋x＝1123，
(2)cos 3α＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α ＝(2cos2α－1)cos α－2sin2αcos α ＝(2cos2α－1)cos α－2(1－cos2α)cos α ＝2cos3α－cos α－2cos α＋2cos3α ＝4cos3α－3cos α.
课件8：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
θ 2>0.
∴原式＝sin
θ2＋cos
θ2－cos
θ2－sin
2θ＝2sin
θ 2.
归纳点评 (1)三角函数中常用的解题技巧——“变次”．
本题用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：
1±sin α＝(sin
α 2±cos
α2)2，
1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2.
(2)含有根号的式子化简，脱掉根号时要注意符号问题．
－cos π6＝－ 23.故选 C.
3．设 sin 2α＝－sin α，α∈2π，π，则 tan 2α 的值是_____． 【解析】∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈2π，π， ∴cos α＝－12，sin α＝ 23.∴tan α＝－ 3，则 tan 2α＝ 12－tatannα2α＝ 3. 【答案】 3
17－15sin 2β≤4 2. 又当 β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
(3)证明：由 tan αtan β＝16，得4scionsβα＝4scionsαβ， 所以 a∥b.
归纳点评 对向量的垂直，平等，模概念要清楚，记 忆防止混乱而出错．对三角函数的基本关系式应熟悉 掌握．
4．已知 sin π4＋xsin π4－x＝61，x∈π2，π，求 sin 4x， cos 4x，tan 4x 的值． 解：sin π4－x＝sin[π2－π4＋x]＝cos π4＋x， ∴2sin π4＋xcos π4＋x＝13， 即 sin 2π4＋x＝31，sin π2＋2x＝13，
∴cos 2x＝13.又 x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)，
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
二倍角的正弦、余弦和正切公式 课件
“探究1”预示本节课我们要研究什么问题? 学习目标：
1.用和角公式推导倍角公式。 2.能运用倍角公式，变形公式,构造公
式进行求值。
提示：怎样对和角公式做适当变换得到二倍 角公式呢？
二倍角公式：
sin2 2sin cos R
cos 2 cos2 sin2 R
tan 2
2 tan 1 tan2
(3)2 5
7 25
tan 2
sin 2 4 ,(0 ),求cos2的值.
解:
5
2
cos 4 ,0
5
2
sin 3
5
cos2 cos2 sin2 ( 4 )2 ( 3 )2
55
7 25
探究2：你能只用cos的值,不求sin的值,直接
二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.请写出两角和的正弦、余弦、正切公式
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin tan( ) tan tan
1 tan tan
探究1：你能利用S(+)、C(+)、 T(+)推导出
sin2,cos2,tan2的公式吗？
2 sin 400 cos 400 cos800 2 2sin 200
sin 800 cos 800 2 sin 800 cos800 4 sin 200 2 4sin 200
sin1600 8sin 200
1 8
课下以小组为单位探究下面这道题的解法
sin100 sin 300 sin 500 sin 700
24 24 12
2sin cos sin 1
12 12 6 2
思考：cos 200 cos 400 cos800
1.用和角公式推导倍角公式。 2.能运用倍角公式，变形公式,构造公
式进行求值。
提示：怎样对和角公式做适当变换得到二倍 角公式呢？
二倍角公式：
sin2 2sin cos R
cos 2 cos2 sin2 R
tan 2
2 tan 1 tan2
(3)2 5
7 25
tan 2
sin 2 4 ,(0 ),求cos2的值.
解:
5
2
cos 4 ,0
5
2
sin 3
5
cos2 cos2 sin2 ( 4 )2 ( 3 )2
55
7 25
探究2：你能只用cos的值,不求sin的值,直接
二倍角的正弦、余弦和正切公式
1.请写出两角和的正弦、余弦、正切公式
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin tan( ) tan tan
1 tan tan
探究1：你能利用S(+)、C(+)、 T(+)推导出
sin2,cos2,tan2的公式吗？
2 sin 400 cos 400 cos800 2 2sin 200
sin 800 cos 800 2 sin 800 cos800 4 sin 200 2 4sin 200
sin1600 8sin 200
1 8
课下以小组为单位探究下面这道题的解法
sin100 sin 300 sin 500 sin 700
24 24 12
2sin cos sin 1
12 12 6 2
思考：cos 200 cos 400 cos800
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
二倍角公式
名称
公式
二倍角的正弦 sin 2α＝ 2sin αcos α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
[例 1] 求下列各式的值：
(1)sin
π 12 cos
＝8sisnin12600°°＝18.
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
[精解详析]
原式＝scions（（π2π4＋＋2xx））
＝cos 10°＋
3sin
10°＝2（12cos
10°＋
3 2 sin
10°）
2
2
2 sin 40°
2 sin 40°
＝2 s2insi4n04°0°＝2 2
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cos2α＝2cos2α－1
1 2sin2 a
探究（二）：二倍角公式的变形 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦式， sin2 a，cos2 a 与cos2α的关系分别如何？
sin2 1 cos 2
2
cos2 1 cos 2
2
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式
巨野县第一中学
谷卫丽
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究（一）：二倍角基本公式
思考3：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos
2
1 1
tan 2 tan2
sin
2
2 tan 1 tan2
理论迁移
例1
已知
sin 2 5
13
，4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4 的值.
练一练 (1)sin 22.50 cos 22.50;
(2) cos2
sin2 ;
8
8
(3)
1
2 Biblioteka tan150 tan2 150
;
(4)1 2sin2 750.
【例 2】在 ABC 中， cos A 4 ， tan B 2 ，求 5
tan(2A 2B) 的值；
已知 tan 2 1 , 求 tan 的值
3
解：
tan
2
2 tan 1 tan2
1 3
由此得 tan2 6 tan 1 0
解得 tan 2 5 或 tan 2 5
例3 化简 (sin 2x cos 2x 1)(sin 2x cos 2x 1)
sin 4x
tanx
思考？
求cos 20cos 40cos80的值.
作业：
P135练习：2，3，4，5.
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β＝α时，这 三个公式分别变为什么？
sin2α＝2sinαcosα；
.
cos2α＝cos2α－sin2α；
tan
2
2 tan 1 tan2
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？
1 2sin2 a
探究（二）：二倍角公式的变形 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦式， sin2 a，cos2 a 与cos2α的关系分别如何？
sin2 1 cos 2
2
cos2 1 cos 2
2
3.13 二倍角的正弦、余弦、正切公式
巨野县第一中学
谷卫丽
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式分别是 什么？
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究（一）：二倍角基本公式
思考3：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos
2
1 1
tan 2 tan2
sin
2
2 tan 1 tan2
理论迁移
例1
已知
sin 2 5
13
，4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4 的值.
练一练 (1)sin 22.50 cos 22.50;
(2) cos2
sin2 ;
8
8
(3)
1
2 Biblioteka tan150 tan2 150
;
(4)1 2sin2 750.
【例 2】在 ABC 中， cos A 4 ， tan B 2 ，求 5
tan(2A 2B) 的值；
已知 tan 2 1 , 求 tan 的值
3
解：
tan
2
2 tan 1 tan2
1 3
由此得 tan2 6 tan 1 0
解得 tan 2 5 或 tan 2 5
例3 化简 (sin 2x cos 2x 1)(sin 2x cos 2x 1)
sin 4x
tanx
思考？
求cos 20cos 40cos80的值.
作业：
P135练习：2，3，4，5.
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β＝α时，这 三个公式分别变为什么？
sin2α＝2sinαcosα；
.
cos2α＝cos2α－sin2α；
tan
2
2 tan 1 tan2
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？