(结构动力学8)有阻尼度哈梅积分12
哈尔滨工业大学结构动力学课件第八次课
12 EI
9 11 33 12
3
Y ( F M Y ) M Y Y F M Y kY F
1
..
..
..
书后习题
拉格朗日方法
通常当质点较多，约束比较复杂时，适合用能量分析 方法,例如Lagrange第2类方程。
拉格拉日方程， L T U ，
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可，常用的牛顿法、达朗贝尔原理、Lagrange 第二 类方程、有限元方法等。 牛顿法：
dt qi
M q Kq 0
..
无阻尼受迫振动
d T 对于有耗散力的方程为
dt qi qi 有阻尼受迫振动
U Qi d T dt qU qi i Q
qi
i
d T dt qi
.. .. ..
m
y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23 11 l 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 12 EI 3 3 .. 7 .. l 16 l .. l y F 31 22 3 F1 m1 y111 31 2 9 m2 y 2 1332 F3 m3 y3 33 33 y12 EI1 m1 y1 11 F2 m2 F 12 EI 1 12 EI
(完整word版)年结构动力学试卷及答案,推荐文档
华中科技大学土木工程与力学学院《结构动力学》考试卷2011～2012学年度(下)1、试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量。
（16分）解：（1）2个动力自由度 （2）3个动力自由度 （3）2个动力自由度 （4）1个动力自由度(1)(2)m(3)(4)m2、试求图示结构的自振频率ω（15分）解：图示结构为单自由度体系，以横梁转角ϕ为自由度。
由0A M =∑ 有： 22200lm x dx ml kl ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅++=⎰化简得：()303klm m ϕϕ⋅⋅+=+∴自振频率ω=3、如图所示体系，各杆长为l ，EI=常数，1处有集中质量m ，2处受动力偶()M t =Msin tθ；θ（14分）解：结构体系的1M 、p M 如下图所示：tm m B3111122=2EI 233l l l l EIδ⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭21111sin sin 236MMl l l M t t EI EI θθ⎛⎫∆=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴体系微分方程为:()321112sin 36M t lMl y m y m y t EI EI δθ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=-+∆=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin 24EI My y t ml mlθ⋅⋅⇒+⋅=⋅ 2max23331133344622M M Ml y EI EI EI ml ml EIml ml ml θ∴=⋅=⋅=--- ∴惯性力幅值22max3362EI Ml MI m y m ml EI lθ==⋅⋅=M M MMMl1t θ4、图示（a ）所示梁的跨中有一台电动机，实测得此梁自由振动时跨中点位移时程曲线如图所示（b ），周期T=0.06s ，若忽略梁的分布质量。
（20分）试求：（1）阻尼比ξ；（2）共振时的动力系数β；（3）共振时电动机每分钟的转数 n ；（4）若电动机转数为600r/min ，由于其离心力引起梁中点稳态的振幅为2mm ，求共振时的振幅A 。
2015年《结构动力学》复习题
2015年《结构动力学》复习题、（概念题）⑴（填空题）某等效单自由度振动系统具有下列参数： m = 17.5kg , k = 70N/cm ，阻尼比0.2，则系统的固有频率• ‘为 _______ rad/s ，等效阻尼系数 c 为 ___________ N. s/m 。
⑵（填空题）某振动系统具有下列参数： m 17.5kg ，k=70N/cm , c = 0.7N ・s/cm ，则系统 的固有频率为 ______________ ，阻尼比'为 _____________ ，对数衰减率 n 为 __________ 。
⑶（简单计算题）一弹簧悬挂某质量块，弹簧产生了静变形 ，s t 二4 mm ，试确定系统作自由振动的固有频率（重力加速度取g =10 m /s 2）。
（10分）（4）（填空题）当系统受简谐力作用发生共振时，系统所受的外力是由 ___________ 来平衡。
⑸（问答题）某单自由度系统具有非线性的弹簧，其运动方程为： mX c^ f （x ） = F （t ），能否用杜哈美积分计算该系统的受迫振动响应？并说明理由。
（6）（填空题）同种材料的弦承受相同的张力，如果长度增加到原来的 4倍，截面积减小到原 来的4倍，则作该弦横向振动的各阶固有频率将 _____________________________ 。
（a ）有关，有关；（b ）无关，无关；（c ）有关，无关；（d ）无关，有关 、（计算题）（1）图示两个系统，已知EI 和M ，弹簧刚度k =16EI,3，不计梁的质量，试确定：⑴ 简 支梁的等效刚度k L ;（2） 两个系统的等效刚度 k a 和k b ；⑶两个系统 的固有频率'a 和「b 。
（2）水平刚杆AB 可绕 铰链A 作微幅旋转振动， 杆的质量不计。
（1）以杆AB 的转角71为自由度求系 统的动能和势能；（2）建立系统的运动方程；（3）求固（7）（填m i ，刚架的质量不计, °m 3忽略杆的轴向变形，试mpC>m3—Qm2（1） n 二 ____ ; （2） n 二 ____ 。
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
结构动力学复习
强迫振动和固有运动出现拍的现象，即时而相互增强，时而相互抵消；
最大总响应比最大稳态响应大：总动力放大因数为
共振：r=1时，用假定解求解
（2）粘滞阻尼SDOF系统简谐激励运动方程：
稳态响应与激励不同相位，稳态响应的解可写成：
则稳态响应方程可以写成：
其中：
（2）非周期激励——傅立叶积分：它是由傅立叶级数，令周期T1无穷大得来的。
傅立叶变换对：
（3）复频响应与单位脉冲响应的关系：
第八章连续系统
（1）轴向变形基本假定：横截面保持为平面，并垂直于杆件的轴；材料为线弹性；在给定截面上，材料特征为常数，也可随X面变。
三个基本方程式：
线弹性杆的轴向振动运动方程：
横向强迫振动的运动方程：
该公式只是对于相对长的薄壁梁成立。
边界条件：固定端
简支端
外力-自由端
（3）哈密顿原理：
（4）铁木辛科梁：以哈密顿原理推导的运动方程和边界条件，考虑剪切变形和转动惯量。也适用短粗梁。
第九章连续系统自由振动
（1）轴向自由振动：
边界条件：固定端
自由端
（2）伯努利-欧拉梁横向自由振动：
第一章结构的动力学引言
（1）动力问题与静力问题的两大区别：（1）动力荷载随着时间的变化，即激励的与时俱变性质，动力荷载是一个随时间变化的幅值、方向和作用点，由此得到与时俱变的挠度和应力，就构成了动力响应；（2）加速度在结构动力问题中起了主要作用，如果惯性力对结构的挠度和内应力有显著影响时，就需要研究它的动力问题了。
根据阻尼因数的大小分为：弱阻尼（），临界阻尼（）和过阻尼（）
弱阻尼：为阻尼固有圆频率，为
相应的为阻尼周期，为
结构动力学方程常用数值解法
结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...++=()M x C x Kx F t从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:++= (1)MU CU KU R其中, M是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U、U和U则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU和与速度有关的阻尼力CU及与位移有关的弹性力KU在时刻t与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有: 牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1. 牛顿第二定律法适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
2. 动量距定理法适用范围: 绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
3. 拉格朗日方程法:适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1）设系统的广义坐标为 , 写出系统对于坐标 的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式: L=T-U ；（2）由格朗日方程 =0, 得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
4. 能量守恒定理法适用范围: 所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤: （1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 , 进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个: 衰减曲线法和共振法。
方法一: 衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线, 并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。
（2）由对数衰减率定义 , 进一步推导有,因为 较小, 所以有πδζ2=。
FEM-12 结构动力学问题有限元
式又称运动方程，它不再是静力问题那样的线性方程，而是一个二 阶常微分方程组。
动态分析有限元法的一般步骤
1. 结构离散：该步骤与静力分析基本相同 2. 单元分析：单元分析的任务仍是建立单元特性矩阵（刚度矩 阵、质量矩阵和阻尼矩阵），形成单元特性方程。
e 在动载荷作用下，对于任一瞬时，设单元节点发生虚位移 q ，则单元
m
e
N N dV
T V
c
e
N N dV
T V
分别称为单元的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们就是决定单元动态性能的 特性矩阵。
R t N T Pv dV N T Ps dA N T Pc
e V A
称为单元节点动载荷列阵，它是作用在单元上的体力、面力和集中力向单元节 点移置的结果。
在动态分析和静力分析中，单元的刚度矩阵是相同的，外部载荷的移置原理也一样。
四、固有特性分析 结构的固有特性由结构本身决定，与外部载荷无关，它由一组模态参 数 定量描述。包括：固有频率、模态振型、模态质量、模态刚度和模态阻尼 比等。 固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的一是避免结构出现共
5、由于节点具有速度和加速度，结构将受到阻尼和惯性力的作用。 根据达朗伯原理，引入惯性力和阻尼力之后结构仍处于平衡状态， 因此动态分析中仍可采用虚位移原理来建立单元特性方程，然后再 集成。整个结构的平衡方程为：
C q K q R t M q
2 0
可解出n个特征向量 0
第 i 个 i、 0i 合称第i个特征对， i 为结构的第i个固有频率,
0i 为结构的第i个振型
将
i
按从小到大的顺序排列：
结构力学思考题答案
结构力学思考题答案12.1怎样区别动力荷载与静力荷载? 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：静力荷载：施力过程缓慢，不致使结构发生显著加速度，可略去惯性力的影响，各量值不随时间而变化。
例：在梁上砌砖。
动力荷载：在荷载作用下使结构发生不容忽视的加速度，必须考虑惯性力的影响，使结构发生振动，各量值内力位移（动力反应）随时间而变化。
二者的主要区别：是否考虑惯性力的影响。
实际荷载处理：当荷载变化缓慢时，其变化周期远大于结构的自振周期时，动力作用是很小的，为简化计算将它作为静力荷载处理；当荷载过于激烈时，动力作用比较明显的荷载，惯性力不可忽略，按动力荷载考虑。
结构动力计算与静力计算主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。
12.2 什么是振动自由度？结构振动自由度与机动分析中的自由度有何区别？确定体系动力自由度的目的是什么？答：结构的振动自由度：结构在弹性变形过程中，确定全部质量的位置所需要的独立参数的数目。
相同点：表明体系运动形式的参变量的数目相同。
不同点：几何组成分析表示的是刚体运动的自由度；振动的自由度，表示变形体系中质点的自由度。
确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。
12.3 建立运动微分方程有哪几种基本方法？各种方法的适用条件是什么？答：常用的有3 种：直接动力平衡法、虚功原理、变分法（哈密顿原理）。
直接动力平衡法是在达朗贝尔原理和所设阻尼理论下，通过静力分析来建立体系运动方程的方法，也就是静力法的扩展，适用于比较简单的结构。
结构动力学中的常用数值方法
第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。
但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。
此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。
所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。
（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t=∆，202a a =（4） 计算...0011122t x x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷21()()t t t tt Q Q K a M x a Ma C x --∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t L D L x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=-..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。
纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C（2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。
结构动力学 阻尼
3.1无阻尼体系自由振动 3.2有阻尼体系的自由振动 3.3无阻尼体系强迫振动 3.4有阻尼体系的强迫振动
预备知识
预备知识
3.1无阻尼体系自由振动
由
由y0 设：
my ky 0
k m
y 0 y
2
3.1无阻尼体系自由振动
单自由度体系无阻尼自由振动方程 其通解为:
0
0 2 y0
2
sin
y0 2 0
2
cos
y A(sin cos t cos sin t )
y A sin t
y A sin(t ) 0 2 A y0 2 ( ) 1 y0 tan v0
g st
g 60 s 2
n 60 f
60 2
g st
980cm / s 2 1 300 299 s s s
它表明一个结构体系的自由振动频率值的大小与该结构体系的外部条件 无关，只与反映该结构的内部固有属性的质量、刚度有关，故通常称为 自振频率或固有频率。
3.1无阻尼体系自由振动
注意： 1.自振周期 T和自振频率 ，只与结构的质量和刚度（或柔度）有关，与外 界干扰因素无关，（干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件），改变结构 的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手； 2.自振周期 T和自振频率 ，是结构动力特性的重要数量标志，两个外 表相似的结构，如T和W 不同，则动力性能相差很大；两个外表相差很大 的结构，如 T和W )相同，则动力性能基本一致。
tan
1
y0
y0
结构动力学课件-部分
第六章 结构动力学问题结构静力学的有限元法，是将作用在结构上的载荷假定为与时间t 无关.相应产生的位移，应变和应力也都与时间t 无关。
动力学研究则不同。
载荷随时间t 而变，相应产生的位移，应变和应力也都与时间t 有关。
分析和步骤和方法与静力学相同，不同的是，要按机械振动的理论建立动力学方程。
在单元分析中除形成单元刚度矩阵外，还有质量矩阵和阻尼矩阵。
§6.1 动力学方程根据达朗伯尔原理，动力学问题只要在外力中计及惯性力，就可以按静力学问题求解，静力学单刚方程：{}{}[]e e e F K δ=计及惯性力和阻尼力，就可以在上面方程的基础上导出动力学方程： {}{}{}{}()()()[]()e e e e e i cF t F t F t K t δ++= 由于力和位移是时间t 的函数，所以上式也就是时间t 的函数表征，选择位移插值函数，也就变为： {}{}()[]()e t N t δδ=则速度 {}{}()[]()et N t δδ= ()()t t t δδ∂∂= 则加速度 {}{}()[]()et N t δδ= 22()()()t t t t t δδδ∂∂∂∂== 由于{}ei F 是单元惯性力，可以看成单元中分布的惯性力向节点移置的结果。
设ρ为结构的密度，则单位体积上产生的惯性力为： {}{}()()t P t δρ=- 其中负号表示力的方向与加速度相反。
运用虚功原理，单元惯性力作的虚功：{}{}()(())V t t dV U δδρ*-=⎰节点惯性力的虚功：{}{}()()T e e i t WF t δ*= 由W U =得：{}{}{}{}()()()(())T e e V i t F t t t dV δδρδ**=-⎰ 将 {}{}()()e N t t δδ**⎡⎤⎣⎦= ， {}{}()()[]e t t N δδ= 代入得： {}{}{}{}()()(())(())e e T T e e V i N N t F t t t dV δδρδ**⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦-⎰{}{}()()()e T e V i N N F t dV t ρδ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦-⎰ 记 Te V M N N dV ρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎰ 上式也就为：{}()()e e e i M F t t δ⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭=- 其中 e M ⎡⎤⎣⎦为单元质量矩阵 同理可推出阻尼矩阵： {}{}()()e e e c F t C t δ⎡⎤=⎣⎦- 单元阻尼矩阵T e V C v N N dV ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⎰ 单刚的动力学方程就为： {}{}()()()()e e e ee e e M C K t t t F t δδδ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭++= 将各个单元刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换，进行迭加，就能得到结构的总动力学方程：{}{}()()()()M C K t t t R t δδδ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭++=该方程与多自由度系统的振动方程完全相同。
结构动力学
5.2 频域分析方法—Fourier变换法 离散Fourier（DFT）变换 对连续变化的函数用等步长离散（数值采样） 时域离散化：
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
u (t ) u(0) cos n t ( 0) u sin nt n
h (t ) u (t )
1 sin[ n (t )] t m n t
0
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
2U ( ) i 2 nU ( ) n 2U ( )
F F U ( ) u (t ) , P ( ) p(t )
1 P ( ) m
2
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
2U ( ) i 2nU ( ) n 2U ( )
— 正变换 — 逆变换
(t )e u (t )e u
dt iU ( )
it
dt 2U ( )
速度和加速度的Fourier变换为：
对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
(t )e it dt iU ( ) u (t )e it dt 2U ( ) u
F U ( ) 逆 u (t )
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。
为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。
试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。
在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。
在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。
如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。
如果体系在初始条件in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。
假设：(a) c=0（无阻尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。
如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。
用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。
由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。
结构动力学试题及答案
结构动力学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 结构动力学中，以下哪项不是动力分析的类型？A. 静态分析B. 动态分析C. 频域分析D. 时域分析答案：A2. 单自由度系统的振动方程中，以下哪个参数与系统的振动周期无关？A. 质量B. 刚度C. 阻尼D. 初始条件答案：D3. 在结构动力学中，阻尼比是用来描述什么？A. 系统的能量损失B. 系统的振动周期C. 系统的振动频率D. 系统的振动幅度答案：A4. 多自由度系统的振动分析中，以下哪项不是模态分析的组成部分？A. 模态形状B. 模态频率C. 模态阻尼D. 模态质量答案：D5. 以下哪种方法不适用于求解非线性振动问题？A. 线性化方法B. 能量平衡法C. 直接积分法D. 谐波平衡法答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 在结构动力学中，_________是描述系统在受力后响应变化的学科。
答案：动力分析2. 单自由度系统的振动方程可以表示为：m*x'' + c*x' + k*x =F(t)，其中m代表质量，c代表_________，k代表刚度。
答案：阻尼系数3. 阻尼比ζ定义为临界阻尼系数与实际阻尼系数的比值，即ζ =________。
答案：实际阻尼系数 / 临界阻尼系数4. 多自由度系统的模态分析中，每个模态对应一个_________，它描述了该模态下系统的振动形状。
答案：模态形状5. 在结构动力学中，_________分析是一种通过求解系统在各个频率下的响应来分析系统动态行为的方法。
答案：频域三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述结构动力学中时域分析与频域分析的主要区别。
答案：时域分析是指在时间域内分析结构的动力响应，它直接考虑随时间变化的激励和响应。
频域分析则是将时域信号转换到频率域进行分析，它主要关注结构在不同频率下的动态特性，如模态频率和阻尼比等。
2. 解释为什么在结构动力学分析中需要考虑阻尼。
2013思考题汇总
结构动力学思考题之三
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8 简谐荷载作用下有初始条件影响的无阻尼单自由度体 系动力反应的瞬态反应项中
p0 / n sin n t 2 k 1 ( / n )
一项是如何产生的,它与外荷载和初始条件的关系如何？ 9 什么是共振？什么是共振频率？结构位移反应、速度 反应和加速度反应的共振频率是否相同？ 10 无阻尼体系和有阻尼体系的自振频率和共振频率是否 相同？分别是多少？
结构动力学思考题之三
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1 在振动过程中产生阻尼的原因有哪些 ？什么叫临界阻 尼 ？ 什么叫阻尼比 ？ 怎样测量结构振动过程中的阻尼 比？一般建筑结构的阻尼比是多少？ 2 分析临界阻尼体系自由振动的可能运动形式及其满足 的条件 ( 即证明教科书中图 3-3 绘出的三种运动曲线所 对应的状态条件)。 3 阻尼对结构的自振频率有什么影响 ？ 阻尼变大，结构 自振周期如何变化？ 4 为什么说自振周期是结构的固有特性 ？ 它与结构哪些 固有量有关？
结构动力学思考题之六
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5 在多自由度体系振型阻尼比的现场动力测量时，可以采 用自由振动试验法，此时需要使结构按不同振型作自 由衰减振动，如何使多自由度体系只按某个特定的振 型振动？ 6 N个自由度的体系有多少发生共振的可能性？为什么？ 7 多自由度体系的频率方程存在重根时，体系自振频率 个数、振型个数与自由度数关系如何？各振型之间的 关系如何？ 8 什么是矩阵的正定条件？体系刚度矩阵和质量矩阵的 正定条件是否能保证频率方程不出现重根？
结构动力学思考题之九
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6 Euler-Bernoulli梁为什么被称为纯弯曲梁？是梁中不存 在剪力么？ 7 Timoshenko梁是否是完全合理、精确的描述均直梁变 形关系的理论？ 8 试叙述建立Timoshenko梁时的几何方程、物理方程和 平衡方程。 9 横向变形梁的平截面假设有几种，各有什么特点？对 应着什么梁？ 10 如果要更深入、系统的研究梁截面的变化、变形规律 及平截面假设带来的影响，都可以采用什么方法开展 分析？不同梁理论的关键不同点在何处？
有阻尼振动的动力系数
产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。
初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 （2）结构具有m初始速度 （3）上述二者同Δ时st 存静在平衡位置
yd
1. 不考虑阻尼时的自由振动
k11
m yd
FS(t )
W
FI ( t )
对于各种单自由度体系的振动状态,都可以用一个简单的质点弹簧模型来 描述。
令 y0 asin
,
v0 a cos
有 y a sin(t )
y a cos(t )
（1-4） （1-5）
其中
a
y02
v0
2
（1-6）
tan1 y0
v0
a表示质量m 的最大动位移，称
为振幅。其由常数ω 、初始条件 y0 和 v0 决定的。φ是初始位置的相位 角，称为初相角。它也取决于常
l/ 3 l/ 3 l/ 3
(e)
将中m梁质l/二量6 等，m分单l/3，自m集由l/中度3 成体m三 系l/6个 。集(f)
将梁三等分，质量集中成四个 集中质量的y两1 个自y2 由度体系。
l/ 3 l/ 3 l/ 3
§1-3 单自由度结构的自由振动
自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。
m
m11
W 11
Δst
相应地，结构的自振周期T的计算公式为：
（1-8）
T 2 m 2 Δst
k11
g
式中g表示重力加速度，Δst 表示由于重量mg所产生的静力位移。
结构的自振频率和周期只取决于它自身的质量和刚度，与初始 条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。
(完整版)结构动力学-习题解答
解
11
5 48
l3 EI
;
3.098
EI ml 3
;
l/2
ml 3 T 2.027 ;
EI
m
EI y1(t)
l
l/2 l/2
l/4
7-1（b)试求图示体系的自振频率与周期。
解: 求柔度系数: 用位移法或力矩分配法 求单位力作用引起的弯矩图（图a); 将其与图b图乘，得
48EI 2k
T 2 ( 1 l3 1 )m
48 EI 2k
m
k EI
k
l/2
l/2
7-3 试求图示体系质点的位移幅值和最大弯矩值。
已知 0.6
l
解:
yst
FPl 3 EI
m
y1(t)
1
1
2
/
2
1.5625
位移幅值
A
yst
1.5625
FPl 3 EI
2l
yst
11
5 3
l3 EI
1 11
l
X11 0.4612 ; X12 4.336
X 21
X 22
12 7.965 EI / ml 3
2 2
65.53EI
/
ml 3
1 2.822 EI / ml3
8-6.试求图示刚架的自振频率和振型。设楼面质量分别为m1=120t和m2=100t,
柱的质量已集中于楼面, 柱的线刚度分别为i1=20MN.m和i2=14MN.m,横梁
m 2 A 0.3375 FP
l/2
EI=常数
FP sin t
2l
FP
FPl
哈工大结构动力学考试题
习题2.1 一个重型工作台由扁钢支柱支撑（图P2.1），其侧向振动固有周期为0.5秒。
当一个50磅力的平板固定在其表面时，侧向振动固有周期延长到0.75秒。
工作台的重量和侧向刚度为多少？图P2.12.2 一个重400磅力的电磁铁悬挂在刚度为100磅力/英寸的弹簧下端(图P2.2a )，吸起200磅力的废铁(图P2.2b )。
试确定电流切断废铁掉落时（图P2.2c ）的运动方程。
图P2.22.3 质量为m 的块体被弹簧和挡块共同支撑处于静止状态(P2.3)。
在图示位置，弹簧中的力为m g /2。
t = 0时，挡块旋转，突然释放质量块。
试确定质量块的运动。
图P2.32.4 如图P2.4示的木块重量为10磅力，弹簧刚度为100磅力/英寸。
一个重0.5磅力的子弹以60英尺/秒的速度射入木块，并嵌在里面。
试确定因而发生的木块运动u (t )。
图P2.42.5 质量为1m 的块体1悬挂于刚度为k 的弹簧上，处于静力平衡。
另一个质量为2m 的块体2从高度h 处落下粘在块体1上并无回弹(P2.5)。
试确定从m 和k 的静平衡位置算起的后续运动u (t )。
图P2.52.6 一个仪器的包装可如图P2.6所示模拟。
在图中，质量为m 由总刚度为k 的弹簧约束的仪器被置于一箱子内。
m =10磅力/g ，k =50磅力/英寸。
箱子意外地从离地3英尺的高处掉下。
假定接触没有弹跳，试确定箱子内部包装的最大位移和仪器的最大加速度。
图P2.62.7 考虑一个重200磅力的跳水者站在悬出3英尺的跳板端部。
跳水者以2赫兹的频率振荡，跳板的弯曲刚度EI 为多少？2.8 试证明：由初位移(0)u 和初速度(0)u 引起的临界阻尼体系的运动为2.9 试证明：由初位移(0)u 和初速度(0)u 引起的过阻尼体系的运动为式中，Dωω'=2.10 试推导粘滞阻尼单自由度体系由初速度()0u 引起的，在如下三种情况下的位移反应方程：(a) 欠阻尼体系; (b) 临界阻尼体系; (c) 过阻尼体系。
(结构动力学8)有阻尼度哈梅积分12
0,
t u
P
P(t) t
u
阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同： y(t) yst (1cost)
阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 y(u) yst (1cosu)
和速度 v(u) ystsinu 为初始条件作自由振动。
y(t y)(t)y0cyyosstst((1cto+csvo0s(stiunu)c)otsco(sttu) )+ yst sinusin(t u)
或者直接由Duhamel积分作
y(t)
1
m
0u
P0
sin (t
)d
y (t )
1
m
0t
P(
) s in
(t
)d
P0 2020/12/7
m 2
(cos(t u)cost)
y
st
2sin
u
2
sin
(t
u 2
)
4
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
y(t) yst (1cost)
P
t P(t)
y(t) yst (1cos(t u)) 当0<ｔ< u
P
P(t)
u
t
y(t) yst (1cost)
P
当ｔ> u
t u
y(t)
2020/12/7
yst yst
((1cocsos(tt)u)ycsot (s1tc)osys(tt2suin))2u
sin
(t
u 2
)
5
例： 单自由度系统如图所示三角形冲击荷载F(t) 试求该系统的动力位移和动力系数，已知 系统的初位移和初速度均为零。
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这就说明：当
t1 0.371 时，最大动力位移发生在 T
t t1 时段内，上式应用有效；当
最大动力位移发生在 t t1 时的自由振动状态下。
2015-3-25
t1 时，则 0.371 T
y( t ) y0 cos t +
v0
sin t
10
为了求 t t1 时的动力位移，先求 t t1 时的位移 和速度 1
1 u y(t ) 0 P0 sin (t )d m P0 u u 2015-3-25 (cos (t u) cost ) yst 2sin sin (t ) 2 2 2 m
或者直接由Duhamel积分作
v(u ) y st sinu 为初始条件作自由振动。
则可得最大动力位移： ymax 动力系数：
2015-3-25
1 1 ymax / yst 2 1 tg t1 t1
9
应该指出，上式必须满足 tm t1 时才成立， 即，
t t1
2
tg 1 t1 t1
t1 t1 解此不等式得，2 T 0.371
F(t) F
t F (t ) F 1 t1
O
2015-3-25
t1
t
7
解： 冲击荷载作用的时间很短，在系统产生最大 位移之前，阻尼因素所吸收的能量很少，因 此，冲击荷载作用下的计算，一般不计阻尼 的影响。
将荷载F(t)代入杜哈梅（Duhamel）积分，得
1 y (t ) m 1 sin (t )d 0 F t1 1 t yst 1 cos t + sin t t1 t1
1 t y (t ) 0 P( )sin (t )d m
4
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
y (t ) y st (1 cost )
P
P(t)
t
y(t ) y st (1 cos (t u))
当0<ｔ< u
P
P(t) P
u
t
y (t ) y st (1 cost )
动力系数 ：
A 2 2 1 + ( 1 cos t1 ) sin t1 2 yst t1 t1
1/ 2
t1 0.371 T
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关 下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
此自由振动的幅值为：
1/ 2 1/ 2 y (t ) 2 2 2 1 2 A + [ y (t1 )] yst 1 + (1 cos t1 ) sin t1 2 t1 t1 2015-3-25 11
y (t1 ) yst sin t1 cos t1 t1 1 1 y (t1 ) yst sin t1 + cos t1 t1 t1
将其带入自由振动方程得
y (t t1 ) y (t1 )
sin (t t1 ) + y (t1 ) cos (t t1 ) (t t1 )
有阻尼杜哈梅积分 有阻尼体系在一般动力荷载下的响应的杜哈梅 积分。 当 t 时，微分冲量引起的动力响应为 有阻尼： dy e ( t ) P( )d sin d ( t )
( 0 )
md
无阻尼： dy p( )d sin ( t ) ( 0 )
t
(t t1 )
8
2015-3-25
为了求最大动力位移，由y(t)对时间求导等于 零来达到最大位移的时间tm，即
dy dt 1 1 cos tm 0 t tm yst sin tm + t1 t1
即， tm
2
tg 1 ( t1 )
1 1 2 yst 1 tg t1 t1
2015-3-25
m
(t )
1
在整个荷载作用时间内对这些微分响应求和， 则有阻尼体系的振动响应为:
1 y(t ) m d
t
0
p( )e (t ) sin d (t )d
y(t ) p( )h(t )d
0 t
有阻尼体系对单位脉冲的动力响应为:
和速度
u
t
阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 y (u ) y st (1 cosu )
v0 u) cos (t u) + y st sinu sin (t u) y(t ) y st (1cos + y ( t ) y0 cos t sin t y st (cos (t u ) cost )
yst=P0δ=P0/mω2 质点围绕静力平衡 位置作简谐振动
[ y (t )]max 2 y st 2015-3-25
0
π
2π
3π ωt
yst
y(t)
3
短时荷载
P(t)
t0 0, P (t ) P0 , 0 t u 0, t u
P
阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同： y (t ) y st (1 cost )
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.39 0.66 0.25 0.73 0.371 0.40 1.00 1.05 0.50 1.20 0.75 1.42 1.00 1.55 1.50 1.69 2.00 1.76
2.00
2015-3-25Fra bibliotek12当ｔ> u
y (t ) y st (1 cost ) y st (1cos (t u))
2015-3-25
u
5
t
u y st (cos (t u ) cost ) yst 2sin sin (t ) 2 2
u
例： 单自由度系统如图所示三角形冲击荷载F(t) 试求该系统的动力位移和动力系数，已知 系统的初位移和初速度均为零。
1 (t ) h(t ) e sin d (t ) m d
2015-3-25 2
突加荷载
当t 0 0, P(t ) P0 , 当t 0
P(t) P
t
1 t y (t ) 0 P( )sin (t )d yst m yst P0 1 t y(t ) (1cost ) yst (1cost ) 0 P0 sin (t )d 2 m m