凸函数不同定义间的关系及其应用

凸函数不同定义间的关系及其应用

俞文辉1,何鹏2

(1.江西机电职业技术学院基础部,江西南昌330013;

2.江西科技师范学院专科部管理系,江西南昌330038)

摘要:本文比较了凸函数不同定义,明确了各种定义之间的强弱关系,等价关系。在文章的最后,对凸函数的定义作了推广并举例说明其应用。

关键词:凸函数;函数理论;数学分析

中图分类号:O174.13文献标识码:A文章编号:1008-7354(2005)05-0112-02

凸函数在数学的许多分支如数学分析、函数论、泛函

分析、最优化理论等中都有运用,它有许多不同的定义方

法,这些定义形式各不相同,条件有强有弱,彼此之间又

密切相关。本文先给出通常使用的凸函数的七种定义方

法,然后对它们之间的关系进行研究。

以下文中的凸函数,如果没有特别说明,均指下凸函

数

1凸函数的各种不同定义

定义1设f(x)在[a,b]上有定义,P x1,x2I,[a,

b],有

f(x1+x2

2

)[

f(x1)+f(x2)

2

定义2设f(x)在[a,b]上有定义,P x1,x2I[a,b],及K I(0,1),有:

f(K x1+(1-K)x2)[K f(x1)+(1-K)f(x2)

定义3设f(x)在[a,b]上有定义,P x1,x,x2I[a, b],且x1

$=1x1f(x1)

1x f(x1)

1x2f(x2)

\0

定义4设f(x)在[a,b]上有定义,P x1,x,x2I[a, b],且x1

f(x)-f(x1)

x-x1[f(x2)-f(x1)

x2-x1

[f(x2)-f(x)

x1-x

定义5f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,P x, x0I[a,b],有:

f(x)\f c(x0)(x-x0)+f(x0)

定义6f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f c (x)单调递增

定义7f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二次可导,且f d(x)\0

若将上述定义中的/[0改为/<0,f c(x)递增改为严格递增,则是严格凸函数的命题。

2凸函数的几何意义

定义1和定义2表示曲线的弦总是位于被它截得的弓形弧之上,定义3表示曲线上任意三点(x1,f(x1)), (x,f(x)),(x2,f(x2))为逆时针转向。定义4反映从曲线上任一点引出的弦的斜率是随终点的横坐标x的增大而增大。定义5显示函数的切线总是在曲线的下方。定义6表示曲线的切线的斜率递增。定义7是定义6的微分表示。

3凸函数定义之间的关系

3.1强弱关系

就f(x)要求的强弱而言,定义1是最弱的,它只要求f(x)在[a,b]上有定义;定义2、定义3、定义4有所加强,其蕴涵了f(x)在[a,b]上连续;定义5、定义6进一步增强,要求在f(x)在(a,b)上可导;定义7最强,要求f(x)在

(a,b)上二次可导。如:f(x)=-ln x[

x1+x2+,+x n

n

只是在定义1下的凸函数,而不满足定义2至定义7。又如:f(x)=|x|,x I[-1,1],只是在定义1至定义4下的凸函数,而不满足定义5至定义7。可见,定义1的运用范围最广,但定义6、定义7用起来简便。不过由于大量的函数在某个区间是连续的,所以又常常采用定义2的较多。

3.2等价关系

在这些定义中,定义2、定义3、定义4是等价的。而定义5与定义6等价。事实上,只要令:x1

x2-x1

,代入定义2并去分母,可得:f(x1)(x2-x)+f(x) (x1-x2)+f(x2)(x-x1)\0(*)

112南昌高专学报2005年第5期(总第60期)2005年10月出版

J ournal o f Nanchan g J unior College No.5(Sum60)Oct.2005

收稿日期:2005-09-20

这即是定义3中$的展开式,(*)式两端再加上(f (x )-f (x 1))(x 2-x 1)

可得:

f (x )-f (x 1)x -x 1)[

f (x 2)-f (x 1)

x 2-x 1

而(*)式两端再加上(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x )又得:

f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1[f (x 2)-f (x )

x 2-x

,从而推出了定

义4,又此过程可逆,故定义2,定义3,定义4等价。定义

5与定义6也是等价的。因为定义5中的x 0、x 是任意的,将定义5改写为:

f (x 0)\f c (x )(x 0-x )+f (x )

设x 0

x -x 0

[f c (x )

可见f c (x )递增,这就由定义5推出了定义6;反之,在定义6中,设a [x 0

由拉格朗日(Lagrange)中值定理,至少存在一点F I (x 0,x ),使

f (x )-f (x 0)

x -x 0

=f c (F ),x 0

因为f c (x )递增,必有:f c (x 0)[f c (F ),从而:

f (x )-f (x 0)

x -x 0)

\f c (x 0)

即可得出定义5。

4 凸函数的推广及应用

由凸函数的定义(定义2),可以推出下面的重要不等式:

颜森(Jensen)不等式 设f (x )是[a,b]上的凸函数,P x i I (a,b),q i >0(i =1,2,,n),E n

i=1q i =1,则

f (E n i =1

q i x i )[E n

i =1

q i f (x i )

此不等式事实上是凸函数的一个重要性质。由于每个凸函数都满足颜森(Jensen)不等式,因而颜森(Jensen)不等式是研究不等式的有力工具。下面的几个命题是使用颜森(Jensen)不等式证明的典型例子。

例1 设U (t)[m,M ]是上的凸函数,t i I [m,M ]。则U (

1n E n i =1t i )[1n E n

i =1q i

U (t i )该命题是颜森(Jensen)不等式当时的特殊情形。例2

证明

n

1x 1+1x 2+,+1x n

[

n

x 1x 2,x n [

x 1+x 2+,+x n

n ,其中等号当且仅当x i (i =1,2,n)全部

相等时成立。

证明:将不等式各部分同时取对数,左边不等式可变为:

-ln 1x 1+1x 2+,+1x n n [1n (-ln 1x 1-ln 1x 2-,-ln

1x n

)从而由函数在(0,+])上是凸的,对使用例1即得左边;右边的不等式可直接由g(x )=lnx 在(0,+])上的凹性结合例1得出。

[参考文献]

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M ].北京:人民教育

出版社,1981.

[2]陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中.数学分析[M ].北

京:人民教育出版社,1983.(责任编辑:蔡久评)

(上接第96页)

再次,在动手能力培养方面着重介绍了钳工方面的工艺知识,机械类学生主要是要学会正确使用锉刀,以及使用锉刀的姿势,了解划线的方法,要求学生能独立做个小榔头;对于非机械类专业学生来讲,特别是空调专业的学生,钳工方面主要介绍钣金方面的知识,培养他们这方面的动手能力。因为中央空调的风管有许多地方是用手工完成的。如果我们的学生既有设计中央系统的能力,又有制作风管方面的具体技术,那么他们将来毕业就一定能被用人单位所欢迎。企业最需要的就是这种/银领0人才,我感觉这是我们办学的方向。

除此之外,在课堂上讲课时,举例尽量选用暖通机械方面的例子,这样既讲解了机械方面的工艺问题,又使学生接触专业方面的机械;这样做,既保证了机械制造基础的教学基本要求,又拓宽了专业内容,学生学起来就不再

感到陌生,感到学了没有用,相反,学生更愿意思考、分析老师所讲的问题,提高学习的积极性。

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[参考文献]

[1]凌爱林.高职金工课课程标准的基本理念与设计思

路[J ].金工研究.2004(4).

[2]王东升.金属工艺学[M ].浙江:浙江大学出版社.

(责任编辑:蔡久评 校对:谢慧芳)

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