里程计算坐标原理(积分)

关于交通建设中曲线坐标、里程正反算的学习探究

天下收藏2010-04-17 15:39:25 阅读155 评论0 字号：大中小订阅

交通建设中曲线坐标、里程正反算探究学习

在公路，铁路曲线桥梁和隧道测量中，有一些复杂的计算都与线路的线形有关，考虑到无论是公路还是铁路，线路的线形都是由直线、圆曲线和缓和曲线等以不同的组合形式连接而成，为了使计算有规律，通用性强，适用于在计算机上计算，可以把任何一条线路的中线线形看作是由若干段圆曲线和缓和曲线两种线段相间光滑连接而成。当两相邻曲线段同为圆曲线或同为缓和曲线时，可以认为其中夹了一段长度为零的缓和曲线或圆曲线以保持这两种线段相间的性质；同时把曲线中插入的直线段看作是半径充分大的圆曲线。经过这样的处理后，线路中线的形状就很有根据了。

为了确定上述曲线，需要知道曲线起点坐标和起点切线方位角作为计算的起算数据，此外还要知道各曲线段的长度和转向及每个相接点的曲率半径，为此设

xi、yi、αi、Ri——第i段曲线起点处的坐标，切线方位角和曲率半径；

Li、LRi——第i段曲线的长度和转向，右转LRi取值1，左转则取值-1；

Si——曲线起点到第i段曲线起点的弧长。显然

由此，若第i段中距曲线起点弧长为S处有一点J，则该点的曲率为

式中当曲线段左转时，曲率取的是负值，这样便于计算。

根据数学上给出的对一般曲线上一个点的切线方位角和坐标计算公式

可以计算出J点的切线方位角α和坐标（x,y）。为此，把式（2-2）代入式（2-3）得到实用计算公式如下：当第i段为圆曲线时

当第i段为缓和曲线时

式中

其中

计算时按i=2，3，4，…顺序代入式（2-4）中可求得各线段起点坐标xi,yi和切线方位角α，然后对弧长为S的中桩J可求得其相应值。在计算上述两项积分Sx,Sy时，按级数展开式进行，所取项数应保证Sx,Sy精确到0.1mm。

值得指出的是，在按式（2-4a）计算直线上点的坐标时，由于所取半径很大，由α和αi的舍入误差将使坐标计算产生相当大的计算误差。因此实际计算时，不能按式（2-4a）计算直线上点的坐标，这时根据所取充分大的半径判别出该段为直线，然后按下式计算直线上点的坐标。

以上式（2-4a）、（2-4b）、（2-4c）是计算线路中线上任一中桩号的切线方位角和坐标的通用计算公式。此外，过曲线外一点的直线与曲线相交的计算，也是桥隧控制测量中经常遇见的问题。例如，曲线隧道进洞关系的计算，就会出现这个问题。下面讨论这一问题的计算方法。

这类问题可分为两种：一是过曲线外一点到曲线的垂距计算；二是直线和曲线的相交计算。由于曲线的线形很复杂，直接求解是困难的，但如果采用逐渐趋近法计算，则比较简便，且更便于计算机计算。（1）、点到中线的垂距计算

首先介绍一个公式，如图2-1所示，A、B为已知点，αA、αB为由A、B出发的直线段的方位角，两方向线交于C点，则两相交线边长为

式中若取α=αA，则S=SB；取α=αB，则S=SA。且若αA（αB）的正向指向C点，则所求SA（SB）为正，反之为负。图2-1中SA为正，SB为负。这个特性对于这种趋近计算是重要的。

如图2-2所示，F为中线外一点，其坐标xF,yF已知，现要计算F到中线的垂距FJ。为此，在中线上任取一初始桩号J1，按式（2-4）计算该桩号的切线方位角和坐标αJ，xJ, yJ,过F作切线的垂线FG1，规定FG1的方向以指向切线的左方为正，反之为负。利用式（2-5）计算J1G1和FG1长，且若G1在切线前方则J1G1为正，反之为负；若F在切线右方，则FG1为正，反之为负。再在中线上取中桩号

J2=J1+J1G1 （2-6）

得J2点，重复以上计算过程，一般地有

Ji+1=Ji+JiGi （2-7）

得J1，J2，…Jm在

计算终止得J=Jm，其坐标等已相应求得。ε为任选的一充分小量，按所需精度取ε的值，通常可取ε=1mm。（ε得取值与Sx,Sy的计算精度有关，若取ε小于Sx,Sy的计算精度，则可能出现不收敛现象，这是要注意的）。同时根据FJm的符号可判断F点在中线的左侧或右侧。

关于该迭代计算的注释：

一、（求中线外一点所对应的中桩里程）因为中线外一点与其所对应的里程中桩连线应垂直于线路中线（垂足里程就是所求里程）。也就是说过该垂足关于线路中线的切线L1肯定是与垂足与中线外点的连线L2垂直的。反过来，当中线上过某里程点的切线，该切点和上述过直线外点所做该切线垂线的垂足之间的距离（JmGm）小于某固定值（例如1mm）时，我们认为该切点就近似是该垂足，该切点就是所求的对应中桩点。

这里我们把它暂时叫做切点与垂足趋近法。

二、如果连接FJ，那么当FJ与FG的长度差值趋近于0时，J点即为所求对应里程中桩。

我们暂时把它叫做在以垂线为直角边的三角形中直角边和斜边趋近法。

值得注意的是，这两种趋近的方式中，都应当以切点和垂足的连线长度做为推算里程的累加数。

（2）、直线与中线相交的计算

如图2-3，已知直线一端点F坐标为xF，yF，过F的直线的方位角为αF，求该直线和中线交点J的桩号J 和坐标xJ，yJ及FJ长。

与前述趋近计算方法类似，在J点附近任取一桩号J1，按式（2-4）计算J1的切线方位角和坐标αJ1、xJ1、yJ1，由J1出发的切线和过F点直线相交于G1，在△FJ1G1中，按式（2-5）可计算出FG1和J1G1长，

再在曲线上取桩号

J2=J1+J1G1 （2-9）

重复以上过程可得一系列点J1，J2，…Jm，当

时趋近过程结束，则J=Jm为交点桩号，FJ为交线长，其它如交点坐标等在计算过程中也已算出。

以上两种趋近算法基本类似，只要有式（2-4）的计算程序，编制以上趋近算法的程序是不难的。

以上算法在计算曲线桥梁墩台中心到线路中线的垂距计算、隧道进洞关系计算及曲线测设中将会用到，它们比有关这方面的传统算法要简便得多。

相关CASIO4800的完整曲线线形（直-缓-圆-缓-直）的坐标-里程正反算程序如下，作为参考补充。

（主程序） ZBZFS

G“1=>XY:2=>KD”（输入1表示由里程计算坐标；输入2表示有坐标反算相应里程）:A“PJ”（线路偏角）:R （半径）:L“LH1”（第一段缓和曲线长）:V“LH2”（第二段缓和曲线长）:T“T1”（第一段切线长）:B“T2”（第二段切线长）:Z“ZHK”（直缓点里程）:F“FWJ”（线路的起算方位角）:Z[1]（直缓点X坐标）=P“XJD”（交点的X坐标）+TCos(F+180):Z[2]（直缓点Y坐标）=K“YJD”（交点的Y坐标）+TSin(F+180):U“R+1,L-1”（线路偏向，左负右正）:D“MAX”（隧道中相对于线路中的最大偏移量）:Z[3]=Z+L（缓圆点里程）:Z[4]（圆缓点里程）=Z+O（曲线总长）-V:Z[5]（缓直点里程）=Z+O（曲线总长）:G=1=>Goto 0:≠=>Goto 1 △↓LbI 0:｛C｝（输入待求里程）:Z[7]=Abs(C-Z)（待求里程与直缓里程差值的绝对

值）:Prog“KL1”:XI=:X:Pause 0: “YI=”:Y▲

Q≤0（该点对应的切线方位角计算值）=>Q=Q+360:≠=>Q>360=>Q=Q-360:≠=>Q△

“F=”:Q→DMS▲

Goto 0↓

LbI 1:｛MN｝:M“X”N“Y”（输入待反算里程的散点纵横坐标）

LbI 5:C（假设的趋近起算里程点，离待求点越接近则计算程序运行时间越短）:Z[7]=Abs(C-Z):Prog“KL1”↓（判断该假设起算点在曲线上的位置，并计算出该点相应的纵横坐标）

S=-((X-M)Sin(Q+90)-(Y-N)Cos(Q+90))（由公式推导出切点至垂足的距离，因为分母=Sin（-90°）是-1，分子中xA,yA由以上假设起算点的x,y坐标代替; xB,yB坐标由上边输入的待求点的坐标，即程序里的M，N变量的赋值代替，而角度α恰好是假设起算点的切线方位教+90度。）:AbsS<0.0001（当切点和垂足之间的距离小于0.1毫米时，计算终止）=>“LC=”（所求的里程）:C:Pause 0:“LP=”（隧道中和线路中线的偏距）W=(X-M)SinQ-(Y-N)CosQ▲

“X=”：X：Pause 0:“Y=”：Y▲

“Q=”：Q→DMS▲

≠=>C=C+S（当条件不满足时，S作为累加数，继续趋近计算）：Goto 5△

Goto 1↓

（子程序） KL1

C≤Z（待求里程小于直缓里程）=>Prog“V1”≠=>C≤Z[3]（大于直缓点里程而小于缓圆点里程）=>Prog“V2”：≠=>C≤Z[4]（大于缓圆点里程而小于圆缓点里程）=>Prog“V3”:≠=>C≤Z[5]（大于圆缓点里程而小于缓直点里程）=>Prog“V4”:≠=>（大于缓直点里程）Prog“V5”△↓