p2_9船的运动规律要点

d2 x dv f m 2 m kn v n dt dt
k2 (3)当n = 2时，得 dv dt 2 v m
积分得
k 1 1 2t v v0 m
v0 化简得速度与 v 1 k2v0t / m 时间的关系
速度随时间增加也趋于零。
路程的微分为 dx
k2 m
*{范例2.9} 船的运动规律
[讨论]①路程和速度的统一公式
v0 v , n 1 1/( n 1) [1 (n 1)kn v0 t / m]
n 1 kn v0 m x {[1 (n 1) t ]( n2) /( n1) 1} n2 (n 2)kn v0 m
1)当n = 0时，可得
因此 dx 路程为
m y 1/( n 1) dy n2 (n 1)kn v0
积分得
x
m 1 [ y11/( n1) 1] n2 (n 1)kn v0 1 1/(n 1)
n 1 kn v0 m ( n 2) /( n 1) x {[1 ( n 1) t ] 1}. n2 (n 2)knv0 m
积分得 x m ln( k2v0 t 1)
v0 kv m dt d(1 2 0 t ) 1 k2v0t / m k2 (1 k2v0t / m) m
路程随时间按对数规律增加。
*{范例2.9} 船的运动规律
d2 x dv f m 2 m kn v n dt dt
t
k1 t) m
k0 2 t 坐标表示路程 2m k1 v k1 dv ln t dt 积分得 v0 m v m
速度随时间增加而趋于零。
t 0
路程随时间增加，最后趋于mv0/k1。
百度文库{范例2.9} 船的运动规律
一艘沿直线行驶的汽船，速度为v0。关闭汽船发动机后， 受到与速度v方向相反、大小与速率的n(n ≥ 0)次方成正 比的阻力f，比例系数为kn。求船运动的速度和路程。
v v0
v v0
kt (n 1) n 2)当n→1时，设 m
n 1 1/ knt / m [(1 v0 ) ]
k0 t , x v0t k0 t 2 m 2m
则ε→0，得
v0
根据 lim(1 )1/ e 0 定义
v0 e k1t / m v0 exp( k1t ) m
x v0t
(1)当n = 0时，则阻力为常量f = -k0，加速度也为常量a = -k0/m。
k0 v v t 0 船的速度为 m
(2)当n = 1时，分离变量 因此速度为 v v0 exp( 路程为
t
mv0 k1 即 x k [1 exp( m t )] 1
mv0 k k1 k1 k1 m x v0 exp( 1 t )dt v0 exp( t )d( t ) exp( t) m k m m k m 1 0 1 0

则，当ε→0时
kv t m
n 1 n 0
取ε = n - 2，
a 1 (n 1)
可得
m k2v0 x ln( t 1) k2 m
*{范例2.9} 船的运动规律
[讨论] ②总路程和总时间与指数n的关系
v0 v , n 1 1/( n 1) [1 (n 1)kn v0 t / m]
kn dv dt n v m
(4)当n > 0且不为1或2时，得 积分得
kn 1 1 n 1 n (v v0 ) t 1 n m
化简得速度与时间的关系
v0 v n 1 [1 (n 1)kn v0 t / m]1/( n1)
v0dt 路程的微分为 dx vdt n 1 [1 (n 1)kn v0 t / m]1/( n1) m n1 则 dt dy 设 y 1 (n 1)knv0 t / m n 1 (n 1)kn v0
*{范例2.9} 船的运动规律
一艘沿直线行驶的汽船，速度为v0。关闭汽船发动机后， 受到与速度v方向相反、大小与速率的n(n ≥ 0)次方成正 比的阻力f，比例系数为kn。求船运动的速度和路程。
[解析]沿着船行的方向建立坐标轴x，当x = 0时，v = v0。
d2 x dv n f m m k v 根据牛顿第二定律可得方程 n dt 2 dt
, n1 n1 v0 kn t / m n 1 1/ v0 [(1 v0 ) ]
v
mv0 k1t / m m n 1 1/ ( n 2) knt / m x {[(1 v ) ] 1} {e 1} 0 n2 路程为 (n 2)kn v0 k1 v0 v 速度公式和路程 3)当n→2时，得 1 k2v0t / m 公式包括了当n a a 1 根据罗必塔法 y ln a ln a, 设 y = 0,1,2的情况。 1
n 1 kn v0 m x {[1 (n 1) t ]( n2) /( n1) 1} n2 (n 2)kn v0 m
n1 1/(1n) v v [1 (1 n ) k v t / m ] 1)在0 ≤ n < 1情况下可得 0 n 0 1 n 船行驶的 X 1 m 当船停止时，v = 0，T 1 mv0 n2 2 n k v n 0 1 n kn 总路程为 船行驶的总时间为
2)在n = 1的情况下，当时间t→∞时，速度v→0；路程X→mv0/k1。
3)在1 < n的情况下，当时间t→∞时，速度v→0。 在1 < n < 2的情况下，当时间 X 1 m n2 2 n k v n 0 t→∞时，船行驶的路程仍为 在n ≥ 2的情况下，路程随时间增加。
不论指数n如何，船的速度都随时间减小。 当n = 0时，船做匀变速直线运动，速 度随时间直线减小，直到零为止。 当n = 0.5时，速度随时间 按抛物线的规律减小。 当n = 1时，速度的解析式与统一公式计算的 结果相同，速度随时间按负指数规律减少。 当n = 2时，速度的解析式与统一 公式计算的结果也相同，速度随 时间按线性反比的规律减少。
虽然速度是随时间减小的，但是由于时 间单位tn随指数n变化，因此不能说： 指数越大，速度趋于零的过程就越慢。
船的路程随时间增加，但都是减速增加的。 当n = 0时，路程随时间按抛物 线的规律增加，然后停止。 当n = 0.5时，路程也有一个限度。 当n = 1时，路程的解析式与统一公式 计算的结果相同，路程也有限度。 当n = 1.5时，路程随时间也趋于一个极限。 当n = 2时，路程的解析式与统一公式计 算的结果相同，路程按对数规律增加。 由于时间单位tn和路程单位xn都随指数n变 化，需要根据具体数值才能判断在不同 指数下船运动的路程与时间的大小。