7-6 玻耳兹曼能量分布律
Boltzmann 分布定律及适用条件
3
虽根据定域子系统导得，但对于离域子系统，同样能够得到这个关系式。 式(33-28)表明，粒子占据 j 能级的概率不仅与该能级的简并度成正比，而且也与它的
( ) Boltzmann 因子 exp − ε j / kT 成正比。后者意即能级的能量 ε j 愈高，粒子占据的概率愈小，
而且是呈指数降低。至于式中子的配分函数 q 是一个表征粒子在能级中分布特征的函数，它
h2 2π mkT
⎟⎟⎠⎞3 /
2
<< 1
(33-34)
式(33-33)便必能满足。据此，不难看出，要满足式(33-34)，温度不能太低、气体的密度不 能太高、子的质量不能太小。这是因为只有在温度不太低时，才能保证在能级间隔不变的条 件下使子向高能级散布；气体密度不能太高和子的质量不能太小是为了使离域子的能级间隔
此外，Boltzmann 分布定律是用 Lagrange 未定乘数法导得，这是一个求解条件极值的方 法，式(33-2)和式(33-3)就是约束条件。特别是式(33-3)，表示系统的能量等于子的能量之和， 这就是说，子与子之间没有作用势能，因为微粒间的作用势能是不属于一个子所有，故这个 定律仅适用于独立子或近独立子系统，而不能应用于微粒间存在作用势能的相倚子系统。
⎜⎛ ∂S ⎟⎞ = 1 ⎝ ∂E ⎠N ,V T
(33-26)
所以，
β =− 1 kT
现将式(33-23)和(33-27)代入式(33-21)，便得
(33-27)
∑ N j =
N
g je−ε j / kT g je−ε j / kT
= g je−ε j / kT q
j
(33-28)
∑ 这就是 Boltzmann 分布定律，式中 q = g je−ε j / kT 称为子的配分函数。应该指出，式(33-25)
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
波尔兹曼分布律的推导
波尔兹曼分布律的推导一、波尔兹曼分布律的推导波尔兹曼分布律阐明众多独立粒子在各不同能级分布的规律。
按假设，只有总分子数N和总能U分别为恒定体系的那些分布方式（观状态）才能存在，即体系必需满足：粒子数守(7-1)恒和能量守恒(7-2)根据等概率原理：能量相同的可区别的量子态其出现概率相等。
能满足式(7-1)和(7-2)的分布形式不只一种。
根据排列组合公式：实现n1个分子处于ε1，n2分，……，n i个分子处于εi等非简并能级这一种定域子体系(D)分布方子处于ε2式的热力学概率（微观状态数）W D可表示为：(7-5)而系统的总热力学概率（总微观状态数）Ω为各种可能的分布（分配）形式热力学概率的总和：(7-3a)由7.2节〔例1〕可知，分布方式Ⅱ的热力学概率为最大几率分布函数。
如图7-1所示。
其中最高峰处相当于最概然值。
通常所遇到的体系，分子数目众多，曲线高峰收缩在一极窄范围内，在这种情况下，最概然值接近于W的平均值，故可以最概然值表示W的平均值。
而统计热力学研究系统的平衡性质，点是引用最概然分布的结果这就是摘取最大项法的根据。
为摘取最大项，考虑到 ln W D随W D单调增长，ln W D极大处也是W D的极大，故对式(7-5)取对数：(7-5a) 在 ln W D极大处δln W D =0 又N! 为常数，故(7-5b) 因n i数值很大，应用史特林(Stirling)公式：(7-6)(7-7)式(7-7)为摘取最大项的限制条件，结合式(7-1)、(7-2)等，共有三个涉及变量N i 的限制条件：(7-8)(7-9)(7-7)为求极值，可用拉格朗日(Lagrange)待定系数法（﹡附录），将式(7-8)乘以任意常数α，式(7-9)乘以任意常数β，然后与式(7-7)相加：或(7-10)上式加和遍及各能级，即i=1,2,……,i-1，i。
由于存在着两个附加条件(7-8)和(7-9)，i个N i中仅有i -2 个是独立的。
玻尔兹曼能量分布
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
玻尔兹曼能量分布
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
能量较大的分子数较小 能量较小的分子数较大
分子总是优先占据低能量状态
由麦克斯韦速率分布的归一化条件:
动能与速度有关，势能与位置有关.
系统处于平衡态时, 坐标、速度介于
空间区域: x → x + dx , y → y + dy , z → z + dz
速度区间: vx → vx + dvx , vy → vy + dvy , vz → vz + dvz
玻耳兹曼能量分布律:
内的分子数为
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
解得
dp = γ p dT γ −1T
因为
− m0 gz
p = p0e kT所以d Nhomakorabeap
=
−
p kT
m0 gdz
dT = − γ −1 m0g = − γ −1 Mg
dz γ k
γR
玻尔兹曼能量分布
空气分子平均摩尔质量: M = 29×10-3 kg. mol-1;
比热容比 : γ = 1.4
dT = −9.8 ×10−3 K ⋅ m −1 dz
大学物理
气体动理论
第4讲 玻尔兹曼能量分布
一、玻耳兹曼能量分布
奥地利物理学家玻耳兹 曼(Boltzmann,1844 — 1906), 在麦克斯韦速率分布的基础 上考虑到外力场对气体分子 分布的影响,建立了气体分子 按能量的分布规律.
玻尔兹曼分布律
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
x
xdN
N
xf ( x)dx
g( x)
g( x)dN
N
g( x) f ( x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处。 在重力加速度可以认为不变的范围,取地面为势能 零点.分布在高度为h的地方单位体积内的分子数?
上式右方仅与速率有关.与速度方向无关.具有各向同性的特点.
分布在任一速率v ~ v +dv区间的体积是
4v2 dv 17
结论：在平衡态下，当气体分子间的相互作用 可以忽略时，分布在任一速率区间v ~ v +dv 的 分子数占总分子数的比率为
dN v (
m
3
) 2 e mv2 2kT 4v2 dv
§4 玻尔兹曼分布律
4.1 统计分布律与分布函数的概念 • 分布函数
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布 • 等温大气压强公式（高度计原理）
• 玻尔兹曼密度分布律
• 玻尔兹曼分子按能量分布律
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
5.2 麦克斯韦速率分布律
平均速率 v和方均根速率 v2, 最可几速率vp
3
• 分布函数 以伽尔顿板实验为例说明。
设一定量的分子总数为N
dN(x) 表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。
dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的 间隔，此比率一般不相等。
2020-2021学年高二物理竞赛玻耳兹曼分布律课件
v0
3 vdN
0 v0
v0 3
0
N
6
v
3 0
v 2 (v0
v)dv
3v0
7N 27
14
3 dN 0
讨论：速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率 的计算
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
气体分子 平均速率
矛盾
RT v 1.60
M mol
氮气分子在270C时的 平均速率为476m.s-1.
气体分子热运动平均速率高，
但气体扩散过程进行得相当慢。
克劳修斯指出：气体分子的速度 虽然很大，但前进中要与其他分 子作频繁的碰撞，每碰一次，分 子运动方向就发生改变，所走的 路程非常曲折。
在相同的t时间内，分子由A到
一切分子都在运动
Z d 2vn
Z 2d 2vn
平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程 v 1
Z
2d 2n
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT
kT 2d 2 p
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
由归一化条件
f (v)dv 1
0
v0
0
Av(v0
v)dv
A 6
v03
1
A
6 v03
o
v
v0
(2)最概然速率由 df (v) 0 决定，即
玻尔兹曼能量分布定律
玻尔兹曼能量分布定律玻尔兹曼能量分布定律是描述物体在不同温度下能量分布的一种定律。
根据这个定律，物体的能量分布与其温度有关，温度越高，能量分布越广，峰值越低；温度越低，能量分布越窄，峰值越高。
玻尔兹曼能量分布定律是热力学的基本原理之一，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
在自然界中，物体的能量分布是非常普遍的，无论是热力学系统中的粒子分布，还是宏观物体的能量分布，都可以用玻尔兹曼能量分布定律来描述。
玻尔兹曼能量分布定律的形式是一个指数函数，其中包含了玻尔兹曼常数和温度两个参数。
根据这个定律，物体的能量分布可以通过温度来确定，温度越高，能量分布越广，物体的能量分布趋于均匀；温度越低，能量分布越窄，物体的能量分布趋于集中。
玻尔兹曼能量分布定律的应用非常广泛。
在热力学系统中，通过对物体的能量分布进行分析，可以得到系统的热力学性质，如熵、内能等。
在材料科学中，通过对材料的能量分布进行研究，可以了解材料的热导性、电导性等性质。
在天体物理学中，玻尔兹曼能量分布定律可以解释星体的辐射特性，如黑体辐射等。
除了在科学研究中的应用，玻尔兹曼能量分布定律还有许多实际的应用。
例如，在工程中，通过对能量分布的分析，可以确定材料的热传导性能，从而优化材料的设计。
在能源领域，通过对能量分布的研究，可以改进能源的利用效率，提高能源的利用率。
玻尔兹曼能量分布定律是描述物体能量分布的一种定律，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
通过对能量分布的研究，可以深入了解物体的热力学性质，优化材料的设计，改进能源的利用效率。
玻尔兹曼能量分布定律在科学研究和工程应用中具有重要的作用，对于推动科学技术的发展有着重要的意义。
7.6玻尔兹曼分布律
•分子质量越大，受重力的作用越大，分 子数密度减小得越迅速； •对于温度较高的气体，分子的无规则运 动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓 慢。
法国物理学家佩兰据此测量 了玻耳兹曼常数进而得到了 阿伏伽德罗常数，于1922 年获得了诺贝尔物理奖。
三、重力场中等温气压公式
假设： 大气为理想气体,不同高度处温度相等,重力加速度
7.6 玻尔兹曼分布律
一、玻尔兹曼能量分布律
其指数仅包含分子运动动能
麦克斯韦速度分布函数
3
m 2vx 2v2 yvz2 1 2m2v k
dN vxvyvz
N
2m kT 2em vx 2v2 yvz 22kT dxv dyv dzv
问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布
将如何？
3
2m kT2eK k Tdxvdyvdzv1
nddxNxd,y,zydnz0eP kT
二、重力场中粒子按高度的分布(εp= mgh)
nn0emg kT hn0egh RT
•重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子 均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是 重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平 衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体 分子数密度随高度的增加按指数规律减小；
3
dN x,y,z,vx,vy,vz n 0 2m kT 2e K Pkd T xdx y dd yv dz zvd
n0 为在εp=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。
•d单N 位x,y,体z 积n0 分e子P数kT dn xd ydz2m kT2 3eKkT dxvdyvdzv
n0eP k T dxdydz
也不变化 利用： p = nkT
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律1. 介绍玻耳兹曼分布律（Boltzmann Distribution），又称能级分布定律或热力学分布定律，是描述粒子在热平衡时能量分布的统计规律。
它是由物理学家玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann）在19世纪末提出的，对理解热力学平衡和统计力学起到了重要作用。
2. 能级与分布2.1 能级的定义在经典力学中，一个具有N个微观粒子的系统的能量是由粒子各自的能级所确定的。
能级（Energy level）是指一个粒子所处的状态或能量状态。
2.2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是以概率统计理论为基础，通过模拟随机抽样的方法，通过数学计算机模拟的形式，解决一些无法用传统数学方法解决的问题。
3. 玻耳兹曼分布律的推导以下是推导玻耳兹曼分布律的基本思路：3.1 假设•假设每个能级之间的间隔是常数，即能级数之比是整数。
3.2 系综理论•系综是对系统可能的状态进行统计的一种方法。
根据统计力学的观点，与一个给定的宏观信息相对应的，不同的微观状态可以构成一个系综。
3.3 统计力学的基本假设•统计力学的基本假设是，处于热平衡的系统会等可能地在所有可行的微观状态中进行跃迁。
这个假设被称为均等性原理。
3.4 玻耳兹曼分布律的推导•基于均等性原理，可以得出所有可能的微观状态的数目是相同的。
由此可以推导出玻耳兹曼分布律的表达式。
4. 玻耳兹曼分布律的表达式玻耳兹曼分布律的表达式如下：P i=e−E i/(kT)∑e−E j/(kT) nj=1其中，P i表示处于能级i的概率，E i表示能级i的能量，k表示玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，n表示能级的总数。
5. 玻耳兹曼分布律的应用5.1 热力学平衡利用玻耳兹曼分布律，可以计算系统在热力学平衡状态下各个能级的占据概率。
通过能级的占据概率，可以推导出各种热力学性质，如熵、内能等。
5.2 电子能级分布玻耳兹曼分布律可以应用于描述电子在原子、分子中的能级分布。
这对于理解原子、分子的能级结构以及电子在能带中的行为具有重要意义。
玻尔兹曼分布律
n » 2.7 ´1025 m-3
对氢气分子取 d » 2 ´10-10 m ，则
Z » 7.95´109 s-1
常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可 见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！
11/13
例 真空管的线度为 10-2 m ，其中真空度为 1.33× 10-3 Pa。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m。
用宏观量pt表示的分子平均自由程为说明在标准状态下各种气体分子的平均碰撞频率的数量级约为101113估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率10701095常温常压下一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁
§12.8 玻耳兹曼分布律
问题： 麦克斯韦速率分布律是关于无外力场时，气体分子 的速率分布。此时，分子在空间的分布是均匀的。 若有外力场存在，分子按密度如何分布呢？
dN (rv,vv) = Ce-e / kTdvxdvydvzdxdydz
式中e =ek+ep 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关 的比例系数。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的分布规律。
5/13
例 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体
在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不断 地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程就应 该是容器的线度。 即
l = 10-2 m
v=
8kT πm
= 468.7 m/s
Z = v = 4.68 ´104 s-1 l
13/13
中分子数为 N 。设大气的温度为T ，空气分子的质量μ 。
就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0
解 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于x~x+dx ， y~y+dy ， z~z+dz 区间内，具有各种速度的分子数为
玻耳兹曼分布律PPT讲解
自由运动的路程 ：自由程 其平均值 ：平均自由程
二、平均碰撞频率
v
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 Z ：碰撞频率
其平均值 Z ：平均碰撞频率
一个分子在单位时间内走过的平均路程：v ， v / Z
4
三、Z 、 的计算
d ：分子直径
v
Z d 2vn
d 2：分子碰撞截面
Z 2d 2vn
V1
V2
V
V2 V
10
功 A是过程量，不是状态量，与 P，V，T，E不同
元功 dA，dP、 dV 、dT 、 dE
9
四、平衡态、准静态过程、功的几何表示
理想气体， PV RT
P
P
P
（ P，V ）
V
V
点 平衡态
有向曲线 准静态过程
V1
P
面积 A V2 PdV V1
面积 准静态过程的功
只有 PV 图上的面积表示功
解： Z 2d 2vn 2d 2 8RT P kT
81.19 亿次/秒
kT
2d 2P
ห้องสมุดไป่ตู้
2.09 107 m
T t 273.15 ， 1atm 1.013105Pa
6
热力学基础 第1节 几个基本概念
一、系统与外界 确定为研究对象的宏观体系：系统或体系 系统以外的物体：外界或环境
二、准静态过程 系统状态随时间的变化：热力学过程 准静态过程：如果一个过程进行的无限缓慢，体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态
例：求大气中 n 相差一倍的两处的高度差
已知：空气摩尔质量 28.97 103 kg ，T 300K
解： h1处：n1
gh1
7-6_玻耳兹曼分布律
*7–6
玻耳兹曼分布律
4
例7.2 计算在重力场中，空气分子数密度按高度的 分布情况． 解 令地面为零势能，地面附近空气分子数密度为
n0，气体分子质量为m，则离地面高度为h的分子， 其势能Ep＝mgh，由玻耳兹曼分子数密度公式可得
mgh kT
n n0e
可知，分子数密度随高度增加而呈指数减少，这与 高空空气稀薄的事实相符．
dN 令 n n n0e dxdydz
dN f ( v)dvx dv y dvz ' dN
' Ep kT
dN dN ' f (v)dvxdvydvz
第7章 气体动理论基础
*7–6
玻耳兹曼分布律
Ep kT
3
dN n0e
即Hale Waihona Puke m ( ) e 2 kT3 2
m 2 2 2 ( vx v y vz ) 2 kT
*7–6
玻耳兹曼分布律
1
一
麦克斯韦速度分布律
dN v f ( v) Ndvx dv y dvz
速度分布函数
1859麦克斯韦理想气体的速度分布律
m 2 2 2 ( vx v y vz ) dN m 3 2 kT 2 ( ) e dvx dv y dvz N 2 kT
麦克斯韦速度分布函数
dvx dv y dvz dxdydz
m dN n0 ( ) .e 2 kT
E Ek E p
3 2 E kT
3 2
( Ek Ep ) kT
dvx dv y dvz dxdydz
令
m dN n0 ( ) e dvx dv y dvz dxdydz 2 kT
波尔兹曼能量分布律
z
二、计算
分子视为弹性小球，有效直径为d，
v v 速率为 ，碰撞后速率仍为
考虑一个分子运动，其它分子静止，运动分子在1秒内
与其它分子的平均碰撞次数为
Z d 2vn
d d d v
考虑所有的分子都在运动，平 均碰撞频率为
Z
2d 2vn
平均碰撞频率
z 2 d 2nv
平均自由程 v 1 kT z 2 d 2n 2d 2 p
p p0egz / RT 6.67104 Pa
因此位于3600m高空的压强只有海平面处压强的0.66%
§7 平均自由程和平均碰撞频率
一、概念
平均自由程：一个分子 连续两次碰撞所经过路
程的平均值，用 表示
平均碰撞频率：一个分子 在单位时间内与其他分子
z 碰撞次数的平均值，用
表示
线度 ~ 10-8m
z RT ln po
g p
高度？
高度计公式
[例1]已知拉萨的高度为海拔3600m。若大气温度处处 相同，且为27℃，问拉萨的压强为多少？（空气摩尔质
量为2.89×10-2 kg／mol，海平面处的压强为1.013×105
Pa）
解：由题意知空气的温度为 T＝273＋27＝300(K) 拉萨的高度 z＝3600m
dN
n0
m
2kT
3/ 2
e(k p )/ kT dvxdvydvz dxdydz
(1)
n0表示在势能p为零处单位体积内各种速度的
分子总数
结论：在温度为T的平衡态下，系统在某一状态区间内
的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量有关，在数
值上是与e-/kT成正比——玻耳兹曼能量分布律
分子的能量越大，其分子数就越小，即分子处于低 能量状态的概率较大
大学物理课件玻尔兹曼分布律
0 Nd( N x N ,y,z)f(x,y,z)dxd 1 ydz
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
xxNdNxf(x)dx g(x)g(N x)dN g(x)f(x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
而且与 e kT 成正比。这个结论称为玻尔兹曼能量 分布律，称 e kT为玻尔兹曼因子。
* 粒子数密度是指单位相空间的粒子数
13
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
上节我们得到，温度为T的热平衡态中，任何 系统的微观分子数密度按状态的分布规律：
ne(Kp) kT
在无外加势场的平衡态下，气体分子之间的相互作用 又可忽略时，分子在空间的分布是均匀的，玻尔兹曼
设分子质量为m，单位体积的分子
数为n。如图所示的体元内分子受
上下端面的压力差与其自身重力相
平衡
dP SmgnS dz
PdP
S
dz
P g
dP mgn dz
按公式 P=nkT ,可知
等温气体在重力场中，分 子数密度随高度的分布律 n0是z=0处的分子数密度
dn mgn
dz
kT
n(z)n0em gkzT
热平衡气体在重力场中气体密度分布随高度变 化，即密度分布是不均匀的，依赖于分子所在 力场的性质。
用U(r) 代替mgz
• 玻尔兹曼密度分布律
将重力场势能推广到任意势场，U( r )中，有
n(z)n0emgkzT
n(r)n0eU(r)kT
它描述了热平衡态下分子数密度在任意势场 U(r)1m2r2
6-7 玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
2. 重力场中气体分子按高度分布
重力场中考虑一竖直空气柱， 设Ep=0 处分子数密度为n0 ， ε p 据dN n e kT dxdydz
0
z
n
在 Z 处分子数密度为
n n0e
mgz kT
0
n0
重力场中气体分子按高度分布
当大气温度均匀时， 分子数密度随高度增 加按指数规律减小。
z
n
在同一高度
m
T
n 减小更快 n 减小更慢
0
n0
重力场中气体分子按高度分布
又据p nkT
将分子数密度代入，得:
p p0e
mgz kT
p0e
M mol gz RT
设Z=0处分子数密度为P0 ，重力场中气体
的压强随高度的增加按指数规律减小。
重力场中气体分子按高度分布
恒温气压公式（高度计）
设z0处分子数密度为p重力场中气体重力场中气体分子按高度分布重力场中气体分子按高度分布恒温气压公式高度计设温度不随高度变化根据压强变化测高度实际温度也随高度变化测大气温度有一定的范围是近似测量
§6-7 玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
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1. 玻尔兹曼分布律
当分子处于保守力场时，麦克斯韦速率分 布律中的指数项应以总能量 E Ek E p Ek 1 mv2 ，这样在保守力场 代替动能 2 中分子的空间分布也不均匀。
z ln( p0 / p) RT / M mol g
玻尔兹曼分布律
设气体分子处于某一保守力场中，分子势能 为 p ，则其分子数密度仍遵从上式。 在空间某一微小区域 x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz 的分子数dN’
12.4.1玻尔兹曼能量分布律平均自由程 - 玻尔兹曼能量分布律平均自由程
d p mgnd z 代入 p = nkT ，得：
d n mg d z n kT
积分： n d n z mg d z n n0 0 kT
ln n mg z n0 kT
n n0emgz/ kT 重力场中分子的分布
p
p emgz/kT 0
——等温气压公式
dN n0e kT dxdydz
三) 四个重要的统计规律
1）压强公式 2）温度公式
p2 3
k
n k
3 kT 2
3）能量均分定理（平衡态时，均分到每个 自由度上的能量均为kT/2）
___
分子的平均总能量：
i
kT
2 一定量理想气体的内能： E内
i
2
RT
4）分子的平均自由程和碰撞频率
n0 是势能为0处的分子数密度
玻尔兹曼分布定律不仅适用于气体，也适用于固
体和液体中的微观粒子。
问题：室温情况下，分子的平均速率可 达数百米每秒。为什么在房间里离开我 们几米远的地方，打开一瓶酒精的塞子， 我们却并不能立刻闻到酒精味？
12-8 分子平均碰撞次数和平均自由程 自由程：分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程
四、 玻尔兹曼能量分布律
1. 重力场中分子的分布（设 T = const.）
热运动 浓度n均匀 重力 分子在底部
平衡时有一定分布
z z+dz
z
p+dp
n Sp
薄层气体：底面积 S，厚dz， 分子质量为m，平衡时：
T
0
n0
( p d p)S mgnS d z pS d p mgnd z
玻尔兹曼分布律(补充)
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的起源和定义 • 玻尔兹曼分布律的数学表达形式 • 玻尔兹曼分布律的应用 • 玻尔兹曼分布律与其他统计分布的关系 • 玻尔兹曼分布律的近似和推广 • 玻尔兹曼分布律的实验验证
01 玻尔兹曼分布律的起源和 定义
起源
01
19世纪末，路德维希·玻尔兹曼在 研究气体分子运动时，提出了分 子分布的一种理论。
总结
泊松分布和玻尔兹曼分布律都是描述随机事件发生次数的统计分布，但它们关 注的侧重点不同。泊松分布关注的是单位时间内事件发生的次数，而玻尔兹曼 分布律关注的是事件发生的相对频率。
与指数分布的关系
指数分布
在一定条件下，某个事件发生的时间间隔往往服从指数分布。如果一个随机变量服从指数分布，则其概率密度函 数是关于时间间隔的倒数对称的。
在分子运动论中的应用
01
02
03
分析分子运动规律
利用玻尔兹曼分布律，可 以分析气体分子在平衡态 下的运动规律，如平均速 度、方均根速度等。
研究分子碰撞过程
玻尔兹曼分布律可以用于 研究气体分子之间的碰撞 过程，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
预测分子输运性质
通过玻尔兹曼分布律，可 以预测气体分子的输运性 质，如扩散系数、粘滞系 数等。
在信息论中的应用
熵的概念起源
玻尔兹曼分布律是信息论中熵概念的起源，熵表示系统的混乱程 度或不确定性的度量。
概率分布的应用
玻尔兹曼分布律作为一种概率分布，可以用于描述信息传输中的错 误概率分布。
信息编码与解码
在信息编码与解码的过程中，可以利用玻尔兹曼分布律来优化编码 方案，提高信息传输的效率和可靠性。
指导实际应用
玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。
它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。
如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
玻尔兹曼分布律 - 推导麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。
这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。
如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢？能有关。
实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e－εk/kT成正比。
据(9.29)式可得玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。
在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε＝εk＋εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。
同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x＋dx，y到y＋dy，z到z＋dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
一
玻耳兹曼能量分布律
mv
2
麦克斯韦速率分布公式中的因子e 写成 e kT ，于是有
k
2 kT
m 2 k kT 2 dN N e 4 v dv 2kT
3
在保守力场中，用分子的总能量 Nhomakorabea k p 代替 k ，用微分元 dvx dv y dvz 代替 4v2 dv
第7章 气体动理论
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4
p nkT
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
二
等温气压公式
假定大气为理想气体，且忽略地球表面 的大气层上下温度的差异,得到等温气压公式
p n0 kTe p0e
mgz kT RT
p0e
mgz
kT
M mol gz
在航空、登山等活动中，估计上升的高度 p0 RT z ln M mol g p
n0 表示势能 p 0 处单位体积内具有各 种速度的分子总数 .
3
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2
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
利用麦克斯韦分布函数的归一化条件
m 2 k kT dv x dv y dv z 1 e 2kT
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7-6 玻耳兹曼能量分布律 玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann， 1844～1906），奥地利物理学家， 气体动理论的奠基人之一，在热力 学和统计物理学方面做出了卓越的 贡献．玻尔兹曼推广麦克斯韦的分 子速度分布律，建立了平衡态气体 分子的能量分布律——玻耳兹曼分 布律，提出了输运方程（后称为玻 耳兹曼输运方程）、H定理以及熵 的统计诠释．玻耳兹曼通过熵与概 率的联系，揭示了热力学系统的宏 观与微观之间的关联，并对热力学 第二定律进行了微观解释．
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
可把麦克斯韦分布律推广到分子在保守力场 中运动的情形 ，得到玻耳兹曼能量分布律
m 2 k p kT dN n0 dv x dv y dv z dxdydz e 2kT
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6
3
可得
dN n0 e
p
kT
dxdydz
于是分子数密度按势能的分布为
n n0 e
p
kT
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
地球表面附近的气体分子势能
p mgz
重力场中气体分子数密度随高度变化公式
n n0 e
mgz kT