塞瓦定理

塞瓦定理

【定理内容】

设O 是ABC ∆内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ， 则

1=⋅⋅FB

AF

EA CE DC BD .

[评]等价叙述：ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上有点D 、E 、F ，则AD 、

BE 、CF 三线共点的充要条件是1=⋅⋅FB

AF

EA CE DC BD ，这点称为三角形的塞瓦点。 【背景简介】 【证法欣赏】

证法1：（利用梅涅劳斯定理证明）

∵ADC ∆被直线BOE 所截，

∴1=⋅⋅EC

AE

OA DO BD CB ① 同理，1=⋅⋅FB

AF

OA DO CD BC ②

②÷①得：1=⋅⋅FB AF

EA CE DC BD .

【证法欣赏】

证法2：（利用面积关系证明） ∵

COD

BOD

ACD ABD S S S S DC BD ∆∆∆∆== ∴由等比性质得

AOC

AOB

COD ACD BOD ABD S S S S S S DC BD ∆∆∆∆∆∆=--= ③

C

C

C

中学数学中的著名定理 ~

同理：

BOA BOC S S EA CE ∆∆= ④，BOC

AOC

S S FB AF ∆∆= ⑤， ③×④×⑤得：

1=⋅⋅FB

AF

EA CE DC BD .

【证法欣赏】

证法3：（利用平行线分线段成比例证明）

过A 作BC AM //交BE 、CF 延长线于M 、N ， ∵BC AM //，

∴BC AN FB AF =， ⑥ AM

BC

EA CE =

，⑦ BD

AM

OD AO DC AN =

=⑧， 由⑧得：AN

AM

DC BD =

⑨ ⑥×⑦×⑨得：1=⋅⋅FB AF

EA CE DC BD .

【逆定理】

塞瓦定理的逆定理也成立，即

如果有三点F 、D 、E 分别在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，且满足

1=⋅⋅EA

CE

DC BD FB AF ，那么AD 、BE 、CF 三线交于一点。 [注]利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点

如证明三角形三条高线必交于一点；三角形三条中线交于一点等。

【定理应用】 塞瓦定理的应用定理：

设平行于ABC ∆的边BC 的直线与两边AB 、CA 的交点分别是F 、E ，BE 和

CF 交于P ，则AP 一定过边BC 的中点. [证1]（塞瓦定理）

设AP 与BC 的交点为D ，

C

中学数学中的著名定理 ~ 2 ~

由塞瓦定理得：

1=⋅⋅EA CE

DC BD FB AF ， ∵BC EF //，∴EC

AE

FB AF =

∴1=DC BD

，即CD BD =，

∴AP 一定过边BC 的中点D 。

[证2]（平行线分线段成比例）

∵BC EF //，

∴AB AF BD FQ

=，BC FE

AB AF =， PC FP BC FE =，DC FQ PC FP = ∴DC

FQ

BD

FQ

=

，即CD BD =， ∴AP 一定过边BC 的中点D 。

【定理应用】

塞瓦定理逆定理的应用定理：

设ABC ∆的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、

CT 交于一点。 证：由切线长定理得，

AS AT =，BR BT =，CS CR =，

∴

1=⋅⋅SA

CS

RC BR TB AT ， 根据塞瓦定理的逆定理，有

AR 、BS 、CT 交于一点。

C

C