磁场(旋转圆缩放圆移动圆)
带电粒子在磁场中运动
• 磁感应强度B的大小．
• (2)求电场变化的周期T.
• (3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽 度的区域，求T的最小值．
解析 (1)微粒做直线运动，则
mg＋qE0＝qvB
①
微粒做圆周运动，则 mg＝qE0
②
联立①②得 q＝mEg0
③
B＝2vE0
④
(2)设微粒从 N1 运动到 Q 的时间为 t1，做圆周运动的周期为 t2，
(2)油滴在P点得到的初速度大小；
(3)油滴在第一象限运动的时间.
解析 (1)根据受力分析(如图)可知油滴带负电荷，
设油滴质量为m，由平衡条件得：
mg∶qE∶F＝1∶1∶ 2.
(2)由第(1)问得：mg＝qE
qvB＝ 2qE 解得：v＝ B2E＝4 2 m/s.
(3)进入第一象限，电场力和重力平衡，知油滴先做匀速直线运动，进入
则d2＝vt1
⑤
qvB＝mvR2
⑥
2πR＝vt2
⑦
联立③④⑤⑥⑦得 t1＝2dv；t2＝πgv
⑧
电场变化的周期 T＝t1＋t2＝2dv＋πgv.
⑨
(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求 d≥2R
⑩
联立③④⑥得 R≤2vg2
⑪
设在 N1Q 段直线运动的最短时间为 t1min，由⑤⑩⑪得 t1min＝2vg，
P
P
M
2r
2r
O Q
O rN
Or Q
Q 答案：MN ( 3 1)r
P195典例
一轮复习专题
带电粒子在复合场场中的 运动问题
热点题型一 带电粒子在组合场中的运动问题
即学即练 1 如图 2 所示装置中，区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向
带电粒子在磁场中运动放缩圆和旋转圆
P
2r
2r
r
O
O
O
Q
rN
Q
Q 答案：MN ( 3 1)r
练、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T
的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离
为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，
α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知 α粒子的电荷与质
量之比q/m= 5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动
带电粒子在磁场中运动
--------放缩圆和旋转圆
轨迹圆的缩放
• 当粒子的入射速度方向一 定而大小可变时，粒子做 圆周运动的圆心一定在粒 子在入射点所受洛伦兹力 的方向上，半径R不确定， 利用圆规作出一系列大小 不同的内切圆.从圆的动 态中发现临界点。
例1、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方 向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在
PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。 现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不 同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带 电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周
运动的半径r相P 同，O为这些轨迹P圆周的公共点。
场B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入 磁场，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使 粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应
如何（以v0与oa的夹角表示）？最大偏转角多大？
解析： R =mv/Bq=5×10－2m > r
说明：半径确定时，通过的弧越
B v0
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1旋转圆模型(1T-4T)目标2放缩圆模型(5T-8T)目标3平移圆模型(9T-12T)目标4磁聚焦模型(13T-16T)【特训典例】一、旋转圆模型1如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。
PQ是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线与挡板垂直，距离为8mv5qB。
设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
则()A.若挡板长度为4mv5qB，则打在板上的粒子数最多B.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为127πm180qBC.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBD.若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14【答案】D【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。
设粒子做圆周运动的半径为r。
则有qvB=m v2r解得r=mvqB能打到挡板上的最远的粒子如图；由几何关系可知，挡板长度L=(2r)2-d2=6mv5qB选项A错误；BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P点时，时间最短，如图轨迹1所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ1=106°；对应的时间为t min=θ12πT=106°360°2πmqB=53πm90qB当粒子从右侧恰好打在P点时，时间最长，如图轨迹2所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为t max=θ22πT=254°360°⋅2πmqB=127πm90qB选项BC 错误；D ．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x 轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14，选项D 正确。
高考物理一轮复习(新高考版2(粤冀渝湘)适用) 第10章 专题强化19 动态圆问题
例4 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分
别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图5
所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，
电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区
域内，磁场的磁感应强度最小为
03
题型四 “磁聚焦”模型
1.带电粒子的会聚 如图6甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆 形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电 粒子将从磁场圆的最低点B点射出.(会聚) 证 明 ： 四 边 形 OAO′B 为 菱 形 ， 必 是平行四边形，对边平行，OB必平 行 于 AO′( 即 竖 直 方 向 ) ， 可 知 从 A 点发出的带电粒子必然经过B点.
距 A 点的竖直距离 L2＝ R2－(d－R)2＝ 33d，
所以粒子在 PQ 边界射出的区域长度为 L＝L1＋L2＝233d， 因为 R<d，所以粒子在 MN 边界射出区域的长度为 L′＝2R ＝43d， 故两区域长度之比为 L∶L′＝233d∶43d＝ 3∶2， 故C正确，A、B、D错误.
03Βιβλιοθήκη 3.常见的几种临界情况 (1)直线边界 最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切. 最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与 边界垂直. 如图1，P为入射点，M为出射点.
图1
(2)圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： 当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射 点和出射点的轨迹对应的圆心角最大. 当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为 入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大.
缩放圆和旋转圆
缩放圆和旋转圆一、知识清单1． 缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。
把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。
解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。
2． 环形磁场临界问题 临界圆临界半径221R R r += 2-12RR r =勾股定理(R 2-R 1)2=R 12+r 2解得：)R R (R r 1222-=3． 旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。
解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。
4． 旋转圆五大特征 ①半径相等 R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R )25． 旋转圆中粒子运动的空间范围问题ABC× × × × ×× × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×v 0 A B O ●●× × × × ×× × × × ×× × × ××× × ×× v 0 A B O ●● θ( × × × ×× × × ×× ×× × ×× × × ×× × ×v 0R 1 R 2 × × × × × × × ×× × × × ×× ×× ×× × ×v 0 R 1 R 2 × × × × × × × ××× × × × × × × ×v 0 R 1 R 2最近点：A （OA =2Rsinθ）最远点：B （OB 为直径） 圆中最大的弦长是直径左边界：相切点A ； 右边界：OB 为直径边界点：相切点B 、C6． 圆形有界磁场中的旋转圆问题r<Rr>Rr=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r 在磁场中运动的最长时间为t max =0v r α=qB m α (rR sin =2α)离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线二、选择题7． (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，极板不带电，现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）A ．使粒子的速度v ＜Bql 4mB ．使粒子的速度v ＞5Bql4mC ．使粒子的速度v ＞Bql mD ．使粒子的速度v 满足Bql 4m ＜v ＜5Bql4m8． （2014秋•清河区校级期末）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ ） A ．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B ．电子在磁场中运动时间越长．其轨迹线所对应的圆心角越大C ．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D ．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同9． （多选）（2016•青岛二模）如图所示，边长为l 的正六边形abcdef 中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．在a 点处的粒子源发出大量质量为m 、电荷量为+q 的同种粒子，粒子的速度大小不同，方向始终垂直ab 边且与磁场垂直．不计粒子间的相互作用力及重力，当粒子的速度为v 时，粒子恰好能经过b 点，下列说法正确的是（ ）A ．速度小于v 的粒子在磁场中的运动时间为B ．速度大于4v 的粒子将从cd 边离开磁场C ．经过c 点的粒子在磁场中的运动时间为D ．经过d 点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为2lv 0● ●R r OA r ● × ×× × × ×× × × × × × ×v 0● ● 2R rα OAr × × × × × × × ×× × × × ×v 0● ●R 2r α OA× × × × × × × ×× × × × ×10．（2015•文昌校级模拟）如图所示，内圆半径为r 、外圆半径为3r 的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场．圆环左质量为m 、电量为q 的正离子，经过电场加速后从N 板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．要使离子不进入小圆区域，电压U 的取值范围为（ ）A.U ≤qr 2B 2/mB.U ≤2qr 2B 2/mC.U ≤4qr 2B 2/mD.U ≤8qr 2B 2/m11．如图5所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，比荷为em 的电子以速度v 0从A 点沿AB 边入射，欲使电子经过BC 边，磁感应强度B 的取值为( )A ．B >2mv 0ae B ．B <2mv 0aeC ．B >3mv 0aeD ．B <3mv 0ae12．（2016·全国卷Ⅲ） 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图1-所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A.mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB13．（05全国Ⅰ）如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。
磁场(旋转圆,缩放圆,移动圆)教程文件
磁场(旋转圆,缩放圆,移动圆)旋转圆问题1，宽h=2cm的有界且有垂直纸面向内的匀强磁场，纵向范围足够大，现有一群带正电的粒子从0点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为R=5cm，求匀强磁场右边界粒子射出的范围。
2在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？3 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射人磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R=mv/qB．哪个图是正确的？（）A BC D4如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。
P为屏上的一小孔，PC与MN垂直，一群质量为m的粒子（不计重力），一相同速率V，从P出沿垂直与磁场的方向射入磁场范围，粒子入射方向在于磁场B垂直的屏面内，且三开在于PC夹角为θ的范围内。
则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为A B C D .5：如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速率相同的电子（质量为m，电量为e），M、N是足够大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L，挡板左侧是垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。
（1）要使发射的电子能到达挡板，电子速度至少为多大？（2）若S发射的电子速率为eBL/m时，挡板被电子击中的范围有多大？6如图所示，A1、A2为两块面积很大、相互平行的金属板，两板间距离为d，以A1板的中点为坐标原点，水平向右和竖直向下分别建立x轴和y轴，在坐标为（0，d21）的P处有一粒子源，可在坐标平面内向各个方向不断发射同种带电粒子，这些带电粒子的速度大小均为v0，质量为m，带电量为+q，重力忽略不计，不考虑粒子打到板上的反弹，且忽略带电粒子对金属板上电荷分布的影响．（1）若只在A1、A2板间加上恒定电压U0，且A1板电势低于A2板，求粒子打到A1板上的速度大小；（2）若只在A1、A2板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，且B＜dqmv2，求A1板上有粒子打到的区域范围（用x轴坐标值表示）；（3）在第（2）小题前提下，若在A1、A2板间再加一电压，使初速度垂直指向OA1A2xyPA 1板的粒子打不到A 1板，试确定A 1、A 2板电势的高低以及电压的大小．7如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。
物理模型：磁场模型集合
模型/题型：磁场常见模型·集合一、缩放圆和旋转圆模型 1． 缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。
把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。
解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。
2． 环形磁场临界问题临界圆临界半径 221R R r +=2-12R R r =勾股定理(R 2-R 1)2=R 12+r2解得：)R R (R r 1222-=3． 旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。
解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。
4． 旋转圆五大特征 ①半径相等 R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R )25． 旋转圆中粒子运动的空间范围问题最近点：A （OA =2Rsinθ） 最远点：B （OB 为直径） 圆中最大的弦长是直径 左边界：相切点A ； 右边界：OB 为直径边界点：相切点B 、C× × × ×× × × × ×× × × ×v 0R 1 R 2× × × ×× × × × ×× × ××v 0 R 1R 2× × × ×× × × × ×× × ××v 0R 1R 2× × × × × × × × × ×× × × × ×v 0A B O ●● θ( ABC6．圆形有界磁场中的旋转圆问题r<R r>R r=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r在磁场中运动的最长时间为t max=αrv0=αmqB(sinα2=Rr)离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线二、磁聚焦/磁发散模型⭐规律1:磁聚焦：如果磁场圆半径等于粒子的轨迹圆半径,带电粒子从圆形有界磁场边界上的某点射入磁场,则粒子的出射方向与磁场圆上入射点处的切线方向平行。
缩放圆和旋转圆.doc
缩放圆和旋转圆一、知识清单1．缩放圆模型特征：带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或磁感应强度变化）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。
把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”，如图。
解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。
2．环形磁场临界问题临界圆临界半径221RRr+=2-12RRr=勾股定理(R2-R1)2=R12+r2解得：)RR(Rr1222-=3．旋转圆模型特征：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。
解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
同时还要注意，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变（即同旋性）。
4．旋转圆五大特征①半径相等R=mv/qB②都过发射点③圆心分布在一圆周上④旋转方向相同（同旋性）⑤同时发射，同时刻在同一圆周上,最大范围π(2R)2ABC×××××××××××××××××××××××××v0A BO●●×××××××××××××××××××v0ABO●●θ(××××××××××××××××××××v0R1R2××××××××××××××××××××v0R1R2×××××××××××××××××v0R1R2最近点：A （OA =2Rsinθ）最远点：B （OB 为直径） 圆中最大的弦长是直径左边界：相切点A ； 右边界：OB 为直径边界点：相切点B 、C6． 圆形有界磁场中的旋转圆问题r<Rr>Rr=R在磁场中运动的最远距离为OA=2r 在磁场中运动的最长时间为t max =0v r α=qB m α (rR sin =2α)离开磁场速度方向垂直于入射点与磁场圆心的连线7． (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为l ，极板不带电，现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）A ．使粒子的速度v ＜Bql 4mB ．使粒子的速度v ＞5Bql4mC ．使粒子的速度v ＞Bql mD ．使粒子的速度v 满足Bql 4m ＜v ＜5Bql4m8． （2014秋•清河区校级期末）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ ） A ．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长B ．电子在磁场中运动时间越长．其轨迹线所对应的圆心角越大C ．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D ．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同9． （多选）（2016•青岛二模）如图所示，边长为l 的正六边形abcdef 中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．在a 点处的粒子源发出大量质量为m 、电荷量为+q 的同种粒子，粒子的速度大小不同，方向始终垂直ab 边且与磁场垂直．不计粒子间的相互作用力及重力，当粒子的速度为v 时，粒子恰好能经过b 点，下列说法正确的是（ ）A ．速度小于v 的粒子在磁场中的运动时间为B ．速度大于4v 的粒子将从cd 边离开磁场C ．经过c 点的粒子在磁场中的运动时间为D ．经过d 点的粒子在磁场中做圆周运动的半径为2lv 0● ●R r OA r ● × ×× × × ×× × × × × × ×v 0● ● 2R rα OAr × × × × × × × ×× × × × ×v 0● ●R 2r α OA× × × × × × × ×× × × × ×10．（2015•文昌校级模拟）如图所示，内圆半径为r 、外圆半径为3r 的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场．圆环左质量为m 、电量为q 的正离子，经过电场加速后从N 板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．要使离子不进入小圆区域，电压U 的取值范围为（ ）A.U ≤qr 2B 2/mB.U ≤2qr 2B 2/mC.U ≤4qr 2B 2/mD.U ≤8qr 2B 2/m11．如图5所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，比荷为em 的电子以速度v 0从A 点沿AB 边入射，欲使电子经过BC 边，磁感应强度B 的取值为( )A ．B >2mv 0ae B ．B <2mv 0aeC ．B >3mv 0aeD ．B <3mv 0ae12．（2016·全国卷Ⅲ） 平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图1-所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) A.mv 2qB B.3mv qB C.2mv qB D.4mv qB13．（05全国Ⅰ）如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里。
缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题
高中物理缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题编稿老师刘汝发一校杨雪二校黄楠审核王红仙知识点考纲要求题型说明缩放圆法巧解磁场中粒子运动的临界问题1. 进一步熟悉粒子在磁场中做圆周运动的圆心、半径，及轨迹的确定方法；2. 理解缩放圆法确定临界的技巧；3. 理解移动圆法确定临界的技巧。
选择题、计算题本知识点属于高考重点难点，缩放圆和旋转圆是确定临界非常有效的方法，在考查同学们想象能力的同时，也考查了数学运算能力，因此高考命题者对这种方法情有独钟。
二、重难点提示：重点：1.粒子在磁场中做圆周运动的圆心、半径及轨迹的确定方法；2. 缩放圆法和移动圆法确定临界的技巧。
难点：缩放圆法和移动圆法确定临界的技巧。
一、带电粒子在有界磁场中的运动这类问题综合性较强，解答时既要用到物理中的洛伦兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中圆及解析几何知识。
1. 一个基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间（1）圆心的确定：因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心；或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置。
（2）半径的确定和计算：qvB＝mRv2，R＝Bqmv或是利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）。
（3）粒子在磁场中运动时间的确定：由公式qBmTπ2=，Ttπα2=或vRtθ=。
可求出粒子在磁场中的运动时间。
2. 两个重要结论（1）如下图，带电粒子以速度v指向圆形磁场的圆心入射，出磁场时速度方向的反向延长线肯定经过圆形磁场的圆心。
（2）粒子从圆形磁场边界上某一点射入磁场区域，若粒子轨道半径和磁场半径相同，则粒子飞出磁场时速度方向相同；反之若从圆形磁场边界平行射出，则粒子的轨道半径和圆形磁场半径相同二、解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的两种方法1. 轨迹圆的缩放当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R ）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”。
缩放圆和旋转圆
缩放圆和旋转圆缩放圆和旋转圆缩放圆和旋转圆是物理学中的基本概念。
缩放圆是指带电粒子在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动，轨迹连续起来形成一个与入射点相切并在放大或缩小的“动态圆”。
解题时可以使用圆规画出几个半径不同的圆，方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。
旋转圆是指带电粒子在匀强磁场中做半径不变的圆周运动，但速度方向不限定，可以在-180°范围内变化。
解题时可以使用圆规或硬币画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
同时，粒子在做圆周运动时的绕行方向不随旋转而改变，即同旋性。
缩放圆和旋转圆都有一些特征。
缩放圆的特征是带电粒子做半径不断变化的匀速圆周运动，轨迹连续起来形成一个动态圆。
旋转圆的特征是带电粒子在匀强磁场中做半径不变的圆周运动，但速度方向不限定，可以在-180°范围内变化。
旋转圆的五大特征包括半径相等、都过发射点、圆心分布在一圆周上、旋转方向相同（同旋性）、同时发射、同时刻在同一圆周上，最大范围是π(2R)2.在圆形有界磁场中的旋转圆问题中，左边界是相切点A，右边界是OB为直径，边界点是相切点B、C。
在磁场中运动的最远距离为OA=2r。
最近点是A（OA=2Rsinθ），最远点是B（OB为直径）。
圆中最大的弦长是直径。
在选择题中，磁场中运动的最长时间取决于离开磁场速度方向是否垂直于入射点与磁场圆心的连线，答案为m。
7.一块长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l。
极板不带电。
现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是使粒子的速度v＞Bq/m或者v＜Bq/m。
8.一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场。
正确的判断是：B.电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大。
9.边长为l的正六边形abcdef中，存在垂直该平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
用“动圆”巧解带电粒子在匀强磁场中的运动问题
所 以它 们在 磁 场 中做 匀 速 圆周 运 动 的圆半 径 是
圆周运 动 。 这一 类 问题 的解 决 方 法一 般 为 ： 定 一 圆心 ， 画轨 迹 ， 二 三用 几何 关 系求半 径 ， 四根 据 圆 心角 和周 期关 系确定 运动 时 间 。 但事 实上学 生往
往对 粒 子运 动 的轨迹 想象 不 出来 ， 从而 导致 对这
示。 、 ２ 其他介 于这 两个 方 向的圆轨迹 可 以用 圆纸
片 的旋转 动态 显示 出来 ：将 圆纸 片放 于 Ｉ位置 ，
用一 指尖 将 口点 固定 ， 然后 将 圆绕 口点 按逆 时针 方 向旋转 到 Ⅱ位置 ， 这样 就 可 以将 所有 入 射粒 子
在磁 场 中的轨迹 形象 地显示 出来 。 取此过 程 中圆
由于本 题 中带 电粒 子从 磁 场边 界 上直 径
部 分 。即在 图 １ ３中粗实线 所 围成 的面积 内 。 －
方法总 结 带 电粒子从 某一 点 以大小 不变 而
的 口 沿各 个方 向射入 磁场 的 。 以粒子 在磁 场 端 所
方 向不 限定 （ ０ ８ 。 围内 ） 如 ０ １ ０范 的速度 射人 匀强 磁场 中， 这类 问题 都 可 以归 结 为旋 转 圆 问题 （ 即
纸 片所在 的几个 位置 图 １ ２所 示 。 —
ｒ３ ｘ０ 的圆形区域 ／Ｘ Ｘ ＸＸ＼ ＝． ｌ ０ Ｘ ＸＸ ００， ．Ｔ 方向如图１ ２ 所示的 ＼Ｘ Ｘ ＸＸ／ Ｘ ＸＸ 匀 强磁场。 束带正电的 一 粒 ＼ ×／ ／
子 电量 ｑ １ ｘ Ｏ ９ ＝ ． ｌ Ｃ。质 量 ６ 。
．
．． ，． ． 一】 ， 密 ． ，
． － ●
）
专题18 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
2022届高三物理二轮常见模型与方法综合特训专练专题18 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型专练目标专练内容目标1旋转圆模型（1T—5T）目标2放缩圆模型（6T—10T）目标3平移圆模型（11T—15T）目标4磁聚焦模型（16T—20T）一、旋转圆模型1．如图甲所示的平面直角坐标系中，x轴上方有磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，在O点处有一粒子源，沿纸面不断地放出同种粒子，粒子的速率均为v，粒子射入磁场的速度方向与x轴正方向的夹角范围为60°—120°。
粒子的重力及粒子间的相互作用均不计。
图乙中的阴影部分表示粒子能经过的区域，其内边界与x轴的交点为E，外边界与x轴的交点为F，与y轴的交点为D（a，0）。
下列判断正确的是（）A．粒子所带电荷为正电B．OF3C．粒子源放出的粒子的荷质比为v aBD．从点E离开磁场的粒子在磁场中运动的时间可能为23a v π【答案】CD【详解】A．由左手定则可知，粒子所带电荷为负电，选项A错误；B．则OD a R==则OF=2R=2a选项B错误；C．根据2vqvB mR=解得q v vm BR Ba==选项C正确；D．从点E离开磁场的粒子在磁场中转过的角度可能为120°，也可能是240°，则在磁场中运动的时间可能为233vT atπ==也可能是2433T atvπ=='选项D正确。
故选CD。
2．如图，一粒子发射源P位于足够长绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。
已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则（）A．磁感应强度的大小为d kvB．磁感应强度的大小为v kdC ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为76dvπ D ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为6kdvπ【答案】BC【详解】AB ．根据牛顿第二定律2v qvB m d =根据题意q k m =解得v B kd =，A 错误，B 正确；CD ．同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最长时间和最短时间如图所示min 16t T =；max 34t T =粒子运动的周期为2dT v π=最大时间差为max min t t t ∆=-解得76d t vπ∆=，C 正确，D 错误。
匀强磁场运动两类放缩圆问题探讨
匀强磁场运动两类放缩圆问题探讨概要：带电粒子在匀强磁场中的运动，一直都是高中物理的一个重点和难点问题，本文分析了常见的一种情况。
有不少资料上分析过放缩圆问题，但基本上都是讲粒子速度大小改变而导致的圆半径改变，很少有讲到磁场变化引起的放缩，这两种情况在计算粒子轨迹的时候方法类似，但涉及到粒子在磁场中运动时间的时候，就一定要非常小心了。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，磁场保持不变，粒子速度方向不变而速度大小改变，导致粒子轨迹圆弧半径随之而改变。
一、“放缩圆”问题的特点这类问题有着几个共同特点：①由于粒子初速度方向不变，所有放缩圆的圆心都在同一条直线上，这条直线与初速度垂直。
②粒子运动的圆轨迹半径R=，所以半径与粒子初速度大小成正比，也就是说初速度越大，轨迹半径越大。
③粒子运动的周期T=，与粒子速度无关，所以粒子在磁场中运动的时间t只取决于轨迹对应的圆周角。
二、求解“放缩圆”问题的基本步骤第一步，用左手定则画出粒子进磁场时所受洛伦兹力的方向，所有放缩圆的圆心都在该力的方向上，不至于搞错圆心位置，以及粒子偏转方向。
第二步，画出一系列半径不同的圆.第三步，找出符合题目条件的临界圆。
第四步，找几何关系，列出方程，求解。
例题2：如图，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ= 30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为+q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：粒子能从ab边上射出磁场的速度v0大小范围。
分析：先画出洛伦兹力方向，再画一系列圆，很容易确定出两个临界圆（左上图实线圆），分别与上边界和下边界相切.这些都是画在草稿纸上的，而只在试卷上留下两个临界圆（如由上图）。
由几何关系列方程：600，600得到，结合得到两个临界速度大小为，所以满足条件的粒子速度为。
三、放缩圆的时间粒子在磁场中运动的时间t= T，其中θ指的是粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角，T是粒子做圆周运动的周期，由于放缩圆的周期都一样，所以粒子在磁场中运动的时间仅仅取决于圆心角。
磁场(旋转圆,缩放圆,移动圆)
旋转圆问题1宽h=2cm 的有界且有垂直纸面向内的匀强磁场，纵向范围足够大，现有一群带正电的粒子从0点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为R=5cm，求匀强磁场右边界粒子射出的范围。
2在真空中，半径为r=3 x 10-2m 的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s 的速度从磁场边界上直径ab 一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg ，不计粒子重力，则(1)粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？(2)若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何(以v0与Oa的夹角B表示)？最大偏转角多大？3 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里.许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔0射人磁场区域•不计重力，不计粒子间的相互影响•下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R=mv/qB •哪个图是正确的？( )4如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。
P 为屏上的一小孔，PC 与MN 垂直，一群质量为 m 的粒子（不计 重力），一相同速率V ，从P 出沿垂直与磁场的方向射入磁场范围, 向在于磁场B 垂直的屏面内，且三开在于 PC 夹角为B 的范围内。
上被粒子打中的区域的长度为5：如图，电子源S 能在图示纸面360 °范围内发射速率相同的电子（质量为m ， 电量为e ）, M 、N 是足够大的竖直挡板，与S 的水平距离OS = L ,挡板左侧是 垂直纸面向里，磁感应强度为 B 的匀强磁场。
（1） 要使发射的电子能到达挡板， 电子速度至少为多大？（2） 若S 发射的电子速率为eBL/m 时，挡板被电子击中的范围有多大？.r尸N2m v2JWV (1 —Zmvcos^ABC西 D2加《1 —匚。
磁场中的动态圆问题
B
A.
2R
B. 2R
O
O
M
2R R
N
M R 2R
N
M
O
N
C.
D.
2R
R
O
O
M
2R
2R
N
M
2R
2R N
M
O
N
例题：如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边
界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在
纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子
射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长
根据ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角三角形有R2=a2+( 3a-
o
R)2解得R=2 3a/3，
3
sinθ=a/R= /2,则粒子做圆周
运动的的圆心角为120°，周期
为T=3t0，粒子做圆周运动的
向心力由洛仑兹力提供，根据
牛顿第二定律得qvB=m(2 /T)2/R，v=2R/T化简得
q/m=2 /3Bt0
. P( 3a,a)
半径r相同，O为这些轨迹圆周的公共点。
P
P
P
M
2r
2r
O Q
O rN
Or Q
Q 答案：MN ( 3 1)r
题型二：磁场三角形有界
如图所示，等腰直角三角形 OPQ，直角边 OP、OQ 长度均为 L，直角平面 内(包括边界)有一垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B.在 PQ 边下方放置一带电粒子发射装置，它沿垂直 PQ 边的方向发射出一束具有 相同质量、电荷量和速度 v 的带正电粒子，已知带电粒子的比荷为：mq ＝B2vL. (1)粒子在磁场中运动的半径； (2)粒子从 OQ 边射出的区域长度．
磁场(旋转圆,缩放圆,移动圆)
v0与Oa 的夹角。
旋转圆问题1宽h=2cm 的有界且有垂直纸面向内的匀强磁场，纵向范围足够大，现有一群带正电的粒子从0点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中 做匀速圆周运动的轨道半径均为R=5cm ，求匀强磁场右边界粒子射出的范围。
2在真空中，半径为r=3x 10-2m 的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T ，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s 的速 度从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg ，不计粒子重力，则(1)粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少?(2)若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何(以3如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里.许多质量为m 带电量为+q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射人磁场区域.不计重力，不计粒子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R 二mv/qB .明6个图是正确的？()帛舁1KA:A/2R4如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。
P为屏上的一小孔，PC与MN垂直，一群质量为m的粒子(不计重力)，一相同速率V,从P出沿垂直与磁场的方向射入磁场范围，粒子入射方向在于磁场B垂直的屏面内，且三开在于PC夹角为e的范围内。
则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为cos.0)A站B<3C二D5如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速率相同的电子(质量为m，电量为e)，M、N是足够大的竖直挡板，与S的水平距离OS=L,挡板左侧是垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。
(1)要使发射的电子能到达挡板，电子速度至少为多大？(2)若S发射的电子速率为eBL/m时，挡板被电子击中的范围有多大?6如图所示，A1、A2为两块面积很大、相互平行的金属板，两板间距离为d ,以 A1板的中点为坐标原点，水平向右和竖直向下分别建立x 轴和y 轴，在坐标为1d(0，2)的P 处有一粒子源，可在坐标平面内向各个方向不断发射同种带电粒子，这些带电粒子的速度大小均为v 0，质量为口，带电量为+q ，重力忽略不计,不考虑粒子打到板上的反弹，且忽略带电粒子对金属板上电荷分布的影响.(1) 若只在A 2板间加上恒定电压U 0,且A1板电势低于A 2板，求粒子打到A ］板上的速度大小；(2)若只在A1、A2板间加上一方A向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感°应强度为B ,且B V dq ，求人］板上有粒子打到的区域范围(用x 轴坐|=二标值'y表示)；(3)在第(2)小题前提下，若在A.A 2板间再加一电压，使初速度垂直指向的粒子打不到，试确定A-A 2板电势的高低以及电压的大小.A. B. C .2D .38在半径为R 的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场。
新高考物理专题-巧用圆的旋转、缩放和平移解磁场临界极值问题
巧用圆的旋转、缩放和平移解磁场临界极值问题江苏省泰兴中学李淑玲带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。
其中圆心的确定最为关键，一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。
②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。
以上方法简单明了，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。
如从以上方法出发，再借助圆规或硬币从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。
此类试题可分为旋转圆、缩放圆和平移圆三大类型。
一、旋转圆【模型特征】带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图1。
解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
【典例1】如图2，在0≤x≤a区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。
在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0°～180°范围内。
已知沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P（a，a）点离开磁场。
求：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
【动态分析】由题知沿y轴正方向发射的粒子从磁场边界上P(a，a)点离开磁场，利用圆规或硬币可作出其轨迹图像如图3，由于粒子速度方向在0°～180°范围内，其它方向的轨迹可以通过旋转第一个圆得到（O点为旋转点），如图4。
【03】“缩放圆”、“转动圆”(或“轨迹圆心圆”)
高三物理专题：“缩放圆”、“转动圆”（或“轨迹圆心圆”）（一） 缩放圆 带电粒子以任意速度、沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 0越大，运动半径也越大．可以发现这样的粒子源产生的粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线PP ′上．由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为“放缩法”．或者1. 若磁感应强度为B 的匀强磁场仅存在于第一象限（如图2），一带负电的粒子（质量为m ,带电量为q ）从距原点O 为d 的A 点射入。
若粒子射入的方向不变，要使粒子不能从x 轴射出，则粒子的速度不能超过多少？【解析】作图如图所示，由sin r r d θ+=，2v qvB m r=，解得：()1sin qBd v m θ=+。
2．如图所示，宽度为d 的匀强有界磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是磁场左右的两条边界线．现有一质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子沿图示方向垂直射入磁场中，θ＝45°.要使粒子不能从右边界NN ′射出，求粒子入射速率的最大值为多少？【解析】用放缩法作出带电粒子运动的轨迹如题图所示，当其运动轨迹与NN ′边界线相切于P 点时，这就是具有最大入射速率v max 的粒子的轨迹．由题图可知：R (1－cos 45°)＝d ，又Bqv max ＝2max v m R联立可得：v max ＝22Bqd m3．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B ，宽度为d ，边界为CD 和EF .一电子从CD 边界外侧以速率v 0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD 边界间夹角为θ.已知电子的质量为m ，电荷量为e ，为使电子能从磁场的另一侧EF 射出，求电子的速率v 0至少多大？【解析】当入射速率v 0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD 一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF 相切时，电子恰好不能从EF 射出，如图所示．电子恰好射出时，由几何知识可得：r ＋r cos θ＝d ①又r ＝0mv Be② 由①②得： 01cos Bedv m ③ 故电子要射出磁场时速率至少应为1cos Bedm .4. 在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，其横截面如图所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r 和(＋1)r . 圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，不计粒子重力．为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过【答案】A【解析】如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹应与外圆相切，所以2＋1)r －r x ]2＝r 2＋ r 2 x ，解上式可得r x ＝r ，又由r x ＝mv qB ，可得，选项A正确。
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旋转圆问题1，宽h=2cm的有界且有垂直纸面向内的匀强磁场，纵向范围足够大，现有一群带正电的粒子从0点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为R=5cm，求匀强磁场右边界粒子射出的范围。
2在真空中，半径为r=3×10-2m的圆形区域内，有一匀强磁场，磁场的磁感应强度为B=0.2T，方向如图所示，一带正电粒子，以初速度v0=106m/s的速度从磁场边界上直径ab一端a点处射入磁场，已知该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计粒子重力，则（1）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？3 如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射人磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R=mv/qB．哪个图是正确的？（）A BC D4如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。
P为屏上的一小孔，PC与MN垂直，一群质量为m的粒子（不计重力），一相同速率V，从P出沿垂直与磁场的方向射入磁场范围，粒子入射方向在于磁场B垂直的屏面内，且三开在于PC夹角为θ的范围内。
则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为A B C D .5：如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速率相同的电子（质量为m，电量为e），M、N是足够大的竖直挡板，与S的水平距离OS＝L，挡板左侧是垂直纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。
（1）要使发射的电子能到达挡板，电子速度至少为多大？（2）若S发射的电子速率为eBL/m时，挡板被电子击中的范围有多大？6如图所示，A1、A2为两块面积很大、相互平行的金属板，两板间距离为d ，以A1板的中点为坐标原点，水平向右和竖直向下分别建立x 轴和y 轴，在坐标为（0，d 21）的P 处有一粒子源，可在坐标平面内向各个方向不断发射同种带电粒子，这些带电粒子的速度大小均为v 0 ，质量为m ，带电量为+q ，重力忽略不计，不考虑粒子打到板上的反弹，且忽略带电粒子对金属板上电荷分布的影响．（1）若只在A 1、A 2板间加上恒定电压U 0，且A1板电势低于A 2板，求粒子打到A 1板上的速度大小；（2）若只在A1、A2板间加上一方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，且B ＜dq mv 02，求A 1板上有粒子打到的区域范围（用x 轴坐标值表示）；（3）在第（2）小题前提下，若在A 1、A 2板间再加一电压，使初速度垂直指向A 1板的粒子打不到A 1板，试确定A 1、A 2板电势的高低以及电压的大小．O A 1 A 2x y P带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P 点进入磁场。
这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。
将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于A ．B ．C ．2D ．38在半径为R 的圆形区域内，存在垂直圆面的匀强磁场。
圆边上的P 处有一粒子源，不沿垂直于磁场的各个方向，向磁场区发射速率均为0v 的同种粒子，如图所示。
现测得：当磁感应强度为1B 时，粒子均从由P 点开始弧长为R π21的圆周范围内射出磁场；当磁感应强度为2B 时，粒子则都从由P 点开始弧长为R π32的圆周范围内射出磁场。
不计粒子的重力，则A ．前后两次粒子运动的轨迹半径比为3:2:21=r rB ．前后两次粒子运动的轨迹半径比为3:2:21=r rC ．前后两次磁感应强度的大小之比为3:2:21=B BD ．前后两次磁感应强度的大小之比为2:3:21=B B第21题图大量比荷大小分别为k1、k2的带电粒子以相同的速率v经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。
其中，比荷大小为是k1的粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周PM上；比荷大小为是k2的粒子在磁场边界的出射点分布在三分之一圆周PN上，不计重力及带电粒子之间的相互作用。
则k1:k2为A．6:2B．6:3C．2:6D．3:610如图所示，在边长L＝8 cm的正方形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B0＝0.1 T．距AB、AD边均为d＝1 cm的P点有一粒子，能在纸面内向各个方向发射出速率不同的带正电的粒子，粒子的质量m＝1.0×10－14? k g，粒子的电荷量q＝1.0×10－5C，粒子的重力可忽略不计，不考虑带电粒子之间的相互作用．(计算结果可保留根号)(1)速率在什么范围内的粒子将不可能射出磁场，被完全约束在正方形内？(2)速度大小为5.0×106m/s的粒子将从BC边的什么范围内射出？11如图所示，在0≤x≤a，0≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0~90°范围内。
已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。
求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
12如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1cm，中点O与S间的距离d＝4.55cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力。
电子源发射速度v＝1.6×106m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则（排版问题图片见第九题，）A．θ＝90°时，l＝9.1cm B．θ＝60°时，l＝9.1cm C．θ＝45°时，l＝4.55cm D．θ＝30°时，l＝4.55cm缩放圆问题1如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是（）A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场2如图所示，等腰直角三角形abc 的直角边长度为L ，该区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。
三个相同的带电粒子从b 点沿bc 方向分别以速度v1、v2、v3射入磁场，在磁场中运动的时间分别为t1、t2、t3，且t1：t2：t3=2：2：1。
不计粒子的重力，下列说法正确的是A ．三个速度的大小关系一定是v1= v2< v3B ．三个速度的大小关系可能是v1< v2< v3C ．粒子的比荷12q m Bt π= D ．粒子的比荷32v q m BL =3磁场中的复杂运动形式如图所示，在的区域I内有垂直于纸面向里的匀强磁场，在的区域Ⅱ内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强崖的大小均为。
质量为m、电荷量为的粒子沿x轴从原点O射入磁场。
当粒子射人速度不大于v0时，粒子在磁场中运动的时间都相同，求：(1)速度v0的大小；(2)若粒子射人磁场的速度大小为，其轨迹与轴交点的横坐标；(3)调节区域Ⅱ磁场的磁感强度为，使粒予以速度轴射入时，粒子均从O点射出磁场，n与满足的关系。
磁聚焦原理图解1圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样大2从圆心打出的任意方向的粒子最终水平飞出3可逆性数学公式推导设速度夹角为a，粒子运动半径为r，磁场半径也为r，则粒子圆心的横纵坐标为X=rsina Y=rcosa显然，所有圆心的轨迹方程依然是圆X2+y2=r2 圆心在坐标原点，半径为r下面求粒子的出点坐标（x1，y1）磁场圆的参数方程：X2+（y-r）2=r2 粒子的轨迹参数方程：（X-rsina）2+（y-rcosa）2=r2将出点坐标代入两个方程解：x1=rsina，y1=r+rcosa说明出点的和圆心在同一竖直线上，即出点水平。
例题：在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示．现加一垂直于xOy 平面向里、磁感强度为B 的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x 轴且沿x 轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）如图，ABCD 是边长为a 的正方形。
质量为m 电荷量为e 的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。
在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。
不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积设匀强磁场的磁感应强度的大小为B 。
令圆弧AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道。
依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a ，按照牛顿定律有 ev 0B= mv 02/a ，得B= mv 0/ea 。
（1）自BC 边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC 区域中。
因而，圆弧AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界。
（2）设某射中A 点的电子速度方向与BA 的延长线夹角为θ的情形。
该电ABCD E Fpq Oθ子的运动轨迹qpA如图所示。
图中圆弧Ap的圆心为O，pq垂直于BC边，圆弧Ap的半径仍为a，在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中，p点的坐标为(x，y)，则x=asinθ，y=-acosθ。
由④⑤式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围0≤θ≤π/2内，p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的区域，其面积为S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。