人教版现行高中数学必修5第三章基本不等式(第一课时)

人教版现行高中数学必修5第三章基本不等式（第一课时）

一、教学目标

1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；

2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；

3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；

4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生

领会运用基本不等式

2b

a a

b +

≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．

二、教学重点和难点

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式

2b

a a

b +

≤

的证明过程；

难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．

三、教学过程：

1．动手操作，几何引入

如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为b

a,，

那么正方形的边长为22b a +．于是， 4个直角三角形的面积之和ab S 21=， 正方形的面积222b a S +=． 由图可知12S S >，即ab b a 222>+．

探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰

直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为a 和b （b a ≥），考察两个直角三角形的面积与

矩形的面积，你能发现一个不等式吗？

通过学生动手操作，探索发现：2

b

a a

b +≤ 2．代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若+∈R b a ,，则ab b a 222>+． 若+∈R b a ,，则2

b

a a

b +≤

． 学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：

（1）若+∈R b a ,，则ab b a 222≥+；（2）若+∈R b a ,，则2

b

a a

b +≤ 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）：

0)(2222≥-=-+b a ab b a

ab b a 222≥+∴，当b a =时取等号．

（在该过程中，可发现b a ,的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于+∈R b a ,，于是 要证明

ab b

a ≥+2

， 只要证明 ab b a 2≥+， 即证 02≥-+ab b a ，

即 0)(2≥-b a ，该式显然成立，所以ab b

a ≥+2

，当b a =时取等号． 得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若+∈R b a ,，则2

b

a a

b +≤

（当且仅当b a =时，等号成立） 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 深化认识：

称ab 为b a ,的几何平均数；称2

b

a +为

b a ,的算术平均数 基本不等式2

b

a a

b +≤

又可叙述为： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰

探究三：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,．

根据射影定理可得：ab BC AC CD =⋅=

由于Rt COD ∆中直角边

b

a a

b +<

当且仅当点C 与圆心O 重合时，即b a =时等号成立． 故而再次证明： 当0,0>>b a 时，2

b

a a

b +≤

（当且仅当b a =时，等号成立） （进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性） 4．应用举例，巩固提高

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于+∈R y x ,，

A

B

（1）若p xy =（定值），则当且仅当b a =时，y x +有最小值p 2；

（2）若s y x =+（定值），则当且仅当b a =时，xy 有最大值4

2s ．

（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）

例2.求)0(1≠+=x x

x y 的值域． 变式1. 若2>x ，求2

1

-+

x x 的最小值． 在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示)0(1≠+=x x

x y 的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想．

并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式2

b

a a

b +≤

的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．

练一练（自主练习）： 1.已知0,0>>y x ，且18

2=+

y

x

，求xy 的最小值． 2.设R y x ∈,，且2=+y x ，求y x 33+的最小值． 5．归纳小结，反思提高

基本不等式：若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）

若+∈R b a ,，则2

b

a a

b +≤

（当且仅当b a =时，等号成立） （1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法． 媒体展示，渗透思想： 若将算术平均数记为2

1y

x z +=

，几何平均数记为xy z =2 利用电脑3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景： 平面2

1y

x z +=在曲面xy z =2的上方