3.5 闭区间套定理与有限覆盖定理

n n
n n
，
n
n
定义 • 设 Ω 是直线上的点集,η(η ∈ Ω或η ∉ Ω 均可) 是一个定点.若 η 的任意邻域内都含有 Ω 的无限多个点,则称η 为点集Ω 的一个聚 点。
定理（聚点原理） 定理（聚点原理） 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 推论（致密性定理） 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛的子列。 有界数列必有收敛的子列。
闭区间套定理与有限覆盖定理
1.夹逼准则 夹逼准则
满足下列条件: 如果数列xn , yn及zn满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞
(n = 1,2,3⋯ )
(2) lim yn = a, limzn = a,
的极限存在, 那末数列xn 的极限存在, 且lim xn = a.
n→∞
n→∞
− an
)=
0
则 lim a n = lim bn = ϖ n→∞ n→∞ 是所有区间的唯一公共点。 这里 ϖ 是所有区间的唯一公共点。
注意： 注意： 在闭区间套定理中， 在闭区间套定理中，若将闭区间改为开 区间，定理一般不成立。 区间，定理一般不成立。对于二维及二 维以上的空间， 维以上的空间，我们有类似的闭集合套 原理。 原理。
若把满足闭区间套定理的闭区间称为闭区 间套， 间套，那么我们得到了闭区间套的一个有 用的性质： 用的性质：
]} 推论 设 {[a , b是一个闭区间套，存在一点 是一个闭区间套， ) ξ ∈ [a , b ](n = 1,2,⋯， 则对任意 ຫໍສະໝຸດ Baidu >0 ， 存在正整数 n> N [a , b ] 。 (ξ , ε ) ⊂ U 当 N 时，总有
注意: 注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出yn与zn ,
. 并且yn与zn的极限是容易求的
夹逼定理示意图
g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x )
A
1 1 1 例1 求 lim( ). + 2 + ⋯+ 2 2 n→∞ n +1 n +2 n +n
例2 设 0 < c < 1, 证明
lim
n→ ∞
[(n + 1 )
c
− nc = 0
]
2.闭区间套定理 闭区间套定理 设闭区间套列 [a1 , b1 ], [a 2 , b2 ],⋯, [a n , bn ],⋯ 满足
a （1）对任意的正整数 n， n ≤ a n+1 < bn +1 ≤ bn ）
（2） ）
lim
(b n n→ ∞