3.5 闭区间套定理与有限覆盖定理
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述有限覆盖定理是一种在离散数学和计算机科学领域中广泛运用的重要定理。
这个定理是关于集合的覆盖问题的，它提供了一种有效的方法来找到最小的集合子集，使得这些子集能够完全覆盖原始集合。
这种覆盖问题在实际应用中非常常见，比如在旅行销售员问题、传感器网络覆盖等领域中都有广泛的应用。
在实际生活中，我们经常会面临类似的覆盖问题，比如在进行商品配送时，希望用最少的车辆将商品送到指定的地址；或者在电信网络规划中，想要在一个区域内布置最少的信号塔来覆盖所有的用户。
这时，有限覆盖定理就能够帮助我们解决这些问题。
有限覆盖定理的应用非常广泛，涉及到众多领域。
在计算机科学领域，有限覆盖定理被广泛运用在算法设计、图论、优化问题等方面。
它的应用不仅仅局限在理论研究中，而且在实际应用中也发挥着重要的作用。
本文将对有限覆盖定理进行深入的讲解和探讨。
首先，我们将介绍有限覆盖定理的定义，包括其基本概念和相关术语。
然后，我们将讨论有限覆盖定理在实际问题中的应用，以及它的意义和优势。
最后，我们将总结有限覆盖定理的要点，并对其进行进一步的思考和未来应用的展望。
通过阅读本文，读者将能够对有限覆盖定理有一个全面的理解，并且能够应用它来解决实际问题。
希望本文能为读者提供有关有限覆盖定理的通俗理解，同时也能够激发读者对这一定理的兴趣和思考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讲述有限覆盖定理的通俗理解：第一部分是引言，主要对整篇文章进行概述，介绍有限覆盖定理的背景和重要性等内容，帮助读者对本文的内容有个整体的把握。
第二部分是正文，将详细阐述有限覆盖定理的定义、应用和意义。
2.1节将对有限覆盖定理的定义进行解释和探讨，帮助读者理解有限覆盖定理的基本概念。
2.2节将介绍有限覆盖定理在实际应用中的具体例子，说明该定理在解决实际问题中的重要性和有效性。
2.3节将深入探讨有限覆盖定理的意义，包括其在数学领域中的应用前景以及对其他领域的启示和影响等内容。
3.5 闭区间套定理与有限覆盖定理
lim
n→ ∞
[(n + 1 )
c
− nc = 0
]
2.闭区间套定理 闭区间套定理 设闭区间套列 [a1 , b1 ], [a 2 , b2 ],⋯, [a n , bn ],⋯ 满足
a （1）对任意的正整数 n， n ≤ a n+1 < bn +1 ≤ bn ）
（2） ）
lim
(b n n→ ∞
n n
n n
，
n
n
定义 • 设 Ω 是直线上的点集,η(η ∈ Ω或η ∉ Ω 均可) 是一个定点.若 η 的任意邻域内都含有 Ω 的无限多个点,则称η 为点集Ω 的一个聚 点。
定理（聚点原理） 定理（聚点原理） 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 推论（致密性定理） 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛的子列。 有界数列必有收敛的子列。
若把满足闭区间套定理的闭区间称为闭区 间套， 间套，那么我们得到了闭区间套的一个有 用的性质： 用的性质：
]} 推论 设 {[a , b是一个闭区间套，存在一点 是一个闭区间套， ) ξ ∈ [a , b ](n = 1,2,⋯， 则对任意 ε >0 ， 存在正整数 n> N [a , b ] 。 (ξ , ε ) ⊂ U 当 N 时，总有
− an
)=
0
则 lim a n = lim bn = ϖ n→∞ n→∞ 是所有区间的唯一公共点。 这里 ϖ 是所有区间的唯一公共点。
注意： 注意： 在闭区间套定理中， 在闭区间套定理中，若将闭区间改为开 区间，定理一般不成立。 区间，定理一般不成立。对于二维及二 维以上的空间， 维以上的空间，我们有类似的闭集合套 原理。 原理。
如何直观理解有限覆盖定理？
如何直观理解有限覆盖定理？有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间，在研究【无限】的问题中颇为有用。
笔者起初接触这个概念时，觉得这个概念理解起来比较困难，在这里跟大家分享一个较为直观的理解方法。
【以下方法系在平面维度分析，希望能带给你启发】一、定义首先，我们来看看两个概念的定义：有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]开覆盖：设S为Rn上的点集，如果Rn中的一组开集A={Uα：α∈A}满足{Uα的并} ⊇ S，那么称集族{Uα} 为S的一个开覆盖。
而被覆盖区域中任意一点P都能找到在开覆盖中找到一个集合S 使得P∈S。
二、背景可能对刚接触这个概念的同学来说，上面这两个概念还比较晦涩，让我们结合图片尝试理解：我们先通过不同颜色的圆来区分我们在【覆盖目标】和【用来覆盖的开圆】。
（这里的圆仅是特殊取得的，实际应用中当然会出现比圆更加复杂的开集）而所谓覆盖，我们可以理解为用一种颜色的圆来完全盖住目标集合，如下图（用开集覆盖目标集合）：假如一系列的开集能够覆盖目标集合（一系列的圆可以将目标圆【涂成另一个颜色】），我们就将这一族开集成为目标集合的一个开覆盖。
那么如何解释有限覆盖定理呢？有限覆盖定理的意思是，对于一个有界的集合，【任意】给定【无穷多个】集合，那么【不管这些集合有多大】，你都一定可以用这些集合中取出【有限个】集合就能覆盖目标有界集合。
而在我们上述绘图中来解释定理，意思就是：任意给定的无穷多个浅蓝色的圆，不管给定的条件多么苛刻、圆有多小，只要覆盖的是一个【有边界的区域】，我们就一定可以在这些圆中找到有限个浅蓝色的圆就能将目标区域【涂满浅蓝色】。
三、理解1.有界开集不适用你一定很奇怪，为什么一定要是覆盖目标一定要是【有界闭集】，而【有界开集】就不行呢？我们【假设】有限覆盖定理对有界开集也适用，我们取定一个开圆（边界上没有点）此时因为有限覆盖定理成立，我们便能够找到从无穷的、任意的开覆盖中找到一个有限子覆盖覆盖这个开圆。
有限覆盖定理证明区间套定理
有限覆盖定理证明区间套定理现在说到区间套定理。
咱们在数轴上想象一系列的闭区间，比如说，第一段是从1到2，第二段是从1.5到2.5，第三段是从1.9到2.1……这些区间就像是叠加的地毯，越叠越厚。
你可能会想，这些区间是不是总能找到一个公共点？那如果你一直缩小这些区间，它们的交集又会怎么样呢？这里就来了，区间套定理告诉我们，假如这些区间的长度逐渐缩小到零，那么总会有一个共同的点在里面，简直像是在找宝藏一样，让人兴奋！咱们不妨来个比喻。
想象一下，你和朋友们在草地上找四叶草。
你们开始的时候，每个人都在一个不同的区域里，大家东张西望。
慢慢地，你们缩小范围，最后凑在了一起，结果发现，嘿，有个地方正好长了四叶草！这就是有限覆盖定理在实际生活中的一场游戏。
大家伙儿都在寻找一个共同的目标，最后的结果是，大家都成功了，真是美滋滋的事情。
这两个定理其实有一个非常有趣的联系，像是老友重逢。
有限覆盖定理告诉我们，覆盖得够多，就一定能找到共同点。
而区间套定理则是具体应用这个原则，实打实地告诉我们，当你把范围缩小到极限，总能找到那颗闪亮的星星。
想象一下，数学的世界就像是一场冒险游戏，有限覆盖就是你开启冒险的钥匙，而区间套就是你找到最终宝藏的地图。
对于许多学数学的人来说，搞明白这两者的关系，就像是把一块难啃的骨头给啃下来，心里那个成就感，简直无与伦比。
每当你在课堂上听到老师讲解这些理论时，可能会觉得有些抽象，但当你明白了其中的奥妙，那感觉就像是冬天里的一缕阳光，温暖又舒服。
咱们再来聊聊实际应用。
生活中其实处处都能见到这些定理的身影。
比如说，数据分析、机器学习等等，都是在用有限覆盖定理和区间套定理的思路。
想想看，当你在网络上刷视频、购物的时候，算法就是在不断地寻找用户的共同点，精准推荐，真是好得让人拍手叫绝。
你看，数学并不是一门冷冰冰的学科，它和我们的生活是息息相关的。
有限覆盖定理和区间套定理，像两个好朋友，总是在默默地支持着我们，让我们的生活更加丰富多彩。
用闭区间套定理证明有限覆盖定理
用闭区间套定理证明有限覆盖定理1. 引言说起数学，大家第一反应可能是“哦，那玩意儿太难了！”不过，今天咱们聊聊闭区间套定理和有限覆盖定理，听起来复杂，其实没那么吓人。
就像吃火锅，虽然配料多得让人眼花缭乱，但只要心里有数，就能轻松享受。
我们就用一种轻松的方式，把这些抽象的定理给理清楚，包你听完之后心里美滋滋的，甚至想要和朋友炫耀一番。
2. 闭区间套定理2.1 什么是闭区间套定理？首先，闭区间套定理就像是数学界的“保底党”。
它告诉我们，如果有一系列闭区间，且每个区间都在前一个区间里面，那么这些区间一定有一个交集。
简单来说，就像一个个俄罗斯套娃，一个小娃娃总是藏在一个大娃娃里，最后你总能找到一个最小的那个娃娃！比如，你有一堆闭区间 (a_n, b_n)，如果 (a_1 leq a_2 leq ... leq a_n) 并且 (b_1 geqb_2 geq ... geq b_n)，那么就能找到一个数，能在所有这些区间中“安家落户”。
2.2 为什么它重要？这个定理的重要性不言而喻，想想咱们日常生活中的事情。
比如，你们要约个时间一起吃饭，每个人都希望时间能凑在一起，最后能找到一个大家都能的时间段。
就像这些区间，找到一个共同的点，大家都能满意，这就是闭区间套定理的妙处。
3. 有限覆盖定理3.1 有限覆盖定理是啥？接下来，咱们说说有限覆盖定理。
这个定理可以理解为：如果你有一个无限的“床”，想要把它盖起来，你就得用足够多的“被子”。
具体说，如果一个集合可以被一堆开区间覆盖，而这些开区间的长度都有限，那么总有办法用有限多个开区间来把这个集合“覆盖”。
就好比你有一块空地，想把它铺成草坪，虽然你买了一堆草皮，但只要你买的草皮够多，就一定能把这块地铺满！3.2 如何证明它？那么，如何用闭区间套定理来证明有限覆盖定理呢？其实，这就像是一场数学的“联欢会”。
首先，我们考虑所有的开区间，想象成一群朋友聚在一起，但不够热闹。
接着，我们把这些开区间的端点收集起来，形成一个闭区间套。
§7 有限覆盖定理
（ 矛盾！ 矛盾！ [ ] an η bn ）
α
β
注意：区间的有限性、 可少！ 注意：区间的有限性、闭性不 可少！
{(0, n)}, n = 1,2,3,⋯ 是(1,+∞ )的开覆盖 , 无有限覆盖 . 1 {( , 1)}, n = 2,3,⋯ 是 (0,1)的开覆盖 , 无有限覆盖 . n
•
•
数学家欧拉介绍
• • 欧拉的父亲保罗·欧拉（ 欧拉的父亲保罗 欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学， 欧拉 ）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学， 同时教他一点教学。由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利 同时教他一点教学。由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰 伯努利 的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文 岁时写了一篇关于船桅的论文， 的赏识和特殊指导，当他在 岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院 的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。 的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。 1725年约翰 伯努利的儿子丹尼尔 伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐 年约翰·伯努利的儿子丹尼尔 伯努利赴俄国， 年约翰 伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国 了欧拉，这样， 日欧拉来到了彼得堡。 了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅 岁的欧 年 月 日欧拉来到了彼得堡 年 年仅26岁的欧 拉担任了彼得堡科学院数学教授。 拉担任了彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计 年 欧拉解决了一个天文学的难题（ 算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决， ），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决 算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉 却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病， 却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不 幸右眼失明了，这时他才28岁 年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请， 幸右眼失明了，这时他才 岁。1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏 年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请 林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦 林担任科学院物理数学所所长， 直到 年 聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。 聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情 接踵而来， 年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅， 接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的 岁的欧拉被 年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅 带病而失明的64岁的欧拉被 围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来， 围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果 全部化为灰烬了。 全部化为灰烬了。 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。在他完全失明 之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻， 之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发 现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉 欧拉（ 现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子 欧拉（数学家和物理 学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗， 学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和 心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久 年之久。 心算进行研究，直到逝世，竟达 年之久。 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容， 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算 并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。 并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明 他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位 他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的 项加起来，算到第 位 项加起来 数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算， 数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最 后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中 年中； 后把错误找了出来。欧拉在失明的 年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和 很多复杂的分析问题。 很多复杂的分析问题。
实数的完备性 (2)
于是按定义 2，存在 {xn} 的一个收敛子列 以 ξ 为其极限.
证毕。
注： 聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。
1 n 1 n 如：S {(1 ) }, { xn } {(1 ) }, n n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚
点为e，因而在有理数域没有聚点。 数列{xn}是有理数域内的有界数列，但其极限
0，N 0, n N , 有 [ n , n ] U ( , ). 由推论得 ：
因此在 U ( ; ) 内含有 {an }中除有限项外的所有项，
即 lim an .
n
柯西收敛原理的意义不仅在于它提供了判断数列收敛 的一个充分必要条件，而且，他还是刻画实数完备性的最
在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说, 证明问
题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理 将这个数“套”出来。 怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法， 将此闭区间二等分 ，至少有
一个闭区间具有性质P。
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
在具体问题中，一个点集的开覆盖往往是由该问题的 某些具体条件所确定。 函数f 在 (a, b) 内连续， 0, x (a , b), x 0, 使
n
定义2 定义2 定义2 显然，
三个定义等价性的证明:
2
1
只需证： 定义2 定义2
取 1 1, 则x1 U ( ; 1 ) S， 显然 x2 x1，
(
(
x 2 x1
)
)
0, x U ( , ) S , 设 为S（按定义2 ）的聚点，
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业 班级指导老师 XXX摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …） 由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*） 由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ） 取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理 数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ） 与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋 金福临 朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。
有限覆盖定理证明魏尔斯特拉斯定理
有限覆盖定理证明魏尔斯特拉斯定理有限覆盖定理（Finite Covering Theorem）是一个重要的数学定理，它在分析学中起着重要的作用。
而魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass theorem）则是有限覆盖定理的一个重要应用，并且是数学分析中的一块金字招牌。
本文将从有限覆盖定理的证明入手，探讨魏尔斯特拉斯定理的来龙去脉。
有限覆盖定理，顾名思义，它与集合的覆盖有关。
首先，我们需要定义什么是一个覆盖。
给定一个集合X，如果存在一组子集A1，A2，…，An，使得X包含在这些子集中的任意一个中，那么我们称这组子集为集合X的一个覆盖。
更正式地说，如果对于集合X中的任意一个元素x，存在一个子集Ai，使得x属于Ai，那么{Ai}就是集合X的一个覆盖。
那么有限覆盖定理说的是什么呢？它指出，如果给定一个集合X，它是一个紧集，则X的任何一个开覆盖都存在有限的子覆盖。
这个定理的证明相对来说比较复杂，需要借助区间套定理和闭包的性质。
但是在这里，我不打算啰嗦地给出证明过程，而是想通过介绍魏尔斯特拉斯定理来展示有限覆盖定理的应用。
魏尔斯特拉斯定理是有限覆盖定理的一个重要应用。
它断言在实数域上定义的任何一个连续函数，都可以用一系列多项式函数来逼近。
简单来说，给定一个连续函数f(x)，无论它有多复杂，我们总是可以找到一组多项式函数Pn(x)，使得Pn(x)在整个实数域上收敛到f(x)。
这个定理的证明是基于有限覆盖定理的，我们可以通过构造一组适当的多项式函数来进行证明。
魏尔斯特拉斯定理的重要性在于它提供了一种将连续函数转化为多项式函数的方法。
在实际计算中，多项式函数往往比连续函数更容易处理。
通过使用多项式函数逼近连续函数，我们可以将复杂的计算问题简化为简单的多项式操作。
这在数值计算和数学建模中具有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常遇到需要计算连续函数的值或近似值的情况。
例如，当我们需要计算一个物理过程的数值模拟时，我们往往会遇到各种复杂的数学模型，其中包含了大量的连续函数。
简述实数的八大基本定理,并指出它们之间的关系
简述实数的八大基本定理,并指出它们之间的关系实数的八大基本定理可是数学里相当重要的内容呢，就像一座大厦的八根坚实柱子。
一、确界原理实数系R内，非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。
这就好比一群人在爬山，山有个最高的界限，虽然大家在不同高度，但这个最高界限就在那儿，这个最高界限就类似上确界。
比如说数集｛x | 0 <x < 1｝，它的上确界就是1，就像这群爬山的人最高只能到山顶（这里的山顶就是1）。
二、单调有界定理单调有界数列必有极限。
这就像一个人沿着一条笔直的路一直走，这条路有个方向而且他走得规规矩矩的（单调），并且他不会走到无穷远去（有界），那他肯定能走到一个终点（极限）。
比如说数列｛1 - 1/n｝，n越来越大的时候，这个数列的值越来越大，而且它是有界的，最大不会超过1，最后它就会趋近于1这个极限。
三、区间套定理设一无穷闭区间列｛[aₙ, bₙ]｝满足以下两个条件：1. [aₙ₊₁,bₙ₊₁]⊂[aₙ, bₙ]，n = 1, 2, …；2. lim(bₙ - aₙ)=0，那么存在唯一的实数ξ，使得ξ∈[aₙ, bₙ]，n = 1, 2, …。
这就像俄罗斯套娃一样，一个套一个，最后中间肯定有个确定的东西。
如果把区间想象成一个个盒子，越来越小的盒子套在一起，最后肯定有个非常小的空间里有个确定的点。
四、有限覆盖定理设H为闭区间[a, b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a, b]。
这就好比要给一块地铺上毯子，毯子是一块块小的（开区间），虽然毯子有很多很多块（无限个），但是只要是在一定的范围内（闭区间[a, b]），总能找到有限块毯子就把地给铺满了。
五、聚点定理实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。
这就像在一个小院子里养了好多好多只小鸡（点集S），小鸡虽然很多而且都在这个院子里（有界），那它们肯定会有聚集的地方，这个聚集的地方就是聚点。
六、致密性定理有界数列必有收敛子列。
实数完备性的证明及其应用
实数完备性的证明及其应用摘要一、实数完备性定理 1、闭区间套定理如果n n a b {[,]}形成一个闭区间套，即满足11n n n n a b a b n N ++⊃∈(i)[,][,],，n n a b →∞n (ii)lim(,)=0，则存在惟一的实数ξ属于所有的闭区间n n [a ,b ]，且n n a b ξ→∞→∞=n n =lim lim 。
2、聚点定理（又称维尔斯特拉斯聚点定理） 如果S 为有界无限点集，则S 必有聚点。
3、柯西收敛准则数列{}n x 收敛的充分必要条件是：{}n x 是基本数列，即{}n x 满足：对于任意给定的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时成立n m x x ε-<。
4、单调有界定理单调递增（减）有上（下）界数列必有极限。
5、有限覆盖定理闭区间a b [,]的任意开覆盖H 都含有一个有限子覆盖，即H 中可找出有限个开集覆盖a b [,]。
6、确界存在定理非空有上界的数集必有上确界；非空有下届的数集必有下确界。
二、实数完备性基本定理的证明1、由闭区间套定理出发，推其余五个定理 1）闭区间套定理⇒聚点定理证 设数列{}n x 有界，于是存在实数11,a b ，成立11,1,2,3,n a x b n ≤≤= 将闭区间11[,]a b 等分为两个小区间111[,]2a b a +与111[,]2a bb +，则其中至少有一个含有数列{}n x 中的无穷多项，把它记为22[,]a b 。
再将闭区间22[,]a b 等分为两个小区间222[,]2a b a +与222[,]2a bb +，同样其中至少有一个含有数列{}n x 中的无穷多项，把它记为33[,]a b 这样的步骤可以一直做下，于是得到一个闭区间套{[,]}k k a b ，其中每一个区间套[,]k k a b 中都含有数列{}n x 中的无穷多项。
根据区间套定理，存在实数ξ，满足k k k k a b ξ→∞→∞==lim lim 。
实数公理即经典定理证明
实数公理与经典定理证明一、 实数公理1.1域公理若某个集合A 满足如下定义则称为域，定义两种二元运算加法+和乘法⨯ 。
（1）,A <+> 满足交换群【1】封闭性：,x y A ∀∈ ，有x y A +∈【2】结合律：,,x y z A ∀∈，()()x y z x y z ++=++【3】单位元：存在唯一一个元素e A ∈ ，满足x A ∀∈，x e e x x +=+= 【4】逆元：x A ∀∈ ，存在*x A ∈ ，满足*x x e += 【5】交换律：,x y A ∀∈ ，有x y y x +=+（2）/{},A e <⨯> 满足交换群（/{}A e 表示A 除去加法单位元的集合）【1】封闭性：,x y A ∀∈ ，有x y A ⨯∈【2】结合律：,,x y z A ∀∈，()()x y z x y z ⨯⨯=⨯⨯【3】单位元：存在唯一一个元素g A ∈ ，满足x A ∀∈，x g g x x ⨯=⨯= 【4】逆元：x A ∀∈ ，存在'x A ∈ ，满足'x x e ⨯= 【5】交换律：,x y A ∀∈ ，有x y y x ⨯=⨯ （3）满足结合律：,,x y z A ∀∈，满足()x y z x z y z +⨯=⨯+⨯对于数的集合，其定义的加法和乘法就是四则运算中的加法和乘法。
若数域A ，则加法单位元是0，乘法单位元是1。
1.2有序公理对于非空集合A ，并定义“>”表示A 中两个元素的关系，若满足以下性质，则称A 是有序的。
（1）(三歧性),a b A ∀∈ ，则a b >，a b =，b a > 有且仅有一个满足（2）（传递性）,,a b c A ∀∈ ，满足a b >， b c >则a c >1.3阿基米德公理 （也称阿基米德性质，它并不是严格意义上的公理，可以由完备性公理证明。
在欧几里得的几何书中，它仅被描述为一个命题）。
实数的连续性
S 中存在有限个开区间也覆盖了
闭区间 a ,
定理.
b
.
注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔
2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间 a , b 改为
1 ,1) n N 开区间 ( a , b ) ,定理不一定成立.例如开区间集 ( n 1
,
定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 inf E (1) x E , x ; (2) xn E , xn ( n )
n n 1 例1 证明 sup n N 1, inf n N . n1 n1 2
2）在具有性质 . P 的区间中确定一个长度不超过该区间 1 长度 的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法）， 2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P 的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
非空数集 E 有上界,则它有无限多个上界,在这无 限多个上界之中,有一个上界 与数集 E 有一种特殊 关系. 定义:设 E 是非空数集.若 R 使 (1) x E , x ; (2) 0, x E , 有 : x . 则称是 数集 E 的上确界.表为 sup E
注:区间套定理中要求各个区间都是
闭区间，否则结论不一定成立.
1 例如 开区间序列 1， . n
区间套定理的应用：一般来讲，证明问题需要找 出一个具有某种性质 P 的数，常用区间套定理将这个 数“套”出来.
具体方法是： 1）构造一个具有性质 . P 的区间，性 质 P要根据性质 P 来定;
同样有 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ], 并且 b2 a2 (b1 a1 ). 2 将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间[an , bn ]
数分第一章第十节有限覆盖定理
第一章 实数和数列极限第十节 有限覆盖定理在这里，我们介绍与实数的连续性等价的最后一个命题。
为此目的，需要引入一些定义。
一 、覆盖的概念定义 1.12 设A 是一些实数组成的集合， }{λI 是一个开区间族，其中每个元素λI 是一个开区间，Λ∈λ，这里的Λ称为指标（标识或标记）集。
如果 λλI A Λ∈⊂ ， 这时称开区间族}{λI 是A 的一个开覆盖，或者说}{λI 盖着了A 。
}{λI 是A 的覆盖也可以等价地叙述为：任取A a ∈，总有}{λI 中的一个成员，记为)(a I λ，使得)(a I a λ∈。
生活中覆盖的事例：房子上的瓦片覆盖了屋顶； 地面上的地砖覆盖了地面； 一段地下水管的一节节管道覆盖了输水线；军训时，每人头上都戴一个帽子，站在高处看，每人的帽子形成的集合就盖着了人头的集合；广场上一群人打雨伞听报告（一人或几人共用一把伞，没人冒雨），则雨伞集合覆盖了人的集合；一棵大树，枝繁叶茂，则数叶集覆盖了一片树荫地；北航荷花池的荷叶满塘（8、9月份），则荷叶集合覆盖了整个池水面；战役开始或军事演习时，一般是想先用炮火把敌人的防御工事阵地整个地轰炸一遍，下达的开火命令是：覆盖（影视剧中），等等。
例如：（1）}:1{*N n nA ∈=， )23,21(1=I ，)11,11(-+=n n I n ， ,3,2=n显然}{λI 是A 的一个开覆盖；},2,1{ =Λ∈λ（2）}10:{]1,0[≤≤==x x A ，)1001,21(0-=I ，)23,21(1=I ，)11,11(-+=n n I n ， ,3,2=n 显然}{λI 是A 的一个开覆盖，},2,1,0{ =Λ∈λ ；（3）}10:{)1,0(<<==x x A ，)11,11(-+=n n I n ， ,3,2=n 显然}{λI 是A 的一个开覆盖，},3,2{ =Λ∈λ。
（1]1[1]1[1]1[+<≤≤-x x x x ）（4）}10:{)1,0(<<==x x A ，)11,1(nn I n -=，3,4,n =显然}{λI 是A 的一个开覆盖，},3,2{ =Λ∈λ（5）}1:{),1[+∞<≤=+∞=x x A ， 0),)1(,)1((>+-=δδδn n I n ， ,3,2,1=n显然}{λI 是A 的一个开覆盖，},3,2,1{ =Λ∈λ；（6）}:{],[b x a x b a A ≤≤==，)0(),,(>+-=λλλλδδλδλI ， ],[b a =Λ∈λ，显然}{λI 是A 的一个开覆盖。
有限覆盖定理
[an , bn ], 且其中 如此下去, 得到闭区间套
每一个区间都不能被有限覆盖.
由闭区间套定理, 知
n 1
[a n ,bn ],
且 lim an lim bn .
n n
[a , b],
在I 中至少有一个 ( , )盖住 , .
由极限性质, N , 如n N , 必有
an bn ,
[an , bn ] ( , ) 矛盾！
注
区间的有限性、闭性不可少！
{(0, n)}, n 1,2,是(1,)的开覆盖,
1 {( , 1)}, n 2,3, 是(0,1)的开覆盖, n 无有限覆盖.
若I 是有限闭区间 [a, b]的任意一个（无限）开 覆盖，
则必可从中选出有限个开区间来覆盖 [a , b]. 证明： 反证法
设[a, b]不能被I 中有限个开区间覆盖 ,
将 [a, b] 二等分, 必有一个区间 [a1 , b1 ]不能
被有限覆盖.
[a1 , b1 ]二等分, 必有一个闭区间 [a2 , b2 ]不能
无有限覆盖.
思考题目： 用有限覆盖定理证明闭区间套
定理（详细证明见教材）
三、六个等价定理证明思路
单调有 界定理 确 界 定 理 闭区间 套定理
列紧性 定 理
有限覆 盖定理
Cauchy 收敛定理
§1.7 有限覆盖定理
一、覆盖
定义7.1
I , 给定集合A, 若有一族开区间 ，
ห้องสมุดไป่ตู้使A
I 是A的一个开覆盖. 或称开区间族
等价定义
I , 称这一族开区间覆盖了A.
第三讲 有限覆盖定理
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
若定理不成立, 也就是说 [a, b]不能被 H 中任何有
限个开区间所覆盖. 将区间[a, b]等分成两个子区间,
那么这两个子区间中至少有一个不能被 H中任意有
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
实数完备性基本定理之间的等价性
我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它 们是:
确界定理 单调有界定理 区间套定理 聚点定理 有限覆盖定理 柯西收敛准则
下面证明这六个定理是等价的.
数学分析 第七章 实数的完备性
都不是聚点. 这就是说存在δ x > 0(δ x 表示与x 有关)， 使得( x − δ x , x + δ x ) ∩ S =有限集.
设开区间集
H= {( x − δ x , x + δ x ) | x ∈ [− M , M ], δ x > 0,
( x − δ x , x + δ x ) ∩ S =有限集 }.
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理之间的等价性
确界定理
6 柯西收敛准则
1 单调有界定理
5 聚点定理
2 区间套定理
4 3 有限覆盖定理
定理2.11用致密性定理证明了柯西准则，5 成立. 所以在上图的等价性关系中, 仅 4 和 6 尚未证明. 这里给出 4 的证明, 6 请大家自己阅读教材.
开放讲座-第二讲-关于闭区间套和有限覆盖定理的讨论
则得到 f a1 f b1* f b2* f b1 .
结论得证
问题5
f x C a , b , f a f b 0, 则c a , b ,
n 1
即
lim an lim bn
n n
[ [ [ ... [ ... ] ... ] ] ]
a1 a2 a3 an bn b3 b2 b1
闭区间套定理应用
单调有 界定理 确 定 界 理 闭区间 套定理
列紧性 定 理
有限覆 盖定理
Cauchy 收敛定理
用闭区间套定理证明柯西收敛定理
n
a
n
0；
因此 lim an lim bn ， a , b .
在 I 中至少有一( , )， .
根据数列极限的定义
= -，N 1 N * , n N 1 : an , = -，N 2 N * , n N 2 : bn ,
一、覆盖
定义1
给定集合A, 若有一族开区间I , ，
使A
或称开区间族I 是A的一个开覆盖.
等价定义
I , 称这一族开区间覆盖了A.
I 是A的覆盖 : 任意x A,
，使x I 0 . 总有一个开区间 I 0 I
例1 开区间族
。
n
i 1
覆盖了 a , b , 假设x1 x2 xn .
x a , b , U ( x1 ; x1 ), x U ( x1 ; x1 ) a , b , f x 0 U ( x1 ; x1 ) U ( xk ; xk ) x U ( x k ; xk ) a , b , f x 0 U ( x k ; xk ) U ( x l ; xl ) , x U ( x l ; xl ) a , b ， f x 0 ............ x U ( xi ; xi ) a , b , f x 0, i 1, 2, , n 与f a 0, f b 0矛盾！
数学分析第二讲 实数系的6个定理
数, N 2 N 1 .{an } n N 2 小数点后面第二位恒为x2 .
单调数列收敛定理
重复上述过程得到:
a A. x1 x2 x3 x4
一样,为 A. x1 x2 x3
；N 0 N1 N 2
xi i 1, 2, 3, 4
特点： {an } n N i 整数部分以及一直到小数点后面第i 数值
单调数列收敛定理
注1:单调递增数列 xn , lim xn n N * : xn
n
注2:单调递减数列 xn , lim xn n N * : xn
n
推论
(1)单调数列收敛的充分必要条件为有一个子列的极限存在 (2)单调数列发散的充分必要条件为有一个子列的极限不存在 (3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷 (4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界
下证a A. x1 x2 x3 x4 就是数列{an }的极限.
对 0, 取m N * , 满足 10 m , n N m , an的整数部分和前m位上的数码与a是一样.
| an a | 10 m
即 lim an A. x1 x2 x3 . 结论得证 n
n 1
< b2 < b1
2) 区间长度 | I n | bn an 0 (n )
则存在唯一一点 满足： In
列紧性定理
列紧性定理
任意有界数列中必有收敛子列.
证明： 设 xn 满足a xn b.
1 将区间[a, b]二等分, 选包含 xn 的无穷多项子
闭区间套定理
逐步逼近：闭区间套定理
定理 设I n [an , bn ], n N * , 为一列闭区间, 满足
有限覆盖定理证明闭区间套定理
有限覆盖定理证明闭区间套定理
有限覆盖定理证明闭区间套定理是指：对于有界闭区间[a，b]的一个(无限)开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。
(区间套定理：若[an,bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an,bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。
)证明：用反证法假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。
记这个子区间为[a1,b1],则
[a1,b1]包含于[a,b],且b1-a1=(b-a)/2.再将[a1,b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。
记这个子区间为[a2,b2],则[a2,b2]包含于[a1,b1],且b2-a2=(b-
a)/2^2.重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an,bn]},它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。
但，由区间套定理，存在唯一点c属于所有区间
[an,bn].由于H是[a,b]的开覆盖，一定存在H中的一个开区间
(a0,b0),使c属于(a0,b0).即a0N时,a0<an<=c<=bn<b0.这表明，只用开区间(a0,b0)就覆盖了区间[an,bn].这与挑选[an,bn]时假设“[an,bn]不能用H中有限个开区间覆盖”矛盾。
从而证得，必存在H中有有限个开区间能覆盖[a,b].。
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n n
，
n
n
定义 • 设 Ω 是直线上的点集,η(η ∈ Ω或η ∉ Ω 均可) 是一个定点.若 η 的任意邻域内都含有 Ω 的无限多个点,则称η 为点集Ω 的一个聚 点。
定理（聚点原理） 定理（聚点原理） 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 推论（致密性定理） 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛的子列。 有界数列必有收敛的子列。
− an
)=
0
则 lim a n = lim bn = ϖ n→∞ n→∞ 是所有区间的唯一公共点。 这里 ϖ 是所有区间的唯一公共点。
注意： 注意： 在闭区间套定理中， 在闭区间套定理中，若将闭区间改为开 区间，定理一般不成立。 区间，定理一般不成立。对于二维及二 维以上的空间， 维以上的空间，我们有类似的闭集合套 原理。 原理。
闭区间套定理与有限覆盖定理
1.夹逼准则 夹逼准则
满足下列条件: 如果数列xn , yn及zn满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞
(n = 1,2,3⋯ )
(2) lim yn = a, limzn = a,
的极限存在, 那末数列xn 的极限存在, 且lim xn = a.
n→∞
n→∞
注意: 注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出yn与zn ,
. 并且yn与zn的极限是容易求的
夹逼定理示意图
g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x )
A
1 1 1 例1 求 lim( ). + 2 + ⋯+ 2 2 n→∞ n +1 n +2 n +n
例2 设 0 < c < 1, 证明
若把满足闭区间套定理的闭区间称为闭区 间套， 间套，那么我们得到了闭区间套的一个有 用的性质： 用的性质：
]} 推论 设 {[a , b是一个闭区间套，存在一点 是一个闭区间套， ) ξ ∈ [a , b ](n = 1,2,⋯， 则对任意 ε >0 ， 存在正整数 n> N [a , b ] 。 (ξ , ε ) ⊂ U 当 N 时，总有
lim
n→ ∞
[(n + 1 )
c
−பைடு நூலகம்nc = 0
]
2.闭区间套定理 闭区间套定理 设闭区间套列 [a1 , b1 ], [a 2 , b2 ],⋯, [a n , bn ],⋯ 满足
a （1）对任意的正整数 n， n ≤ a n+1 < bn +1 ≤ bn ）
（2） ）
lim
(b n n→ ∞