全国初中数学竞赛试卷

全国初中数学竞赛试题

一、选择题。

1．已知实数a ≠b ，且满 则 的值为( )． (A)23 (B)-23 (C)-2 (D)-13 2．若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为

h ，则( )．

3．一条抛物线 的顶点为(4，-ll)，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a 、b 、c 中为正数的( )．

(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a 和b

4．如图所示，在△ABC 中，DE//AB//FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为l ：2．若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG 的面积S 等于( )．

(A)6 (B)8 (C)10 (D)12

5．如果x 和y 是非零实数，使得 那么x+y 等于( )．

二、填空题

6．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAD ＝600

，则∠EDC ＝ 度．

7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T

与这两个城市的人口数m 、n(单位：万人)以及两城市间的

距离d(单位：km)有 的关系(是为常数)．现测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知

A 、

B 两个城市间每天的电话通话次数为t,那么B 、

C 两个城市问每天的电话通话次数为 次(用t 表示)．

3)1(3),1(33)1(2=++-=+b a a .)1(2+-b b

a

a b

b +α2)(h ab A =h b a B 111)(=+222111)(h b a C =+2

222)(h b D =+αc bx ax y ++=22d kmn T =和3=+y x 13)(B 213

1)(-C 13

4)(-D 3)A (03=+x y x

8．已知实数a 、b 、x 、y 满足a+b=x+y=2,ax+by=5则(a 2+b 2)xy+ab(x 2+y 2)= . 9．如图所示，在梯形ABCD 中，AD//BC(BC>AD)，∠D=900，BC=CD=12，

∠ABE=450，若AE=10，则CE 的长为 ．

10．实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是 .

A 卷

三、解答题。

11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数

是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣

激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始

分散．学生注意力指标数y 随时间x(分钟)变化的函数图像如图所

示(y 越大表示学生注意力越集中)．当0≤x ≤10时，图像是抛物线

的一部分，当l0≤x ≤20和20≤x ≤40时，图像是线段．

(1)当0≤x ≤10时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；

(2)一道数学竞赛题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36．

12．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组 有整数解(x ，y)，求a ，b 满足的关系式．

13．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB ＝3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得∠ADP ＝∠ACB ，求： 的值．

14．已知a<0，b ≤0，c>0，且 ，求 的最小值．

B 卷

三、解答题。

11．一列客车始终做匀速运动，它通过长为450米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33秒；它穿过长760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒．从客车的对面开来一列长度为a 米，速度为每秒 米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用t 秒．

⎩⎨⎧+=--=b

ax y bx ax x y ,23PD PB

=-ac b 42ac b 2-⋅-ac b 42ν

(1)写出用以a 、

表示t 的函数解析式； (2)若货车的速度不低于每秒12米，且不到每秒15米，其长度为324米，求两车交错所用时间的取值范围．

12．甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食．如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库

的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋?

13．设点E 、F 、G 、H 分别在面积为l 的四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，且k HA DH GD CG FC BF EB AE ====（k 是正数），求四边形EFGH 的面积．

14．在9×9的方格表中，有29个小方格被染上了黑色．如果m 表示至少包含5个黑色小方格的行的数目，行表示至少包含5个黑色小方格的列的数目，试确定m+n 的最大值．

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