二次根式的概念和性质电子教案

|x |4
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解 ： 由 x -1 ≥ 0 ， 得 x ≥ 1 。
问 ： 将 式 子 x -1 改 为 1 -x ， 则 字 母 x 的 取 值 必 须 满足什么条件呢？
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键 例 已知 x- 1+ y+3=0，求x＋y的值 解：∵ x - 1 ≥０， y + 3 ≥０，
它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 x≤__3___时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解 ： 由 x-2≥ 0， 且 x-3≠ 0, 得 x≥ 2 且 x≠ 3。
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
x-2 x-1
有意义，
字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ x≥2
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
的取值范围
1
（１） 3 x （２） 2 x 5
由 3x0得x： 3 由 2x50得： x5
2
（３） 1 x
x
由 1xx00得x： 1且 x0
2．（１） (3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1x)2 __x__1
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
（４）若
(x 7)2 1
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04; 49
观察： 上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数 即:a0
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
练习：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 ( 2 ) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 25x 5 2x12
6 x532x
7 2 x 1
1 x
（8）
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
，
x7
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿7
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
?
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
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5、 x-3 + 4-x
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
当x＝- 3 时，x－１<０
二次根式
1.二次根式的概念
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
x- 1+ y+3=0
∴ x - 1 ＝０， y + 3 ＝０ ∴x＝１，y＝－３ ∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
(1 )(3 -p )2 (2 )x 2-2 x + 1 (x= - 3 )
解：(1) (3- p)2 =|3- p|
∵ 3- p< 0
∴ (3- p)2 = p- 3 (2) x2-2x+1=(x-1)2=|x-1|
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x0
x
(5) x 3 x0
(7) 1 a < 1 1 2a 2
1 (6) x 2 (8) 3 x
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
2 1
1 2a