信号与系统4—连续时间傅立叶变换

−LCω 2Y ( jω) + jRCωY ( jω) + Y ( jω) = X ( jω)
H ( jω)
=
Y ( jω) X ( jω)
=
−LCω 2
1 + jRCω +1
∫ 积分
t x(τ )dτ ⇔ 1 X ( f ) + 1 X (0)δ ( f )
−∞
j2π f
2
P218：例4.12
4 连续时间傅立叶变换
从傅立叶级数到傅立叶变换推导 周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换性质 —— 线性、时移、微分积分、时频尺度变换、帕斯瓦 尔定理、卷积、相乘 由线性常系数微分方程表征的系统
1
4.1 非周期连续时间信号的傅立叶表示
从傅立叶级数到傅立叶变换。
傅立叶级数 与周期T无关的包络函数
∫ ∫ ∑ 1
T
x(t) 2 dt = 1
T
T
∞ X ( jω) 2dω =
−∞
k
ak 2
10
4.3 连续时间傅立叶变换性质
x(t) ⇔ X ( f ), y(t) ⇔ Y ( f ), h(t) ⇔ H ( f )
卷积性质 两信号时域卷积对应频域信号乘积：传递函数 H(f)
y(t) = h(t) * x(t) ⇔ Y ( f ) = H ( f ) X ( f )
8
4.3 连续时间傅立叶变换性质
x(t) ⇔ X ( f ), y(t) ⇔ Y ( f )
共轭及共轭对称性 x∗ (t) ⇔ X ∗ (− f )
若信号为实函数，则谱有共轭对称性： x∗ (t) = x(t) ⇔ X ∗ (− f ) = X ( f ) → X ∗ ( f ) = X (− f ) → Re{X ( f )} = Re{X (− f )}, Im{X ( f )} = − Im{X (− f )}
对偶性
∫ x(t) = 1 ∞ X ( jω)e jωt dω
2π −∞
∫ X ( f ) = ∞ x(t)e− jωt dt −∞
9
4.3 连续时间傅立叶变换性质
x(t) ⇔ X ( f ), y(t) ⇔ Y ( f )
帕斯瓦尔定理
能量信号的帕斯瓦尔定理指出：信号的总能量即可以按每单位时间内的能
信号频域的平移，会给时域乘以指数因子。 ¾ 卷积特性 ———— 两函数在时域卷积的频谱等于分别作频谱后的点乘；
两函数频谱卷积后乘常数等于时域信号点乘后作频谱。 ¾ 微积分特性 ——— 该性质使用微分方程表示的 LTI 系统可以方便地变换
到频域去分析。 ¾ 帕斯瓦尔定理 —— 同一信号分别在时、频域中表示所代表的能量相同。
2
4.1 非周期连续时间信号的傅立叶表示
傅立叶变换的推导
傅立叶变换对
∫ ∫ x(t) = 1 ∞ X ( jω)e jωt dω = ∞ X ( jf )e j2π ft df
2π −∞
−∞
∫ X ( jω) = ∞ x(t)e− jωt dt −∞
幅度频谱与相位频谱
x(t) ⇔ X ( f ) X ( f ) = Re{X ( f )} + j Im{X ( f )} = X ( f ) e j(X ( f )
量在整个时间内积分获得，也可以按每单位频率内的能量在整个频率范围内
积分获得。
∫ ∫ ∫ ∞ x(t) 2 dt = 1 ∞ X ( jω) 2dω = ∞ X ( f ) 2df
−∞
2π −∞
−∞
比较周期信号的帕斯瓦尔定理
周期（功率）信号在一个周期内的平均功率（也就是单位时间内的能量）就 等于它的全部谐波分量的平均功率之和
12
aa
例：把下图信号写作一组方波和: rHWC(t) = Hrect[(t - C)/W]
RHWC ( f )
=
e− j 2π fC
2H 2π f
sin (W 2π
f
/ 2)
j 3 2π f
S( f ) = e 2
4 sin (2π f ) / 2 + e− j2π f
2 ( ) sin 2π f + e− j3×2π f
∞
∑ X ( jω) = 2π akδ (ω − kω0 ) k =−∞ 5
4.2 周期信号的傅立叶变换
采样函数：周期性脉冲串
∞
∑ X ( jω) = 2π akδ (ω − kω0 ) k =−∞ 6
4.3 连续时间傅立叶变换性质பைடு நூலகம்
x(t) ⇔ X ( f ), y(t) ⇔ Y ( f )
线性
1 sin (2π f )
2π f
2π f
2π f
7
4.3 连续时间傅立叶变换性质
x(t) ⇔ X ( f ), y(t) ⇔ Y ( f )
微分
∫ dx(t) = ∞ j2π fX ( f )e j2π ftdf ⇔ j2π fX ( f ) = jω X ( jω)
dt
−∞
例：RLC电路的输入电压x，输出电压y，输入输出关系表示为：
相乘性质 两信号时域乘积对应频域信号卷积：调制
y(t) = h(t)x(t) ⇔ Y ( f ) = H ( f ) * X ( f ),Y ( jω) = 1 H ( jω) * X ( jω) 2π
*
11
4.3 连续时间傅立叶变换性质
傅立叶变换（级数）的性质 傅立叶变换和傅立叶级数有许多重要性质，
幅度频谱 X ( f ) 相位频谱 (X ( f )
傅立叶变换收敛 —— 狄里赫利条件
3
4.1 非周期连续时间信号的傅立叶表示
单位冲激函数的傅立叶变换 —— 白噪声？ 矩形脉冲的傅立叶变换
傅立叶系数是矩形脉冲的时域信号
4
4.2 周期信号的傅立叶变换
单一频率信号的傅立叶变换系数与傅立叶级数比较
ax(t) + by(t) ⇔ aX ( f ) + bY ( f )
时移
x(t − t0 ) ⇔ e− j 2π ft0 X ( f ) = e− j 2π ft0 X ( f ) e j[(X ( f )−2π t0 ]
尺度变换 x(at) ⇔ 1 X ( f ), a为实常数 a = −1, x(−t) ⇔ X (− f )
这些性质对于信号在时、频域的分析很有用。请注意时域和频域的对称性。 ¾ 线性 —————— LTI 系统能进行时、频域分析的基础。 ¾ 奇偶虚实性 ——— 可通过原信号确定对应变换域信号的一些对称性质。 ¾ 尺度变换 ———— 信号在某一域尺度扩大会导致在对应域的尺度缩小，
反之亦然。 ¾ 时、频移特性 —— 信号在时域的平移，会带来频域相位线性变化；