采样抽样频率

fs 8000Hz, Ts 1 / fs 125s, nTs 8 125s 1000s
5. 频率分辨率（抽样间隔）：
F0

fs N
6. 数据记录长度：
A2. 以采样频率fs对x(t)采样后，得到了离散信号x(n)，它是由采样后的离散点组成 的，相邻两点之间的时间间隔就是采样周期Ts
A3. 我们对x(n)进行DTFT，把时间t=nTs的函数x(n) 转换成数字角频率ω的函数X(ω)，
在这一转换过程中，存在着如下的频率对应关系：
2 f fs
C1. 只要有一个N点序列，就可以用下面的定义找到一个N点DFT分析它的频率
响应特性，如果序列的长为L<N，可以补零使长度变为N
j 2 k

j 2 kn
X (k) X (e N ) x(n)e N , k 0,..., N 1
n
C2. 反过来，如果用N点DFT还原时域信号，则会得到一个无限长的周期信号，对该
A4. 观察DTFT，注意到横轴是数字化角频率，并且具有周期性，周期为2π，在一
个周期[0, 2π)内，它给出了信号从 频率=0 连续变化到 频率=fs 的信号频谱(参见第3 条的频率对应公式)，即DTFT的一个周期[0, 2π)对应了信号时域下的频率[0, fs]
A5. 观察DFT，它是离散的，由于离散是通过对[0, 2π)进行N等分得到的，因此相邻 离散点之间的间隔为2π/N.
B3. 我们可能只截取了周期为T的连续时间信号x(t) 的一小段构成x(n)，这一小段的
长度为N，我们以N为周期进行序列周期延拓，得到如下关系式：x(n) x( n N )
B4. 注意x(t) 具有周期T，而 x(n) 的周期为N，N值既是序列的点数，也是 x(n) 的周
期值，由于 x(n) 是一个周期序列，因此我们可以把它展开成傅里叶级数DFS：
---
---
---
X ej
DTFT
X k
DFT
采样
---
0

2
0

2
0 1 2 N-1
k
2
定义：我们把X(k)称为长为N的序列x(n)的离散傅里叶变换（DFT），恰好它也是N个点 构成的序列，但是要注意，时域下的n值与频域下的k值不是对应的！
A1. 观察连续信号x(t)，它本身有自己的频率f，也就是信号本身的周期为T=1/f
x(n)
1 N
N 1
j 2 nk
X (k)e N
k 0

1 N
N 1
X p (k )WNnk
k 0
其中
WN

e j0

j 2
e N,k
0,..., N
1
B5. 观察DFS的表达式 ，它是描述了一个时域下、周期性的离散信号序列，序列的 主值区间取值为第3步得到的x(n)
A6. 综合4、5两点可以看出，在DFT的给出的频谱图中，相邻两个点之间的间隔表
示为数字角频率是2π/N，表示为时域下的实际频率为fs/N
因此，我们可以定义频率分辨率：
F0

fs N
B1. 观察连续信号x(t)，它本身有自己的频率f，也就是信号本身的周期为T=1/f
B2. 以采样频率fs对x(t)采样后，得到了离散信号x(n)，它是由采样后的离散点组成 的，相邻两点之间的时间间隔就是采样周期Ts
信号的主值区间取值就可以得到原有N点离散信号，即频域抽样造成时域周期延拓：

x(n) x(n rN ), 0 n N 1 r
Thursday, August 01, 2019
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如何应用DFT
时域序列
x(n)表示第n个分量值；
频域DFT序列
X(k)表示第k个频谱分量的幅度
B8. 如果画出 X (k ) 与X(k)的图，可以发现，后者恰好就是前者主值序列，因此DFT
可以被认为是周期序列傅里叶级数的复指数项系数的主值部分，事实上，原始的 DFT定义就是根据这一物理含义推导出来的，而不是前面所述对DTFT抽样获得
A1-A6的分析，从对DTFT进行N点抽样的角度，得到DFT定义； B1-B8的述分析，从离散傅里叶级数的角度得到DFT定义； 不论如何得到DFT，最重要的都是要知道为什么要费力得到DFT，即 把时域离散信号转化为频域信号，通过计算机分析离散频率点上的信 号幅值，试图从此了解原有时域信号的本质特征！
DTFT定义：

X (e j ) x(n)e jn n
在一个周期
内的N个频
率点上取样
j 2 k

j 2 kn
X (k) X (e N ) x(n)e N ,
n
k 0,..., N 1
上述过程用图表示为：
DTFT
X ej
一个周 期内N点 离散化
数字信号处理
复习：DFT
为了进行计算机处理，我们对连续信号通过采样离散化， 采样的数学描述为：
x(nTs ) x(tn ) x(t) ttn ,tnt0 ,t1, ,tN1
为了分析x(n)的频率特性，我们对它进行DTFT，得到一个周 期性的、连续的频谱曲线，上述过程可以用下图描述：
B6.观察DFS的表达式 ，式中旋转因子项的系数 X (k ) 也是一个周期序列，具有如下
表达式：
N 1
X (k ) x(n)WNnk n0
B7.观察 X (k ) 的表达式，可以发现它与前面从DTFT采样得到的DFT有着一样的表 达形式，唯一的区别是，X (n) 是一个无限长的周期序列，而X(k)是一个N点序列
x(t)
0
以时间间 隔Ts采样
t
x(nTs) Ts
DTFT
---
t - Ts 0 Ts 2Ts
X e j
0
2
---

为了用计算机在频域下分析信号，我们对x(n)经过DTFT后得到的连续曲线，在其一个 周期内继续离散化，具体做法是：把DTFT的一个周期N等分，采样N个频率点上的值， 用公式表示为：
周期与频率：
周期与频率：
1. 时域信号周期，信号 1. 与模拟频率对应的数字频率；
频率；
2. DTFT的周期；
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2. 时域信号的延拓周期， 3. DFS的周期；
信号的点数；
4. DFT的点数；
3. 采样周期，采样频率；
Thursday, August 01, 2019
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Example: 宽为L的矩形序列及其DFT表达