八年级初二数学勾股定理练习题含答案

八年级初二数学勾股定理练习题含答案
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判
断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=3DE.其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2016的值为（）
A．（
2
2
）2013B．（
2
2
）2014C．（
1
2
）2013D．（
1
2
）2014
4．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D 的边长为( )
A ．3cm
B ．14cm
C ．5cm
D ．4cm 5．如果直角三角形的三条边为3、4、a ，则a 的取值可以有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．如图，△ABC 中，AB=10，BC=12，AC=213，则△ABC 的面积是（ ）．
A ．36
B ．1013
C ．60
D ．1213 7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4
B ．16
C ．34
D ．4或34
8．如图，BD 为ABCD 的对角线，45,DBC DE BC ︒
∠=⊥于点E ，BF ⊥DC 于点F ，DE 、BF 相交于点H ，直线BF 交线段AD 的延长线于点G ，下列结论：①1
2
CE BE =
；②A BHE ∠=∠；③AB=BH;④BHD BDG ∠=∠;⑤222BH BG AG +=；其中正确的结论有（ ）
A ．①②③
B ．②③⑤
C ．①⑤
D ．③④ 9．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ）
A ．2,3,4
B ．4,5,6
C ．2223,4,5
D ．6,8,10
10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米
B ．15平方千米
C ．75平方千米
D ．750平方千米
二、填空题
11．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，
BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.
12．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．
13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)
14．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若
22AB =，42AC =，则DA 的长为______．
15．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
16．如图，正方体的底面边长分别为2cm 和3cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm ．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为
MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则
2
2
MN
BM
的值为
______________．
18．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
19．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，22），点G的斜坐标为（7，﹣22），连接PG，则线段PG的长度是_____．
20．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方行ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH,已知AM为Rt△ABM的较长直角边，AM7EF，则正方形ABCD的面积为_______.
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
22．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
23．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .
24．已知ABC ∆中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：
BD CE =
（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，
CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求
AD
AB
的值.
25．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________； （2）求证：ABD ∆是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P 是直线AC 上的一点，且1
3
CP AC =
，连接PE ，直接写出PE 的长. 26．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．
（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；
（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．
（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 122），P 2（2，2），P 3
（2，22），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是 ．（写出你认为正确的点）
28．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．
（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是 ． （2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ； （3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．
29．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；
②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．
30．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠CAD；
（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．
ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．
∵DC＝2，BD＝6，
∴BC＝8，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝8，
根据勾股定理可得DC′＝2222
'+=+=．
BC BD
8610
故选：B．
【点睛】
此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出
AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，从而判断出③小题正确；
2倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出④小题错误．
【详解】
解：∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴CD=
1
2
AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴AE=DE ，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°， ∴∠BAE=∠CDE ， 在△ABE 和△DCE 中，
AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确； ∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确； ∵∠AEB+∠BED=90°， ∴∠DEC+∠BED=90°， ∴BE ⊥EC ，故③小题正确； ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴
DE ，
∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点， ∴
DE ，
DE ，
在Rt △ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2=
DE ）2+（
DE ）2=10DE 2， ∵BE=EC ，BE ⊥EC ， ∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2， ∴2EC 2=10DE 2，
解得
，故④小题错误， 综上所述，判断正确的有①②③共3个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE 是等腰直角三角形推出AE=DE ，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．
3．C
解析：C 【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得出S 2+S 2=S 1，写出部分S n 的值，根据数的变化找出变化规
律“S n =(
12)n−3
”，依此规律即可得出结论． 【详解】
解：在图中标上字母E ，如图所示．
∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形，
∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ，
∴S 2+S 2=S 1．
观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=
12S 1=2，S 3=12S 2=1，S 4=12S 3=12，…， ∴S n =(12
)n−3． 当n=2016时，S 2016=(
12)2016−3=(12)2013． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是
找出规律“S n =(
12
)n−3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n 的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 4．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长.
【详解】
解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2，
又∵1010A B C D S S S S +++=⨯ ，
∴36+25+25+S D =100，
∴S D =14，
∴正方形D 14
故选：B.
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求解即可，注意要确认a 是直角边还是斜边.
【详解】
解：当a 是直角三角形的斜边时,22345a =+= ；
当a 为直角三角形的直角边时,22437a =-=．
故选C ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
作AD BC ⊥于点D ，设BD x =，得222AB BD AD -=，222AC CD AD -=，结合题意，经解方程计算得BD ，再通过勾股定理计算得AD ，即可完成求解．
【详解】
如图，作AD BC ⊥于点D
设BD x =，则12CD BC x x =-=-
∴222AB BD AD -=，222AC CD AD -=
∴2222AB BD AC CD -=-
∵AB=10，AC=213∴(()222210213
12x x -=-- ∴8x =
∴22221086AD AB BD =-=-=
∴△ABC 的面积111263622BC AD =
⨯=⨯⨯= 故选：A ．
【点睛】
本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解．
7．D
解析：D
【解析】
试题解析：当3和5
当5．
故选D ．
8．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形的意义和性质可以得到解答．
【详解】
解：由题意，90BHE HBE C HBE A C ∠+∠=∠+∠=︒∠=∠，
∴A BHE C ∠=∠=∠，②正确；
∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，∴∠EDB=∠DBC=45°，∴BE=DE
∴Rt BEH Rt DEC ≅，∴BH=CD=AB ，③正确；
∵AB CD BF CD ⊥，，∴AB ⊥CD ，
∴222AB BG AG +=即 222BH BG AG +=，⑤正确，
∵没有依据支持①④成立，∴②③⑤正确
故选B ．
【点睛】
本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A 、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、∵222222(3)(4)337(5)+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D 、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
10．A
解析：A
【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：
12
×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A ．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 二、填空题
11．3
【分析】
由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.
【详解】
解：∵//AD BC ，AB DC =，
∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，
∵BD 平分ABC ∠，
∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，
∴ABD ADB ∠=∠，
∴1AD AB ==，
∴2C DBC ∠=∠，
∵BD CD ⊥，
∴90BDC ∠=︒，
∵三角形内角和为180°，
∴90DBC C ∠+∠=︒，
∴260C DBC ∠=∠=︒，
∴2212BC CD ==⨯=，
∴123AD BC +=+=.
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
12．
【分析】
延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直
角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出AE =．同理，在Rt DEC ∆中
求出283CE CD ==，2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．
【详解】
解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，
∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，
∴60C ∠=°，
∴30E ∠=︒，
在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，
∴28BE AB ==，
2243AE BE AB ∴=-=．
在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =，
283CE CD ∴==，
2212DE CE CD ∴=-=，
∴1443832
ABE S ∆=⨯⨯=， 143122432
CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．
故答案为：163．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．【分析】
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【详解】
解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长7×3=21（尺），
22
=29（尺）．
2021
答：葛藤长29尺．
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
14．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，2，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴222
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（2）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=42-22=22
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．15．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB ，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x ，DE=
x 即
x=2 x=
即CD= 故答案为：
【点睛】 本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．
16．55
【解析】
【分析】
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】
展开图如图所示：
由题意，在Rt △APQ 中，PD=10cm ，DQ=5cm ，
∴蚂蚁爬行的最短路径长2222105PD QD +=+5cm ），
故答案为：5
【点睛】
本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
17．12
【解析】
如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：
MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.
所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.
所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.
设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，
由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.
所以22
2212MN x BM x
==12. 枚本题应填12.
点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.
18．
78
【解析】 试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．
试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，
∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，
设BE=x ，则EC=4﹣x ，AE=4﹣x ，
在Rt△ABE 中，∵AB 2+BE 2=AE 2，
∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=7
8
，
即BE的长为7
8
．
19．25
【分析】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明△ANP≌△MNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度．
【详解】
如图，作PA∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴2222
215
PN PH NH
=+=+=
∴PG＝2PN＝5．
故答案为5
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
20．32
【分析】
由题意设AM=2a ，BM=b ，则正方形ABCD 的面积=224a b ＋，由题意可知EF=(2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，由此分析即可．
【详解】
解：设AM=2a ．BM=b ．则正方形ABCD 的面积=224a b ＋
由题意可知EF=（2a-b)-2（a-b)=2a-b-2a ＋2b=b ，
∵AM EF ，
2,,a a ∴== ∵正方形EFGH 的面积为4，
∴24b =，
∴正方形ABCD 的面积=2224+832.a b b ==
故答案为32.
【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理以及线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
三、解答题
21．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；
（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，
故BF 的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，
又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，
∴FE=DE=8-x ，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：222
CF+CE=EF，
∴222
4+x=(8-x)，解得：x=3，
故CE的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
22．（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a，b，c|c﹣17|+b2﹣30b+225，
2
1
||7(15)
c b
+-
﹣，
∴a﹣8＝0，b﹣15＝0，c﹣17＝0，
∴a＝8，b＝15，c＝17；
（2）能．
∵由（1）知a＝8，b＝15，c＝17，
∴82+152＝172．
∴a2+c2＝b2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40；
三角形的面积＝1
2
×8×15＝60．
【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
23．作图见解析，32 5
【分析】
作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．
【详解】
如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．
连接AN ，
在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，
∴2222AB AC =84=45++ ∵11AB AC=BC AH 22
⋅⋅ ∴8545
∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，
∴CA ∥A 'M
∴∠C=∠A 'NH ，
由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N
在△ACH 和△A'NH 中，
∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，
∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）
∴A'N=AC=4=AN ，
设NM=x ，
在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x
在Rt △AA'M 中，165，A 'M=A 'N+NM=4+x ∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()221654-+⎝⎭
x ∴()2
221654=16-+-⎝⎭x x 解得125
x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+
125=325 【点睛】
本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
24．（1）详见解析；（241；（33
【分析】
（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证
1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，BE=3AB ，根据（1）思路得AD=BE=3AB .
【详解】
(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，
即∠EAC=∠DAB.
在△ACE 与△ABD 中，
AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，
∴BD CE =；
(2)连接BD
因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，
所以ADE ∆是等边三角形
因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4
因为CE AD ⊥
所以1302
FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，
所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5
所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=
所以BE=22225441BD DE +=+=
(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=
所以222AB AC AC +
因为AB AC =
所以AE 2=
又因为45CAB ∠=
所以90ABE ∠= 所以()2
22223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=
所以BC=CD, 90BCD ∠=
因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS) 所以AD=BE=3AB 所以33AD AB AB AB
==
【点睛】
考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.
25．（1）2，232）证明见解析（3）
2217（4）233221【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，=23AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解. 【详解】
（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，
∴122
BC AB =
=，∴22=23AC AB BC =- （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，
在Rt △BDE 中， ∵122
BE AE AB ===，23DE =
∴22=4BD BE DE =+，
∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，
∴ABD ∆为等边三角形；
（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+， ∵BCD ACD ACBD S S
S =+四边形， ∴111()222
BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =
； （4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，
如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，
∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，
①若点P 在线段AC 上， 则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3
PE PQ EQ =+； 综上，PE 23221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法
表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.
26．（1）见解析；（2）27BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中，
∴OC ==.
在Rt △BOC 中，
∴BC =
==
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．
理由见解析
【分析】
（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；
（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明
△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；
②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；
【详解】
解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0），
∵AB ⊥x 轴，
∴AB ＝OB ＝a ，即△ABO 是等腰直角三角形，
∴AB 2+OB 2＝OA 2，
∴a 2+a 2＝（）2，
解得a ＝5，
∴点B 坐标为（5，0）．
（2）如图2中，作CF ⊥x 轴于F ．
∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，
∴CH＝CF，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BC∥OE，
∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，
∵CG⊥BA，CF⊥BF，
∴CG＝CF，
∴CG＝CH．
（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，
∴∠DAC＝1
2
∠DAE＝
1
2
（180°﹣45°）＝67.5°，
由OC平分∠AOB得到∠DOB＝1
2
∠AOB＝22.5°，
∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，
∴AC＝DC，
∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，
∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，
在△ACP和△CDB中，
AC AD
ACP DB CP DB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACP≌△CDB（SAS），
∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴AP＝AB＝OB＝2，
∴P（4，2）．
②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．
理由：如图4中，
由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；
AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；
AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；
故答案为P1、P2，P3．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．
【解析】
【分析】
（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE ＝AF，即可得出结论；
（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；
（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF
＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF 内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．
【详解】
（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：
连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，
∵点E是线段CB的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴AE＝AF，
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）证明：连接AC，如图2所示：
同（1）得：△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACF＝60°＝∠B，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF；
（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝120°＝∠ACF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，
作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：
则GE＝GF，∠FGH＝30°，
∴FG＝2FH，GH＝FH，
∵∠FCH＝∠ACF﹣∠ACB＝60°，
∴∠CFH＝30°，
∴CF＝2CH，FH＝CH，
设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，
∵BC＝AB＝4，
∴CE＝BC+BE＝4+2x，
∴EH＝4+x＝2x+3x，
解得：x＝﹣1，
∴FH＝x＝3﹣，
即点F到BC的距离为3﹣．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的
判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
，理由见解析. 29．(1)45°；(2)GF=AG+CF，证明见解析；(3)①6；②s ab
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BE．利用全等三角形的性质证明EB=ED，再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题．
（2）猜想：GF=AG+CF．如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，证明
△GDH≌△GDF（SAS）即可解决问题．
（3）①设CF=x，则AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理构建方程求出x即可．
②设正方形边长为x，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．【详解】
解：（1）如图1中，连接BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，
∵EC=EC，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，
∵∠DEF=∠DCF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°，
∵∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF=90°，
∴∠EDF=45°
故答案为45°．
（2）猜想：GF=AG+CF．
如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，。