8高等数学-第八章 无穷级数

aqn a aq aq2 aqn
n0
解 （1）如果 | q | ≠ 1，则级数的部分和为
Sn a aq aq2
当 | q | < 1 时，有
aqn1 a(1 qn ) 1q
a(1 qn ) a
lim
n
Sn
lim
n
1q
1q
故此时级数收敛，且
aqn
a
而当 | q | > 1 ， n →∞时n，0 Sn 趋于1无穷q
xn
1 1 x
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第一节 常数项级数及其敛散性 2. 常数项级数的基本
一、常数项级数及性质
性质 则
性质 1 收敛级数可以逐项相加减。
an bn an bn
n1
n1
n1
性质 2 级数的每一项同乘一个非零常数， 其敛散性不变。
性质 3
can c an
n1
n1
级数去掉或增加有限项敛散性不变。
称为算术级数；等比数列各项的和
a1 a1q a1q2 a1qn1
称为等比级数，也称为几何级数。
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第一节 常数项级数及其敛散性 一、常项n 和 u1 u2 un
的部分和；数列
un
n1
称为级数 un n 1
S1, S2 , , Sn ,
的部分和数列
性质 4（收敛的必要条件）如果级数 an n1
， 反之不然。
收lni敛m，an 0
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第一节 常数项级数及其敛散性 一、常数项级数及性质
推论 如果
发散。
lim
n
an
0
，则级数
an
n 1
这是判定级数发散的一种很有用的方法。
性质 5 如果级数收敛，不改变连在一起的有限项的次序而插入括
号，所得到的新级数仍收敛，且其和不变，反之不然。
，故级数
发散。
7
第一节 常数项级数及其敛散性 （2）如果 q = 1，则
一、常数项级数及性质
级数发散；
Sn a a a a na (n )
（3）如果 q = –1，则
Sn a a a a (1)n a
故而级数发散。
和为
综上所述，当 | q | < 1 时，等比级a数qn
定义
如果无穷级数un n1
的部分和数列的极限lni存m在S，n S
即
，则称该无穷级数收敛；否则称该无穷级数发散。
5
第一节 常数项级数及其敛散性 一、常数项级数及性质
当级数un
和，记作 n1
u1 u2
当级数un n 1
收敛时，称其部分和数列 Sn 的极限 S 为此级数的
un S 或
；
n0
当 | q | ≥ 1 时，此等比级数发散。
a，n 为奇数 0，n 为偶数
收敛a，且其 1q
8
第一节 常数项级数及其敛散性 一、常数项级数及性质
等比（几何）级数
当|q|<1时
aqn a aq aq2
aqn
a
n0
1q
当 a = 1，| x | < 1
时
xn 1 x x2
n0
的正项级数来比较，因此称为 “比较判别法”。
“大”的收敛，“小”的也收敛；“小”的发散，“大”的也发散。
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第一节 常数项级数及其敛散性 二、正项级数及其敛散性
在利用比较判别法时，首先需要猜测所讨论的级数的敛散性；其次，
必须找一个参照级数（即比较对象），而此参照级数的敛散性是已知的。
例8-3 判断级数的敛散性：
第一节 常数项级数及其敛散性 一、常数项级数及性质
1. 常数项级数的基本概
念
定义 给定一个数列 u1，u2，…，un，… ，则式
子
un u1 u2 un
n1 称为常数项无穷级数，简称为常数项级数。
首项
一般项或通项
简言之，数列的和式称为级数。例如：
a1 (a1 d ) (a1 2d ) (a1 (n 1)d )
1
11
n1 (n 1) (n 4) 2 5 3 6
1
(n 1) (n 4)
解
该级数的一般a项n 为
1 (n 1)(n 4)
，满足
而
1
n2
n1
0
1
1
(n 1)(n 4) n2
无穷级数是高等数学的一个重要组 成部分，它是表示函数、研究函数的性质以 及进行数值计算的一种工具。本章先讨论常 数项级数，介绍无穷级数基本内容，然后讨 论函数项级数，着重讨论如何将函数展开成 幂级数和傅立叶级数的问题。
1 常数项级数及其敛散性 2 函数项级数与幂级数 3 傅里叶级数
第一节 常数项级数及其敛散性
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第一节 常数项级数及其敛散性 二、正项级数及其敛散性
下面给出常用的正项级数收敛的判别法。
定理（比较判别法）设an
bn 和
n 1
n1
且满足 an ≤ bn （n = 1，2，…），则
是两个正项级数，
（1）若bn n 1
收敛an，则
n 1
收敛；
（2）若an n 1
发散bn，则
n 1
发散。
定理表明，判断一个正项级数的收敛性时，可利用另一个已知收敛性
例8-2 讨论级数nk (k 0)
的敛散性。
n1
解 该级数的一般项为 an = nk 。当 n→∞ 时，因为 k > 0，所
以
lim
n
an
lim nk n
由性质4的推论可知，该级数发散。
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第一节 常数项级数及其敛散性 二、正项级数及其敛散性
如果无穷级数
un u1 u2 un
n1
满足 un ≥ 0（n = 1，2，…），则称之为正项级数。
显然，正项级数的部分和数列 Sn 是单调增加数列，即
S1 S2 Sn
由于单调有界数列必有极限，所以如果 Sn 有界，则该级数收敛；否则，该级 数发散。
定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列 有 界。
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第一节 常数项级数及其敛散性 二、正项级数及其敛散性
下面直接给出 p — 级数（ p 为常数）
1
11
np
n1
1
2p
3p
的敛散性结论：
1 np
当 p > 1 时，级数收敛；当 p ≤ 1 时，级数发散。
特殊地，当 n = 1 时，称之为调和级数：
1
11
1
1
n1 n
23
n
这是一个典型的发散正项级数，在证明一个给定的正项级数发散时，
常选调和级数为参照。
un S
n1
收敛时，由于它的和是 Sn 的极限，因此 Sn 可以看
作是该级数之和的近似值，它们之间的差值
称为级数 un n 1
Rn S Sn ui
的余项。
i n 1
有了级数收敛的定义，我们可以用定义来判断一些重要级数的收敛性。
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第一节 常数项级数及其敛散性 一、常数项级数及性质
例8-1 考察等比（几何）级数的敛散性：