对函数的再认识(1)
对函数的再认识
对函数的再认识对函数的再认识以下是查字典数学网为您推荐的对函数的再认识，希望本篇文章对您学习有所帮助。
对函数的再认识学习目标：1.经历探索，分析函数自变量取值范围的过程，进一步体验变量之间的数量关系.2.认识函数的三种表示方法及其优缺点,会确定自变量取值范围.3. 通过函数的学习，体会事物是相互联系的，有规律的变化的.学习重点：会求简单函数的自变量取值范围及函数值。
学习难点：会根据实际问题求出函数关系式学习过程：一、学前准备(1)上节课我们举了许多关于函数的例子，你还记得吗?(2)通过上节课的函数例子可以发现，这些函数都是用数学式子表示的.你知道函数还可以用什么方法表示吗?(3)一枝蜡烛长 2Ocm, 点燃后每小时燃烧 5cm, 求蜡烛点燃后剩余长度 y (cm ) 与燃烧时间 x (h) 之间的关系式 , 并指出 x 的取值范围 .二、探究活动一边长x(m) 之间的关系式 , 并求出 z 的取值范围 .(三)应用探究1、求下列函数的自变量 x 的取值范围2、小明设计了一个计算机的计算程序，输入的数x和输出的数y的数据如下：输入的数Z 2 3 4 5输出的数y 1 2 3 4 52 3 4 5 6在这个问题中 ,y 是 Z 的函数吗 ? 它们之间的函数关系是用哪种方法表示的 ? 你能用一个函数表达式表示它们之间的关系吗 ?3、在边长分别为6cm,8cm的矩形纸片的四个角上，各剪去一个边长为xcm的小正方形，求剩余纸片的面积S与x之间的函数关系市，并指出x 的取值范围。
三、学习体会通过本节课的学习,你有什么体会和收获?四、自我测试1、求下列函数的自变量 x 的取值范围2、等腰三角形的周长为20cm，腰长为xcm，底边长为ycm，则y与x之间的函数关系式为。
自变量x的取值范围是，当x=8时y= cm3、某自行车存放处在星期日的存放量为4000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.50元，普通车存车费是每辆一次0.20元，若普通车存车数为x辆，存车费总收入为y元，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围为查字典数学网。
++3.1 对函数的再认识 课件 2024—2025学年鲁教版(五四制)数学九年级上册
(4)当这种蟋蟀1 min叫的次数y=105时,求当时该地的温度.
【解析】(4)当y=105时,7x-21=105,解得x=18,
答:当这种蟋蟀1 min叫的次数y=105时,当时该地的温度为18℃.
19
【重点2】函数自变量的取值范围
【典例2】在函数y=
2
x>2
中,自变量x的取值范围是_________.
3
16
3 2
v.
512
s= v+
(1)当v为64 km/h时,求刹车距离s的值;
【自主解答】(1)当v=64时,s= ×64+ ×642=36(m).
(2)司机小李正以72 km/h的速度行驶,突然发现前方大约60 m处有一不明障碍物,他立即
刹车,车会撞上障碍物吗?
2
【自主解答】(2)当v=72时,s= ×72+ ×72 =43 (m).
自变量
因变量
数,其中x是____________,y是____________.
2.函数值
取值范围
唯一
对于自变量x在可以______________内的一个确定的值a,函数y有__________确定
的对应值,这个对应值叫做当x=a时函数的值,简称函数值.
4
【小题快练】
1.下列关系式中,y不是x的函数的是( C )
因为43 <60,所以车不会撞上障碍物.
8
【举一反三】
如图所示,在△ABC中,底边BC=8 cm,高AD=6 cm,E为AD上一动点,当点E从点D向点
A运动时,△BEC的面积发生了变化.
鲁教版-数学-九年级上册- 对函数的再认识1 教案
《对函数的再认识》教案学习目标1.掌握函数的概念；2.会根据题意列出正确的函数关系式；3.理解什么叫做函数值.学习重难点重点：掌握函数的概念.难点：会根据题意列出正确的函数关系式.学习过程一、复习提问：你还记得什么是函数吗？你能举几个函数的例子吗？学生思考并回答.学生举几个函数的例子，有正比例函数，一次函数，反比例函数都可以.二、做一做：(1)AB两地之间的路程为900km，一辆汽车从A地到B地所需时间t(h)与汽车的平均速度v 之间的关系是_________________.(2)矩形ABCD的一边AB长为4cm，另一边BC长为a cm，矩形ABCD的面积S与a之间的关系式是_______________.(3)某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本的部分打八折，购买6本需要__ ___元，购买14本呢.(4)付款金额y与本数x之间的关系式是_______________.学生填空.并互相对照答案是否正确.让三个同学分别起来交流自己的答案及思路.三、给出定义：一般地，在一个变化过程中，如果两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.学生理解函数的定义，同桌俩互相说一遍给对方听.四、例题讲解(例1、一年期定期储蓄的年利率是2.25%，所得利息要缴纳20 %的利息税.存款到期时，银行应向储户支付的今额y(元)与储户的存款额x(元)之间的关系式是什么？对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.y=x+x·2.25%(1-20%)=x +0.018x=1.018x所以y 与x 之间的关系式是y =1.018x .五、课堂练习1、当x =2时，求下列函数y 的对应值；(1)y ＝x +1 (2)y ＝x 2-2x -32、判断下列等式中，变量y 是否为x 的函数，(1)y ＝－x (2)y ＝x +1 (3)xy 1= (4)12-=x y(5)y =±x (6)y 2=x (7)y =x ＞0) (8)y ＝652++x x (x ＞0)六、课堂小结：通过这节课的学习，你学会了什么？。
对函数的再认识
对函数的再认识函数是编程中的重要概念之一，它能够封装一段特定的代码，并通过调用来执行这段代码。
在程序中，函数的作用类似于数学中的函数，输入一些参数，经过一系列的操作，最终返回一个结果。
函数的概念在编程语言中广泛存在，并且被广泛应用于各种编程场景中。
函数的再认识，意味着我们需要重新审视函数的定义、特性以及其在程序设计中的作用。
在这篇文章中，我将从几个方面来探讨函数的重要性和使用方法。
函数具有封装性。
函数能够将一段代码封装起来，形成一个独立的模块，使得代码更加清晰和易于维护。
通过将一些常用的操作封装成函数，我们可以在需要的时候直接调用函数，而不需要重复编写相同的代码。
这种封装性不仅提高了代码的可读性，还能够提高代码的复用性和可维护性。
函数具有可扩展性。
函数的设计应该具有良好的扩展性，即在需求变化时能够方便地进行修改和扩展。
通过将函数的功能进行细分，我们可以将复杂的问题分解成多个简单的函数，每个函数只负责一个具体的任务。
这种模块化的设计使得我们可以方便地对函数进行修改和扩展，而不会对其他部分产生影响。
接下来，函数具有可重用性。
函数可以被多次调用，并且可以在不同的场景中使用。
通过将一些通用的操作封装成函数，我们可以在不同的程序中进行复用，而不需要重复编写相同的代码。
这种可重用性大大提高了开发效率，减少了代码的冗余。
函数还具有参数传递和返回值的特性。
函数的参数可以是任意类型的数据，通过参数的传递，我们可以将外部的数据传递给函数进行处理。
函数可以对参数进行操作，并根据需要返回一个结果。
这种参数传递和返回值的机制，使得函数能够与外部环境进行交互，实现更加灵活和功能强大的功能。
函数还可以嵌套调用，即一个函数可以在另一个函数中调用。
通过函数的嵌套调用，我们可以实现更加复杂的功能。
在一个函数中调用另一个函数，可以将复杂的问题分解成多个简单的子问题，每个子问题由一个函数来解决。
这种嵌套调用的方式，使得代码更加模块化和可读性更好。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件3.1.1对函数概念的再认识
变式训练
集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( C )
A.x→y=2
B.x→y=3
2
C.x→y=
3
D.x→y=
解析
x→y=2 ,{x|0≤x≤4},代入表达式得到
x→y=3 ,x∈[0,4]⇒y∈
4
0, 3
2
x→y= 3 ,x∈[0,4]⇒y∈
课 标 要 求
1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.掌握构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
4.会判断两个函数是否相等.
目 录 索 引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
⑤对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
2.函数的对应关系
【例3】 已知函数f(x)=2x2+3,计算下列各式.
(1)f(2);(2)f(f(-1));(3)f(a+1).
解 (1)f(2)=2×22+3=11.
(2)f(f(-1))=f(5)=53.
(3)f(a+1)=2(a+1)2+3=2a2+4a+5.
①如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
②如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
③如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于
零的实数的集合.
④如果f(x)是由几个数学式子构成的,那么函数的定义域是使各式子都有
对函数概念的再认识
答案
能,这个地区城乡居民人民币储蓄存款逐年增加.
问题 2:一物体从静止开始下落,下落的距离 y(m)与下落时间 x(s)之间近似地满足
关系式 y=4.9x2.若一物体下落 2 s,你能求出它下落的距离吗?
答案 能,把 x=2 代入 y=4.9x2,得 y=4.9×22=19.6,即它下落的距离为 19.6 m.
3
(2)y= 3 =x(x∈R),对应关系相同,定义域也相同,所以是同一个函数.
(3)y= 2 =|x|,当 x<0 时,它的对应关系与函数 y=x 不相同,所以不是同一个函数.
2
(4)y= 的定义域为{x|x≠0},与函数 y=x 的定义域不相同,所以不是同一个函数.
方法总结
在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两函数才是同
课前预学
课堂导学
疫情期间新增病例随时间的变化.
问题 1:根据初中学习的函数概念,能判断上述图象是函数关系吗?
答案
能,上述图象是函数关系.
问题 2:在初中我们学过哪几类函数?函数的定义是什么?
答案
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数.函数的定义为:在变化过程中,
有两个变量 x 和 y,如果给定一个 x 值,相应地就确定了一个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数.
课堂导学
课前预学
任务 1: 函数的概念
在现实生活中,我们可能会遇到下列问题:
问题 1:某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表:
年份
储蓄存款 y(千
亿元)
201 201 201 201 202
6 7 8 9 0
5
7
9
10 12
对函数的再认识1
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------对函数的再认识12. 1 对函数的再认识（1）【学习目标】 1、经历从实际问题抽象出函数模型的过程，体会函数与现实生活的联系。
2、能准确理解函数的概念，会求函数值。
3、了解函数的三种表示方法，能根据表格和图象，找出变量间的函数关系。
1、、当 x=2 时，求下列函数 y 的对应值；【一当二代三计算】 (1) y＝x+1 (2) y＝x1 (3)y＝x2-2x-3 2、、判断下列等式中，变量 y 是否为 x 的函数， (1) y＝－x (2) y＝x+1 (3) y＝x 1 (4) y＝2x －1 (5) y=lxl (6) y=x (7)y2=x (8)x2+y2=1 (9) y＝x(x＞0) (10) y＝652++xx(x＞0) 二、课堂学习【知识聚焦】 1、、函数的定义：(1) 函数是一个变化的过程； (2) 有两个变量； (3) 如果给定一个 x 的值，相应地就唯一确定了 y 值。
（4）函数的实质是两个变量之间的对应关系。
2、、函数值：自变量在其取值范围内的一个确定值，函数都有唯一确定．．．．的值与之对应，这个对应的值叫函数值。
求值书写格式为：一当二代三计算 3、、知识类型：1 / 3(1) 判断某一个等式是否表示函数关系。
(2) 根据已知自变量，求出特定的函数值。
(3) 由函数值，确定自变量的取值范围。
(4) 用解析式表示实际生活中的函数关系。
【例题解析】三、达标检测：【基础达标】 1、下列曲线中，变量 y 不是 x 的函数是（） 2、下列图形中的曲线不表示 y 是 x 的函数的是（） 3、在某个变化过程中，存在两个变量 x、 y，对应取值如下表所示：x 1 2 3 4 5 6 7 y 3 5 7 y 是 x 的函数吗？ 9 11 13 15 请根据表格的对应值思索：【拓展延伸】：1、小华的爷爷某天早上，慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。
对函数的再认识PPT教学课件
图像法可以直观的表示出函数的变化过
程和变化趋势。
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12
例 求下列函数的自变量x的取值范围
(1) y 2x 4 (2) y 1 4x 3
(3) y 2x 1 (4) y 1 2 3x
(5) y 3 x 2x 1
(6) y x 4
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x5
x3 (7)y
y= 3x+7; y=-2x2-1;
1
y= x 1
y= x2
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对于自变量x在可以取值范围内 的一个确定的值a，函数y有唯一确定 的对应值，这个对应值叫做当x=a时 函数值，简称函数值。
ห้องสมุดไป่ตู้
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8
思考：若已知函数值应怎样求对
应的自变量的值呢？
当x取什么值时， 函数y=x2+2x-3的函数值为0？
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1
（1）A、B两地的路程为900千米，一辆
汽车从A地到B地所需时间t（小时）与
汽车的平均速度v（千米/时）之间的关系
式是t=
。
（2）如图，矩形ABCD的一边AB长为
4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD
的面积S（cm2）与a（cm）的关系式
是S=
。A
D
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B
个变量x，y，对于自变量x在某一范围内 的每一个确定值，y都有唯一的值与它对 应，那么就说y是x的函数。
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某种商品按进价提高30%后标价, 又以9折优惠售出.试写出这种商品每 件的利润y（元）与每件的进价x（元） 之间的关系式.
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对函数的再认识
1、对函数的再认识。
例题：已知直线y=ax与函数f（x）=lnx相较于两点，交点的横坐标为x1，x2，且x2>x1, 则x2-2x1的取值范围为。
（5分）看到这道题的时候，大多数学生都会感到无从下手，就像让你用手去抓刺猬一样的感受，在这里如果我问一句“你知道什么是函数吗？，老师讲过数形结合的解题思想吗”，我想绝大多数学生都会说“何止是知道，简直是太熟悉了”。
但是当我讲完这道题的时候，也许大多数的学生会目瞪口呆。
解题过程:从图像上可以直观的看到：当直线y=ax的斜率a≤0时或大于等于直线与y=lnx相切时的斜率时，不符合题意，当a满足条件：0<a<1/e时,才会有两个交点，此时，1<x1<e，（lnx1）/x1=（lnx2）/x2从图像上可以直观的看到x2是x1的函数，令x2-2x1=b，其函数的图像如下图：从图像中可知b的取值范围（-e，负无穷）。
总结：这道数学题主要考察了学生对函数的定义，函数的本质的理解深度及数形结合解题思想的熟悉程度。
所谓函数的本质也就是函数的定义，大多数的学生一见到关于y、x的等式就想到了函数、方程，但x、y仅仅是函数的一种表达形式而非本质，比如b=a2也是一个二次函数，而很少有人这样看待它，这实在是不公平啊！在数学中，任何两个变量只要满足函数的定义，那就是函数X2是x1的函数这就是这道题解题的关键；当然对数形结合解题思想的熟悉程度也是这道题得到快速解决的主要因素，可以这样讲在一套数学试卷中几乎有80%以上的题目都要用到数形结合，你信吗？有时用它可以直接得到答案，有时虽然不能得到结果，但他能为我们找到解题的思路，比如：2015年新课标Ｉ卷中解答题中第一题数列及选做题中第二题参数方程，在这里有些学生可能很诧异，数列题怎么会出现数形结合呢？看一看下面的附图也许你会恍然大悟。
数字、字母是抽象的，图形才是直观的，虽然大多的学生都知道数形结合，但对数形结合的解体思想的认知深度还远远不够，可以这样讲，只要在数学考试中时刻想着数形结合，那么你不想考高分都很难，数形结合解题思想的威力是十分巨大的，因为这是有其本质属性决定的（直观性）。
对函数的再认识
对函数的再认识（1）(2)一次函数的关系式是y =（ ）；特别，当 时，一次函数就是正比例函数y = . (正比例函数是一次函数的特例)(3)反比例函数的关系式是y =( ). 二、合作探究1.做一做：完成课本P62做一做的内容并填写完整2. 归纳提炼： 三、典例学习：【例1】正方形ABCD 的边长为2，点P是AD 边上一动点，设AP=x 。
梯形BCDP 的面积为s ，写出y 与x 的函数关系式；并求x 的取值范围[例2]当x=3时，求下列各函数y 的对应值：（1）y=3x+7 （2）y= -2x 2 -1 (3) y=251+x (4)y=3-x 四、解决问题：1、课本P64 随练1 、2，1.小组讨论：（1）这三道题中都有几个变量，它们分别是什么？(2)对自变量在可取值范围内的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与它对应？ （3）你能否用自己的语言概括一下函数的意义？2．小试身手(1)下列表达式或图表，y 是否为x 的函数①y=x ②y=x x 2 ③y=x 3+2 ④y=x+2 (x ≥0) ⑤y=±x (x>0) ⑥y=－x(x>0) ⑦y=xx --22(x<2)⑧y=x ⑨(2)下列图象中是函数图象的是( )y -12 39 0 1 X 12342、先化简，再求值：1)112(-÷+--=x xx x x x y ，选择一个你喜欢的x 的值代入y 求出的值。
五、课堂小结：（1）.本节课你掌握了哪些知识？ （2）.还有哪些困惑？ （3）.掌握了哪些数学思想？ 六、板书设计：作业布置 ： A 类：P64 2（2） 4 B 类：P64 习题1.2（1） 3 课后反思:。
3.1.1对函数概念再认识 课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
B={-3,-2,-1,1,2,3}
(2)A= {-3,-2,-1,1,2,3} B={9，4，1}
(3)A=R
B=R
对应关系：开平方
对应关系：平方
对应关系：x→ =
1
解：(1)不是；A中的元素在B中有两个对应的，不满足在B中有唯一的数与之对应。
(2)是；
(3)不是；A中的0元素在B中没有元素与之对应。
新课导入
再例如： = 2若给定半径r，则对应的C就确定了，我们可以把
C看成变量r的函数，其中C和r的取值范围都是正实数。
对于自由落体公式 =
离H就可以确定了
1
2 给定下落的时间，则对应下落的距
2
新课导入
在初中阶段我们是这样定义函数的：如果在一个变化过程中有
两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它一
2 − = 2 + 1 − 2 = 1
f(f(f(0)))=f(f(1))=f(2)=3
(3)f(f(f(0)))
作业布置
课本67页3和4题
完成相应大小册子
即定义域是：(−∞, −2] ∪ [(1, +∞)
2
9
−
≥0
（4）
≠0
解得： [−3,0) ∪ (0,3]
所以定义域是： [−3,0) ∪
(0,3]
巩固练习
例三、下列那个函数与y=x是同一个函数？
(1) =
(2) =
(3) =
3
2
2
解:易知y=x的定义域是R;
(1)定义域是x≥0
3
巩固练习
例二、确定下面函数的定义域。
对函数的再认识
对函数的再认识函数作为计算机程序中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
无论是编写简单的脚本还是复杂的算法，函数都扮演着至关重要的角色。
然而，对函数的认识往往只停留在表面，我们需要更深入地理解函数的本质和作用。
函数是程序中的一个独立模块，它接收输入参数，并返回一个输出结果。
这种输入输出的机制使得函数具有了封装、模块化和可重用的特性。
通过函数，我们可以将复杂的问题分解为若干个简单的子问题，分而治之，提高代码的可读性和可维护性。
函数的设计应该遵循单一职责原则。
一个函数应该只做一件事情，并且做好它。
这样的函数更容易理解和测试，也更容易修改和调试。
一个好的函数应该具有清晰的命名，明确的参数和返回值，以及适当的注释，使得代码更易于理解和维护。
函数的输入参数应该考虑各种可能的情况，包括边界条件和异常情况。
通过良好的参数设计，可以提高函数的健壮性和鲁棒性。
同时，函数的返回值也应该经过充分的考虑，确保它能够准确地反映函数的执行结果，并且能够被调用方正确处理。
函数的内部实现应该遵循高内聚、低耦合的原则。
高内聚意味着函数内部的代码应该紧密相关，功能相似的代码应该放在一起，以提高代码的可读性和可维护性。
低耦合意味着函数之间的依赖关系应该尽量减少，便于代码的复用和拓展。
通过合理的函数设计，可以使得代码更易于理解和修改。
函数的性能也是一个需要考虑的因素。
在实际开发中，我们需要根据实际需求来选择合适的算法和数据结构，以提高程序的运行效率。
同时，我们还需要注意函数的时间复杂度和空间复杂度，避免出现性能瓶颈。
函数的测试是保证函数正确性的重要手段。
通过编写测试用例，我们可以验证函数的输入输出是否符合预期，以及函数在各种情况下的执行是否正确。
同时，我们还可以使用断言和调试工具来辅助函数的测试和调试，以提高代码的质量和可靠性。
对函数的再认识包括函数的封装、模块化和可重用性，单一职责原则，良好的参数设计，合理的返回值设计，高内聚低耦合，性能优化和测试等方面。
对函数的再认识
对函数的再认识（1）一、教材分析（一）教材的地位和作用：《对函数的再认识》第一节课的第一课时，在学生已有的函数知识的基础上首次正式出现了“函数”概念，它既是对前面所学的正比例函数、一次函数、反比例函数的一个回顾和延伸，又是后面学习函数表示方法的基础，也为学习二次函数打下扎实的认知、探究思路指明了学习方向；通过对函数概念的教学，更进一步的培养了学生的语言表达能力，另外，通过小组合作学习，力争创建“和谐高效”的课堂，使学生的分析能力、思维能力、合作能力等综合能力得到发展和提高。
（二）教育教学目标1、知识和能力目标（1）使学生了解对应观点下的函数意义，会求简单的自变量取值范围和函数值。
（2）了解函数与函数值的区别，会根据实际问题求出函数关系式。
2、过程与方法目标（1）经历对数学问题的探索，分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．（2）使学生经历从实际问题抽象出函数模型的过程，进一步体会数学知识是来源于生活又应用于生活的。
3、情感态度与价值观目标（1）注意展示学生思维的闪光点，努力激发学生思维的创造点，培养他们的语言表达能力和合作能力。
（2）让学生体会学习函数的乐趣，进一步体会数学是与实际生活紧密相连的。
（三）教学重点和难点教学重点：函数概念的理解,能够表示简单变量之间的函数关系。
教学难点：理解函数的意义，深入认识函数关系中两个变量之间的对应关系。
二、教学策略（一）教学方法因“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的超大规模的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者，教师的作用是要发现强化这种探索精神，所以1、本节课的教学方法是“问题解决法”，通过创设问题情景——设置问题——归纳与分析，引导学生探索本节课的知识。
2、通过小组合作学习，以优生带困难生全面提高课堂效率。
（二）学法指导鼓励学生将所学的知识应用到生活实际中，学会归纳总结，逐步掌握主动获取知识的本领。
《对函数的再认识》 知识清单
《对函数的再认识》知识清单一、函数的定义在数学世界中，函数就像是一座桥梁，将输入值与输出值巧妙地联系起来。
简单来说，函数是一种对应关系，给定一个输入值，按照特定的规则，就能得到唯一的输出值。
我们可以把函数想象成一个自动售货机。
你投入一定的货币（输入），售货机根据设定好的程序，给你吐出相应的商品（输出）。
而且每次投入相同的货币，售货机给出的商品都是一样的，不会有变化。
函数通常用符号“f(x)”来表示，其中“x”是自变量，也就是我们输入的值，“f(x)”则是因变量，是根据自变量和函数规则得到的输出值。
例如，函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1 中，如果我们输入 x ＝ 3，那么通过计算f(3) ＝ 2×3 ＋ 1 ＝ 7，得到的 7 就是输出值。
二、函数的表示方法函数有多种表示方法，每一种都有其独特的优点和适用场景。
1、解析式法这是最常见的一种表示方法，就像上面提到的 f(x) ＝ 2x ＋ 1 ，通过一个数学公式清晰地表达出输入和输出之间的关系。
2、列表法将自变量和对应的函数值列成表格的形式。
比如，当 x 分别为 1、2、3 时，对应的 f(x)分别为 3、5、7，我们可以通过一个表格清晰地呈现出来。
3、图像法把函数关系用图像表示出来，直观地展示函数的变化趋势。
比如一次函数 y ＝ x 的图像是一条过原点的直线。
三、函数的定义域和值域定义域就是自变量 x 能够取值的范围，而值域则是函数值 f(x)的取值范围。
比如说，对于函数 f(x) ＝ 1/x ，由于分母不能为 0，所以定义域就是x ≠ 0 。
而当 x 取不同的值时，f(x) 也会有相应的取值，所有可能的f(x) 的值就构成了值域。
确定定义域时，要考虑分式的分母不为 0、偶次根式下的数非负等条件。
四、函数的性质1、单调性函数的单调性描述了函数值是随着自变量的增大而增大还是减小。
如果对于定义域内的某个区间，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜f(x₂) ，那么函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果都有 f(x₁)＞ f(x₂) ，则函数在这个区间上是单调递减的。
提升对函数的再认识
提升对函数的再认识函数是中学数学中的基本概念之一，它描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画。
函数思想是用运动、变化、联系、对应的观点来分析数学和实际生活中数量关系的思想。
不少数学问题，如多项式、不等式、方程式，用函数思想来分析，就能抓住问题的本质，解法简明。
在初中阶段函数的学习中，应如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？一个数学教师应该认真思考这些问题。
1．函数的地位（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。
在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般地说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个变量的变化。
即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量具有唯一确定的值。
具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。
又如，邮局按邮件的重量收取邮资，邮资与邮件的重量是有依赖关系的两个变量，对同一类型具有一定重量的邮件，只能收取唯一确定的邮资。
函数正是反映变量之间这种依赖关系的，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型。
这也是数学联系实际的基础。
（2）函数是“图形”与“数”的转化关系的体现函数关系是平面上点的集合，又可以看做平面上的一个“图形”。
在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。
因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。
2.函数的作用（1)示范作用。
建立函数思想是中学数学教学的重要课题，一个学生仅仅学习了函数知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。
(2)纽带作用。
函数与其他知识相联系，一次、二次函数是重要的纽带，尤其是二次函数，可以说是起着中心枢纽的作用．用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数与轴交点的横坐标，即零点的横坐标，因此，解方程就是求函数的零点的横坐标，从而，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与与轴交点的问题。
1对函数的再认识PPT课件
做一做
(1) A、B两地之间的路程为900km，一辆
汽车从A地到B地所需时间t（h）与汽车的 平均速度v（km/h）之间的关系式是 _t_v_=_9_0_0_______ . (2) 矩形ABCD的一边AB长为4cm，另一 边BC长为acm ，矩形ABCD的面积S（cm2 ）与a（cm）之间的关系式是 _s_=_4_a_________ .
例题解析
例1： 某种商品按进价提高30%后标价，
又以9折优惠售出，试写出该商品 每件的利润y(元)与每件的进价 x(元)之间的关系式.
y=1.3*0.9x-x
例题解析
例2：
当x =3时, 求各函数y的对应值 : (1)y=3x+7； (2)y=-2x2-1 ；
(3)y= 1 ； (4)y=
2x 5
在上面几个例子中 : （1）自变量分别是什么 ? 自变量可以取值的
范围是什么 ? （2）对于自变量在它可以取值的范围内的每
一个值,另一个变量是否都有惟一确定的值 与它对应? （3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？ 与同伴进行交流.
问题探究
函数
一般的，在一个变化过程中，有两 个变量x和y，对于自变量x在某一范围 内的每一个确定值，y都有惟一确定的 值与它对应，那么我们称y是x 的函数， 其中x是自变量，y是因变量.
x 3.
问题与思考
对于自变量 x 在可以取值范围内的一 个确定的值α, 函数y有惟一确定的对 应值 , 这个对应值叫做_函__数__值__ . 如对于例 2(1) 中的函数y=3x+7,16就 是当x =3 时的函数值 .Leabharlann 对函数的再认识复习回顾
对于“函数”这个词我们并不陌生， 大家还记得什么是函数吗？你能举出 几个函数的例子吗？
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1、在某个变化过程中，有两个变量x与y，下列关系中，y是x的函数的是（ ）
A.y²=2x+1B.y=2x²+1C.x=y²-2yD.|y|=2x+1
2、（2013·荆州模拟）在图中，不能表示函数关系的是（ ）
知识点二：求函数关系式
例题：如图，正方形ABCD的边长为2，点P为AD边上一点，设AP=x，四边形BCDP的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围。
跟踪训练：
1、当x= 时，求下列函数的函数值
（1）y= x²+x-3 (2)y=
(3)y= (4)y=
2、根据条件，求x的取值
①当x取何值时，y=3x+6为负数
②已知函数y=2x²+1，当x取何值时，函数值是3
点拨：给定函数表达式，无论是已知x求y，还是已知y求x，都只需将已知数值代入函数表达式求解即可。
4、若函数 ，则当函数值y=8时，自变量x的值是（ ）
5、如图所示，用一段长为30cm的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为xm，菜园的面积为ym²。
（1）求y与x之间的函数关系式
（2）求x的取值范围
6、（2012·广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
初四数学导学案
初四数学 课题:对函数的再认识（1）备课时间:2014-09-17
课堂寄语:探索的旅程不在于发现新大陆，而在于培养新视角。
回避现实的人，未来更不理想。
学习
目标
1、掌握函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否可以看作函数
2、会根据题意列函数关系式
3、会解函数值及与函数值有关的问题
重难点
重点：会列函数关系式，会求给定自变量值时的函数值。
点拨：对函数概念的理解，主要抓住以下三点：①有两个变量②一个变量随着另一个变量的变化而变化③自变量每确定一个值，函数有且只有一个值与它对应。
例题：判断下列关系是不是函数关系
（1）速度一定时，路程与时间
（2）三角形的一边长为6，它的面积与这边上的高
（3）矩形的长与面积
（4）y=3|x|中的y与x
（5）y²=2x中的y 与x
（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．
（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？
知识点三：与函数值有关问题
例题：当x=3时，求下列各函数y的对应值
（1）y=3x+7 (2)y=-2x²-1
（3）y= (4)y=
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有唯一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值。
点拨：“函数”是指两个变量之间的某种对应关系，而“函数值”是函数关于自变量某一个值的对应值，它是一个具体的、确定的值。
跟踪训练：
1、某汽油箱内现有汽油50L，若这辆汽车每行驶100km的耗油量为6L，试写出汽车油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x（km）之间的关系式。
2、一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm
（1）写出蜡烛剩余长度y(cm)与点燃时间x(2h后还剩多长？
从最简单的做起
宁可少些,但要好些!
三、【课堂达标】
1、下列有关变量x与y的关系式中，y是x的函数的是（ ）
A.y=± B.y=3xC.|y|=3xD.y²=3x
2、(2013·湘潭)如图，根据所示程序计算，若输入x= ，则输出结果为
3、若正三角形的边长为a，则它的面积S与a之间的函数关系式为（ ）
A.S= a² B. S= a² C. S= a² D. S= a²
难点：函数与函数值定义的区别。
学 习 过 程
师生共享
(二次备课)
一、【创设情境 导入新课】
课本62页“做一做”
通过例题引出“函数的概念”
二、【自主学习 探究新知】
知识点一：函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于变量x在某一范围内的，变量y都有唯一确定的值与它，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。