高中数学知识复习与总结(解析几何)

解析几何知识复习总结
本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212
12
1x x x x y y k ≠--=
；
（3）应用：证明三点共线： AB BC k k =。

3、直线的方程：（1）点方向式：已知直线过点00(,)x y ，其一个方向向量是(,)d u v =，则当0uv ≠时，直线方程为
00
x x y y u v
--=
,它不包括垂直于坐标轴的直线。

（2）点法向式：已知直线过点00(,)x y ，其一个法向量是(,)n a b =k ，则直线方程为00()()0a x x b y y -+-=,它可表示所有直线。

（3）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

（4）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点。

4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为
10Bx Ay C -+=.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

5、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =
；
（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =。

6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： （1）平行⇔12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交⇔12210A B A B -≠；特别是垂直⇔12120A A B B +=。

（3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=。

提醒：（1）
111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222
A B C
A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线。

7、两直线的交角
（1）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围
是2
0πθ<≤；
（3）设两直线方程分别为：
222111::b x k y l b x k y l +=+=或0
:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
①θ为1l 和2l 的夹角，则cos θ=或12121tan k k k k +-=
θ或2
121122
1tan B B A A B A B A +-=θ；
②当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o 90=θ；
注意：上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直
线斜率不存在时，用数形结合法处理。

提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。

8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法： 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

题目11] 设,a ABC 中∠A 、∠A x ay c ++=sin B y C +=则方程22(,)f f x y +_________；
9、圆的方程：
⑴圆的标准方程：()()2
2
2
x a y b r -+-=。

⑵圆的一般方程：2222
0(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，
特别提醒：只有当22
D E 4F 0＋－>时，方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22
D E -
-，的圆。

二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->）
； ⑶圆的参数方程：
{
cos sin x a r y b r θθ
=+=+（θ为参数）
，其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

圆的参数方程的主要应用是三角换元：
222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；
22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤。

⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=。

10、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()22
2
C 0：x-a y b r r +-=>，
（1）点M 在圆C 外()()22
200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()2
2
200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()2
0CM r x a ⇔=⇔-()2
2
0y b r +-=。

11、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()2
2
2
C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、
相切。

可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；
d r >⇔相离；d r =⇔相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
特别是：圆的切线与弦长：
(1)切线：①过圆222
x y R
+=上一点
00
(,)
P x y圆的切线方程是：2
00
xx yy R
+=，过圆222
()()
x a y b R
-+-=上一点
00
(,)
P x y圆的切线方程是：2
00
()()()()
x a x a y a y a R
--+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
③切线长：过圆220
x y Dx Ey F
++++=（222
()()
x a y b R
-+-=）外一点
00
(,)
P x y所引圆的切线
；
（2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距d，弦长一半
1
2
a及圆的半径r所构成的直角三角形来解：222
1
()
2
r d a
=+；
②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆(公共弦)系为(,)(,)0f x y g x y λ+=，当1λ=-时，方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程。

12、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12O O ，，半径分别为12,r r ，则（1）当1212|O O r r |>+时，两圆外离；（2）当1212|O O r r |=+时，两圆外切；（3）当
121212<|O O r r r r -|<+时，两圆相交；（4）当1212|O O |r r |=|-时，两圆内切；（5）当12120|O O |
r r ≤|<|-时，两圆内含。

13.圆锥曲线的定义：
要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

14.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b
y a x （0a b >>）⇔{
cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数）
，
焦点在y 轴上时2222b
x a y +＝1（0a b >>）。

方程22
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是ABC ≠0，且A ，
B ，
C 同号，A ≠B 。

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22
22b x a y -＝1（0,0a b >>）。

方程
22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号。

（3）抛物线：开口向右时2
2(0)y px p =>，开口向左时2
2(0)y px p =->，开口向上时
22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

15.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x
2
,y 2
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由x
2
,y 2
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，
a 最大，222a
b
c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

16.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦
点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中
长轴长为2a ，短轴长为2b 。

点00(,)P x y 和椭圆122
22=+b
y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在
椭圆外⇔22
00
221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内
⇔22
00
221x y a b
+<
（2）双曲线（以22
22
1x y a b -=（0,0a b >>）为例）
：①范围：x a ≤-或,x a y R
≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
22,0x y k k -=≠；④两条渐近线：b
y x a
=±。

（3）抛物线（以2
2(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(
,0)2
p
，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2
p
x =-。

）； 抛物线的一些结论：AB 是过抛物线)0(22
>=p px y 焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l MN ⊥，N 为垂足，l BD ⊥，l AH ⊥，D ，H 为
垂足，则有下面结论： （1）DF HF
⊥； （2）BN AN ⊥； （3）AB FN ⊥；
（4）设MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN ；
（5）设),(),,(2211y x B y x A ，则
221p y y -=，2
214
1p x x =
； （6）
p
FB FA 2
||1||1=+； （7）D O A ,,三点在一条直线上 （8）过M 作AB ME ⊥
，ME 交x 轴于E ，求证：||2
1||AB EF =，||||||2FB FA ME ⋅=；
17．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与
抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2222b
y a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共
点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

18、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。

设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ∆的面积为
S ，则在椭圆12222=+b y a x 中， ①θ＝)12arccos(2
12-r r b ，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大为θ
m ax
＝2
22arccos a c b -；②2
0tan ||2
S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；对于双曲线22
221x y a b -=的焦点三角形有：①⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=21221arccos r r b θ；②2cot sin 212
21θθb r r S ==。

19、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121
1y y k
-+
，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y y -。

特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，
可以不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后求解。

20、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆1
22
22=+b
y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22
221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的
弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ；在抛物线2
2(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率
k=
p y 。

特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！ 21．熟悉下面的一些结论：
（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02
222
=-b y a x ；
（2）以x a b
y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2
222
=-b y a x 为参数，
λ≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2
2
1mx ny +=；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2
2b a
，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；
②2
21212,4
p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2
2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 22．轨迹方程的求法：
（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含y x ,的等式就得到曲线的轨迹方程。

② 定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。

③ 几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。

④代入转移法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。

求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标),(y x 中的y x ,分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响。

注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中y x ,的取值范围。

23、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=
；
（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;
（3）给出0
=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;
（4） 在ABC ∆中，给出()
1
2
AD AB AC =
+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线; （5）给出()
+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
（6） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数
,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.
（7） 给出1OA OB
OP λλ
+=
+，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即λ=
（8） 当MA 与MB 是不平行时，给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出
0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角,
（9）给出MA MB MP MA MB λ⎛⎫
⎪+
= ⎪⎝⎭
,等于已知MP 是AMB ∠的平分线 （10）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形; （11）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;
（12）在ABC ∆中，给出2
22==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（13） 在ABC ∆中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（14）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（15）在ABC ∆中，给出+=()||||
AB AC AB AC λ+)(+
∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心；
解析几何知识复习总结参考答案
[题目1]5[0][
)6
6
，，π
π
π； [题目2] 42≥-≤m m 或）
； [题目3] 既不充分也不必要； [题目4] 2,13
- ； [题目5] 34， 0（提示：f (θ)=
2cos 1
sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率）； [题目6] 2； [题目7] 3490x y +-= ； [题目8] 1a >； [题目9] －1；
1
2
；31且m m ≠≠-；3； [题目10] 12a -<< ； [题目11] 垂直； [题目12] 平行； [题目13] 43401x y x +-==和； [题目
14] 360x y +-= ； [题目15] (,)b a ； [题目16] 0bx ay c ++= ； [题目17] 3y=3x ＋ ； [题目18] 18x 510y -=＋ ； [题目19] 29650x y +-= ； [题目20] （5,6）； [题目21]
22(1)1x y ++=；[题目22] 9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ；
[题目23] [0，2]； [题目24] 21<
k ； [题目25] (
－； [题目26] 13
1
||<a ； [题目27]
相离； [题目28] 2 ； [题目29] ； [题目30] 4 ； [题目31] C ； [题目32] ②60或120 ③最长：1y =，最短：1x = ； [题目33]2
2
(1)2x y -+=）； [题目34]内切； [题目35] C ； [题目
36] 双曲线的左支； [题目 37] 1
1
(3,)
(,2)22---； [题目38] 2； [题目39] )2
3
,1()1,( --∞；
[题目40] 22； [题目41])
161
,
0(a
； [题目42](-315,-1)）； [题目43] [1，5）∪（5，+∞）； [题
目44] 2； [题目45] 4,33⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭； [题目46] 3； [题目47] 相离； [题目48] 1； [题目49]
13
[题目50] ①(；②1a =±； [题目51] 224x y -=； [题目52](； [题
目53] 8； [题目54] 3； [题目55] 280x y +-=； [题目56] ⎛ ⎝⎭； [题目57]；
22
4194
x y -=； [题目58] 212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<； [题目59] 224x y +=； [题目60] 2
16y x =； [题目61] 双曲线的一支； [题目62] 2
2y x =； [题目
63]2
121(||)2
y x x =+≤； [题目64] 2
22x y =-。