高中数学知识复习与总结(解析几何)

解析几何知识复习总结

本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212

12

1x x x x y y k ≠--=

；

（3）应用：证明三点共线： AB BC k k =。 3、直线的方程：（1）点方向式：已知直线过点00(,)x y ，其一个方向向量是(,)d u v =，则当0uv ≠时，直线方程为

00

x x y y u v

--=

,它不包括垂直于坐标轴的直线。（2）点法向式：已知直线过点00(,)x y ，其一个法向量是(,)n a b =k ，则直线方程为00()()0a x x b y y -+-=,它可表示所有直线。（3）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。（4）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点。

4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为

10Bx Ay C -+=.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =

；

（2）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =

。

6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： （1）平行⇔12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交⇔12210A B A B -≠；特别是垂直⇔12120A A B B +=。 （3）重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=。 提醒：（1）

111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222

A B C

A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线。

7、两直线的交角

（1）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围

是2

0πθ<≤；

（3）设两直线方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

①θ为1l 和2l 的夹角，则cos θ=或12121tan k k k k +-=

θ或2

121122

1tan B B A A B A B A +-=θ；

②当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o 90=θ；

注意：上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直

线斜率不存在时，用数形结合法处理。

提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。

8、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法： 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。

题目11] 设,a ABC 中∠A 、∠A x ay c ++=sin B y C +=则方程22(,)f f x y +_________；

9、圆的方程：

⑴圆的标准方程：()()2

2

2

x a y b r -+-=。

⑵圆的一般方程：2222

0(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>，

特别提醒：只有当22

D E 4F 0＋－>时，方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22

D E -

-，的圆。二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->）

； ⑶圆的参数方程：

{

cos sin x a r y b r θθ

=+=+（θ为参数）

，其中圆心为(,)a b ，半径为r 。

圆的参数方程的主要应用是三角换元：

222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；

22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤。

⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=。