新人教B高中数学必修3全册导学案新
人教版高中数学必修第三册全册WORD讲义《导学案》
8.1.1向量数量积的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的含义及几何意义．教学难点：向量的投影及数量积的几何意义.知识点一两个向量的夹角(1)定义：给定两个01非零向量a，b(如图所示)，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称02[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作03〈a，b〉.(2)根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且040≤〈a，b〉≤π，〈a，b〉＝05〈b，a〉.时，称向量a与向量b垂直，记作07a⊥b.在(3)垂直：当〈a，b〉＝06π2讨论垂直问题时，规定08零向量与任意向量垂直．知识点二向量数量积(内积)的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称01|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝02|a||b|cos〈a，b〉.由定义可知，两个非零向量a与b的数量积是一个实数．知识点三平面向量的数量积的性质(1)当e是单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝01|a|·cos〈a，e〉.(2)a⊥b⇔02a·b＝0.(3)a·a＝03|a|2，即04|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝05a·b(|a||b|≠0).|a||b|(5)|a·b|06≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．知识点四向量的投影如图1，设非零向量AB→＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的01投影向量或投影．类似地，给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l 上的投影称为a在向量b上的02投影.如图2中，向量a在向量b上的投影为03.可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量04共线，但它们的方向既有可能05相同，也有可能06相反.知识点五向量数量积的几何意义如图(1)(2)(3)所示．当〈a ，b 〉<π2时，A ′B ′→的方向与b 的方向01相同，而且||＝02|a |cos〈a ，b 〉；当〈a ，b 〉＝π2时，为零向量，即||＝030；当〈a ，b 〉>π2时，的方向与b 的方向04相反，而且||＝05－|a |cos 〈a ，b 〉.一般地，如果a ，b 都是非零向量，则称06|a |cos 〈a ，b 〉为向量a 在向量b 上的投影的数量．投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是07非负数，也可能是08负数.两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ，等于a 在向量b 上的投影的数量与b 的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．1．a 在b 方向上的投影的数量也可以写成a ·b|b |，它的符号取决于角θ的余弦值．2．在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.3．a ·b 的符号与a 与b 的夹角θ的关系设两个非零向量a与b的夹角为θ，则(1)若a·b>0⇔θ为锐角或零角．当θ＝0°时，a与b共线同向，a·b>0.或a与b中至少有一个为0.(2)a·b＝0⇔θ＝π2(3)a·b<0⇔θ为钝角或平角，当θ＝180°时，a与b共线反向，a·b<0.特别注意a，b共线同向与共线反向的特殊情况，即a·b>0(<0)，向量夹角不一定为锐角(钝角)．4．向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ的主要应用(1)利用公式求数量积，应先求向量的模，正确求出向量的夹角(向量的夹角由向量的方向确定)．求夹角，应正确求出两个整体：数量积a·b与模(2)利用公式变式cosθ＝a·b|a||b|积|a||b|，同时注意θ∈[0，π]．(3)利用a·b＝0证明垂直问题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a⊥b.()(2)两个向量的数量积是一个向量．()(3)当a∥b时，|a·b|＝|a||b|.()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)已知向量a与向量b的夹角为30°且|a|＝3，则a在b上的投影的数量为____.(2)已知|a|＝4，|b|＝22，且a与b的夹角为135°，则a·b＝____.(3)在直角坐标系xOy内，已知向量AB→与x轴和y轴正向的夹角分别为120°和30°，则BA→在x轴、y轴上的投影的数量分别为____和____.答案(1)32(2)－8(3)12|AB→|－32|AB→|题型一两个向量夹角的定义例1已知向量a，b的夹角为60°，试求下列向量的夹角：(1)－a，b；(2)2a，23b.[解]如图，由向量夹角的定义可知：(1)向量－a，b的夹角为120°.(2)向量2a，23b的夹角为60°.(1)向量的夹角是针对非零向量定义的．(2)注意向量的夹角是[0°，180°]．(3)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量CA→与AB→的夹角，作AD→＝CA→，则∠BAD才是向量CA→与AB→的夹角．|a|，求a－b与a的夹角．[跟踪训练1]已知向量a与b的夹角为60°且|b|＝12解如图，作OA→＝a，OB→＝b，则∠BOA＝60°，连接BA，则BA→＝a－b.取OA的中点D，连接BD，∵|b|＝1|a|，∴OD＝OB＝BD＝DA，2∴∠BDO＝60°＝2∠BAO，∴∠BAO＝30°.∴a－b与a的夹角为30°.题型二向量数量积的定义例2(1)已知|a|＝5，|b|＝2，若①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.(2)已知|a|＝4，|b|＝2，b2－a2＝3a·b，求向量a与向量b的夹角．[解](1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝5×2×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝5×2×(－1)＝－10.②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a ·b ＝|a ||b |cos90°＝5×2×0＝0.③当a 与b 的夹角为30°时，a ·b ＝|a ||b |cos30°＝5×2×32＝53.(2)由题意，得4－16＝3a ·b ，∴a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，向量a 与向量b 的夹角为120°.1．求向量数量积的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和夹角，根据定义求出数量积．(2)a 与b 垂直当且仅当a ·b ＝0.(3)非零向量a 与b 共线当且仅当a ·b ＝±|a ||b |.2．求向量夹角的一般步骤及注意事项(1)确定向量的模和数量积，根据夹角公式求出向量夹角的余弦值．(2)注意向量夹角的范围为[0，π]，从而确定夹角的大小．[跟踪训练2](1)已知|a |＝4，|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ＝π3，求a ·b .(2)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，求a 与b 的夹角．解(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×5×12＝10.(2)设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.题型三向量的投影例3已知直线l ，(1)|OA →|＝4，〈OA→，l 〉＝60°，求OA →在l 上的投影的数量OA 1；(2)|OB →|＝4，〈OB →，l 〉＝90°，求OB →在l 上的投影的数量OB 1；(3)|OC→|＝4，〈OC→，l〉＝120°，求OC→在l上的投影的数量OC1.＝2.[解](1)OA1＝4cos60°＝4×12(2)OB1＝4cos90°＝4×0＝0.(3)OC1＝4cos120°＝4 2.对向量投影的理解从定义上看，向量b在直线(或非零向量)上的投影是一个向量，投影的数量可正、可负、可为零．(1)当θ(2)当θ(3)当θ＝0时，该数量为|b|.(4)当θ＝π时，该数量为－|b|.注意：此处b为非零向量．时，该数量为0.(5)当θ＝π2时，a在e方向[跟踪训练3]已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为π3上的投影的数量为()A．43B．4C．42D．8＋32答案B解析因为a在e方向上的投影的数量为|a|cosπ＝4，故选B.3题型四向量数量积的几何意义及应用例4(1)已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影的数量是32，则a ·b 为()A ．3 B.92C ．2D.12(2)如图，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，且AB ＝2DC ＝4.E 为腰BC 上的动点．求AE→·AB →的取值范围．[解析](1)设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝|a ||b |cos θ＝|b ||a |cos θ＝3×32＝92.(2)如图，过E 作EE ′⊥AB ，垂足为E ′，过C 作CC ′⊥AB ，垂足为C ′.则AE →在AB →上的投影为AE ′→，∴AE →在AB →上的投影的数量为|AE ′→|，由向量数量积的几何意义知AE →·AB →＝|AE ′→||AB →|＝4|AE ′→|.∵E 在腰BC 上运动，∴点E ′在线段C ′B 上运动，∴|AC ′→|≤|AE ′→|≤|AB→|，∴2≤|AE ′→|≤4，∴8≤4|AE ′→|≤16，∴AE→·AB→的取值范围是[8,16]．[答案](1)B(2)见解析利用向量数量积的几何意义求两向量的数量积需明确两个关键点：相关向量的模和一个向量在另一向量方向上的投影的数量，代入向量数量积的公式即可．利用向量数量积判断几何图形形状或解决最值范围问题时，常结合图形直观分析得到结果．[跟踪训练4](1)若E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，且(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，则四边形EFGH是()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形(2)已知a·b＝16，若a在b方向上的投影的数量为4，则|b|＝____.答案(1)C(2)4解析(1)因为(AB→＋BC→)·(BC→＋CD→)＝0，所以AC→·BD→＝0，所以AC→⊥BD→.又因为E，F，G，H分别为四边形ABCD所在边的中点，所以四边形EFGH的两组对边分别与AC，BD平行，且EF⊥EH，所以四边形EFGH为矩形．(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，所以|a||b|cosθ＝16.又a在b方向上的投影的数量为4，所以|a|cosθ＝4，所以|b|＝4.1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影的数量为()A.125B．3C．4D．5答案A解析设a与b的夹角为θ，则向量a在b上的投影的数量为|a|cosθ＝a·b|b|＝12 5.2．已知|a|＝4，|b|＝2，当它们之间的夹角为π3时，a·b＝() A．43B．4C．83D．8答案B解析根据向量数量积的定义得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×cosπ3＝4.3．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.0，π6 B.π3，πC.π3，2π3 D.π6，π答案B解析由题意可得，Δ＝|a|2－4a·b≥0，∵|a|＝2|b|，∴cosθ≤12θ∈π3，π.故选B.4．(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是() A．e1在e2上的投影的数量为sinθB．e21＝e22C．任给θ∈[0，π]，(e1＋e2)⊥(e1－e2)D．不存在θ，使e1·e2＝2答案BCD解析对于A，因为e1，e2为单位向量，所以e1在e2上的投影的数量为|e1|cosθ＝cosθ，A错误；对于B，e21＝e22＝1，B正确；对于C，如图，设AB→＝e1，AD→＝e2，则易知四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，即(e1＋e2)⊥(e1－e2)，C正确；对于D，e1·e2＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，所以D正确．5．在△ABC中，已知|AB→|＝|AC→|＝6，且AB→·AC→＝18，则△ABC的形状是____.答案等边三角形解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠BAC，∴cos∠BAC＝12，∴∠BAC＝60°.又|AB→|＝|AC→|，∴△ABC为等边三角形．一、选择题1．若|a|＝2，|b|＝12，〈a，b〉＝60°，则a·b等于()A.1 2B.1 4C．1D．2答案A解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×12×12＝12.2．在Rt△ABC中，角C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．16答案D解析解法一：∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos A，△ACB为直角三角形，∴AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·|AC→||AB→|＝|AC→|2＝16.故选D.解法二：∵△ACB为直角三角形，∴AB→在AC→上的投影为AC→，∴AB→·AC→＝AC→2＝16.故选D.3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的投影的数量为()A．－53B．5C．－5D．53答案A解析a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos150°＝－53.4．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是()A．1B．2C．3D．4答案A解析设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥104|cosθ|≥52，由向量形式的三角不等式得，|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥|2×52－4|＝1.5．(多选)关于菱形ABCD的下列说法中，正确的是()A.AB→∥CD→B．(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)C．(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0D.AB→·AD→＝BC→·CD→答案ABC解析∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴AB→∥CD→，A正确；∵对角线AC 与BD互相垂直，且AB→＋BC→＝AC→，BC→＋CD→＝BD→，∴AC→⊥BD→，即(AB→＋BC→)⊥(BC→＋CD→)，B正确；∵AB→－AD→＝DB→，BA→－BC→＝CA→，∵DB→⊥CA→，即DB→·CA→＝0，∴(AB→－AD→)·(BA→－BC→)＝0，C正确；易知〈AB→，AD→〉＝180°－〈BC→，CD→〉，且|AB→|＝|AD→|＝|BC→|＝|CD→|，∴AB→·AD→＝－BC→·CD→，D错误．故选ABC.二、填空题6．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，a＝3，b＝1，∠C＝30°，则BC→·CA→等于____.答案－332解析BC→·CA→＝|BC→||CA→|cos(180°－30°)＝ab cos150°＝－332.7．若|a|＝2，b＝－2a，则a·b＝____.答案－8解析|b|＝2|a|＝4，且b与a反向，∴〈a，b〉＝180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×4×(－1)＝－8.8．给出下列命题：①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；④若a·b＝0，则a，b至少有一个为0；⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中真命题为____.答案①解析由数量积的定义逐一判断可知，只有①正确．三、解答题9．已知正方形ABCD的边长为1，分别求：(1)AB→·CD→；(2)AB→·AD→；(3)AC→·DA→.解如图，(1)〈AB→，CD→〉＝π，∴AB→·CD→＝－1.(2)〈AB →，AD→〉＝π2，∴AB →·AD →＝0.(3)〈AC →，DA →〉＝3π4，∴AC →·DA →＝2×1×cos 3π4＝－1.10．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ.求θ的取值范围．解∵AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6>0，∴cos θ>0，∴θ为锐角，如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则|CD |＝|BC |sin θ.由题意，知AB→·BC →＝|AB →||BC →|cos θ＝6，①S ＝12|AB ||CD |＝12|AB →||BC →|sin θ.②由②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .∵3≤S ≤3，∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1.又θ为AB →与BC →的夹角，θ∈[0，π]，∴θ∈π6，π4.1．(多选)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AH 为BC 边上的高，给出以下结论，其中正确的是()A.AH→·(AC→－AB→)＝0B.AB→·BC→<0⇒△ABC为钝角三角形C.AC→·AH→|AH→|＝c sin BD.BC→·(AC→－AB→)＝a2答案ACD解析因为AC→－AB→＝BC→，且AH⊥BC，所以AH→·(AC→－AB→)＝0，故A正确；在△ABC中，由AB→·BC→<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；AH→|AH→|是AH→的单位向量，依据数量积的几何意义可知AC→·AH→|AH→|为AC→在AH→方向上的投影，为b sin C＝c sin B，故C正确；因为AC→－AB→＝BC→，所以BC→·(AC→－AB→)＝|BC→|2＝a2，故D正确．2．已知a，b是两个非零向量．(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．解(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.又|a|＝3，|b|＝4，∴|cos〈a，b〉|＝6|a||b|＝63×4＝12，∴cos〈a，b〉＝±12.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π3或2π3.(2)如图所示，在平面内取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，使|OA →|＝|OB →|，所以四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，这时OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b .由于|a |＝|b |＝|a －b |，即|OA→|＝|OB →|＝|AB →|，所以∠AOC ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.8.1.2向量数量积的运算律(教师独具内容)课程标准：理解掌握数量积的性质和运算律．教学重点：向量数量积的性质与运算律及其应用．教学难点：平面向量数量积的运算律的证明.知识点平面向量数量积的运算律已知向量a ，b ，c 与实数λ，则交换律a ·b ＝01b ·a结合律(λa)·b＝02λ(a·b)＝03a·(λb)分配律(a＋b)·c＝04a·c＋b·c对向量数量积的运算律的几点说明(1)向量数量积不满足消去律：设a，b，c均为非零向量且a·c＝b·c，不能得到a＝b.事实上，如右图所示，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，AB⊥OC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分别为|a|cos∠AOD，|b|cos∠BOD，此时|b|cos∠BOD＝|a|cos∠AOD＝OD.即a·c＝b·c.但很显然b≠a.(2)向量的数量积不满足乘法结合律：一般地，向量的数量积(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于向量a，b，c等式(a·b)·c＝a·(b·c)恒成立．()(2)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知|a|＝2，b在a上的投影的数量为－2，则a·(a－b)＝____.(2)已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝____.(3)已知|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则|a2－b2|＝____，|a－b|＝____，|a2＋b2|＝____.答案(1)8(2)－7(3)28237100题型一求向量的数量积例1已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3 3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．[跟踪训练1]在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝____.答案－14解析由已知得AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝23AC→，BE→＝BA→＋AE→＝23AC→－AB→，所以AD→·BE→＝12(AB→＋AC→)·－＝12×→|2－|AB→|2－13AB→·＝1 2×1－13cos60°＝－14.题型二求向量的夹角例2已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．[解]设a，b的夹角为θ，∵单位向量e1，e2的夹角为60°，∴e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝12.∴a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝e1·e2＋e22－2e21－2e1·e2＝e22－2e21－e1·e2＝1－2－12＝－32，|a|＝a2＝(e1＋e2)2＝|e1|2＋|e2|2＋2e1·e2＝1＋1＋1＝3.|b|＝b2＝(e2－2e1)2＝|e2|2－4e1·e2＋4|e1|2＝1＋4－4×12＝3.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－323×3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°.求向量a，b夹角θ的思路(1)解题流程求|a|，|b|→计算a·b→计算cosθ＝a·b|a||b|→结合θ∈[0，π]，求出θ(2)解题思想：由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．[跟踪训练2]已知|a|＝3，|b|＝5，|a＋b|＝7，求a·b及a与b的夹角．解∵|a＋b|＝7，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝34＋2a·b＝49，∴a·b＝152.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝1523×5＝12又θ∈[0，π]，故a与b的夹角θ＝60°.题型三求向量的模例3已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°.求：(1)向量b的模；(2)向量2b＋a的模．[解](1)∵a2＝4，∴|a|2＝4，即|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，∴a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，∴|b|＝3.(2)(2b＋a)2＝4b2＋a2＋4a·b＝4×9＋4＋4×(－3)＝28，∴|2b＋a|＝27.极化恒等式求模长(1)两个结论①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：①(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.②(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.说明：下列结论也是成立的：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.(2)由上述结论，我们不难得到4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2，即a·b＝1[(a＋b)2－(a－b)2]．4我们把该恒等式称为“极化恒等式”．(3)应用向量数量积的运算律求向量的模的方法①求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．②一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2等．提醒：向量的模是非负实数；一个向量与自身的数量积等于它的模的平方．，求|a－b|，|a＋b|.[跟踪训练3]已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3解解法一：|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉＝53.＝52＋52＋2×5×5×cosπ3|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝5.＝52＋52－2×5×5×cosπ3解法二：以a，b为邻边作▱ABCD，设AC，BD相交于点E，如图所示．∵|a|＝|b|且∠DAB＝π3，∴△ABD为正三角形，∴|a－b|＝|DB→|＝5，|a＋b|＝|AC→|＝2|AE→|＝2|AB→|2－|BE→|2＝252－5 2253.题型四用向量数量积解决垂直问题例4已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°，求证：(a－b)⊥c.[证明]证法一：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|·cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法二：如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接AB，AC，BC，三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC ⊥AB.又BA→＝a－b，∴(a－b)⊥c.要解决的问题是用向量表示，它往往对应一个几何图形；如果是几何的形式表示，它往往对应一个向量关系式．要善于发现这二者之间的关系，从一种形式转化为另一种形式，用哪种形式解决问题方便就选用哪种形式．[跟踪训练4]如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明设AD→＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，又DE→＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →a 12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE→，即AF ⊥DE .1．若向量a 的方向是正北方向，向量b 的方向是西偏南30°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )等于()A.32B ．－32C.23D ．－23答案B解析由题意知a 与b 的夹角为120°，∴a ·b ＝－12.∴(－3a )·(a ＋b )＝－3a 2－3a ·b ＝－32.2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a －b |等于()A．1 B.2C.3D．2答案A解析|a－b|＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝12＋12－2·1·cos〈a，b〉＝2－2cos60°＝1.3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．以上均不正确答案C解析由(OB→－OC→)·(OB→＋OC→－2OA→)＝0，得CB→·(AB→＋AC→)＝0，又CB→＝AB→－AC→，∴(AB→－AC→)·(AB→＋AC→)＝0，即|AB→|2－|AC→|2＝0.∴|AB→|＝|AC→|.∴△ABC为等腰三角形．，则4．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为π3实数λ＝____.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，则49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b.，即λ2＋3λ－40由a，b，c为单位向量，得a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcosπ3＝0，解得λ＝－8或λ＝5.5．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61，，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，cosθ＝－12又因为θ∈[0，π]，所以θ＝120°.(2)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3cos120°＋9＝13，所以|a＋b|＝13，同理可求得|a－b|＝37.一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C，解析由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴θ为60°.2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1 B.7C．4＋3D．27答案B解析根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.3．若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析∵0＝AB→·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →，∴AB →⊥AC →，∴∠BAC ＝90°.故选A.4.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA→＝a ，OB →＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )＝()A ．1B ．3C ．5D ．6答案D解析由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP→＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP→·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6.5．(多选)设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是()A ．a ·c －b ·c ＝(a －b )·cB ．(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直C ．|a |－|b |＜|a －b |D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2答案ACD解析因为a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A ，D 正确；由向量减法的三角形法则，知C 正确；因为[(b ·c )·a －(c ·a )·b ]·c ＝(b ·c )·(a ·c )－(c ·a )·(b ·c )＝0.所以(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 垂直，B 错误．故选ACD.二、填空题6．若a ⊥b ，c 与a 及与b 的夹角均为60°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则(a ＋2b －c )2＝____.答案11解析原式展开，得|a |2＋4|b |2＋|c |2＋4|a ||b |cos90°－2|a ||c |cos60°－4|b ||c |cos60°＝11.7．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值为____.答案－13解析由|a |＝3|b |，得|b ||a |＝13.由|a |＝|a ＋2b |，两边平方得|a |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ，整理得a ·b ＝－|b |2.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－|b |2|a ||b |＝－|b ||a |＝－13.8．已知向量AB→与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP→⊥BC →，则实数λ的值为____.答案712解析因为向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos120°＝3×2 3.由AP→⊥BC→，得AP→·BC→＝0，即AP→·BC→＝(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝0，所以AC→2－λAB→2＋(λ－1)AB→·AC→＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝7.12三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(k a－b)．解由已知，得a·b＝4×816.(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，∴|4a－2b|＝16 3.(2)若(a＋2b)⊥(k a－b)，则(a＋2b)·(k a－b)＝0.∴k a2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.10.如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足AP→＝λPB→.(1)若λ＝12，用向量OA →，OB →表示OP →；(2)若|OA→|＝4，|OB →|＝3，且∠AOB ＝60°，求OP →·AB →的取值范围．解(1)∵AP →＝12PB →，∴OP →－OA →＝12(OB →－OP →)．∴32OP →＝OA →＋12OB →，即OP →＝23OA →＋13OB →.(2)OA→·OB →＝|OA →||OB →|cos60°＝6.∵AP→＝λPB →，∴OP→－OA →＝λ(OB →－OP →)，(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝11＋λOA →＋λ1＋λOB →.∵AB→＝OB →－OA →，∴OP →·AB →＋λ1＋λOB OB →－OA →)＝－11＋λOA →2＋λ1＋λOB →2·OB →＝－16＋9λ＋6－6λ1＋λ＝3λ－101＋λ＝3－131＋λ.∵λ＞0，∴3－131＋λ∈(－10,3)．∴OP→·AB →的取值范围是(－10,3)．1．已知向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，OP→＝tOA→，OQ→＝(1－t)OB→，t∈R，|PQ→|在t＝t0时取得最小值，当0<t0<15时，夹角θ的取值范围是()A.0，π3π3，π2C.π2，2π30，2π3答案C解析因为向量OA→与OB→的夹角为θ，|OA→|＝2，|OB→|＝1，所以OA→·OB→＝2cosθ，由PQ→＝OQ→－OP→＝(1－t)OB→－tOA→，得|PQ→|2＝PQ→2＝(1－t)2OB→2－2t(1－t)·OA→·OB→＋t2OA→2＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝1＋2cosθ5＋4cosθ，由0<1＋2cosθ5＋4cosθ<15，解得－1 2<cosθ<0，因为0≤θ≤π，所以π2<θ<2π3.故选C.2．平面四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．解∵AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0，即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.①同理可得a2＋d2＝b2＋c2②由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.∴四边形ABCD为平行四边形．故AB→＝－CD→，即a＝－c，∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即AB→⊥BC→.综上知，四边形ABCD为矩形．8.1.3向量数量积的坐标运算(教师独具内容)课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题.知识点一向量数量积的坐标运算已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝01x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于02它们对应坐标乘积的和.知识点二向量的长度已知a＝(x1，y1)，则|a|＝01x21＋y21，即向量的长度等于02它的坐标平方和的算术平方根.知识点三两向量夹角的余弦设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝01x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.知识点四两点间的距离如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝01(x2－x1)2＋(y2－y1)2.知识点五用坐标表示两向量垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔01x1x2＋y1y2＝0.1．两个向量垂直的条件已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，如果x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.运用向量垂直的条件，既可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系去求参数．如果a⊥b，则向量(x1，y1)与(－y2，x2)平行．这是因为a⊥b，有x1x2＋y1y2＝0(*)，当x2y2≠0时，(*)式可以表示为x1－y2＝y1x2，即向量(x1，y1)与向量(－y2，x2)平行．对任意的实数k，向量k(－y2，x2)与向量(x2，y2)垂直．2．不等式|a·b|≤|a||b|的代数形式若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a |＝x 21＋y 21，|b |＝x 22＋y 22.由|a·b |≤|a ||b |得|x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22，当且仅当a ∥b ，即x 1y 2－x 2y 1＝0时取等号，即不等式(x 1x 2＋y 1y 2)2≤(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)成立．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，则a·b ＝0.()(2)若a ＝(4,2)，b ＝(6，m )且a ⊥b ，则m ＝－12.()(3)若a·b ＞0(a ，b 均为非零向量)，则〈a ，b 〉为锐角．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为____.(2)已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝____.(3)设a ＝(2,0)，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a·b ＝____.(4)已知a ＝(3,4)，则与a 垂直的单位向量有________，与a 共线的单位向量有________.答案(1)π6(2)2(3)1－45，－35，－题型一向量数量积的坐标运算例1已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求：(1)向量a 的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．又a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0.(1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．[跟踪训练1]已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)．解解法一：(3a－b)·(a－2b)＝3a2－7a·b＋2b2.∵a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×5－7×8＋2×13＝－15.解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)，a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)，∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15.题型二向量的夹角问题例2已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，求a与b的数量积及a与b的夹角的余弦值．[解]＋b ＝(2，－8)，－b ＝(－8，16)，＝(－3，4)，＝(5，－12).∴a ·b ＝(－3,4)·(5，－12)＝(－3)×5＋4×(－12)＝－63.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－63(－3)2＋42×52＋(－12)2＝－635×13＝－6365.∴a 与b 的夹角的余弦值为－6365.利用数量积求两向量夹角的步骤特别提醒：已知两个非零向量的坐标，就可以利用该公式求得两个向量的夹角，因为向量的夹角范围为[0，π]，故不存在讨论角的终边所在象限的问题．[跟踪训练2]设向量a ＝(－2sin α，2cos α)(0≤α≤π)，b ＝(－25，0)，则a 与b 的夹角为____.答案|π2－α|解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22＝45sin α2×25＝sin α，∵α∈[0，π]，∴θ＝|π2－α|.题型三向量的长度、距离问题例3已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝3.求|3a＋b|的值．[解]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x21＋y21＝1，x22＋y22＝1，3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∵|3a－2b|＝(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝3，∴9x21－12x1x2＋4x22＋9y21－12y1y2＋4y22＝9，∴13－12(x1x2＋y1y2)＝9.∴x1x2＋y1y2＝13.∵3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2,3y1＋y2)，∴|3a＋b|＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9x21＋6x1x2＋x22＋9y21＋6y1y2＋y22＝10＋6(x1x2＋y1y2)＝10＋6×13＝23.(1)在上述解题过程中，根据|a|＝|b|＝1，可以设a＝(cosβ，sinβ)，b＝(cosα，sinα)．(2)利用本题的解法可解决下面的一般性问题：若向量a，b满足|a|＝|b|＝r1，及|λ1a＋μ1b|＝r2求|λ2a＋μ2b|的值．(3)注意区别m＝n与|m|＝|n|，其中m＝n表示的是向量关系，即(x1，y1)＝(x2，y2)，而|m|＝|n|表示的是数量关系，即x21＋y21＝x22＋y22.[跟踪训练3]若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝____.答案25解析解法一：设OB→＝(x，y)，由|OA→|＝|OB→|，知x2＋y2＝10.①由题意知OA→·OB→＝x－3y＝0.②＝3，＝1＝－3，＝－1.当x＝3，y＝1时，AB→＝OB→－OA→＝(2,4)，则|AB→|＝25；当x＝－3，y＝－1时，AB→＝(－4,2)，则|AB→|＝25.故|AB→|＝25.解法二：由题意知，|AB→|就是以OA→，OB→对应线段为邻边的正方形的对角线长，因为|OA→|＝10，所以|AB→|＝2×10＝25.题型四两向量垂直条件的应用例4如图所示，以原点O和点A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．[解]设点B(x，y)，则OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)．因为∠B＝90°，所以x(x－5)＋y(y－2)＝0，又|AB→|＝|OB→|，所以x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，2＋y 2－5x －2y ＝0，x ＋4y ＝29，1＝72，1＝－322＝32，2＝72.即点B利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算再将向量问题转化为代数问题来解决．[跟踪训练4]在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB 是直角，AC ＝BC ，D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明建立如图所示的平面直角坐标系，设CA ＝CB ＝2，则A (2,0)，B (0,2)，C (0,0)，设E (x ，y )．∵D 为BC 的中点，∴D (0,1)．∵AE ＝2EB ，∴AE →＝23AB →，∴(x －2，y )＝23(－2,2)，－2＝－43，＝43，＝23，＝43，∴∴AD→·CE→＝(－＝－43＋43＝0，∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.题型五向量数量积的综合应用例5若函数f(x)＝－2<x<10)的图像与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，O为坐标原点，则(OB→＋OC→)·OA→＝() A．－32B．－16C．16D．32[解析]令f(x)＝0，得π6x＋π3kπ，k∈Z，∴x＝6k－2，k∈Z.∵－2<x<10，∴x＝4，即A(4,0)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵过点A的直线l与函数的图像交于B，C两点，∴B，C两点关于点A对称，即x1＋x2＝8，y1＋y2＝0.故(OB→＋OC→)·OA→＝(x1＋x2，y1＋y2)·(4,0)＝4(x1＋x2)＝32.[答案]D与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角函数的图像和性质等知识．[跟踪训练5]设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，AP→＝λAB→.若OP→·AB→≥P A→·PB→，则实数λ的取值范围是()A.12≤λ≤1B．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22D．1－22≤λ≤1＋22答案B解析设P(x，y)，则由AP→＝λAB→，得(x－1，y)＝λ(－1,1)，－1＝－λ，＝λ，∴x－1＋y＝0.①又OP→·AB→≥PA→·PB→，∴(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)．整理，得x2＋y2－2y≤0，即x2＋(y －1)2≤1.②将①整理，得x＝1－y，代入②中，得(y－1)2≤12.即－22≤y－1≤22.∴1－22≤y≤1＋22.结合题意，得1－22≤y≤1，即1－22≤λ≤1.故选B.1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于()A．3 B.13C．－13D．－3答案C解析∵3a·b＝(6，－9)·(x,2x)＝－12x＝4，∴x＝－13.2．已知A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)四点，则四边形ABCD是() A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案B解析∵AB→＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →，又AD→＝(4,6)，∴AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AD →.∵|AB→|≠|AD →|，∴选B.3．正三角形ABC 的边长为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值是____.答案－32解析解法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，∴a －12，b －12，－c ＝(1,0)，∴a ·b ＋32×＝－12，同理b ·c ＝c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.解法二：a·b ＋b·c ＋c·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝3＝－32.4．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝____.答案31010解析∵a ＝(3,3)，由2b －a ＝(－1,1)可得b ＝(1,2)，∴cos α＝a ·b |a ||b |＝918×5＝31010.5.如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB→·BC →＝1，求边AC 的长．解以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)，因为AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)，∴AB→＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )．∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C AC →∴|AC→|＝＝342，故边AC 的长为342.一、选择题1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝()A．23B．7C．－23D．－7答案D解析a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案A解析∵AB→＝(1,1)，AC→＝(－3,3)，∴AB→·AC→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AC→，∴A＝90°，故选A.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为() A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)答案C解析设c＝(x，y)2x－3y＝0，x－2y＝1，x＝－3，y＝－2.4．与已知向量a 72，12，b12，－72的夹角相等，且模为1的向量是()－45，－223，答案B解析设与向量ab1的向量为(x，y)＋y2＝1，＋12y＝12x－72y，＝45，＝－35＝－45，＝35，故选B.5．(多选)设A(a,1)，B(2，b)，C(4,5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，则a，b的取值可能为()A．a＝2，b＝1B．a＝7，b＝5C．a＝9，b＝6D．a＝12，b＝9答案ABD解析由图知，要使OA→与OB→在OC→方向上的投影相同，只需使AB→⊥OC→，即(2－a，b－1)·(4,5)＝0，得4a－5b－3＝0，则a，b需满足关系式4a－5b＝3，结合选项可知，A，B，D中a，b的取值满足条件．故选ABD.二、填空题6．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是____.答案103，＋∞解析x应满足(x,2)·(－3,5)<0且a，b不共线．解得x>103且x≠－65，∴x>103.7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角为____.答案120°解析由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角与c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝(a＋b)·c|a＋b||c|＝12.∴〈a＋b，c〉＝60°.∴a与c的夹角是120°.8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，向量b＝(2,0)，则|2a－b|的最大值是____.答案22解析令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t,1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2.所以|2a－b|＝22|t－1|＝22(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值22.三、解答题9．在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD是BC边上的高，求。
人教新课标版数学高一人教B版数学必修三导学案 -随机现象事件与基本事件空间
3.1.1．随机现象3.1.2．事件与基本事件空间一、学习目标：了解：随机现象和必然现象,明确试验的含义理解：不可能事件,必然事件,随机事件,基本事件,基本事件空间的概念应用：理解新概念,反思生活中的实例二、知识探究：问题1：必然现象的关键词是______, 即在一定条件下______发生某种结果的现象. 比如：问题2：随机现象的特点是什么？1结果的性2 各种结果在数量上呈一定的性问题3：你知道实验和试验的区别吗?问题4：什么是随机事件,必然事件,不可能事件? 你能举出些与众不同的实例吗?问题5：什么样的事件是基本事件？问题6：基本事件空间是什么？三、能力探究题型1随机现象和必然现象含义的理解例1.判断下列哪些是随机现象？（1）高一3班运动会总分排名第一；（2）王瑞同学早自习迟到；（3）杆石桥路口单位时间通过10辆奥迪；（4）郭店2012年4月1日刮西北风；（5）当x是实数时，x的平方≥0;（6）手电筒的电池没电，灯泡发亮；（7）一个电影院某天的上座率超过50%.（8）标准大气压下，100摄氏度的水沸腾题型2随机事件,必然事件,不可能事件的判断例2.从12个苹果手机中任意抽取出3个，其中10个正品，2个次品，下列事件：A．3个都是正品 B.至少有一个是次品C．3个都是次品D．至少有一个正品E．有1个正品F．有2个次品G．至多有2个次品H .没有次品K.没有正品，其中随机事件有不可能事件有必然事件有第一页题型3. 基本事件与基本事件空间的理解例3.将数字1，2，3任意排成一排，写出该试验的基本事件空间例4.投掷两枚硬币，观察朝上的面，写出基本事件空间例5.投掷两颗骰子，用（x,y）表示结果，x,y分别代表第一和第二颗骰子出现的点数，写出1）事件“出现点数之和大于8”2）事件“出现点数相等”3）事件“出现点数均为偶数”4) 事件“点（x,y）在直线y=x的上方区域内”四、探究应用1．投掷三枚硬币，观察朝上的面，该试验基本事件总数为2．投掷两颗骰子，观察点数，基本事件总数为可思考：投掷三颗呢？四颗呢？3. 从A，B，C，D，E，F6名同学中选出4人参加数学趣味赛，1）写出该试验的基本事件空间2）写出“A没被选中”所包含的基本事件可思考3）如果题目改为选出2人参加，基本事件空间总数是多少？你的所悟是什么？五、回顾总结1．本节的新概念你知道有几个？谁记的最多？2．本节的方法你学到了哪些？是解决什么问题的？第二页六、课后作业（一）课本习题（二）双基达标1．下列现象是随机现象的是（）A.太阳从东边升起B买彩票中奖. C水结冰体积变小. D.三角形内角和为180度2．下列事件中，必然事件是（）A. 10人中至少2人生日在同一月B.11人中至少2人生日在同一月C.13人中至少有2人是同一个星座D.12人中至少有2人是同一个星座3．一盒有9个球标号分别为1，2，3，…,9，从中摸出一球，观察标号，则这个试验的基本空间总数是（）A. 10 B 9 . C 6. D.1．4．在1到10这10个数字中，任取3个数字，那么事件“这3个数字之和大于6”是（）A. 必然事件 B.随机事件 C. 不可能事件 D.以上均不是5．在10件同类产品中，8件是正品，2件是次品，从中任意抽取3件的必然事件是( ) A．3件都是正品 B.至少有1件是次品 C. 3件都是次品 D.至少有1件是正品6.投掷两颗骰子，点数之和为8的事件包含的基本事件有_______个7. 从甲，乙，丙，丁中任选3人当代表，其基本事件空间为_____________________________8.袋中白球1个，红球1个，每次任取1个，有放回的取3次，基本事件空间为：9.一盒放5个相同的球，分别标有号码1，2，3，4，5。
高中数学必修三导学案
高中数学必修三导与练班级：姓名：高一数学组编算法的概念学习目标1.了解算法的含义，体会算法的思想；能够用自然语言叙述算法；掌握正确的算法应满足的要求。
2.通过例题分析，体会算法的基本思路。
学习过程一、课前准备算法概念：二、新课导学探究：算法的概念问题：解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+-=-1212y x y x参照教材第2页用加减消元法写出它的求解过程. 解：第一步： ； 第二步： ；第三步： ；第四步：_______________________________；第五步：_______________________________。
思考：试写出求方程组()01221222111≠-⎩⎨⎧=+=+b a b a ②c y b x a ①c y b x a 的求解步骤.解：第一步： ；第二步： ；第三步： ；第四步：_______________________________；第五步：_______________________________。
新知：算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的.(3)顺序性：算法分为若干有序的步骤，按顺序运行.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、三、 典型例题例1.(1)设计一个算法，判断5是否为质数。
(2)设计一个算法，判断35是否为质数。
例2.写出用二分法求方程022=-x (x >0)的近似解的算法.课后作业1.下列说法正确的是（ ）A ．算法就是某个问题的解题过程；B ．算法执行后可以产生不同的结果；C ．解决某一个具体问题算法不同，结果不同；D ．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施．2.家中配电盒至电视机的线路断了，检测故障的算法中，为了使检测的次数尽可能少，第一步检测的是( )A. 靠近电视的一小段，开始检查B. 电路中点处检查C. 靠近配电盒的一小段开始检查D. 随机挑一段检查3.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法( )A.S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播C.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶4.算法:S1 输入n ；S2 判断n 是否是2，若2=n ，则n 满足条件，若2>n ，则执行S3；S3 依次从2到1-n 检验能不能整除n ，若不能整除n ,则n 满足条件；满足上述条件的n 是( )A.质数B.奇数C.偶数D.约数5.算法：S1 m =a ；S 2 若b <m ，则m=b ；S3 若c <m ，则m =c ；S4 若d <m ，则 m =d ；S5 输出m 。
新教材人教B版高中数学必修第三册全册精品教学课件(共762页)
第2课时 诱导公式(二) P204
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像 P230 7．3.2 正弦型函数的性质与图像 P270
7．3函数的性质与图像 P376
7．3.5 已知三角函数值求角 P411
7．4 数学建模活动：周期现象的描述 P443
2．象限角 (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴 上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角． 如果终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合 第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}． 第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． 终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ． 终边落在 x 轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}． 终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k ∈Z}． 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为
新教材 -2020新课程同步人教B版高中数学必修第三册新学案 教师用介绍模板之欧阳音创编
第七章三角函数时间：2021.03.11 创作：欧阳音7．1 任意角的概念与弧度制7．1.1角的推广错误!知识点一角的概念的推广(一)教材梳理填空1．角的概念一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．2．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而成的角负角一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转而成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角1．判断正误(1)小于90°的角都是锐角. ( )(2)终边与始边重合的角为零角．( )(3)大于90°的角都是钝角．( )(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是( )A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小解析：选D 由任意角的概念，知D正确．3．在图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.答案：390°－150°60°知识点二象限角(一)教材梳理填空象限角及终边相同的角个角不属于任何象限，可称为轴线角．(二)基本知能小试1．判断正误(1)终边相同的角一定相等．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第二象限角是钝角．( )(4)225°是第三象限角．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角可表示为(其中k∈Z)( )A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70° D．k·180°＋270°解析：选 B ∵610°＝360°＋250°，∴610°与250°角的终边相同，故选B.3．与－1 560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．解析：与－1 560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°题型一与任意角有关的概念辨析[学透用活]解读任意角的概念三个要素：顶点、始边、终边．(1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字．[典例1] (1)下列说法正确的是( )A．第一象限的角一定是正角B．三角形的内角不是锐角就是钝角C．锐角小于90°D．第二象限的角一定大于第一象限的角(2)期末考试，数学科从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了( )A．360°B．720°C．－360° D．－720°[解析] (1)－355°是第一象限的角，但不是正角，所以A错误；三角形的内角可能是90°，所以B错误；锐角小于90°，C正确；45°是第一象限角，－200°是第二象限角，但45°>－200°，所以D错误．故选C.(2)因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.[答案] (1)C (2)D[方法技巧]判断角的概念问题的关键与技巧1．设集合A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D解析：选D 集合A中锐角θ满足0°＜θ＜90°；集合B中θ＜90°，可以为负角；集合C中θ满足k·360°＜θ＜k·360°＋90°，k∈Z；集合D中θ满足0°＜θ＜90°.故A＝D.2．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．解：题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°，γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题型二象限角及终边相同的角[学透用活][典例2] 在0°到360°的范围内，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．(1)－736°；(2)405°.[解](1)∵－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．(2)∵405°＝360°＋45°，45°是第一象限角．∴45°与405°是终边相同的角，且405°为第一象限角．[方法技巧](1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．[对点练清]1．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.2．在直角坐标系中写出下列角的集合：(1)终边在x轴的非负半轴上；(2)终边在y ＝x(x≥0)上．解：(1)在0°～360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个：0°.故终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．(2)在0°～360°范围内，终边在y＝x(x≥0)上的角有一个：45°.故终边在y＝x(x≥0)上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}．题型三区间角的表示[学透用活][典例3] 已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°～135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[方法技巧]表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．[对点练清]1．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解：在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．2．[变条件]若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解：由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k·360°＋60°≤β≤k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A．－300°B．－60°C．600° D．1 380°解析：选A 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.2．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的终边都在( )A．x轴正半轴上 B．y轴正半轴上C．x轴或y轴上 D．x轴正半轴或y轴正半轴上解析：选 C 令k＝1,2,3,4，终边分别落在y轴正半轴上，x轴负半轴上，y轴负半轴上，x轴正半轴上，又k∈Z，故选C.3．已知集合M＝{锐角}，N＝{小于90°的角}，P＝{第一象限的角}，下列说法：①P⊆N；②N∩M＝M；③M⊆P；④(M∪N)⊆P.其中正确的是________(填序号)．解析：因为锐角的范围为0°<θ<90°，小于90°的角为θ<90°，包含负角，第一象限角为k·360°<θ<k·360°＋90°，k∈Z，所以P N，①错误；N∩M＝M，②正确；M⊆P，③正确；(M∪N)P，④错误．答案：②③4．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC＝________.解析：因为各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.答案：－150°二、创新应用题5．在与角 1 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．解：因为1 030°＝2×360°＋310°，所以与角 1 030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)故所求的最小正角为310°.(2)取k＝－1，得所求的最大负角为－50°.三、易错防范题6．如图所示，阴影部分内的角的集合S＝______________.解析：因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z.所以终边在阴影部分内的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}[易错矫正]用不等式表示区间角的范围时，要注意观察角的集合形成是否能够合并，能合并的一定要合并．另外对于区间角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正方向．[课下双层级演练过关]A级——学考水平达标练1．(多选题)以下说法，其中正确的有( )A．－75°是第四象限角B．265°是第三象限角C．475°是第二象限角 D．－315°是第一象限角解析：选ABCD 由终边相同角的概念知：A、B、C、D都正确．2．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.3．在0°≤α＜360°中，与－510°角的终边相同的角为( )A．150° B．210°C．30° D．330°解析：选B 与－510°角终边相同的角可表示为β＝－510°＋k·360°，k∈Z.当k＝2时，β＝210°.4．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在( )A．第一象限 B．第二象限C．y轴的正半轴上 D．x轴的负半轴上解析：选B 因为角α的终边在y轴的负半轴上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.5．下列说法正确的是( )A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．终边相同的角之间相差180°的整数倍D．钟表的时针旋转而成的角是负角解析：选D A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角；C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍；D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角．6．12点过14小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________．解析：时钟上每个大刻度为30°，12点过14小时，分针转过－90°，时针转过－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.答案：82.5°7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.解析：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z，即α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.答案：40°或80°8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝______________________.解析：当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．答案：{－126°，－36°，54°，144°}9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，请作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.解：作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．10．写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．解：在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°且小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．B级——高考水平高分练1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析：选 A 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．2．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x 轴的非负半轴上．3．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x轴对称：________________.解析：根据终边相同的角的概念，数形结合可得：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．答案：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z) (2)α＝k·360°－β(k∈Z)4.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．解：终边落在y＝3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边落在y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．5.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转．已知P 在1秒钟内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又恰好回到出发点A .求θ，并判断θ所在象限．解：根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z ，即θ＝k ·180°7，k ∈Z. 又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，∴67.5°＜k ·180°7＜112.5°，k ∈Z ， ∴k ＝3或k ＝4，∴所求θ的值为540°7或720°7. ∵0°＜540°7＜90°，90°＜720°7＜180°，∴θ在第一象限或第二象限．7．1.2 弧度制及其与角度制的换算错误!知识点一弧度制(一)教材梳理填空1．度量角的两种制度(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为角度制．规定1度等于60分，1分等于60秒．(2)弧度制：以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad.[微提醒]今后在用弧度制表示角时，“弧度”二字或rad可以略去不写，而只写这个角的弧度数．2．弧长公式在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝lr.由此可得到l＝αr，即弧长等于其所对应的圆心角的弧度数与半径的积．[微提醒]设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝α·R.(2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2.(二)基本知能小试判断正误(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧．( )(2)1弧度是长度为半径的弧．( )(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和．( )答案：(1)×(2)×(3)×知识点二弧度制与角度制的换算(一)教材梳理填空1．判断正误(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( )(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( )(3)1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π. ( )(4)1 rad的角比1°的角要大．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°＝______；(2)－15°＝______；(3)7π12＝________；(4)－115π＝________.解析：(1)20°＝20×π180＝π9；(2)－15°＝－15×π180＝－π12；(3)7π12＝7π12×⎝⎛⎭⎪⎪⎫180π°＝105°；(4)－115π＝－115π×⎝⎛⎭⎪⎪⎫180π°＝－396°.答案：(1)π9(2)－π12(3)105°(4)－396°题型一角度制与弧度制的互化[学透用活](1)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．(2)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．[典例1] (1)①将112°30′化为弧度为________；②将－5π12rad化为度为________．(2)将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式．①193π；②－315°.[解析] (1)①因为1°＝π180rad，所以112°30′＝π180×112.5 rad＝5π8. ②因为1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°， 所以－5π12 rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π12×180π°＝－75°. 答案：①5π8②－75° (2)①193π＝6π＋π3；②－315°＝－7π4＝－2π＋π4. [方法技巧]进行角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180. [对点练清]将下列角度与弧度进行互化：(1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°.解：(1)5116π＝5116×180°＝15 330°.(2)－7π12＝－712×180°＝－105°.(3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.题型二用弧度制表示终边相同的角[学透用活][典例2]把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.[解](1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°，∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．[方法技巧]用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．[对点练清]1．把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.解：∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α<2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.2．在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．解：∵2π5＝2π5×⎝⎛⎭⎪⎪⎫180π°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°，∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.题型三扇形的面积与弧长的计算[学透用活][典例3] (1)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，求扇形的圆心角的弧度数．(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积．[解] (1)设扇形的半径为r cm, 弧长为l cm ，圆心角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝6，12lr ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，l ＝2.∴θ＝l r＝1或4. (2)设扇形的弧长为l ，半径为R ，圆心角为α，∵72°＝72×π180＝2π5， ∴l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)， ∴S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． [方法技巧]弧度制下解决扇形相关问题的步骤(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝αr ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．[对点练清]1．[圆心角的弧度数]已知扇形的周长为10 cm ，面积为 4 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数为________．解析：设扇形的半径为r cm ，圆心角α所对的弧长为l cm.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝10，12lr ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝8，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝2，r ＝4，∴α＝8或12.又∵0＜α＜2π，∴α＝12. 答案：122．[求扇形的半径]若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．解析：设半径为r，∵216°＝216×π180＝6π5，∴l＝6π5r＝30π，∴r＝25.答案：253．[与最值有关的问题]已知扇形的周长为40 cm，则当它的半径和圆心角各取何值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知α＝6π7，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B 因为π2<6π7<π，所以角α的终边在第二象限．2．下列各对角中，终边相同的是( )A.3π2和2kπ－3π2(k∈Z) B．－π5和22π5C．－7π9和11π9D.20π3和122π9解析：选C 在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍．故选C.3．某扇形的半径为 1 cm，它的周长为 4 cm，那么该扇形的圆心角为________．解析：由题意可得扇形的弧长为4－2×1＝2(cm)，则扇形的圆心角为21＝2.答案：24．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－3π4；11π3＝113×180°＝660°. 答案：－3π4660° 二、创新应用题5．已知集合A ＝{α|2k π<α<(2k ＋1)π，k ∈Z}，B ＝{α|－5≤α≤5}，求A ∩B .解：由题意知，A ＝…∪{α|－2π<α<－π}∪{α|0<α<π}∪{α|2π<α<3π}∪…，又B ＝{α|－5≤α≤5}，两集合在数轴上的表示如图所示．∴A ∩B ＝{α|－5≤α<－π或0<α<π}．三、易错防范题6．写出终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合S ＝_____________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪⎪ 2k π－π6<α<2k π＋π3，k ∈Z (也可写成{α|k·360°－30°<α<k·360°＋60°，k ∈Z})[易错矫正](1)本题易错处有两点：一是直接写成{α|k·360°＋330°<α<k·360°＋60°，k∈Z}，导致集合中不等式右边的角反而小于左边的角．二是同一不等式中混用了角度制与弧度制．(2)同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．[课下双层级演练过关]A级——学考水平达标练1．1 920°转化为弧度数为( )A.163B.323C.16π3D.32π3解析：选D 1 920°＝1 920×π180＝32π3.2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403π B.203πC.2003π D.4003π解析：选A ∵240°＝240×π180＝43π，∴弧长l＝α·r＝43π×10＝403π，故选A.3．2弧度的角所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B 因为π2<2<π，所以2弧度的角是第二象限角．4．(多选题)下列转化结果正确的是( )A．60°化成弧度是π3B．－103π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°解析：选ABD 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D，π12＝112×180°＝15°.故A、B、D正确．5．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )A.5π11B.44π5C.5π22D．22π5解析：选B 由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过8820周，小链轮转过的弧度是8820×2π＝44π5.6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为______________．解析：因为A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15. 答案：π5，π3，7π157．地球赤道的半径约是6 370 km ，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．解析：因为1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫160°＝160×π180，所以l＝α·R ＝160×π180×6 370≈1.85(km)． 答案：1.858．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z)，∴α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π109．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·(180π)°＝(180－360π)°，扇形的面积S＝12lr＝12r2(π－2)．10．已知α＝1 690°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋25 18π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋25 18π<4π(k∈Z)．解得－9736<k<4736(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.B级——高考水平高分练1.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转π2，则从动轮N逆时针旋转( )A.π8B.π4C.π2D．π解析：选B 设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，故选B.2．若角α与角x＋π4有相同的终边，角β与角x－π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝π2＋2kπ(k∈Z)解析：选 D ∵α＝2k1π＋x＋π4，β＝2k2π＋x－π4(k1，k2∈Z)，∴α－β＝2(k1－k2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2kπ(k∈Z)．3.如图，扇形AOB的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角α的弧度数为________，弦AB的长为________．解析：由扇形面积公式S＝12lr，又α＝lr，可得S＝l22α，所以α＝2，易得r＝1，结合图像知AB＝2r sin α2＝2sin 1.答案：2 2sin 14．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－π3，则β＝________.解析：如图所示，－π3角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为－π4＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4－⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π3＝－π6，所以β＝－π6＋2kπ，k∈Z.答案：2kπ－π6，k∈Z5．已知角α＝1 200°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－4π，π]上找出与α终边相同的角．解：(1)∵α＝1 200°＝1 200×π180＝20π3＝3×2π＋2π3，又π2<2π3<π，∴角α与2π3的终边相同，∴角α是第二象限的角．(2)∵与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ＋2π3，k∈Z，∴由－4π≤2kπ＋2π3≤π，得－73≤k≤16.∵k∈Z，∴k＝－2或k＝－1或k＝0.故在区间[－4π，π]上与角α终边相同的角是－10π3，－4π3，2π3.6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3，弦长为40 3 m的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________．(其中π≈3，3≈1.73)解析：因为圆心角为2π3，弦长为40 3m，所以圆心到弦的距离为20 m，半径为40m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为1 2(403×20＋20×20)＝(4003＋200)m2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402－12×20×403＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1 600π3－4003m2，因此两者之差为1 600π3－4003－(4003＋200)≈16 m2.答案：16 m27.2 任意角的三角函数7．2.1三角函数的定义1.类比锐角三角函数定义，借助直角三角形定义任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)．2.通过学习，提高学生直观想象、数学抽象与数学建模的核心素养．知识点一任意角的正弦、余弦与正切的定义(一)教材梳理填空前提如图，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝x2＋y2定义正弦yr称为α的正弦，记作sin α，即sin α＝yr余弦xr称为α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr正切yx称为α的正切，记作tan α，即tan α＝yx三角函数对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠π2＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的三角函数1．判断正误(1)同一个三角函数值只能有唯一的一个角与之对应．( )(2)sin α，cos α，tan α的值与点P(x，y)在角α终边上的位置无关．( )答案：(1)×(2)√2．若α的终边与x轴负半轴重合，则sin α＝__________，cos α＝________，tan α＝________.解析：当α的终边与x轴负半轴重合时，设角α的终边上一点P的坐标为(－1,0)，则sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.答案：0 －1 0知识点二正弦、余弦与正切在各象限的符号(一)教材梳理填空sin α、cos α、tan α在各个象限的符号如下：[微思考] 怎样快速记忆三角函数值在各象限的符号？提示：根据三角函数的定义可快速判断三角函数值在各象限的符号，也可用如下口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．(二)基本知能小试1．判断正误(1)若α是三角形的内角，则必有sin α＞0.( )(2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边与单位圆的交点，则cos α＝－x.( )(3)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角．( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．题型一 三角函数的定义及应用[学透用活][典例1] (1)如果角θ的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角θ的终边上有一点P (x,2x －3)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．[解析] (1)由题意知r ＝|OP |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝1，所以sin α＝yr＝121＝12，cos α＝xr＝－321＝－32，tan α＝yx＝12－32＝－33.答案：12－32－33(2)由tan θ＝2x－3x＝－x，解得x＝－3或x＝1.当x＝－3时，P(－3，－9)，r＝310，。
2017-2018学年高中数学人教B版必修3 同步导学案：第3章 3-1 事件与概率 含答案 精品
（一）知识点讲解
基本概念：
1．必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
2．不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
3．确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
4．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件．
发芽的粒数
2
4
9
60
116
282
639
1339
2715
发芽的频率
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
4．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表如示．
投篮次数
进球次数m
进球频率
（1）计算表中进球的频率；
（2）这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
5．生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
课题
3.1.1随机事件的概率，3.1.2概率的意义
总课时
1
教学要求
1．了解随机事件、必然事件、不可能事件及确定事件的概念；
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教育精品资料按住Ctrl 键单击鼠标打开名师教学视频全册播放1.1算法与程序框图（共3 课时）1.1.1算法的概念（第1课时）一、序言算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力.在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想.二、实例分析例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法.解：第一步：把水注入电锅；第二步：打开电源把水烧开；第三步：把烧开的水注入热水瓶.（以上算法是解决某一问题的程序或步骤）例2：给出求1+2+3+4+5 的一个算法.解：算法1 按照逐一相加的程序进行第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3 与3 相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6 与4 相加，得到10；第四步：将第三步中的运算结果10 与5 相加，得到15.n(n + 1)算法2 可以运用公式1+2+3+…+ n = 直接计算2第一步：取n =5；n(n + 1)第二步：计算；2第三步：输出运算结果.（说明算法不唯一）例3：（课本第2 页，解二元一次方程组的步骤）（可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性）例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；第二步：根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组；第三步：解出a ，b ，r 或D ，E ，F ，代入标准方程或一般方程.+ 步骤称为解决这些问题的算法三、算法的概念通过对以上几个问题的分析，我们对算法有了一个初步的了解.在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程例 6：（课本第 4 页例 2）练习 2：设计一个计算 1+2+…+100 的值的算法.解：算法 1按照逐一相加的程序进行第一步：计算 1+2，得到 3；第二步：将第一步中的运算结果 3 与 3 相加，得到 6； 第三步：将第二步中的运算结果 6 与 4 相加，得到 10；……第九十九步：将第九十八步中的运算结果 4950 与 100 相加，得到 5050.n (n 1)算法 2 可以运用公式 1+2+3+…+ n = 第一步：取 n =100； 2n (n + 1)第二步：计算；2第三步：输出运算结果.直接计算 练习 3：（课本第 5 页练习 1）任意给定一个正实数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.解：第一步：输入任意正实数 r ；第二步：计算 S =r 2 ；第三步：输出圆的面积 S .五、课堂小结1. 算法的特性：①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的.②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果， 而不应当是模棱两可.③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成.④输入：一个算法中有零个或多个输入..⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.2. 描述算法的一般步骤：①输入数据.（若数据已知时，应用赋值；若数据为任意未知时，应用输入） ②数据处理. ③输出结果.1.1.2 程序框图（第 2 课时）二、程序框图的有关概念1. 两道回顾练习的算法用程序框图来表达，引入程序框图概念.2. 程序框图的概念程序框图又称流程图，是一种规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.3. 构成程序框图的图形符号及其作用（课本第 6 页）4. 规范程序框图的表示： ①使用标准的框图符号.②框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范. ③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点. 另一种是多分支判断，有几种不同的结果. ⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚. 三、顺序结构顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成. 例 1：（课本第 9 页例 3）练习 1：交换两个变量 A 和 B 解：算法如下：程序框图：第一步：输入 A ，B 的值. 第二步：把 A 的值赋给 x. 第三步：把 B 的值赋给 A. 第四步：把 x 的值赋给 B. 第五步：输出 A ，B 的值.根据条件判断，决定不同流向.例2：（课本第10 页例4）练习2：有三个整数a ，b ，c ，由键盘输入，输出其中最大的数.解：算法1第一步：输入a ，b ，c ；第二步：若a >b ，且a >c ；则输出a ；否则，执行第三步；第三步：若b >c ，则输出b ；否则，输出c .算法2第一步：输入a ，b ，c ；第二步：若a >b ，则t =a ；否则，t =b ；第三步：若t >c ，则输出t ；否则，输出c .练习3：已知f (x) =x 2 - 2x - 3 ，求f (3) +f (-5) 的值.设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图.解：算法如下：第一步：x = 3 ；第二步：y1=x 2 - 2x - 3 ；第三步：x =-5 ；第四步：y2=x 2 - 2x - 3 ；第五步：y =y1+y2；第六步：输出y .练习4：设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出程序框图.解：第一步：输入任意实数x ；第二步：若x ≥ 0 ，则y =x ；否则y =-x ；第三步：输出y .练习5：（课本第18 页例6）设计一个算法，使得任意输入的3 个整数按从大到小的顺序输出，并画出程序框图.练习6：五、课堂小结1.画程序框图的步骤：首先用自然语言描述解决问题的一个算法，再把自然语言转化为程序框图；2.理解条件结构的逻辑以及框图的规范画法，条件结构主要用在判断、分类或分情况的问题解决中.1.1.2 程序框图（第3 课时）一、回顾练习引例：设计一个计算1+2+…+100 的值的算法.解：算法1 按照逐一相加的程序进行第一步：计算1+2，得到3；第二步：将第一步中的运算结果3 与3 相加，得到6；第三步：将第二步中的运算结果6 与4 相加，得到10；……第九十九步：将第九十八步中的运算结果4950 与100 相加，得到5050.简化描述：进一步简化：第一步：sum=0；第一步：sum=0，i=1；第二步：sum=sum+1；第二步：依次i 从1 到100，反复做sum=sum+i；第三步：sum=sum+2；第三步：输出sum.第四步：sum=sum+3；……第一百步：sum=sum+99； 第一百零一步：sum=sum+100 第一百零二步：输出 sum. 根据算法画出程序框图，引入循环结构.二、循环结构循环结构：在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这种结构称为循环结构.循环体：反复执行的处理步骤称为循环体.计数变量：在循环结构中，通常都有一个起到循环计数作用的变量，这个变量的取值一般都含在执行或终止循环体的条件中.当型循环：在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止.直到循环：在执行了一次循环体之后，对控制循环体进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止. 练习 1：画出引例直到型循环的程序框图.当型循环与直到循环的区别：①当型循环可以不执行循环体，直到循环至少执行一次循环体.②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断. ③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.练习 2：1.1.1 节例 1 的算法步骤的程序框图（如图）说明：①为了减少难点，省去 flag 标记；②解释赋值语句“ d = 2 ”与“ d = d + 1”，还有“ d <= n - 1；③简单分析.练习3：画出1⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ ⨯100 的程序框图.小结：画循环结构程序框图前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件.三、条件结构与循环结构的区别与联系区别：条件结构通过判断分支，只是执行一次；循环结构通过条件判断可以反复执行.联系：循环结构是通过条件结构来实现.例1：（课本第10 页的《探究》）画出用二分法求方程x 2 - 2 = 0 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并指出哪些部分构成顺序结构、条件结构和循环结构？练习4：设计算法，求使1 + 2 + 3 + +n > 2005 成立的最小自然数n 的值，画出程序框图.练习5：输入50 个学生的考试成绩，若60 分及以上的为及格，设计一个统计及格人数的程序框图.练习6：指出下列程序框图的运行结果五、课堂小结1.理解循环结构的逻辑，主要用在反复做某项工作的问题中；2.理解当型循环与直到循环的逻辑以及区别：①当型循环可以不执行循环体，直到循环至少执行一次循环体.②当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断.③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.3.画循环结构程序框图前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的转向位置；④确定循环的终止条件.4.条件结构与循环结构的区别与联系：区别：条件结构通过判断分支，只是执行一次；循环结构通过条件判断可以反复执行.联系：循环结构是通过条件结构来实现.1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句（第1 课时）一、回顾知识顺序结构及其框图二、输入语句、输出语句和赋值语句 例 1：（课本第 21 页例 1）分析：首先画出解决该问题算法的程序框图，并解析 BASIC 语言中的数学运算符号表示.如： 2 ⨯ 3 写成 2*3， 53 写成 5^3， 5 ÷ 3写成 5/3，5 除以 3 的余数为“5 MOD 3”，5 除以 3 的商为“5\3”， 1. 输入语句的一般格式写成“SQR （2）”， x 写成“ABS （ x ）”等等.说明：①输入语句的作用是实现算法的输入信息功能.②“提示内容”提示用户输入 什么样的信息，用双引号.③提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量， 变量与变量之间用逗号“，”隔开，如“INPUT “a=,b=,c=”；a ，b ，c”.④变量是指程序在运行是其值是可以变化的量，如③中的 a ，b ，c 都是变量，通俗把一个变量比喻成一个盒子，盒子内可以存放数据，可随时更新盒子内的数据.⑤如③中当依次输入了1，2，3 程序在运行时把输入的值依次赋给 a ，b ，c ，即 a=1，b=2，c=3. 例如，输入一个学生数学、语文、英语三门课的成绩：INPUT “Maths ，Chines ，English ”；a ，b ，c 输入任意整数 n ： INPUT “n=”；n2. 输出语句的一般格式说明：①输出语句的作用是实现算法的输出结果的功能，可以在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息.②“提示内容”提示用户输出什么样的信息，用双引号.③ 提示内容与表达式之间用分号“；”隔开. ④要输出表达式中的字符，需要用双引号“”， 如：PRINT “提示内容：”；“a+2”，这时屏幕上将显示：提示内容：a+2. 例如，下面的语句可以输出斐波那契数列：PRINT“The Fibonacci Progression is:”；1 1 2 3 5 8 13 21 34 55“…”这时屏幕上将显示：The Fibonacci Progression is: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … 例 2：（课本第 23 页例 2）分析：补充写出屏幕上显示的结果.PRINT “提示内容”；表达式 INPUT “提示内容”；变量 23.赋值语句的一般格式变量=表达式说明：①赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量.②赋值语句中的“=”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样；赋值号的左右两边不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，如 a=b 表示用 b 的值代替变量 a 原先的值.③格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量，如若 a=1，b=2，c=a+b 是指先计算 a+b 的值3 赋给c，而不是将 a+b 赋给c.例3：（课本第 25 页例3）分析：先画出程序框图，重点分析“A=A+15”.例4：（课本第 15 页例4）分析：先画出程序框图.4.输入语句、输出语句和赋值语句之间的区别（1）输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；赋值语句是程序内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量.（2）输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；输出语句是程序运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出.三、课堂练习1.（课本第24 页练习1）（要求：先画出程序框图）2.（课本第24 页练习2）（要求：先画出程序框图）3.（课本第24 页练习3）4.（课本第24 页练习4）（要求：先画出程序框图）5.（课本第33 页习题1.2A 组第1 题）6.四、课堂小结1.理解输入语句、输出语句和赋值语句的一般格式，注意标点符号的使用以及数学符号的表示和数学式子的表示；2.赋值语句与数学中等号的区别.3.编写一个程序的步骤：首先用自然语言描述问题的一个算法，然后把自然语言转化为程序框图，最后把程序框图转化为程序语句.4.输入语句和赋值语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；赋值语句是程序内部运行时给变量赋值，先计算右边的表达式，得到的值赋给左边的变量.5.输入语句和输出语句的区别：输入语句是外部直接给程序中变量赋值；输出语句是IF 条件 THEN语句 1 ELSE 语句 2 程序运行的结果输出到外部，先计算表达式，得到结果输出.1.2 基本算法语句（共 3 课时）（有条件在电脑室上）1.2.2 条件语句（第 2 课时）一、回顾知识1. 什么是条件结构？画出其程序框图.2. 练习：写出解不等式 ax > b (a ≠ 0) 的一个算法，并画出程序框图. 二、条件语句1. 把回顾练习中的程序框图转化为程序语句. INPUT “a=”；a INPUT “b=”；b IF a>0 THENPRINT “不等式的解为： x > ”；a/bELSEEND IF ENDPRINT “不等式的解为： x < ”；a/b2. 条件语句的一般格式 （1）IF —THEN —LESE 形式 END IF说明：①当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合， 就执行 THEN 后的语句，否则执行 ELSE 后的语句.②书写时一个条件语句中的 IF 与 END IF 要对齐.（2）IF —THEN 形式IF 条件 THEN语句END IF说明：当计算机执行上述语句时，首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句，否则直接结束该条件语句.三、知识应用练习1：已知函数f (x) = x 2 -x + 1（x ≥ 2 ）编写一个程序，对每输入的一个x 值，都得到相应的函数值.x + 1 （x < 2 ）例1：（课本第25 页例6）编写程序，输入一元二次方程ax 2 +bx +c = 0 的系数，输出它的实数根.分析：首先画出程序框图，再转化为程序语句；解释平方根与绝对值BASIC 语言的表示；注意两重条件的表示方法.例2：（课本第27 页例7）编写程序，使得任意输入的3 个整数按从大小的顺序输出.分析：首先画出程序框图，再转化为程序语句.四、课堂练习1.（课本第29 页练习1）2.（课本第29 页练习2）3.（课本第29 页练习3）（要求：先画出程序框图）4.（课本第29 页练习4）（要求：先画出程序框图）5. 6.五、课堂小结1.理解条件语句的两种表达形式以及何时用格式 1、何时用格式2.2.注意多个条件的语句表达方法：如(a+b>c) AND (b+c>a) AND (a+c>b).3.条件语句的嵌套，注意END IF 是和最接近的匹配，要一层套一层，不能交叉.3.编写一个程序的步骤：首先用自然语言描述问题的一个算法，然后把自然语言转化为程序框图，最后把程序框图转化为程序语句.六、作业1.（课本第23 页习题1.2A 组第3 题）2.（课本第24 页习题1.2B 组第2 题）3.某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3 分钟，则收取通话费0.2 元；如果通话超过3 分钟，则超过部分以0.1 元/分钟收取通话费.问：设计一个计算通话费用的算法，并且画出程序框图以及编出程序.4. 编写一个程序，任意输入一个整数，判断它是否是 5 的倍数.5. 基本工资大于或等于 600 元，增加工资 10%；若小于 600 元大于等于 400 元，则增加工资 15%；若小于 400 元，则增加工资 20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资， 计算出增加后的工资.1.2 基本算法语句（共 3 课时）（有条件在电脑室上）1.2.3 循环语句（第 3 课时）【课程标准】经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语 句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想【教学目标】1.理解、掌握循环语句；2. 能运用循环语句表达解决具体问题的过程；3. 培养学生逻辑思维能力与表达能力，进一步体会算法思想.【教学重点】循环语句的表示方法、结构和用法【教学难点】将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，当型循环和直到型循环的格式与逻辑的区别与联系. 【教学过程】 一、回顾知识1. 什么是循环结构？画出其程序框图.2. 引例：（课本第 13 页例 6）设计一个计算 1+2+…+100 的值的算法，并画出程序框图.分析：由程序框图转化为程序语句，引入循环语句.二、循环语句1. 当型（WHILE 型）语句的一般格式：说明：当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语句后，接着执行 WEND 之后的语句.测试型”循环.WHILE 条件循环体 WEND2. 直到型（UNTIL 型）语句的一般格式： DO循环体 LOOP UNTIL 条件说明：当计算机遇到 UNTIL 语句时，先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体，然后判断条件是否成立，如果不成立，执行循环体.这个过程反复执行，直到某一次符合条件为止，这时不再执行循环体，跳出循环体执行 LOOP UNTIL 后面的语句. 因此，直到型循环有时也称为“后测试型”循环. 3. 当型循环与直到型循环的区别：①当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断. ②当型循环用 WHILE 语句，直到型循环用 UNTIL 语句. ③对同一算法来说，当型循环和直到循环的条件互为反条件.三、知识应用练习 1：编写程序，计算函数 f (x ) = x 2 - 3x + 5 当 x = 1,2,3, ,20 时的函数值. 例 1：设计一个算法，求1 + 1 + 1 + + 1 程序框图并编程.的和（其中 n 的值由键盘输入），画出 3 52n -1例 2：把课本第 7 页的程序框图转化为程序语句.练习 2：（课本第 32 页练习 1） 练习 3：（课本第 32 页练习 2）练习 4：某玩具厂 2004 年的生产总值为 200 万元，如果年生产增长率为 5%，试编一个程序，计算最早在哪一年生产总值超过 300 万元.练习 5：练习 6：算法初步复习课（1 课时）【教学目标】1.回顾算法的概念以及三种基本逻辑结构；2. 掌握三种基本逻辑结构的应用；3. 掌握条件结构与循环结构互相嵌套的应用.【教学重点】三种基本逻辑结构的应用【教学难点】条件结构与循环结构互相嵌套的应用【教学过程】一、算法的基本概念1.算法定义描述：在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2.算法的特性：①有穷性：一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的.②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.③可行性：算法中的每一步操作都必须是可执行的，也就是说算法中的每一步都能通过手工和机器在有限时间内完成.④输入：一个算法中有零个或多个输入..⑤输出：一个算法中有一个或多个输出.P3判定.例1：任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出解：算法如下：第一步：判断n 是否等于2. 若n = 2 ，则n 是质数；若n > 2 ，则执行第二步.第二步：依次从2~（n - 1）检验是不是n 的因数，即整除n 的数.若有这样的数，则n 不是质数；若没有这样的数，则n 是质数.二、三种基本逻辑结构1.顺序结构顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成.输入语句：INPUT “提示内容”；变量输出语句：PRINT “提示内容”；表达式赋值语句：变量=表达式P 15 例4：交换两个变量A 和B 的值，并输出交换前后的值.解：算法如下：第一步：输入A，B 的值.第二步：把A 的值赋给x.第三步：把B 的值赋给A.第四步：把x 的值赋给B.第五步：输出A，B 的值.程序如下：INPUT “A=，B=”；A，Bx=AA=BB=xPRINT A，BEND2.条件结构根据条件判断，决定不同流向.（1）IF—THEN—LESE 形式（2）IF—THEN 形式P19例6：编写程序，使得任意输入的3 个整数按大到小的顺序输出.3.循环结构从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤.（1）当型（WHILE 型）循环：IF 条件THEN语句END IFIF 条件THEN语句 1LESE语句 2DO循环体LOOP UNTIL 条件（2） 直到型（UNTIL型）循环：P 9 例 5：设计一个计算 1+2+…+100三、基本方法1. 编写一个程序的三个步骤：第一步：算法分析：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出解决问题的算法；第二步：画出程序框图：依据算法分析，画出对应的程序框图；第三步：写出程序：耕具程序框图中的算法步骤，逐步把算法用相应的程序语句表达出来.P 15 例 4：交换两个变量 A 和 B 的值，并输出交换前后的值.2. 何时应用条件结构？当问题设计到一些判断，进行分类或分情况，或者比较大小时，应用条件结构；分成三种类型以上（包括三种）时，由边界开始逐一分类，应用多重条件结构.注意条件的边界值.如：（题目条件有明显的提示）（1） 编写一个程序，任意输入一个整数，判断它是否是 5 的倍数.（2） 编写求一个数是偶数还是奇数的程序，从键盘上输入一个整数，输出该数的奇偶性.（3） 编写一个程序，输入两个整数 a,b ，判断 a 是否能被 b 整除.（4） 某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过 3 分钟，则收取通话费 0.2 元；如果通话 超过 3 分钟，则超过部分以 0.1 元/分钟收取通话费.问：设计一WHILE 条件循环体WENDs > 2005 否是s = i 2i = i + 1i ≠ 0否是p = p + 1ii = i - 1 个计算通话费用的算法，并且画出程序框图以及编出程序.（5） 基本工资大雨或等于 600 元，增加工资 10%；若小于 600 元大于等于 400 元，则增加工资 15%；若小于 400 元，则增加工资 20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资.（6） 闰年是指年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能被 400 整除的年份.如：（题目隐藏着需要判断、分类或比较大小的过程等）（7）（课本第 11 页例 5）编写程序，输入一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的系数，输出它的实数根.（8）（课本第 27 页例 7）编写程序，使得任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出.3. 何时应用循环结构？当反复执行某一步骤或过程时，应用循环结构.当型循环是先判断条件，条件满足十执行循环体，不满足退出循环；直到型循环是先执行循环体，再判断条件，不满足条件时执行循环体，满足时退出循环.当循环体涉及到条件是否有意义时，只能用当型循环 （如图 1）；当条件用到循环体初始值时，只能用直到型循环（如图 2）.应用循环结构前：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件.如：（题目条件有明显的提示）（1）设计一个计算1+2+…+100 的值的算法，并画出程序框图.（2）设计一个算法，计算函数f (x) =x 2 - 3x + 5 当x = 1,2,3, ,20 时的函数值，并画出程序框图.（3）如果我国工农业产值每年以9%的增长率增长，问几年后我国产值翻一翻，试用程序框图描述其算法.（4）设计一个算法，输出1000 以内（包括1000）能被3 和5 整除的所有正整数，并画出算法的程序框图以及编程.（5）全班一共40 个学生，设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100 ≥分数≥85）的学生人数，计算出全班同学的平均分.如：（题目隐藏着需要反复执行的过程等）（6）任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定. （7）画出用二分法求方程x 2 - 2 = 0 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并写出程序.四、几个难点1.条件结构中嵌套着条件结构（1）编写一个程序，对于函数f (x) =输入x 的值，输出相应的函数值. x （x < 1）2x - 1（1 ≤x < 10 ）3x - 11 (x ≥ 10)（2）基本工资大于或等于600 元，增加工资10%；若小于600 元大于等于400 元，则增加工资15%；若小于400 元，则增加工资20%. 请编一个程序，根据用户输入的基本工资，计算出增加后的工资.2.循环结构中嵌套着条件结构（1）任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定.（2）全班一共40 个学生，设计算法流程图，统计班上数学成绩优秀（100 ≥分数≥85）的学生人数，计算出全班同学的平均分.（3）画出用二分法求方程x 2 - 2 = 0 的近似根（精确度为0.005）的程序框图，并写出程序.3.条件结构中嵌套着循环结构（1）任意给定一个大于1 的整数n ，试设计一个程序或步骤对n 是否为质数做出判定.4.循环结构中嵌套着循环结构。
人教版高中数学B版必修三导学案(全册)
学案：1.1.1-1.1.2算法与程序框图一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】1、体会算法的思想，了解算法的含义。
2、能说明解决简单问题的步骤，提高逻辑思维能力。
三、【学习目标】1、通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力，发展应用算法的能力。
问题的能力；2初步了解高斯消去法的思想四、自主学习1、算法的要求例1、写出二元一次方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的算法例2：用数学语言写出对任意3个整数. ,,a b c 求出最大值的算法。
五、合作探究1.试写出判断直线0Ax By C ++=与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系算法。
2. 用数学语言写出对任意3个整数. ,,a b c 求出最小值的算法。
3正三棱锥S ABC -的侧棱长为l ，底面边长为a 写出求此三棱锥S ABC -体积的一个算法。
4.某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃菜，设计过河的算法。
六、总结升华1、知识与方法：2、数学思想及方法：七、当堂检测（见大屏幕）导学案：1.1.3（1）算法的三种基本逻辑结构和框图表示一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】1、重点是利用三种逻辑结构编写框图；2、解决实际问题。
三、【学习目标】1、理解三种框图的逻辑结构；2、会利用三种逻辑结构编写框图；3、通过设计程序框图解决实际问题；四、自主学习1、框图的三种逻辑结构有哪些？例1、已知点00(,)p x y 和直线:0l Ax By C ++=，求点00(,)p x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 的算法，及其程序框图。
人教新课标版数学高一人教B版数学必修三导学案 用样本的频率分布估计总体的分布
2.2.1用样本的频率分布估计总体的分布学习目标：1.学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图和茎叶图，并总结各自的特点2.感知应用数学知识解决问题的方法3.增强探索问题和解决问题的信心，享受成功的快乐 重点：列频率分布表，画频率分布直方图 难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布：1.当天落实用20分钟左右的时间，阅读探究课本中的内容，熟记基础知识，自主高效预习。
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题。
3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到“我的疑惑”处。
一． 教材助读1．频率分布是指一个样本数据在样本容量中所占比例的大小，一般可以用频率分布直方图反映样本的频率分布（在平面直角坐标中，横轴表示数据分组，即各组组距，纵轴表示频率）。
其一般步骤为：（1） 求极差，即计算 （2） 决定 （3） 将数据（4） 列 区间一般左闭右开 （5） 画频率分布直方图2.我们把反映总体频率分布的表格为频率分布表。
3.在频率分布直方图中，=⨯=组距组距小长方形的面积 ，且各小长方形的面积的总和等于 .4．连接频率分布直方图中 的中点，就得到频率分布折线图.5．在做频率折线图时随着所分的组数增加，组距减小，相应的 图会越来越接近于一条 ，称之为 .6．当数据是两位有效数字时，用 表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示 位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。
（见课本P63图2-5）二． 预习自测（自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）1. 关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法正确的是（ ）A.直方图中矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率B.直方图中矩形的高表示取某数的频率C.直方图中矩形的高表示该组上的个体数D.直方图中矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值2.用__________表示数据有很多优点：（1）所有的数据都可以从图中得到；（2）方便记录与表示3．用样本频率分布估计总体频率分布的过程中，下列说法正确的是：（）A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确第三组的频数和频率分别是：（）A．14和0.14 B．0.14和14 C．1/14和0.14 D．1/3和1/14我的疑惑？（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）一．质疑探究---质疑解疑、合作探究(单位ｃｍ)(1)列出样本频率分布表﹔(2)画出频率分布直方图;(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50. 乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.根据上图对两名运动员的成绩进行比较。
人教新课标版数学高一数学人教B版必修3学案 3.4 概率的应用
§3.4概率的应用自主学习学习目标了解概率在解决实际问题中的应用，树立学生的数学应用意识．自学导引概率在我们的现实生活中有很多应用，如程序设计、____________、____________、估计整体等方面有着广泛的应用．正确理解概率的意义，可澄清日常生活中的一些错误认识，对我们的行为作出正确的决策，指导我们正确行动．对点讲练知识点一分析抽签的等可能性(公平性)例1在生活中，我们有时要用抽签的方法决定一件事情．例如，在5张奖票中有1张奖票，5个人按照顺序从中抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽还是后抽(后抽人不知道先抽人的结果)，对每人来说公平吗？也就是说，每人抽到奖票的概率相等吗？点评在抽签时顺序虽然有先有后，但只要不让后抽人知道先抽人的结果，那么各个抽签者中奖的概率是相等的，也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影响其公平性．变式迁移1甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字比乙小，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由．知识点二古典概型的应用例2假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？点评发生概率为0.000 1的事件是小概率事件，通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的，也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的．但我们知道，如果试验很多次，比如10 000次，那么这个小概率事件是可能发生的．所以，为了安全，自动取款机一般允许取款人最多试3次密码，如果第4次键入的密码仍是错误的，那么取款机将“没收”储蓄卡．另外，为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡使用6位数字作密码．变式迁移2甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题有4道，甲、乙两人依次各抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？知识点三对整体进行估计例3某草原鼠害严重，为科学灭鼠，请设计一个方案估计该草原鼠的数量．点评结合实际问题建立相应的数学模型是理论联系实际的有效途径．变式迁移3在某条人流较大的街道上，有一中年人吆喝着“送钱喽！”只见他手拿一只黑色小布袋，袋中有且只有3个黄色和3个白色的乒乓球(体积大小、质地完全相同)．旁边立着一块黑板，上面写着：摸球方法：(1)若摸球一次，摸得同一颜色的球3个，摊主送给摸球者5元钱；(2)若摸球一次，摸得非同一颜色的球3个，摸球者给摊主1元钱．如果一天中有100人次摸球，试从概率角度估算一下这个摊主一个月(按30天计算)能赚多少钱？(1)概率在解决实际中的程序设计、密码技术、社会调查、整体估计中都有重要的应用．(2)将实际问题转化为概率问题，实现数学的应用价值.课时作业一、选择题1．在第1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所要等的汽车的概率等于( )A.12B.23C.35D.252．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行长度(cm) 19.5以下19.5～20.520.5以上件数5687则这批产品的不合格率为( ) A.580 B.780 C.1720 D.3203．从一群游戏的小孩中抽出k 人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏，一会儿后，再从中任取m 人，发现其中有n 个小孩曾分过苹果，估计一共有小孩( )A.⎝⎛⎭⎫k ·n m 人B.⎝⎛⎭⎫k ·m n 人C.()k ＋m －n 人D.12(k ＋m －n )人4．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是( )A.12B.13C.14D.15 二、填空题5．在面积为S 的△ABC 的边AB 上取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．6．做A 、B 、C 三件事的费用各不相同．在一次游戏中，要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由多到少排列)，如果某个参加者随意写出答案，他正好答对的概率是______．7.如图，a ，b ，c ，d ，e 是处于断开状态的开关，任意闭合两个，则电路被接通的概率为________．三、解答题8．某家庭有3个孩子．(1)求这个家庭有3个男孩的概率；(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率； (3)求这个家庭至少有一个男孩的概率．9．甲、乙两人进行压指头游戏，游戏规则是：拇指胜食指，食指胜中指，中指胜无名指，无名指胜小指，小指胜母指，若甲、乙两人随机地伸出一根指头，求甲胜的概率．§3.4概率的应用自学导引密码技术社会调查对点讲练例1解不妨把5张票随机地排列在位置1,2,3,4,5上，对于这张奖票来说，由于是随机的排列，因此它的位置有五种可能，故它排在任一位置上的概率都是15.5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第三位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第三个位置上的，因此，不管排在第几位上去抽，在不知道前面的人抽出的结果的前提下，得到奖概率为15票的概率都是15.变式迁移1解(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(红桃2、红桃3、红桃4分别用2、3、4表示，方片4用4′表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只有是2,4,4′，因此乙抽到的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的有5种情况：(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，数字相等有2种情况：(4,4′)，(4′，4)．故甲胜的概率P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝512.所以此游戏公平．例2 解 这个人随机试一个密码，相当于做1次随机试验，试验的基本事件(所有可能结果)共10 000种．由于假设是随机地试密码，相当于试验的每个结果是等可能的，所以P (“能取到钱”)＝“能取到钱”所包含的基本事件个数10 000＝110 000＝0.000 1. 变式迁移2 解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法有10×9＝90(种)，即基本事件总数是90.(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 所包含的基本事件数为6×4＝24.∴P (A )＝m n ＝2490＝415.(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少有一人抽到选择题”为事件C ，则事件B 包含的基本事件数为4×3＝12.∴由古典概型概率公式得P (B )＝1290＝215.由对立事件的概率公式可得P (C )＝1－P (B )＝1－215＝1315.例3 解 把该草原按面积划分区域，比如一平方公里为一个单位区域；利用随机数从中选取一定数量的地点，如10个；在每一个选取地点同时捕捉，得到一定数量的鼠，如得到x 只，标号放回，过一段时间再捕捉，如得到y 只鼠，查看其中带有标号的有z 只鼠．若此草原有n 只鼠，则可估计：x n ≈z y ，所以估计此草原有鼠xyz只．变式迁移3 解 假定把“摸球一次，摸得同一颜色的3个球”记为事件A ，“摸球一次，摸得非同一颜色的3个球”记为事件B ，那么事件B 与事件A 为对立事件，又基本事件有：(黄1，黄2，白1)，(黄1，黄2，白2)，(黄1，黄2，白3)，(黄1，黄2，黄3)，(黄2，白1，白2)，(黄2，白1，白3)，(黄2，白2，白3)，(黄2，黄3，白1)，(黄2，黄3，白2)，(黄2，黄3，白3)，(黄3，白1，白2)，(黄3，白1，白3)，(黄3，白2，白3)，(白1，白2，白3)，(黄1，黄3，白1)，(黄1，黄3，白2)，(黄1，黄3，白3)，(黄1，白1，白2)，(黄1，白2，白3)，(黄1，白1，白3)共20个．其中事件A 包括(黄1，黄2，黄3)，(白1，白2，白3)两个基本事件，所以事件A 发生的概率为P (A )＝220＝110.又P (A )＋P (B )＝1， ∴事件B 发生的概率为P (B )＝1－P (A )＝1－110＝910.如果1天中有100人次摸球，摊主一个月能赚得钱数为⎝⎛⎭⎫1×910－5×110×100×30＝1 200(元)．课时作业 1．D 2．D 3．B 4．C 5.34 6.16解析 写出做这三件事所需费用的顺序共有6种，而正确的只有1种．故正好答对的概率是16.7.358．解 用x 表示女孩，y 表示男孩，树状图如下：(1)有3个男孩的结果为1，则P (3男)＝18；(2)有2个男孩和1个女孩的结果为3，P (2男1女)＝38；(3)至少有一个男孩的结果为7，P (至少1男)＝78.9．解 甲随机地伸出一根指头后，其胜负决定于乙伸出哪一个手指，乙随机地伸出一根指头有5个基本事件，而甲胜有一基本事件，所以甲胜的概率是15.。
数学人教B版必修3导学案：§3.3 几何概型 Word版含解析
教学目标：1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A ,学会应用数学知识来解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.2.本节课学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,培养学生从有限向无限探究的意识.教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.一、导入新课：1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就是我们要学习的几何概型.二、新课讲授：提出问题(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？(2)试验1.取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验 2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?(4)什么是几何概型?它有什么特点?(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?撰稿教师：赵志岩结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P （正,正）=P （正,反）=P （反,正）=P （反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为214141=+. (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m的绳子上的任意一点.第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型的方法求解.考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31, 于是事件A 发生的概率P(A)=31. 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内,而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时,事件B 发生,于是事件B 发生的概率P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01.(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.(4)几何概型.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.几何概型的基本特点：a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b.每个基本事件出现的可能性相等.(5)几何概型的概率公式：P （A ）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.三、知能训练：1.与长度有关的几何概型例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？2.与面积有关的几何概型例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？3.与体积有关的几何概型例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？4.与角度有关的几何概型例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.3.3.2 随机数的含义与应用------阅读教材110---114.。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修3 3.4 概率的应用》
概率的应用
1、程序设计例:幻灯片放映
2、密码技术
3、调查问卷
4、估计整体
概率的应用〔1〕程序设 计
问题：为什么键盘上的按键不是按照英文字母表A,B,C,D,E……的顺序排列呢？你知道为什么吗？
人们按照这个原理设计了输入法
学生思考作答：每个字母使用的频率是不一样的。
让学生体会概率在生活中的应用无处不在。
4min
〔2〕密码技 术
问题1：同学们的都有密码吗？
问题2：同学们知道密码是如何编制的吗？
教学
课题
必修3概率的应用〔1课时〕教学设计
教材
分析
?概率的应用?是高中数学必修3第三章第四节的内容，是概率论与统计学内容的重要表达。本节课通过一些实际问题，进一步强调了概率的应用价值，学生在学习中可以获得概率的一些根本应用知识，了解概率应用的根本观念和思考方法，并运用它解决一些简单的实际问题，与此同时本节课也是培养学生学会用数学的眼光观察现实世界，并用数学的思维思考现实问题的良好素材。
教学
重点
概率在生活中的四个应用
教学
难点
如何把实际问题转化为数学问题
教学
方法
启发探究式观察---分析---归纳---总结
教学
准备
幻灯片、暴风影音播放器
课型
新授课
预习任务
阅读教材116-118思考概率在生活中的应用有哪些？
教学过程设计
教学步骤
教学内容
学生活动
设计意图
时间分配
一．
复 习
旧 知
新课引 入
1概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，任何事件的概率都是0-1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性小概率事件概率接近0很少发生，而大概率事件概率接近1那么经常发生
数学同步新导学案人教B必修三讲义：第三章 概率 3.3_3.4 Word版含答案
3.3随机数的含义与应用3.4概率的应用学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.了解随机数的意义，能用计算机随机模拟法估计事件的概率.4.应用概率解决实际问题．知识点一几何概型的概念思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理1．几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A，如图，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二几何概型的概率公式思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？答案可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示．梳理几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A的概率定义为：P(A)＝μAμΩ，其中，μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．知识点三均匀随机数1．随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．2．计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量．按照以上思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法．1．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)2．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(√)题型一几何概型的识别例1下列关于几何概型的说法错误的是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案 A解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件为有限个．反思与感悟几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．解 (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．题型二 几何概型的计算 命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率．解 如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T 1，T 2，T 1T 2＝15.设T 0T 2＝3，TT 0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A .则当乘客到站时刻t 落到T 1T 上时，事件A 发生．因为T 1T ＝15－3－10＝2，T 1T 2＝15，所以P (A )＝T 1T T 1T 2＝215. 引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率．解 由原题解析图可知，当t 落在TT 2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P ＝TT 2T 1T 2＝1315. 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．解 由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车，故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 反思与感悟 若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知，硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C ，D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －r a .命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求：(1)x ＋y ≥0的概率；(2)x ＋y ＜1的概率；(3)x 2＋y 2≥1的概率．解 如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12. (2)设E (0,1)，F (1,0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72， 所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝724＝78. (3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD＝4－π4. 反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是( )A.49πB.43πC.9π4D.3π4答案 A解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π，故选A. 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h 2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h 2. 设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S 4. 由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ， 区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝724Sh . 所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78. 反思与感悟 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6πB.32πC.3πD.233π答案 D 解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.题型三均匀随机数及随机模拟方法例5在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.解随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即圆的面积正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π4，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值．反思与感悟(1)用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大．(2)用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．跟踪训练5利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积．解以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND；(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如做1 000次试验，即N＝1 000，模拟得到N1＝698，所以P＝N1N＝阴影面积矩形面积＝6981 000，即阴影部分的面积S＝矩形面积×6981 000＝2×6981 000＝1.396.1．下列概率模型是几何概型的为()A．已知a，b∈{1,2,3,4}，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率B．已知a，b满足|a|≤2，|b|≤3，求使方程x2＋2ax＋b＝0有实根的概率C．从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率D．求张三和李四的生日在同一天的概率(一年按365天计算)答案 B解析对于选项B，a，b满足的条件为坐标平面内某一区域，涉及面积问题，为几何概型，其他三个选项均为古典概型．2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A.13 B.12 C.14 D.16答案 B解析向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝△ABD的面积△ABC的面积＝12.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是()A.13 B.23C.43D．无法计算答案 C解析在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A，则事件A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝S22＝S4＝13，解得S＝43.4．在200 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，则发现草履虫的概率是________． 答案 0.1解析 记“从200 mL 水中随机取出20 mL 水样利用显微镜观察，发现草履虫”为事件A ，则由几何概型的概率计算公式可得P (A )＝20200＝0.1. 5．在区间[0,1]上任取三个数a ，b ，c ，若向量m ＝(a ，b ，c )，求|m |≥1的概率． 解 ∵a ，b ，c ∈[0,1]，∴Ω＝{(a ，b ，c )|0≤a ≤1,0≤b ≤1,0≤c ≤1}构成的区域为单位正方体(其中原点O 为正方体的一个顶点)．设“|m |≥1”为事件A ，则A 表示“|m |＜1”，即a 2＋b 2＋c 2＜1，这样的点(a ，b ，c )位于单位正方体内，且在以原点为球心，1为半径的球内，V ′＝18×43π×13＝π6.又V 正方体＝1，∴P (A )＝V ′V 正方体＝π6， 因此P (|m |≥1)＝P (A )＝1－P (A )＝1－π6.1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).一、选择题1．在区间(15,25)内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是( ) A.13 B.12 C.310 D.710 答案 C解析 ∵a ∈(15,25)，∴P (17<a <20)＝20－1725－15＝310.2．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，以AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15答案 D解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．∴所求概率P ＝210＝15.3．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你立刻看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得立刻看到黄灯的概率为P ＝580＝116. 4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4答案 A解析 由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π2，由几何概型的概率公式，得无信号的概率为P ＝2－π22＝1－π4. 5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45 答案 C解析 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4， ∴0＜x ＜4或8＜x ＜12. ∴所求概率为4＋412＝23，故选C. 6．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 选项A 中，概率P ＝38；选项B 中，概率P ＝28＝14；选项C 中，概率P ＝26＝13；选项D 中，概率P ＝13，则概率最大的为A ，故选A.7．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC 的概率为( )A.33 B.34 C.32 D.14答案 D解析 由题意，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，则AC ＝3AD ，即AD ＝33AC ，AB ＝3AC ＝3AD ，所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <33AC ，只要AM <AD 即可，由DA ＝DC ，得∠ACD ＝∠CAD ＝30°，所以AM <33AC 的概率为30°120°＝14.故选D. 二、填空题8．有一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m 的概率是________． 答案13解析 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝13.9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________． 答案334π解析 设圆面半径为R ，如图所示，△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·12AC ·OD ＝3·CD ·OD＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 24，∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π.10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是________． 答案 0.01解析 由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，若要射中黄心，则中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的圆内，所以P ＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25，则圆O 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． 答案 16解析 因为圆心(0,0)到直线l 的距离为5，圆O 的半径为23，所以直线l 与圆O 相离．设l 0∥l 且圆心到l 0的距离为3，则满足题意的点A 位于l 0，l 之间的弧上(不在直线l 0上)，结合条件可求得该弧所对的圆心角为周角的16，由几何概型的概率计算公式可得P ＝16.三、解答题12．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，求使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率．解 在区间[－π，π]内随机取两个数记为(a ，b )，表示边长为2π的正方形边界及内部(正方形的中心为原点)．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，表示以原点为圆心，π为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以有零点的概率为3π24π2＝34.13.如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解 弦长不超过1，故OQ ≥32，因为Q 点在直径AB 上是随机的，设事件A 为“弦长长度超过1”，由几何概型概率的计算公式得，P (A )＝32×22＝32.所以其对立事件A “弦长不超过1”的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－32.四、探究与拓展14．在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________． 答案 1－π4解析 如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率P ＝2－π22＝1－π4. 15．两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．解 设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点(0≤x ，y ≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.。
数学必修3导学案
第一章统计第一节从普查到抽样编制人：刘才兴审核: 郭安佑领导签字：一、学习目标1．了解普查的意义2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．二、重点、难点重点：结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．难点：对什么是“有一定价值的统计问题”的理解.三、课前自学1．统计的概念统计是研究如何合理的学科．2．普查(1)定义：普查是指一个________或一个________专门组织的__________大规模的全面调查，目的是为了详细地了解________重要的国情、国力．(2)普查的主要特点：①所取得的资料更加全面、________；②主要调查在特定时段的社会经济现象总体的________．(3)普查的对象________时，普查无疑是一项非常好的调查方式．3．抽样调查(1)定义：通常情况下，从调查对象中______________抽取一部分，进行__________，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查，其中，调查对象的全体称为________，被抽取的一部分称为________．(2)抽样调查最突出的优点①____________②______________________.。
四、课内探究探究一：阅读课文，并回答下列问题：１）．人口普查对一个国家的发展有什么作用？依据上面的信息，你能举例说明吗？２）．根据上面的有关信息，我国第五次人口普查中漏登的人数约有多少？你对人口普查中漏登率是如何认识的？３）．你对上面“武汉一人口普查员劳累过度以身殉职”的报道有何看法？中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．探究二：医生是如何检验人的血液中得血脂的含量是否偏高的？你觉得这样做的合理性是什么？探究三：为了缓解城市的交通拥堵情况，北京市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查。
某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？五、当堂检测（时量：15分钟满分：15分）计分：1.下面的问卷是为了调查最近上映的影片的受欢迎程度而设计的,调查对象是去电影院看电影的人,你认为这份问卷好不好?为什么?姓名__________ 年龄__________地址__________________ 电话__________________工资收入____________ 工作单位________________今天晚上你看的电影是__________________________,电影院的名字是________________________________.影片好看吗?很好________,好________,不好________.用十分制为影片打分:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10比起你看的上一场电影怎么样? 1 2 3 4 5，你认为这部影片什么地方最精彩?________________. 从事文艺工作吗?__________.买雪糕了吗?__________.是开私家车来的吗?__________.2.为了调查小区平均每户居民的月用水量,下面是3名同学设计的方案:学生A:我把这个用水量调查表放在互联网上,只要登陆网址的人就可以看到这张表,他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中,这样我就可以很快地估计小区平均每户居民的月用水量;学生B:我给我们居民小区的每一个住户发一个用水调查表,只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量;学生C:我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码,然后逐个给他们打电话,问一下他们的用水量,然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量.请你分析上述3名学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗?为什么?你有何建议?练案A组一、选择题1．为了了解某种花的发芽天数，种植某种花的球根200个，进行调查发芽天数的试验，样本是( )A．200个表示发芽天数的数值B．200个球根C．无数个球根发芽天数的数值集合D．无法确定2．某校有40个班，每班50人，要求每班随机选派3人参加“学生代表大会”．在这个问题中样本容量是( )A．40 B．50 C．120 D．1503．为调查参加运动会的1 000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A．1 000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本D．样本容量是1004．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是( )A．某城市B．某城市的所有家庭的收入C．某城市的所有人口D．某城市的工薪阶层5．对于下列调查：①测定海洋中微生物的含量；②某种灯泡使用寿命的测定；③入学报考者的学历调查；④全国人口普查．其中不属于样本调查的是( )A．①② B．③④ C．②③ D．①④6．下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是( )A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率B．为了了解初三年级某班的每个学生周末(星期六)晚上的睡眠时间C．为了了解夏季冷饮市场上一批冰淇淋的质量情况D．为了考察一片试验田某种水稻的穗长情况二、填空题7．抽样调查一定要保证________原则，尽可能地避免人为因素的干扰，并且要保证每个个体以相同的可能性被抽取到．8． (1)对某班学生视力作一个调查；(2)某汽车生产厂要对所生产的某种品牌的轿车的抗碰撞情况进行检验；(3)联合国教科文组织要对全世界适龄儿童的入学情况做一个调查．对于上述3个实际问题所应选用的调查方法分别为__________、____________、____________.9．某公司新上市一款MP4，为了调查产品在用户中受欢迎的情况，采用什么形式调查为好____________(填“普查”或“抽样调查”)．10．春节前夕，质检部门检查一箱装有2 500件包装食品的质量，抽查总量的2%，在这个问题中，下列说法正确的是( )A．总体是指这箱2 500件包装食品B．个体是一件包装食品C．样本是按2%抽取的50件包装食品D．样本容量是50B组1．某校高中学生有900人，校医务室想对全体高中学生的身高情况做一次调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取50名学生作为调查对象．校医务室若从高一年级中抽取50名学生的身高来估计全校高中学生的身高，你认为这样的调查结果会怎样？该问题中的总体和样本是什么？2．儿童的喂养及辅食添加是影响儿童生长发育、身体健康的重要因素，喂养不当及辅食添加不正确，容易导致儿童贫血及其他疾病，影响儿童生长发育．为了了解农村儿童的喂养、辅食添加情况、发现存在的问题、确定儿童的喂养及辅食添加的促进措施，欲在该地农村进行一次农村3岁以下儿童的喂养、辅食添加情况和贫血相关因素的调查研究．请给出一个合理的调查方案．(该地区共10个县)第二节抽样方法（一）——简单随机抽样编制人：刘才兴审核: 郭安佑领导签字：一、学习目标1．正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤 2．学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。