最新微分方程复习题

常微分方程复习题

一、填空题

1．微分方程0)(

22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1

2．形如_ 的方程称为齐次方程.

答： )(x

y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ．

答：cos 2,sin 2x x .

1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．

答：x

x x e ,e

3. 若()t ϕ和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ϕ和()t ψ具有的关系是 。

4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 。

5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。有只含y 的积分因子的充要条件是 。

6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。

7. 称为n 阶齐线性微分方程。

8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P

x 是m 次多项式)中，则方程有形如 的特解。

9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解。

10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。

9. 微分方程4230xy y y ''''++=的阶数为 。

10. 若()(0,1,2,,)i x t i n =L 为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 .

11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2,,)i x t i n =L 是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 .

12. 若()(0,1,2,,)i x t i n =L 是齐次线性方程()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程 。

答：1()0w a x w '+=

13. 函数 是微分方程02=-'-''y y y 的通解.

14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．

15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组 ．

16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。

17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ϕ= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ϕ的解；向量函数)(t ϕ= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件ηϕ=)(0t 的解。

18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为 。

19. 设*X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 .

20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(),,()n X t X t X t L 线性无关的充要条件

是 .

21. 若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n v v v L ，它们对应的特征值分别是12,,,n λλλL ，那么矩阵()t ψ= 是常系数线性方程组X AX '=的一个基解矩阵。

二、单项选择题

1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．

（A ）n ； （B ）n -1； （C ）n +1； （D ）n +2.

2．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．

（A ）不是其对应齐次微分方程组的解； （B ）是非齐次微分方程组的解；

（C ）是其对应齐次微分方程组的解； （D ）是非齐次微分方程组的通解.

3．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．

（A ）)()(21x x ϕϕ-； （B ）)()(21x x ϕϕ+；

（C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-； （D ）)()(21x x C ϕϕ+.

4．下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A) 2210x x -+= ； (B) 2

y xy '= ； (C) 2222u u u t x y

∂∂∂=+∂∂∂； (D) 2 y x c =+(c 为常数）. 5. 下列微分方程是线性的是（ ）

(A)22y x y '=+ ； (B)2x y y e '+= ； (C)20y x '+=； (D)2y y xy '-=.

6. 方程2232x y y y x e -'''++=特解的形状为( )

(A)221x y ax ey -=； (B)221()x y ax bx c e -=++；

(C)2221()x y x ax bx c e -=++； (D)2221()x y x ax bx c e -=++.

7. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）

(A)4,x ； (B)2,2,x x x ； (C)22

5,cos ,sin x x ； (D)21,2,,x x . 8. 下列方程中为常微分方程的是（ ）

(A)2

0t dt xdx +=； (B)sin 1x =；