2020版高考数学大二轮培优理科通用版 大题专项练(三) 立体几何

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大题专项练(三) 立体几何

A 组 基础通关

1.

如图,在三棱锥A-BCD 中,△ABC 是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P 是AC 的中点,连接BP ,DP.

(1)证明:平面ACD ⊥平面BDP ;

(2)若BD= ,且二面角A-BD-C 为120°,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值.

△ABC 是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,所以Rt △ABD ≌Rt △CBD ,可得AD=CD.

因为点P 是AC 的中点,则PD ⊥AC ,PB ⊥AC ,

因为PD ∩PB=P ,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD.因为AC ⊂平面ACD ,

所以平面ACD ⊥平面BDP.

:如图,作CE ⊥BD ,垂足为E ,连接AE.因为Rt △ABD ≌Rt △CBD ,

所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知

∠AEC=120°.

在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE,

因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,

所以AB=AE.

在Rt△ABD中,有AE·BD=AB·AD,得BD=AD,因为BD=,所以AD=.

又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.

则AE=,ED=.由CE⊥BD,AE⊥BD可知BD⊥平面AEC,则平面AEC⊥平面BCD.

过点A作AO⊥CE,交CE的延长线于O,则AO⊥平面BCD.连接OD,则∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在Rt△AEO中,∠AEO=60°,所以AO=AE=1,sin∠ADO=.

所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.

方法二:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,

所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.

由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°.

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在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=AE,

因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=AE.在Rt△ABD中 ,有AE·BD=AB·AD,得

BD=AD,因为BD=,所以AD=.

又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.

则AE=,ED=.

以E为坐标原点,以向量的方向分别为x轴,y轴的正方向,以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,

则D0,,0,A -

,0,1,向量=,-1,平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),

设直线AD与平面BCD所成的角为θ,

则cos==-,

sin θ=|cos|=.

所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为.

2.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1为菱形,A1C=BC.

(1)求证:A1B⊥平面AB1C;

(2)若∠ABB1=60°,∠CBA=∠CBB1,AC⊥B1C,求二面角B-AC-A1的余弦值.

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ABB 1A 1为菱形,所以A 1B ⊥AB 1,

记A 1B ∩AB 1=O ,连接CO , 因为A 1C=BC ,BO=A 1O ,

所以A 1B ⊥CO ,又AB 1∩CO=O ,

所以A 1B ⊥平面AB 1C.

:因为∠CBA=∠CBB 1,AB=BB 1,BC=BC ,所以△CBA ≌△CBB 1,所以AC=B 1C.

又O 是AB 1的中点,所以CO ⊥AB 1,

又A 1B ⊥CO ,A 1B ∩AB 1=O ,

所以CO ⊥平面ABB 1A 1.

令BB 1=2,因为AC ⊥B 1C ,O 为AB 1的中点, 所以CO=1.

如图,以O 为坐标原点,OB 所在的直线为x 轴,OB 1所在的直线为y 轴,OC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.

O (0,0,0),A (0,-1,0),B ( ,0,0),C (0,0,1),A 1(- ,0,0),

=( ,1,0), =(0,1,1), =(- ,1,0), =( ,0,1).

设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),

则即

令x=1,则n1=(1,-),同理可得平面A1AC的一个法向量为n2=(1,,-).

cos==-,

由图知二面角B-AC-A1为钝角,

所以二面角B-AC-A1的余弦值为-.

方法二:因为∠CBA=∠CBB1,AB=BB1,BC=BC,

所以△CBA≌△CBB1,所以AC=B1C.

设AB=2,因为∠ABB1=60°,侧面ABB1A1为菱形,

所以AA1=AB1=2,OA=OB1=1,OB=OA1=.

又AC⊥B1C,所以CO=1,AC=B1C=,

又A1C=BC,O为A1B的中点,所以BC=A1C=2,

所以△ABC为等腰三角形,△A1AC为等腰三角形.

如图,取AC的中点M,连接BM,A1M,则∠BMA1为二面角B-AC-A1的平面角.

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在△BMA 1中,可得BM=A 1M=

,A 1B=2 ,

所以

cos ∠BMA 1= -

=-

,

所以二面角B-AC-A 1的余弦值为-

. 3.

如图,三棱台ABC-EFG 的底面是正三角形,平面ABC ⊥平面BCGF ,CB=2GF ,BF=CF.

(1)求证:AB ⊥CG ;

(2)若BC=CF ,求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值.

BC 的中点为D ,连接DF ,如图.

由题意得,平面ABC ∥平面EFG ,平面ABC ∩平面BCGF=BC ,平面EFG ∩平面BCGF=FG ,

从而BC

∥FG.

∵CB=2GF ,∴CD GF ,

∴四边形CDFG 为平行四边形,∴CG ∥DF.