【人教版】中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》教案设计
中职教育数学《双曲线》教案
授课题目3.2双曲线选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课以“广州塔”为例创设情境，帮助学生形成对双曲线的直观感受，然后通过一个实验展示了双曲线形成的过程，引导学生分析双曲线上的点所满足的几何条件，为建立双曲线的标准方程创造条件.然后，与椭圆标准方程的推导类比进行双曲线标准方程的推导，有理化过程学生课后自行完成，在类比介绍焦点在y轴上的双曲线标准方程.最后，借助双曲线的图像，分别研究焦点不同坐标轴的双曲线的几何性质.教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.教学重点根据条件求双曲线的标准方程，根据标准方程分析双曲线的几何性质．教学难点双曲线标准方程的推导与化简．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？提出问题引发思考思考分析回答帮助学生形成双曲线形状的直观感受新知探索可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个实验来完成.(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出，短的一条的端点固定在点F2处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处.类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线).拉链是不可伸缩的，笔尖讲解说明展示图形引发思考理解思考结合图形思考问题通过实验展示画双曲线的过程，为建立双曲线的标准方程创造条件以经过双曲线两焦点F 1、F 2的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设M (x ,y )为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则焦点F 1、F 2的坐标分别为(-c ,0)、(c ,0). 又设双曲上的点M 与焦点的距离之差的绝对值为2a (a >0)，即||MF 1|-|MF 2||=2a ，则有|MF 1|-|MF 2|=±2a . 于是，有 2222()()2x c y x c y a ++--+=±，移项得 2222()()2x c y x c y a ++=-+±两边平方得 2222222()()4()4x c y x c y a x c y a ++=-+±-++，整理得 222()cx a a x c y -=±-+， 两边再平方，整理得 422222222+a c x a x a c a y =++，移项并整理得 22222222()()c a x a y a c a --=-.由双曲线的定义可知2c ＞2a ＞0，即a ＞c ＞0，因此220c a ->.令222(0)c a b b -=>，则上式可化为 222222b x a y a b -=.两边同时除以22a b ，得222210x ya ba b-= (＞0,＞).方程称为双曲的标准方程. 此时双曲线的焦点F1和F2在x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).如图所示，以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系.类似地，可以求得双曲线的标准方程为222210y xa ba b-= (＞0,＞).此时双曲线的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)、(0, c). 例1根据条件，求双曲线的标准方程.探索新知x≤-a或x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示.2.对称性类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助于方程()2222100x ya ba b-=>> ，可以发现，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的.x轴与y轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心).3.顶点令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x轴有两个交点A1(-a,0) 和A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交点A1、A2称为双曲线的顶点，线段A1A2称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长.令x=0，得到y²=-b²，这个方程没有实数解. 因此，双曲线与y轴没有交点. 我们仍将点B1(0,-b)与B2(0,b)画在y轴上，如图所示.线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长.显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．4.渐近线经过点A1、A2分别作y 轴的平行线x=-a，x=a,经过点B1、B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b. 这四条直线围成一个矩形，如图所示. 矩形的两条对角线所在直线的方程为by xa=±.观察右图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线讲解说明展示讲解讲解说明展示讲解理解思考领会理解理解思考领会理解椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神．确定双曲线范围的目的是用描点法画图时可以不取范围称为双曲线22221x y a b-= 的渐近线.借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质. 将双曲线的标准方程变为可以看到，当|x |无限增大时，y 的值无限接近于bx a或bx a-的值.这说明，当|x |无限增大时，双曲线与直线b y x a =或b y x a =-无限接近(但不能相交). 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比c a称为双曲线的离心率，记作e .即ce a=. 因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率e ＞1. 由2222211b c a c e a a a-==-=- 可以看出，e 越大，b a 的值越大，从而渐近线by xa=±的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大.因此，离心率e 反映了双曲线的“张口”大小.探究与发现为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？例3 求双曲线4y ²-16x ²=64实轴长、虚轴长、焦点坐标、为()0,25-，()0,25，顶点坐标为(0,-4)、(0,4)，离心率52c e a ==，渐近线方程为2b y x a =±=±.例4 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为3x -4y =0； (2)焦距为12,离心率为32.解 (1) 由题设可知，双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的方程为 34y x =. 于是有22100,3.4a b b a +==⎧⎪⎨⎪⎩ 解得28,6.a b ==⎧⎨⎩ 因此，所求的双曲线的标准方程为 2216436x y -= ； (2)由已知条件可知2c =12，因此c =6.又32c e a ==，故a =4，故b ²=c ²-a ²=20.于是，当双曲线的焦点在x 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620x y -= .当双曲线的焦点在y 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620y x-= .例5 用“描点法”画出双曲线221169x y -= 的图形. 分析 双曲线具有对称性,因此只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后对称性地画出全部图形. 解 当y ≥0时，双曲线的方程可以变形为23164y x =-(x ≤-4或x ≥4). 在[4,+∞)上,选取几个整数作为x 的值，计算出对应的y 值，列表以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图形. 然后利用对称性，画出全部图形.温馨提示我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像.具体步骤如下：(1)由a²=16，得a=4，得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；(2)由b²=9，得b=3，得到双曲线的虚轴端点B1(0,-3)、B2(0,3) ；(3)作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；(4)依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像.例6已知A、B两个哨所相距 1600m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为 340 m/s).分析根据题意，由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差，它是一个定值. 因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离A 处比距离B处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.解如图所示，建立平面直角坐标系，使A、B两点在x 轴上，且坐标原点为线段AB的中点.设爆炸点M的坐标为(x,y)，则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有2a=1020，a=510，a²=260100.因为|AB|=1600，所以2c=1600，c=800，b²=c²-a²=379900.又|MA|-|MB|=1020>0. 故爆炸点M在双曲线的右支上，从而x≥510.因此，所求曲线方程为探究与发现能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？练习3.2.2。
【高教版】中职数学拓展模块：2.2《双曲线》ppt课件(3)
巩 固 知 识 典 型 例 题
解题关键是判断双 曲线的焦点在哪个数 轴．方法是观察标准 方程中含x项与含y项的 系数的符合，如果含x 项（或含y项）的系数 为正数，那么焦点在x 轴（或y轴）上，并且 该项的分母为a2 ．
例2 求下列双曲线的焦点坐标和焦距．
x2 y2 1；（2） y 2 x2 4． （1） 144 25
从实验中发现：笔尖（即
点M）在移动过程中，与两个 定点F1、F2 的距离之差的绝对 值始终保持不变（等于拉链两 边的长度之差）．
M
我们将平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为 常数（小于 F1 F2 ）的点的轨迹（或集合）叫做双曲线. 这两
动 脑 思 考 探 索 新 知
个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距． 实验画出的图形就是双曲线．下面我们根据实验的步骤 来研究双曲线的方程． 取过焦点 F1、F2的直线为x轴，线段 F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如 图，设双曲线的焦距为2c，则 两个焦点 F1、F2 的坐标分别为 （－c，0），（c，0）．
第2章
椭圆、双曲线、抛物线
2.2
双曲线
我们先来做一个实验． 取一条两边长度不等的拉链（如图），将拉链的两边分别 固定在两个定点F1、F2 （拉链两边的长度之差小于 F1、F2的距离）
创 设 情 境 兴 趣 引 入
上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢 慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固 定在 F1、F2 处，用同样的方法 可以画出图形的另一部分．
设M(x，y)为双曲线上的任意一点，M与两个焦点F1、F2 的距离之差的绝对值为2a，则
MF1 MF2 2a，
中职教育二年级下学期数学《双曲线的应用》教学设计
学
重 难 点
【教学重点】探究双曲线几何性质的应用
【教学难点】双曲线的渐近线和离心率
微课过程
场景
解说词
画面要求
技巧
备注
画面一
同学们，大家好！欢迎学习中职数学《拓展模块》一系列课程，今天我们要讲的内容是《双曲线的应用》。
不出镜
有中文配音
引入课题
画面二
A：同学们应该已经听过歌曲《悲伤的双曲线》了，正如歌词所唱：如果我是双曲线，你就是那渐近线，虽然我们有缘，能够生在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点。歌曲描述的就是双曲线的特殊性质：渐近线。我们先一起回顾双曲线的几何性质。
A. B.
C. D.
(4)双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线方程为（ ）
A. B.
B.C. D.
PPT展示
有中文配音
通过练习强化巩固所学知识
画面六
下面我们来看看第三类题型：利用双曲线的定义求轨迹问题
例3：已知两定点 , ,动点 满足 , 求动点 的轨迹方程。
解：因为 >6 ，
A：由于双曲线的标准方程分为焦点在x轴上和y轴上两种情况，焦点由 、 系数为正的那一项决定，所以两种情况下的几何性质既有联系又有区别，具体请看下面的表格。
范围：不同，x、y的范围刚好交换。
对称性：相同，都关于x轴、y轴成轴对称、关于原点成中心对称。
顶点：都有2个，位置不同。
离心率：定义、公式都相同，
由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线,
焦点为
可设所求方程为: (a>0,b>0).
则2a=6, 2c=10, 即a=3,c=5，所以
所以点P的轨迹方程为 .
中职教育数学《双曲线》导入方案
2.2双曲线定义与标准方程的引入1.用实物体——拉链，定点 F 1、F 2 是两颗按钉，MN 是拉链上的点，点M 移动，12MF MF -为常数，这样可以画出一支曲线，当21MF MF -也是同一个常数，可以画出另一支曲线，这样做出的曲线叫双曲线．提出双曲线的概念．拉链法：2．简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点12F F 、是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出曲线的一支；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于12F F ，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．3.建筑艺术中：埃菲尔铁塔，双曲线形线条，简洁而又壮观的气势征服了全世界．4.城市交通中：北京为缓减城市交通拥堵准备修建双曲线型交通．工业生产中：双曲线型冷却塔，将物理的流体力学与数学完美结合．到底什么叫双曲线呢?请用几何画板动手操作：（1）如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线L交直线OP于点Q,当点P在圆上运动时,画出图形，探索点Q的轨迹．（2）、把（1）中“A是圆O内一定点”改为“圆O外一定点”，探索点Q的轨迹．5.折纸实验课前准备印有圆1F 的白纸，每位学生发一张．教师可以用这种方式引入：大家经常做物理实验、化学实验、生物实验，可是你们做过数学实验吗？那么，我们今天一起来做一个数学实验，请拿出刚发下来的印有圆1F 的白纸，按如下步骤操作：第一步：在圆1F 外取一定点2F ；第二步：在圆1F 上任取一点1P ；第三步：将白纸对折，使1P 和2F 重合，并留下一条折痕；第四步：连接1P 和1F ，并延长交折痕于点1M ；第五步：再在圆周上任取其他点，将上述步骤2~4重复4~6次，便可以得到一系列点 ,,,321M M M ，最后将这些点连起来，得到一个很美的图形，大家想看到是什么图形吗？赶紧动手做吧！ 等学生做作出图后，教师引导学生研究得到图形是的点的属性，这样便得出了双曲线的定义．6.据资料记载，在抗美援朝早期，我志愿军某炮兵团冒着生命危险，侦查出美军阵地，我方当机立断，火速炮击．可不久美军就将炮弹比较准确地打到我军阵地，美军为何这样准确呢？原来他们在阵地旁建有如图1所示的A 、B 、C 三个固定的观测站，根据听到我方阵地位置D 处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置，而不需要冒任何生命危险．图1 DA B C。
中职教育二年级下学期数学《双曲线的标准方程》教学设计
年级
高二
课题
双曲线的定义
主讲人
学科
时长
教
学
目
标
一、知识与技能
1.了解双曲线标准方程的推导过程；
2.掌握双曲线的标准方程。
二、过程与方法
1.加强用待定系数法求方程的方法；
2.强化数形结合、等价转化的思想以及分类讨论的思想在解题时的运用。
三、情感态度与价值观
1.培养学生交流的意识和团队协作的精神；
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找出椭圆和双曲线的区别与联系
画面七
A：知道了双曲线的标准方程，那就来解决问题。
例1、已知双曲线两个焦点的坐标为
, ,双曲线上一点M到 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
A:本题由焦点坐标可以知道焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 ，由焦点坐标还可以知道半焦距c=5,再由双曲线定义可知2a=6，再由a、b、c的的关系
这节课到此结束，谢谢！
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总结本课并布置课后练习
即可求出双曲线的标准方程为
变式：双曲线上一点M， | |=10,求| |=______
A：变式题主要考察双曲线的定义， ，绝对值一定不能丢，绝对值方程一般有两个解，还要看看是否都符合题意！
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如何用待定系数法求标准方程
画面八
A：下面的时间就交给同学们练习。（下面不用读）
练习：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及其焦点坐标.
我们很容易看出第一个双曲线焦点在X轴上，第二个双曲线焦点在Y轴上。
学习过程中注意和椭圆焦点位置的判断方法区分开。椭圆的焦点由分母大的决定，双曲线的焦点由系数为正的决定。
双曲线教学设计共3篇 双曲线课程讲解
双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。
双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
《双曲线》中职数学(拓展模块)2.2ppt课件1【人教版】
回顾椭圆的画法：
想想双曲线怎样画？
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上。
M
M
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a
y M
F1 O F2
x
F1
F2
|MF2|-|MF1|=常数（右边） |MF1|-|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=常数}（左边） |MF2|-|MF1|= 2a
即： 2a ＞2c （ a ＞c）
y
M
x
F1
O F2
|MF1|-|MF2|=2a |MF2|-|MF1|= 2a
2.推导双曲线标准
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
y
F1 (-c,0) O
M
x F2 (c,0)
2.3-2
由定义可知，双曲线就是集合
P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
M F2 (c,0x)
编者语
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
x2
y2
a2 c2 a2 1.
由双曲线的定义可知2c>2a， 即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方 程的建立过程，
y
M
x F1(0) O F2 (c,0)
中职数学(高教版)拓展模块教学设计：双曲线
【课题】2．2双曲线（二）
【教学目标】
知识目标：
了解双曲线标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．
能力目标：
学生的数学思维能力得到提高．
【教学重点】
双曲线的性质．
【教学难点】
双曲线的渐近线概念的理解．
【教学设计】
双曲线性质的教学，可以与椭圆的性质对比进行，着重指出他们的异同点．例3是双曲线的性质的训练题．利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习．例4与例5都是求双曲线方程的训练题．这些题目都属于基础性训练题．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
图2－11
．对称性
在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．说明双曲线关于x轴对称．
同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．
轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的
图2－12 【说明】
焦点在y轴的双曲线
22
22
1(0,0)
y x
a b
a b
-=>>的渐近线方程
图2－13
画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图
【教师教学后记】。
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线 x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
例2
已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5 4
，
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
教案教学设计中职数学拓展模块2.2.1双曲线的标准方程
距离之差的绝对值为2a，则
MFj |MF
于是有
(x c)
将上式化简（类似于求椭圆的方程），得
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a，因此c2-a20.令
的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使 铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位 置分别固定在F2、Fi处，用同样的方法可以画出图形的另一部 分.
了解
观看
课件
思考
引导
启发 学生 得出 结果
图2-8
从实验中发现：笔尖（即点M）在移动过程中，与两个定
点Fi、F2的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的 长度之差）.
*动脑思考探索新知
我们将平面内到两个定点Fi、F2的距离之差的绝对值为
常数（小于匸卩2）的点的轨迹（或集合）叫做 双曲线.这两个 定点叫做双曲线的 焦点，两焦点的距离叫做 焦距.
实验画出的图形就是双曲线•下面我们根据实验的步骤来 研究双曲线的方程.
y轴，建立平面直角坐标系， 如图2—9,设双曲线的焦距为2c,则两个焦点F,、F2的坐标分别为（一c,0） , （c,0）.
练，从两个不同的角度强化学生对两类双曲线的标准方程特征的认识及关系式c2—a2=b2（b AO）的掌握.
☆补充设计☆
教学过 程
学生行为
设计
*揭示课题
2.2双曲线.
*创设情境兴趣导入
我们先来做一个实验.
取一条两边长度不等的拉链（如图2-8）,将拉链的两边
分别固定在两个定点Fi、F2（拉链两边的长度之差小于Fp F2
中职双曲线解题教案
中职双曲线解题教案教案标题：中职双曲线解题教案教学目标：1. 了解双曲线的定义、性质和基本图像特征；2. 掌握双曲线的标准方程和参数方程的表示方法；3. 学会利用双曲线的性质解决实际问题。
教学内容：1. 双曲线的定义和基本性质；2. 双曲线的标准方程和参数方程；3. 双曲线的图像特征；4. 利用双曲线解决实际问题的方法。
教学步骤：Step 1: 引入双曲线的概念和基本性质（15分钟）- 向学生介绍双曲线的定义和基本性质，包括焦点、准线、离心率等概念；- 提供一些实际生活中与双曲线相关的例子，引发学生的兴趣。
Step 2: 讲解双曲线的标准方程和参数方程（20分钟）- 详细讲解双曲线的标准方程和参数方程的表示方法；- 通过示例演示如何根据给定的参数绘制双曲线。
Step 3: 分析双曲线的图像特征（15分钟）- 向学生介绍双曲线的图像特征，包括对称轴、渐近线等；- 通过绘制图像和观察图像特征，帮助学生深入理解双曲线的性质。
Step 4: 实例解题演练（30分钟）- 提供一些实际问题，要求学生利用双曲线的性质解决问题；- 引导学生分析问题，确定解题思路，并进行解答。
Step 5: 总结与归纳（10分钟）- 对本节课学习的重点进行总结和归纳；- 强调双曲线的重要性和应用领域。
教学资源：1. 教材：包含双曲线相关知识点的教材；2. 白板和马克笔：用于讲解和演示；3. 实例题目：提供给学生进行解题练习。
教学评估：1. 课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检查学生对双曲线的理解和应用能力；2. 个人作业：布置一些与课堂内容相关的作业，要求学生独立完成；3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和方法，促进合作学习。
教学扩展：1. 深入研究双曲线的性质和应用，拓展学生的数学思维；2. 引导学生进行实际生活中的应用探究，如抛物线的应用等；3. 鼓励学生参加数学竞赛，提高解决问题的能力。
通过以上教案，学生将能够全面了解双曲线的定义、性质和基本图像特征，掌握双曲线的标准方程和参数方程的表示方法，并能够利用双曲线的性质解决实际问题。
人教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
靠近点F2的一支单曲线.
M
F1
F2
思考2:若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则点M的轨迹是什么？
线段F1F2的垂直平分线
M
F1
F2
思考3:若2a＝|F1F2|，即||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
F1
F2
以F1，F2为端点的两条射线
思考4:若||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ 不存在
思考1：双曲线的离心率与其渐近线
的斜率有什么关系？
e
1 (b)2
a
思考2：当离心率e在(1，＋∞)内变化时，它对双曲线的形状产生什么影响？如何用三角 函数知识解释上述现象？
y
思考：双曲线的离心率刻画双曲
线的什么几何特征？
B2
A1 o A2 B1
x
abe 2
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a(２a> |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O F1
双曲线
||M F1|－|M F2||=2a (2a< |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O
F1
方程
x2 y2 1 a2 b2 (a b 0)
y2 x2
a2 b2
1
x2 y2
a2 b2
练习
2
2
x y 1 所表示的曲线是什么？
9k k 3
理论迁移
例1 已知A、B两地相距800m，在A
地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且
声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹
语文版中职数学拓展模块2.2《双曲线的标准方程和性质》教案
双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程学习目标1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。
2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。
3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。
4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。
重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
例题分析第一阶梯[例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。
分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。
解：由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为，这里2a=6,2c=10.变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。
解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。
[例2]分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。
证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。
[例3]分析迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
解：在△ABC中，|BC|=10，故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
第二阶梯[例4]A、1 C、2解：+|PF2|2-|PF1||PF2|=16，因为∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。
2．2双曲线教学设计教案
2．2双曲线教学设计教案第一篇：2．2 双曲线教学设计教案教学准备1.教学目标知识与技能掌握双曲线的定义，掌握双曲线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线．过程与方法掌握对双曲线标准方程的推导，进一步理解求曲线方程的方法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概括的能力．情感、态度与价值观通过本节的学习，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．2.教学重点/难点教学重点双曲线的定义及焦点及双曲线标准方程．教学难点在推导双曲线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系．3.教学用具多媒体4.标签教学过程教学过程设计新知探究探究点一双曲线的定义【问题导思】1．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．2．双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支．3．双曲线定义中，为什么要限制常数2a＜|F1F2|? 【提示】只有当2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，满足条件的点不存在．.已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？【提示】(1)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．探究点二双曲线的标准方程【问题导思】1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？【提示】能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(4)化简：移项，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．双曲线的标准方程【典例精讲】命题方向一双曲线标准方程的理解例1.方程表示的曲线为C，给出下列四个命题①曲线C不可能是圆；②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则其中正确命题的序号是________．【解析】当4－k＝k－1＝0时，即题．对于②，当1＜k＜4且时，曲线C是圆，∴命题①是假命时，曲线C是椭圆，则②是假命题．根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题．【答案】③④ 【小结】1．双曲线焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正．2．在曲线方程中，若m＝n＞0，则曲线表示一个圆；若m＞0，n＞0，且m≠n，则曲线表示一个椭圆；若mn＜0，则曲线表示双曲线．【变式训练】若k∈R，则“k＞3”是“方程()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件表示双曲线”的【解析】方程表示双曲线的充要条件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；当k＞3时，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．【答案】A 命题方向二求双曲线的标准方程例2.(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点线的标准方程；(2)求与双曲线解析：有公共焦点，且过点的双曲线方程．求双曲(1)由已知可设所求双曲线方程为解得∴双曲线的方程为(2)方法一设双曲线方程为由题意易求得又双曲线过点又∵故所求双曲线的方程为方法二设双曲线方程为k＝4，∴所求双曲线方程为【小结】(－4代入得1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．【变式训练】(1)与椭圆共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程为________．(2)设双曲线的焦点为－|PF2|＝4，则双曲线的方程为________．双曲线上的一点P满足|PF1|【解析】(1)由题意知双曲线的焦点为设其方程为双曲线的方程为，又过Q(2,1)，则解得a2＝2，则所求(2)由双曲线的定义可知2a＝4，即a＝2，又为双曲线的焦点在y轴上，故其方程为∴b2＝c2－a2＝3，又因【答案】命题方向三双曲线定义的应用例3.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为330 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解析：如图建立直角坐标系xOy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O 与线段AB的中点重合．设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|－|PB|＝330×4＝1 320，即2a＝1 320，a＝660.又|AB|＝2 000，所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.因为|PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0，所以x>0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为小结(1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．【变式训练】已知圆C1：和圆C2：动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支，则2a＝2，a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8 因此所求动点M的轨迹方程为当堂检测 1．设P 是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()A．1B．17 C．1或17D．以上答案均不对【解析】由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】B 2．若k>1，则关于x，y的方程A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在x轴上的双曲线【解析】将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在所表示的曲线是（）y轴上的双曲线．3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()【解析】将双曲线方程化为标准形式所以a2＝1，∴右焦点坐标为【答案】C4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程．【解】由题意知c＝6，且焦点在y轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有∴a＝4，∴b2＝62－42＝20，∴双曲线的标准方程为课堂小结1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点：(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支．(2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a2，b2的大小.板书第二篇：2.3双曲线教学设计教案教学准备1.教学目标知识与技能[1] 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。
教案教学设计中职数学拓展模块2.2.2双曲线的几何性质
课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课时教学流程☆补充设计☆教师行为*揭示课题2 . 2双曲线. 学生行为教学意图了解*创设情境兴趣导入我们用于研究椭圆的性质相类似的方法来，根据双曲线的标准方程x2a2 _b2=1(a .0, b 0)观看课件思考引导启发学生得出结果来研究双曲线的性质.*动脑思考探索新知1 .范围2因为y2> 0，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上b22的点的横坐标满足笃》1，即x2> a2 .于是有ax<— a 或x > a.这说明双曲线位于直线x=—a的左侧与直线x= a的右侧（如图2 —11）思考引导学生发现解决问题方法率，记作e.即c e 二一a因为c a 0，所以双曲线的离心率 e 1.由“ e 2 -1可以看到，e 越大，b 的值越大，即渐近线y=±bx 的斜率的aa绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大（如图 2- 12）.因此，离心率e 的值可以刻画出双曲线“张口”的大小. 【想一想】等轴双曲线的离心率是多少？*巩固知识典型例题【说明】焦点在y 轴的双曲线a 2 _b 2=1（a 0,b 0）的渐近线方程为% - 5 .离心率双曲线的焦距与实轴长的比2c c——：一叫做双曲线的离心2a a图 2 - 12第7页(总页)课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计双曲线的几何性质：例题与练习：1.范围2.对称性3.顶点4.渐近线5.离心率作业设计必做P44 习题A 1、2、3选做P4 3 练习B 2、3教学后记2 .对称性在双曲线的标准方程中，将y换成-y,方程依然成立.这说明双曲线关于x轴对称.同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称.x 轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）.3.顶点。
《双曲线》总结教案
双曲线教案双曲线及其标准方程整体设计教材分析“双曲线及其标准方程”是在学完了“圆的方程”、“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何中学习的重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，必须熟练掌握。
本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法。
双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握。
而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键。
应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节。
坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具。
双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起。
因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育。
教学目标1、知识与技能：（1）掌握双曲线的定义和标准方程，并会推导其标准方程；（2）培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；（3）培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力。
2、过程与方法：通过自主探究—动手实验—类比归纳获得双曲线的知识，使学生对双曲线的定义、标准方程有一个比较深刻的认识。
3、情感态度与价值观：（1）发挥类比的作用，与椭圆形成对比，激发学习数学的兴趣。
（2）提高审美情趣，培养勇于探索敢于创新的能力。
教学重难点重点：双曲线的定义及其标准方程。
（解决方法：通过实验得出双曲线，再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识。
）难点：双曲线定义的得出和标准方程的推导。
（解决方法：通过动手实验、探究讨论、类比归纳、达标检测）教学方法在教学目标的指导下，以问题为中心，以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中，教师利用问题引路，学生独立思考和分组讨论，从而自己解决问题。
教案教学设计中职数学拓展模块2.2.1双曲线的标准方程
方程（2.4）叫做焦点在y轴上的双曲线的标准方程．焦点为 字母a，b意义同上，并且 ．
【想一想】
已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？
思考
理解
记忆
引导学生发现解决问题方法
*巩固知识典型例题
例1已知双曲线的焦点在x轴上，且焦距为14，双曲线上一点到两个焦点距离之差的绝对值等于8，请写出双曲线的标准方程．
解由已知得2c= 14，2a= 8，即c= 7，a= 4，所以
由于双曲线的焦点在x轴上，因此双曲线的标准方程为
【想一想】
将条件“双曲线的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能求出双曲线的标准方程吗？
例2求下列双曲线的焦点坐标和焦距：
（1） ；（2）察标准方程中含x项与含y项的符号，如果含x项（或含y项）的系数为正数，那么焦点在x轴（或y轴）上，并且该项的分母为 ．
2．求下列双曲线的焦点坐标和焦距：
（1） ；（2） ．
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
*理论升华整体建构
思考并回答下面的问题：
分别写出焦点在x轴和焦点在y轴上的双曲线的标准方程．
结论：
焦点在x轴上的双曲线的标准方程是
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是
回答
理解
强化
师生共同归纳强调重点
*归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
，
即 ．
于是有
将上式化简（类似于求椭圆的方程），得
．
由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，因此 ．令 ，则上式变为
两边同时除以 ，得
（2.3）
方程（2.3）叫做焦点在x轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是 并且 ．
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段文良
学生姓名：年级：辅导科目：教师：
授课时间
2014年月日
课题
掌握双曲线的标准方程及几何性质
教学目标
掌握双曲线的定义及其标准方程，明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导双曲线的标准方程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系，熟悉求曲线方程的一般方法。培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法
重点、难点
深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。
课前分析
回忆双曲线的定义，求双曲线标准方程及推导双曲线的标准方程
一、教学提纲
一、基本知识概要：
1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点 距离的差的绝对值等于 的点的轨迹，即点集 。（ 为两射线；2 无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。
求双曲线标准方程常用的方法是定义法;待定系数法或轨迹方程法。
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。
利用共渐近线的双曲线系 或 方程解题，常使解法简捷。
(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为 当点P在左支（或下支）上时，为 利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离的比是常数 的动点的轨迹。即点集 = ，一个比产生整条双曲线。
2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
图形
性
质
焦点
F1（- ，F2（
F1（ ，F2（
焦距
| F1F2|=2c 一个Rt
范围
对称性
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（-a，0）。（a，0）
（0，-a）（0，a）
（1）求
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标
解：（1） 故F双曲线的焦点，设准线为 ，离心率为 ，
由题设有 （1）
分别过A、B、C作x轴的垂线 ，则由双曲线的第二定义有 ，代入（1）式，得 ，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有
（2）AC的中垂线方程为 （2）由于A、C在双曲线源自，所以有所以双曲线方程为 。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线 上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
【解】：设P点的坐标为 ， 分别为双曲线的左，右焦点。
∵双曲线的准线方程为 。 ∴ ∵ ∴P在双曲线的右支上。 ∴ ∴ 。把 代入方程 得 。 所以，P点的坐标为（ ， ）
2.利用点在曲线上列方程求参数值，利用曲线的范围列不等式解参数范围，在圆锥曲线解题过程中应重视这方面的应用。
【解】：设在左半支上存在点P，使 ，由双曲线的第二定义知 ，即 ①
再由双曲线的第一定义，得 ②
由①②，解得：
由在Δ 中有 ， ③
利用 ，从③式得 解得
，与已知 矛盾。 ∴符合条件的点P不存在。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
例5．如图，在双曲线 的上支有三点 ，它们与点F（0，5）的距离成等差数列。
【解】：设双曲线方程为 为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，则BN方程为 ① PM方程为 ②
又 ③ 得 ，又H在双曲线上，∴ ④
∴ ，所以双曲线方程为
【思维点拨】设方程，消参数。
例7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 ，它的两个焦点分别为F1，F2，直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ，且 ， 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段P F2与双曲线的交点为Q，且 : = : ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。
将（1）代入（2），并解得 ，
解得0＜ ，即m的取值范围为 。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线 的离心率 ，左，右焦点分别的为 ，左准线为 ，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得 是P到 的距离 与 的等比中项。
【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。
解：设点P的坐标为（x,y），依题意得 。 （1）
因此，点P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得
，
因此，点P在以M，N为焦点，实轴长为2 的双曲线上，故 （2）
3.离心率问题：
4.焦点三角形问题：
5.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。
二、例题：
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线 有共同渐近线，且过点 ；
(2)与双曲线 有公共焦点，且过点 。
【解】：（1）设所求双曲线方程为 ，将点 代入得 ，
所以双曲线方程为 。
（2）设双曲线方程为 ，将点 代入得 ，
【解】：以F1F2的中心为原点，F1，F2所在的直线为 轴建立坐标系，
则所求双曲线方程为 ，设 ，
不妨设 的方程为 ，它与 轴交点
由定比分点坐标公式Q点的坐标为 即
由点Q在双曲线上可得 ① 又 ② ③
解得 ，所以双曲线方程为
三、课堂小结：
1.渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为 的双曲线方程可设为 。
轴
实轴长2a，虚轴长2b
准线
渐近线
共渐近线的双曲线系方程 或
焦半径
P在右支上，
P在左支上，
P在上支上，
P在下支上，
平面几何性质
， 大开口大
离心率
焦准距 准线间距= 焦渐距= 。
说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的 与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。
相减得
故（2）式化为 ，易知此直线过定点 。
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。
例6：（备用） 已知双曲线的焦点在 轴上，且过点 和 ，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。