幂函数的图像和性质

幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
y x 1
定义域 R 值域 R
R
R [0，+∞） ，0 （0，+）
[0，+∞） R [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函数 单调性 是增函 ，在(0, +∞ 数 ）上是增函
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
12 18 12 y=x3
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
函数 y x3的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
注 1、幂函数的解析式必须是 y x 的形式，
其特征可归纳为“两个系数为１，只有１ 项2、．定义域与 a 的值有关系.
意
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
及图象特征?
的函数叫做幂函数．
2、思想与方法
五类简单的幂函数图像及 其性质的研究。
小结
1Biblioteka Baidu幂函数的定义 及图象特征?
2、思想与方法
运用函数解析式解决问题时,要想到数形 结合的思想方法,寓数于形,赋形于数,互相 利用,相得溢彰.
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成功始于方法 巩固才能提高
3
x
(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的
边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;
1
(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑y车 的x2 平
均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. １：以上各题目的函数关系分别是什么？
y
1
x
２：以上问题中的函数具有什么共同特征？
y
a
x
一、幂函数的定义
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x是自变量， a 是常数。( a∈Q)
m2
三、常用的幂函数图像及性质
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
函数 yx的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
高中数学必修 ①A
§2.3幂函数
问题引入 我们先看几个具体问题:
(1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报
纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 y x
(2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于
ｘ的函数;
y x2
(3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ,
这里ｙ是关于ｘ函数;
y
在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
1
如何y画 x3和yx2的图像 ? 呢
x y=x3
y=x1/2
… -2 … -8 …/
-1 0 -1 0 /0
y 8 6 4
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ （1）y = 1
x2
（3）y=2x
答案:(1)(4) （2）y=2x2
（4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
例 2:已f(知 x)m 2m1x2m 3是幂 ，
求 m 的。值
解:因为f (x)是幂函数
m2m11
解之 :m 得 2 或 m 1
m2或 m1
练习：
已知函数 f(x ) m 2 3 m 3 x m 2 2 是幂函数,
并且是偶函数，求m的值。
解 :因 f(x 为 )m 2 3 m 3x m 2 2 是幂
m23m31 解之 :m 2 得 或 m 1
又因为f (x)是偶函数
m1不符合，题 舍意 去
数
公共点
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
（1，1）
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
思考：请将5个函数的图像画在同一坐标 系中，并研究它们的异同，进而推断
幂函数的性质。
(1) yx (2) y x2 (3) y x3
(4)
1
y x2
(5)
y x1
小结
1、幂函数的定义 形如 y x （a∈Ｑ）