2005年第2届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第2届中国东南地区数学奥林匹克

第1天

（2005年7月13日8：00～12：00 福州）

1 （1）设a R ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都

落在一条抛物在线。

（2）若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根，求其较大根的取

值范围。 2 如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作OP l ⊥，P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM QB ⊥，PN QA ⊥，M 和N 为垂足。求证：直线MN 平分线段KP 。

3 设n 是正整数，集合{1,2,3,,2}M n = 。求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一

个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。

4 试求满足2222005a b c ++=，且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。

第2天

（2005年7月14日8：00～12：00福州）

5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为h (h >2)，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。

6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A ，

（12...()n

a a a P A n

+++=）。若B 是A 的非空子集，且()()P B P A =，则称B

是A 的一个“均衡子集”。试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”的个数。 7 （1）讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。 （2）设12,,...,n a a a 为等差数列，且12n a a a ++⋅⋅⋅+=1211a a ++++⋅⋅⋅+1n a +=

12222507n a a a -+-+⋅⋅⋅+-=求项数n 的最大值。 8 设0,,2

π

αβγ<<

，且3

3

3

s i

n s i n s i n 1αβγ+

+=

，

求证：2

2

2

tan tan tan 2

αβγ++≥

答案

1. (1) 令22()(2)2121(2)a f x x a x a x x a x =++-+=+++-，因此抛物线过定点

（2, 9），该抛物线的顶点坐标为

22

22

4(12)(2)1244

a x a a a a y +=-

--+--==

消去a 得245y x x =-++。 (2) ()0a f x =的大根为

(2)2x a =

-++=

=

令a +6=2k ，则

(24)22

k x k --+==-+

由判别式0∆>得k >3或k <-3。 当k <-3时, x >5；

当k >3时

, 2x =-可得-1

2. 作PI AB ⊥，I 为垂足, 记J 为直线MN 与

线段PK 的交点。易知QAO QBO ∠=∠=

90QPO ∠=

，故O 、B 、Q 、P 、A 均在以

线段OQ 为直径的圆周上。 由于,,PN QA PM QB PI AB ⊥⊥⊥，所以由

Simson 定理知: QAB ∆的外接圆上一点P

在其三边的垂足N 、M 、I 三点共线，即N 、

M 、J 、I 四点共线。

因为,QO AB PI AB ⊥⊥，所以QO //PI , 所以POQ IPO ∠=∠, 又因为P 、A 、I 、M 四点共圆，P 、A 、O 、Q 也四点共圆，所以

PIJ PIM PAM POQ ∠=∠=∠=∠

所以在直角三角形PIK 中, PIJ JPI ∠=∠, 所以J 为PK 的中点因此直线MN

平分线段KP 。

3. 考虑M 的n +2元子集P ={n -1, n , n +1, …, 2n }。P 中任何4个不同元素之和不

小于(n －1)+n +n +1+n +2=4n +2, 所以3k n ≥+。 将M 的元配为n 对，(,21),1i B i n i i n =+-≤≤。

对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A (123,,i i i 两两不同)。

又将M 的元配为n －1对, (,2),1-1i C i n i i n =-≤≤。对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4

i C 同属于A

这一对4i C 必与刚才三对123,,i i i B B B 中至少一对无公共元，这4个元素互不相同，且和为2n +1+2n =4n +1。 因此，所求的最小k =n +3。

4. 由于任何奇平方数被4除余1，任何偶平方数是4的倍数，因2005被4除余

1，故222,,a b c 三数中，必是两个偶平方数，一个奇平方数。 设a=2m ，b=2n ，c=2k －1，m, n, k 为正整数，原方程化为：

22(1)501(1)m n k k ++-=

又因任何平方数被3除的余数，或者是0，或者是1，今讨论k ： (i) 若3(1)k k -，则由(1)，223m n +，于是m, n 都是3的倍数。

设m =31m ，n =31n ，并且(1)

3

k k -是整数，由(1)

2211(1)

33167(2)3

k k m n -++=

于是()(1)1672mod33k k -≡≡

设(1)3

k k -=3r +2，则

(1)96(3)k k r -=+

且由(1)，(1)501k k -<，所以22k ≤。

故由(3)，k 可取3，7，12，16，21，代入(2)分别得到如下情况： 2211355k m n =⎧⎨+=⎩, 2211751k m n =⎧⎨+=⎩, 22111241k m n =⎧⎨+=⎩, 22

1116

29

k m n =⎧⎨+=⎩, 22

1121

9

k m n =⎧⎨+=⎩ 由于55、51都是4N +3形状的数，不能表为两个平方的和，并且9也不能表成两个正整数的平方和，因此只有k =12与k =16时有正整数解1m ,1n 。

当k =12，由22

12m m +=41，得(1m , 1n )=(4, 5)，则a=61m =24，b =61n =30，c =2k －1=23，于是(a, b, c )=(24, 30, 23)。

当k =16，由22

12m m +=29，得(1m , 1n )=(2, 5)，则a=61m =12，b =61n =30，