完全平方数概念
完全平方数的判断与运算
完全平方数的判断与运算数学是一门需要逻辑思维和分析能力的学科，其中涉及到很多概念和规律。
在初中阶段，完全平方数是一个重要的概念，对于学生来说，了解如何判断一个数是否为完全平方数以及如何进行完全平方数的运算是非常重要的。
本文将详细介绍完全平方数的判断与运算方法，帮助中学生和家长更好地理解和应用这一概念。
一、完全平方数的判断方法完全平方数是指一个数可以表示为另一个整数的平方的形式，例如1、4、9、16等。
那么如何判断一个数是否为完全平方数呢？下面我们介绍两种常用的判断方法。
方法一：试除法试除法是最常用的判断一个数是否为完全平方数的方法。
具体步骤如下：1. 从2开始，依次将这个数除以2、3、4、5……直到这个数的平方根，如果能整除，则这个数是完全平方数；如果不能整除，则这个数不是完全平方数。
例如，判断25是否为完全平方数，按照试除法的步骤，我们可以将25除以2、3、4、5，发现25除以5等于5，可以整除，所以25是完全平方数。
方法二：数学定理法除了试除法，我们还可以利用数学定理来判断一个数是否为完全平方数。
其中一个重要的定理是：一个数是完全平方数，当且仅当它的质因数分解中，每个质因数的指数都是偶数。
例如，判断36是否为完全平方数，我们可以将36进行质因数分解，得到36=2^2 * 3^2，可以发现每个质因数的指数都是偶数，所以36是完全平方数。
二、完全平方数的运算方法除了判断一个数是否为完全平方数，我们还需要掌握如何进行完全平方数的运算。
下面我们介绍两种常用的运算方法。
方法一：完全平方数的加减法对于两个完全平方数的加减法，我们可以直接对它们进行运算。
例如，计算16+9，我们可以直接将16和9相加，得到25，25是一个完全平方数。
同样地，对于16-9，我们可以直接将16和9相减，得到7，7不是一个完全平方数。
方法二：完全平方数的乘法对于两个完全平方数的乘法，我们可以利用完全平方数的性质进行运算。
具体步骤如下：1. 将两个完全平方数进行质因数分解；2. 将两个完全平方数的质因数分解结果合并，并将相同的质因数的指数相加；3. 将合并后的质因数分解结果重新组合，得到一个新的完全平方数。
初二完全平方数讲解
初二完全平方数讲解完全平方数是指一个正整数可以被一个正整数平方后得到的数，常见的完全平方数有1、4、9、16、25、36、49等。
在《九章算术》中就有关于完全平方的讲解，当今学校的数学教材中也有关于完全平方的介绍。
在初二的数学教学中，完全平方这个概念很重要。
它可以帮助学生们更深入地理解数学的定义和表达，例如数学表达式中的分母或分子可以用完全平方数表示。
学生们还可以学习如何用完全平方数分解数及求平方根。
首先，学生们要学会如何判断一个数是否为完全平方数。
最简单的方法是判断这个数是否可以表示成一个整数的平方形式，例如9=3^2，所以9是完全平方数。
另一种方法是用一个算法，来判断一个正整数n是否为完全平方数，它的原理是：如果n=a^2，则a=√n，化简后得到：a^2-n=0，即为一个二次方程，求解这个二次方程，如果只有一个实数解，则n就是完全平方数。
其次，学生们要学习如何分解完全平方数，也就是将一个完全平方数分解为两个数的乘积，常用的分解完全平方数的方法如下：t1.完全平方数分解为正整数的乘积：n=a*b，其中a、b均为正整数。
t2. 使用数学公式：n=a^2*b^2，其中a、b均为正整数。
t3.完全平方数分解为两个完全平方数的乘积，例如：n=a^2*b^2，其中a、b均为完全平方数。
最后，学生们要学习如何用完全平方数计算乘法，这样可以让学生们更快地理解乘法的定义。
我们可以将乘法表示为完全平方数的乘积，例如：a*b=a^2*b^2/2。
显然，这种方法可以极大地减少学生们计算乘法的负担。
以上就是完全平方数的相关知识，希望学生们能从中获益，获得更多的知识。
学习完全平方数，能让学生们更加深入地理解数学的概念，让学生们在学习数学的同时，能得到更多的乐趣。
完全平方数
★20 完全平方数◎概念：一个自然数自乘所得的积称为完全平方数。
◎性质：1、分解质因数，每个质因数都有偶数个。
（即指数都是偶数）2、个位数字只能为0、1、4、5、6、9。
3、完全平方数是奇数被4或8除余1，是偶数能被4整除。
4、完全平方数如能被3整除，一定能被9整除，不能被3整除，一定余1。
5、两个完全平方数的积还是完全平方数。
一个完全平方数与一个非完全平方数的积不是完全平方数。
◎背诵：112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262 =676 272=729 282=784 292=841 302=900例1在1~2016的自然数中，完全平方数共有多少个？自主测试：在324、897、211、247、546中，哪些数是完全平方数？例2 46035乘以一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少？自主测试：203500乘一个自然数a，是一个平方数，a最小是多少?例3 ：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6.这个算式的得数能否是某个数的平方？例4: 试问21世纪中那一年的年份数是一个完全平方数？自主测试：哥哥对弟弟说：“到21世纪的x2年，我恰好是x岁，哥哥生于哪年？例5 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来的和恰好是某个自然数的平方，这个和是多少？自主测试：一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是多少？例6 在前300个自然数中，去掉所有的完全平方数剩下的自然数的和是多少？公式1: 1+2+3+4┄+n=21n(n+1)公式2: 12+ 22+ 32+ 42+┄+ n2= 61n(n+1)(2n+1)自主测试：请说明从1开始的连续n个奇数的和是平方数？练习题1、祖孙三人，孙子年龄与爷爷年龄之积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，则父亲年龄是多少岁？2、12+ 22+ 32+ 42+┄+ 20142除以7的余数是几？3、22015与20152的和除以7的余数是多少？4、在2024到2499之间有多少个平方数?5、1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1)=____________________★6、少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡有的亮，有的灭，十分有趣。
初中数学完全平方公式
初中数学完全平方公式完全平方公式是数学中的重要概念，它是解决二次方程问题的基础。
在初中数学中，学习完全平方公式对于解决相关的算式和问题非常有帮助。
接下来，我将详细介绍初中数学中的完全平方公式。
首先，我们要了解什么是完全平方。
在数学中，完全平方是指一个数的平方能够被开根号得到一个整数。
例如，4的平方是16，所以16是一个完全平方数。
类似地，9的平方是81，所以81也是一个完全平方数。
为了方便理解，我们可以通过一个图表来列举一些完全平方数。
完全平方数表：1→12→43→94→165→256→367→498→649→8110→10011→121现在，我们可以来看一下初中数学中的完全平方公式。
完全平方公式有两种形式，一种是求平方的公式，另一种是还原平方的公式。
第一种形式：求平方的公式如果已知一个数x，我们想要求它的平方。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：(x + a)² = x² + 2ax + a²在这个公式中，x代表一个数，a代表一个常数。
例如，如果我们想要求4的平方，那么可以将x设为4，a设为2、带入公式得到：(4+2)²=4²+2×4×2+2²6²=16+16+436=36所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个数的平方。
第二种形式：还原平方的公式如果已知一个完全平方数y，我们想要还原它的平方根。
根据完全平方的定义，我们可以得到以下公式：x²=y-(x+a)²同样地，x代表一个数，a代表一个常数。
以9为例，我们想要求9的平方根。
可以将y设为9，x设为3，a设为1、带入公式得到：3²=9-(3+1)²9=9所以，通过这个公式，我们可以轻松地求出任意一个完全平方数的平方根。
除了上述的两种形式，完全平方公式还有其他一些推论和应用。
例如，完全平方公式可以用来求解二次方程，其中的常数项和平方项的系数分别对应于完全平方公式中的a²和2ax。
10第十章数论之完全平方数
10第⼗章数论之完全平⽅数第⼗章数论之完全平⽅数概念在整数中，如果a=b2，则称a为完全平⽅数。
【相关公式】 a2-b2=（a+b）（a-b）（a±b）2=a2±2ab+b212+22+32+，，+n2=n（n+1）（2n+1）÷6【解题思路及⽅法】运⽤完全平⽅数的性质来解题，如：（1）完全平⽅数的尾数只能是0，1，4，5，6，9；（2）在两个连续正整数的平⽅数之间不存在完全平⽅数；（3）完全平⽅数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的⾃然数是完全平⽅数；（4）若质数p满⾜p | 2，那么p | a 。
例题1. 在⼗进制中，各位数字全由奇数组成的完全平⽅数共有多少个？2. 下列四个数中：513231 121826 122530 625681有多少个完全平⽅数。
3.证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平⽅数。
4. 证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平⽅数。
5. ⼀个⾃然数X加上60,为⼀完全平⽅数。
如果加上43, 则为另⼀完全平⽅数，求X。
6. ⼀个⾃然数X减去45及加上44都仍是完全平⽅数，求此X。
7. 求⼀个能被180整除的最⼩完全平⽅数X。
8. ⼀个两位数与它的反序数(个位数字与⼗位数字交换)的和，是⼀个完全平⽅数，求这样的两位数。
9. 若⾃然数X2是⼀个完全平⽅数，则下⼀个完全平⽅数是多少？10. 判断600，1234567，2209，333331哪些是完全平⽅数，如果不是请说明理由。
11. 两个数x、y，它们的完全平⽅数之差A=1986，问这两个数是什么？12. 两个完全平⽅数之差为147，问这两个数是什么？13. 有这样的两位数，交换该数数码，所得到的两位数与原数的和是⼀个完全平⽅数。
例如：29就是这样的两位数，29+92=121，⽽121是11的完全平⽅数。
14. 求⼀个四位完全平⽅数n，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
五年级下第11讲 完全平方数
第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义：一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表：3.完全平方数的常用性质：完全平方数乘完全平方数是完全平方数。
二、例题精选【例1】计算：215，225，235，245，255，并说明规律。
【巩固1】计算：162,262,362,462,562，并说明规律。
【例2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
997：____________________；6983：____________________；5112：____________________；6478：____________________；【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
1199：____________________；7886：____________________；1834：____________________；1275：____________________；【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数，即920179999个 ，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数，即 5620185656...5656个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方，则a的最小值是多少？b的最小值是多少？【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是多少？b的最小值是多少？【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数，所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。
如公元900年，900=302，所以公元900年是快乐年。
那么从1000年到今年（2018年），有多少个“快乐年”？【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份，因为这些年份总会遭遇困恼，其他年份则不会。
完全平方数和完全平方式
47. 完全平方数和完全平方式 作者德化一中 颜墀策 甲 内容提要一. 定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围 2)3(+a , x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.若整数m 能被质数q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0，则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式(ax+b)2中当a 、b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a 、b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中181① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙 例题例1.求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝(m －2)2＋(m －1)2＋m 2＋(m+1)2＋(m+2)2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2.m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当时，（m －1）x ⎩⎨⎧>−010m ，△＝2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即(2m)2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程， 得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ， 得m>1.即 ∴ m=2. ⎩⎨⎧>==.125.0m m m ，或答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3.已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式， ∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0. 要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=−=−=−.000a c c b b a ，， 解这个方程组，得a=b=c. 例4.已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.182可设△= m 2 (m 为整数)，即－4k=m 25）（－2 (m 为整数)， 解得，k=4252m −. ∵ k 是非负整数， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧−≥−.42502522的倍数是，m m 由25－m 2≥0， 得 5≤m ， 即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m −. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5.求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝(8k)2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).即3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立；当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3，右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1.∴等式也不能成立.综上所述，不论k 、 m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.即△不是整数的平方. ∴假设方程有有理数根不能成立.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.（试与第46讲例题5的证法加以比较）丙 练习471. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.1834. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17；(B) 18； (C) 35 ；(D) 36. (1990年全国初中数学联赛题)6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a 、b 、c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 .(2001年全国初中数学联赛题)11. 已知四位数aabb 是完全平方数，试求a 和b 的值.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a 、b 是自然数且互质，试问关于x 的方程x 2－abx+21(a+b)=0是否有自然数解（即两根都是自然数）？如果有，把它求解出来；如果没有请给予证明.(1990年泉州市初二数学双基赛题)184。
初中数学重点梳理：完全平方数
完全平方数知识定位完全平方数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答完全平方数问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，完全平方数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关完全平方数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的完全平方数问题。
知识梳理1、完全平方数的定义一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
2、完全平方数特征（1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
（2）除以3余0或余1；反之不成立。
（3）除以4余0或余1；反之不成立。
（4）约数个数为奇数；反之成立。
（5）奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
（6）奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
（7）两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y23、完全平方数的性质性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
完全平方数
1
（2009年迎春杯初赛五年级）200名同学编为1至200 号面向南站成一排。第1次全体同学向右转(转后所 有的同学面朝西)；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第 3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第200次编号为 200的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有 名。
2
开始所有人都面向南，最后有些同学面向东，则面向东 的同学转了3次，7次，11次……，即转的次数是被4除 余3的数。而转的次数如何确定呢？根据题意可知，对 于编号为n的同学，只有在次数是n的因数时才会转动， 当次数不是n的因数时，编号为n的同学是不动的。
（1）因完全平方数除以4所得的余数为0或1，故两个完全 平方数之和除以4所得的余数为0、1 或2，但因999除以4 所得的余数为3，矛盾，因此999不可能； (2)因完全平方数除以8所得的余数为0、1或4，故两个完 全平方数之和除以8所得的余数为0、1、2、4或5。但因 998除以8所得的余数为6，矛盾，因此998不可能； (3) 可算出997=961+36=312+62，因此所求为997。
02=0 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 312=961 322=1024
那么要求编号为n的同学转动的次数，实际上是求n的 因数的个数。所以只有因数个数被4除余3的数，最后 面向东。1~200中，因数个数为3的数有22、32、52、 72、112、132，共6个；因数个数为7的数有26，1个； 因数个数为11的数有0个；因数个数为15的数有 32×32×24=144，1个； 所以一共有8个满足条件的编号，即有8名同学面向东。
完全平方与配方法
完全平方与配方法《完全平方与配方法》一、完全平方完全平方是指一个数的平方根是一个整数的平方根。
也就是说，对于一个数a，如果存在一个整数x，使得x²=a，那么a就是一个完全平方数。
我们可以通过求平方根的方法来判断一个数是否是完全平方数。
1.求平方根法求解一个数的平方根可以使用数学中的开平方运算，常用的方法有牛顿迭代法、二分法等。
例如，对于一个数a，如果存在一个整数x，使得x²=a，那么a就是一个完全平方数。
2.完全平方的性质完全平方具有以下特点：（1）完全平方数的个位数只能是0、1、4、5、6、9中的一个。
（2）两个连续的奇数的平方之差是一个恒定的值。
例如：(n+1)²-n²=2n+1（3）一个完全平方数的因数中，除了平方根自身，其他的因数都是成对出现的。
（4）两个完全平方数之和或差，也仍然是完全平方数。
二、配方法1.配方法的定义配方法是一种用于解决二次方程的方法。
它的思想是通过将二次方程进行配方，将其转化为一个完全平方的形式，从而利用完全平方的性质来求解方程。
2.配方法的步骤配方法一般有以下几个步骤：（1）将二次方程标准形式化简为完全平方的形式。
例如，对于二次方程ax²+bx+c=0，我们可以通过移项的方式，将其化简为(a(x-h)²+k=0)的形式，其中h和k是待求的常数。
（2）将二次方程进行配方，转化为完全平方的形式。
例如，对于一般形式的二次方程a(x-h)²+k=0，我们可以将其展开、整理，得到a(x²-2hx+h²)+k=a(x²-2hx+h²)+ah²+k=0。
这样，我们就得到了一个完全平方的形式。
（3）利用完全平方的性质求解方程。
根据完全平方的性质，我们可以判断出方程的解，从而求得方程的解集。
3.配方法的应用配方法广泛应用于二次方程的求解中，特别是在一些涉及到二次方程的实际问题的解答中，配方法是一种简单而实用的方法。
完全平方数
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 若 则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。 综上所述， 不可能是完全平方数。
另证
由
为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数
的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而 十位上的数字为1，所以 不是完全平方数。
[例4]：试证数列49,4489,444889, 是完全平方数。 证明 = = =4× =4 × ( =36 ×( =(6 × 即 + +8 × )(9 × )2+12 × +1)2 为完全平方数。 +1 +1 +1)+8 × +1 +1
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还 可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数 字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把 13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字 的和。 下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位 数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数 字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题： 一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
完全平方数
(一)完全平方数的性质 一个数如果是另一个整数的完全平 方，那么我们就称这个数为完全平方数， 也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169, 196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的 个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 下面我们来研究完全平方数的一些常用性质： 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位 数字为偶数。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文：完全平方数是一个数学概念，它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16 等都是完全平方数，因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。
完全平方数具有一些有趣的性质，例如，如果一个数是完全平方数，那么它的因数一定是成对出现的。
在数学中，完全平方数有着广泛的应用。
例如，在求解完全平方数时，我们可以使用公式：如果一个数的平方根是整数，那么这个数就是完全平方数。
此外，完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，如果一个数是完全平方数，那么它一定可以表示为两个整数的平方和。
在概率论中，完全平方数也有着重要的应用。
例如，假设有一个袋子，里面有若干个红球和白球，我们想要取出一个红球。
如果我们随机地从袋子中取出一个球，那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。
如果我们想要计算这个概率的平方，那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率，这些概率可以表示为完全平方数。
在奥数比赛中，完全平方数也是一个常见的考点。
例如，可能会给出一个数，要求我们判断它是否为完全平方数。
或者，可能会给出两个数，要求我们求它们的平方和。
对于这类题目，我们需要熟悉完全平方数的性质，并且能够灵活运用它们来解决问题。
总的来说，完全平方数是一个有趣的数学概念，它在数学和概率论中都有着广泛的应用。
完全平方数
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为
，则
= 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)2 是8n+1型的数；由k2为奇数或偶数可得(2k)2为8n型或8n+4 型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类： 3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)2=9m2=3k (3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1 (3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1
[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这 四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与 百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个 矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数
N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数， 因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
完全平方数及完全平方数式方程式浅析
完全平方数及完全平方数式方程式浅析摘要：本文由一元二次方程式的求根公式将求根公式的判别式，推导出另一个一元二次方程式，将这个方程式，令名为“完全平方数式方程式”关键词：完全平方数，完全平方数式方程式，扩值参数式（一）“完全平方数”及“完全平方数式方程式”概念“完全平方数”概念：在自然数域集合里（Z-整数集合），一个任意自然数设为：m即是：m*m=m²m名为“自乘数”m²的数值，就为“完全平方数”“完全平方数式方程式”概念完全平方数式方程式是由未知数项和常数项，用运算符号链接的数学方程式。
这个方程式运算的终结数值为某个自然数的平方值。
例如本文推导出的数学方程式：g²+2ag-n=k²此式中：g、k为未知数，a、n为已知数，这是本文所要研讨的数学方程式。
（二）：构建完全平方数式方程式：抄录引入：作者发表在数学期刊试题与研究“2020年26期”充分大奇合数因数分解方程式“推介”文中：充分大奇合数是自然正整数，非人为构建的合数，设为m。
是两个奇数p和q的乘积：m=p*q。
可设：m变形【】²+n令：【】=a 得m=a²+n由设定：m=p*q令p>a则p=a+x；q得：m=（a+x）（a-y）·····（1）式化简（1）式，求y的解a²+n=a²+a（x-y）-xy得：xy-a（x-y）-n=0令：x+y g为x-y的差即 g=x-y代入：（y+g）y-a（y+g-y）-n=0得：y²+gy-ag-n=0用求根公式： -g±Y = 2在此式中：a与x、y互为奇偶数X与y同为奇偶数则x±y均为偶数，x-y=g为偶数可将此时中的分母约去y=-g±化简得：y=-g± ····（2）式从（2）式中得知，要使y 有正整数解 数式的数值必须是完全平方数令：g²+2ag -n=k²这就是推导出的“完全平方数式方程式” ：如何求解“完全平方数式方程式”构建“初始完全平方数式方程式”在g²+2ag -n=k²式中，k²是完全平方数，他的特征是 k²被16整除的小於16的余数是：0、1、4、9.以16为同余式的模mod16构成同余式方程： g²+2ag -n≡k²（mod16） g 除以16，有1≤g 。
五年级下 完全平方数
第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义：一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表：3.完全平方数的常用性质：完全平方数乘完全平方数是完全平方数。
二、例题精选【例1】计算：215，225，235，245，255，并说明规律。
【巩固1】计算：162,262,362,462,562，并说明规律。
【例2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
997：____________________；6983：____________________；5112：____________________；6478：____________________；【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。
1199：____________________；7886：____________________；1834：____________________；1275：____________________；【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数，即920179999个 ，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数，即 5620185656...5656个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方，则a的最小值是多少？b的最小值是多少？【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是多少？b的最小值是多少？【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数，所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。
如公元900年，900=302，所以公元900年是快乐年。
那么从1000年到今年（2018年），有多少个“快乐年”？【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份，因为这些年份总会遭遇困恼，其他年份则不会。
完全平方数c语言
完全平方数c语言完全平方数是指一个数能够被某个整数的平方表示的数，即完全平方数是某个整数的平方。
在C语言中，我们可以通过编写代码来判断一个数是否为完全平方数。
要判断一个数是否为完全平方数，可以使用循环来逐个尝试平方根，并与原数进行比较。
以下是一个示例代码：```c#include <stdio.h>int isPerfectSquare(int num) {int i;for(i = 0; i * i <= num; i++) {if(i * i == num) {return 1; // 是完全平方数}}return 0; // 不是完全平方数}int main() {int num;printf("请输入一个整数：");scanf("%d", &num);if(isPerfectSquare(num)) {printf("%d是一个完全平方数。
\n", num);} else {printf("%d不是一个完全平方数。
\n", num);}return 0;}```在这段代码中，我们定义了一个`isPerfectSquare`函数，用于判断一个数是否为完全平方数。
通过循环逐个尝试平方根，如果找到了平方根等于原数，则返回1，表示是完全平方数；否则，返回0，表示不是完全平方数。
在`main`函数中，我们通过用户输入一个整数，然后调用`isPerfectSquare`函数来判断该数是否为完全平方数，并输出相应的结果。
这段代码中使用了C语言的基本语法，例如变量的定义、循环、条件判断和输入输出等。
通过这段代码，我们可以方便地判断一个数是否为完全平方数。
除了上述的方法，我们还可以使用数学公式来判断一个数是否为完全平方数。
根据数学知识，一个数是完全平方数，当且仅当它的平方根是一个整数。
因此，我们可以使用数学库中的函数来计算平方根，并判断是否为整数。
完全平方数
完全平方数知识点(一)完全平方数的性质一个正整数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,......通过对这些完全平方数的观察和分析，我们可以获得一些规律性的认识。
下面是完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个"0"的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8k 或8k+4型。
性质7：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k 型。
性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16k,16k+1, 16k+4,16k+9。
性质10：完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。
性质11： a^2b 为完全平方数的充要条件是b 为完全平方数。
性质12：如果质数p 能整除a ，但p^2不能整除a ，则a 不是完全平方数。
性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 n^2<K性质14：一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个因子(包括1和n 本身)。
性质15：完全平方数的约数个数是奇数个。
约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。
辨别完全平方数的方法
辨别完全平方数的方法介绍完全平方数指的是能够表示为一个整数的平方的数。
辨别一个数是否为完全平方数是数论中一个常见的问题，本文将介绍几种常见的方法，以帮助读者更好地理解和应用这个概念。
方法一：试除法试除法是一种最直观、简单的方法来辨别一个数是否为完全平方数。
基本思想是从小到大依次试除所有可能的正整数，直到找到一个整数，使得其平方等于给定的数。
以下是试除法的具体步骤： 1. 给定一个数n，从1开始，依次尝试将n除以每个正整数； 2. 如果找到一个整数i，使得i*i等于n，那么n就是一个完全平方数；3. 如果找不到这样的整数，那么n不是一个完全平方数。
试除法的时间复杂度为O(sqrt(n))，其中n为给定的数。
试除法简单易懂，但对于大数的判断效率较低。
方法二：二分查找法二分查找法是一种高效的方法来辨别一个数是否为完全平方数。
基本思想是不断迭代，将待判断的数范围缩小一半，直到找到一个整数，使得其平方等于给定的数，或者确定给定的数不是完全平方数。
以下是二分查找法的具体步骤： 1. 将给定的数n的范围初始化为[1, n]； 2. 当范围的左边界小于等于右边界时，执行以下步骤： - 计算范围的中间数mid； -如果mid的平方等于n，那么n是一个完全平方数； - 如果mid的平方大于n，那么将范围的右边界调整为mid-1； - 如果mid的平方小于n，那么将范围的左边界调整为mid+1； 3. 如果经过迭代后没有找到完全平方数，那么n不是一个完全平方数。
二分查找法的时间复杂度为O(log(n))，其中n为给定的数。
相较于试除法，二分查找法在大数的判断上更加高效。
方法三：牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断迭代逼近的方法来求解方程的根。
在辨别一个数是否为完全平方数的问题中，我们可以将其转化为求解方程x^2 - n = 0的根。
当方程的根为整数时，说明n是一个完全平方数。
以下是牛顿迭代法的具体步骤： 1. 首先，选择一个初始的猜测值x0，通常可以选择n的平方根作为初始值； 2. 通过迭代公式x_(n+1) = (x_n + n/x_n) / 2，不断计算新的猜测值，直到猜测值的平方与n的差的绝对值小于一个很小的阈值ε； 3. 如果迭代得到的猜测值的平方与n的差的绝对值小于阈值ε，那么n是一个完全平方数； 4. 如果进行了一定次数的迭代后，仍未满足上述条件，那么可以判断n不是一个完全平方数。
完全平方公式经典例题
完全平方公式经典例题
摘要：
1.完全平方公式的概念
2.完全平方公式的结构
3.经典例题解析
4.完全平方公式的应用领域
正文：
一、完全平方公式的概念
完全平方公式，又称平方差公式或完全平方差公式，是指两个数的平方和与这两个数的乘积之间的关系。
完全平方公式的表达式为：(a+b)=a+2ab+b 和(a-b)=a-2ab+b。
二、完全平方公式的结构
完全平方公式包含两个公式，分别为：
1.(a+b)=a+2ab+b
2.(a-b)=a-2ab+b
这两个公式的结构相似，只是乘积项的符号不同。
在第一个公式中，乘积项为2ab，表示两个数的和与这两个数的乘积的2 倍；而在第二个公式中，乘积项为-2ab，表示两个数的差与这两个数的乘积的-2 倍。
三、经典例题解析
例题1：求解(3+2) 的值。
解答：根据完全平方公式，(3+2)=3+2×3×2+2=9+12+4=25，所以
(3+2) 的值为25。
例题2：求解(5-3) 的值。
解答：根据完全平方公式，(5-3)=5-2×5×3+3=25-30+9=4，所以(5-3) 的值为4。
四、完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用，例如在求解平方差、平方和等问题时，可以利用完全平方公式简化计算过程。
此外，完全平方公式在物理、化学等自然科学领域中也有重要应用，例如在求解运动速度、加速度等问题时，可以利用完全平方公式进行计算。
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完全平方数概念
、性质和习题（一）
2
1.定义：在整数中，如果a=b，则称a为完全平方数。
例如：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361等等.
2.性质：完全平方数的性质是平方数的核心环节，也是常考知识点。
1)完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2)在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3)完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
2
4)若质数p满足p | a，那么p | a
3.完全平方数一些重要的推论
1)任何偶数的平方一定能被4整除，能被8除的余数只有两种可能：0或4；任何奇数的平方被4（或8）除余1。
那么被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2)一个完全平方数被3除的余数是0或1。
那么被3除余2的数一定不是完全平方数。
3)自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4)完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5)完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6)完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7)凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
4.平方数有关公式：a2－b2=（a＋b）（a－b）
（a±b）2=a2±2ab＋b2
12＋22＋32＋…＋n2=n（n＋1）（2n＋1）÷6
1、在不大于300的自然数中去掉所有的完全平方数，剩下的自然数的和是多少？
2、如果两个平方数的差是23，求这两个平方数。
3、N是一个数字，如果1×2×3×…×n＋3是一个整数的平方，n等于多少？
4、19998、1991、17689、1882这四个数中只有一个数是平方数，请找出来。
5、不论a、b取怎样的整数，15a＋35b＋3有可能是平方数吗？为什么？
6、画一个正方形，假如它的边长是1个长度单位，面积是1个面积单位，我们称他为基本正方形。
在它的右边和上面再围上去3个基本正方形，将得到一个怎样的图形，面积是多少？在这个图形的右边和上面围上去5个基本正方形，又将得到一个怎样的图形？面积是多少？仿照这样的操作方法再操作几次，从中可以得到一个怎样的规律？可以通过其他途径得到这个规律吗？。